26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过矩形面积问题导入，追问函数关系及与一次函数的区别，结合比赛场次、产量增长实例，观察共同点后类比一次函数定义形成二次函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以现实情境为载体，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过类比迁移培养数学思维，例题与练习结合强化数学语言表达。帮助学生建立概念联系，教师可借助结构化流程提升教学效果。

第二十六章　二次函数 26.1　二次函数的概念 新课导入 　　用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位： m2），会随着矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什 么关系？ 　　根据矩形面积公式，得 y＝x(20－x)，即 y＝－x2＋20x． A D B C x 20－x 新课导入 　　追问 1　情境中写出的 y 与 x 的关系是函数关系吗？ y＝－x2＋20x　　① 　　矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数． 面积 一边长 新课导入 　　追问 2　这个函数是一次函数吗？ y＝－x2＋20x　　① 　　一般地，形如 y＝kx＋b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数. 　　不同于一次函数，新函数有二次项． 新知探究 　　问题 1　n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛．比赛的场次 数 m 与球队数 n 之间有什么关系？ 　　分析：每支球队与其他 ________ 支球队各比赛一场．由于甲队对乙 队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛， 所以比赛的场次数 _____________________， 即 　 ． …… n－1 m＝ n(n－1) 1 2 m＝ n2－ n 1 2 1 2 　　追问　关系式中有哪些变量？关系式 是函数吗？ m＝ n2－ n　　② 　　m 和 n 都是变量，而且对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定 的值与其对应，即 m 是 n 的函数． 　　解析式是用自变量的二次式表示的． 新知探究 1 2 1 2 m＝ n2－ n 1 2 1 2 新知探究 　　问题 2　某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如 果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y（单 位：t）将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 　　分析：这种产品的原产量为 20 t，一年后的产量是 ____________ t， 再经过一年后的产量是 _____________________ t，所以两年后的产量是 _________________， 20(1＋x) 20(1＋x)(1＋x) y＝20(1＋x)2 即 y＝20x2＋40x＋20． 　　追问　关系式中有哪些变量？y 与 x 之间的对应关系是函数关系吗？ y＝20x2＋40x＋20　　③ 　　y 和 x 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的 值与其对应，即 y 是 x 的函数． 　　解析式是用自变量的二次式表示的． 新知探究 　　思考　观察函数①②③，它们有什么共同点？ y＝－x2＋20x　　 ① m＝ n2－ n ② y＝20x2＋40x＋20 ③ 　　三个函数都是用自变量的二次式表示的． 新知探究 1 2 1 2 　　追问　类比一元一次方程的方法学习了一元二次方程的概念．观察 函数①②③，它们与一次函数有什么区别？这类函数叫作什么函数？ 　　y＝－x2＋20x　①　　m＝ n2－ n　②　　y＝20x2＋40x＋20　③ 　　一般地，形如 y＝kx＋b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数． 　　二次函数的概念　 　　一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫 作二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系 数、一次项系数和常数项． 新知探究 1 2 1 2 例题精讲 　　例　（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． 　　（2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后 两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销售 量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 例题精讲 　　例　（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． 　　分析：本题是圆柱表面积与底面半径关系的几何问题，圆柱表面积 是其底面积与侧面积的和，其中圆柱的侧面是一个一边长为圆柱底面周 长，另一边长为圆柱的高的矩形． 　　解：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 S＝2πr2＋ 2πr • r，即 S＝4πr2． 例题精讲 　　例　（2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现， 后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销 售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 　　分析：本题是销售量与平均变化率关系的生活问题，后一年的销售 量即是在前一年的基础上乘以（1－x），以此类推． 　　解：（2）一年后产品的年销售量为 8(1－x)万件，两年后的年销售 量为 8(1－x)(1－x)万件，所以 y＝8(1－x)2，即 y＝8x2－16x＋8． 　　追问 1　这两个函数都是二次函数吗？ 　　 S＝4πr2　　　　y＝8x2－16x＋8 　　两个函数都是用自变量的二次式表示的，满足二次函数的概念，因 此两个函数都是二次函数． 新知探究 　　追问 2　写出这个二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 新知探究 二次项系数 一次项系数 常数项 S＝4πr2 4π 0 0 课堂练习 　　1. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 　　（1）y＝8x2－16x＋8； （2）y＝x2； 　　（3）y＝－ x2＋5x；　　　　　（4）y＝2(x－1)2－5． 　　分析：第（4）题的二次函数不能直接判断其各项系数，可通过完全 平方公式将其整理为 y＝ax2＋bx＋c 后再判断． 1 2 课堂练习 　　1. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 　　（1）y＝8x2－16x＋8； （2）y＝x2； 　　（3）y＝－ x2＋5x；　　　　　（4）y＝2(x－1)2－5． 　　解：（1）二次项系数为 8，一次项系数为－16，常数项为 8； 　　（2）二次项系数为 1，一次项系数和常数项都为 0； 　　（3）二次项系数为－ ，一次项系数为 5，常数项为 0； 　　（4）二次项系数为 2，一次项系数为－4，常数项为－3． 1 2 1 2 课堂练习 　　2. 如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2． 写出 y 关于 x 的函数解析式． 　　分析：扩充后的绿地一边长为（x＋20）m，另一边长为（x＋30）m， 再通过矩形的面积公式即可写出 y 关 于 x 的函数解析式． 30 m 20 m x m x m 课堂练习 　　2. 如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2． 写出 y 关于 x 的函数解析式． 　　解：由矩形面积公式得 y＝(x＋20)(x＋30)，即 y＝x2＋50x＋600． 30 m 20 m x m x m 课堂练习 　　3. 提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来 表示． 　　解：答案不唯一．例如，一个直角三角形的两条直角边长之和为 10 cm，如果其中一条直角边的长为 x cm，求这个直角三角形的面积 y 关于 x 的函数解析式． 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）本节课学习了二次函数的哪些知识？二次函数的特征是什么？ 　　（2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，b 和 c 可以为 0 吗？ 　　（3）本节课在探究的过程中如何通过类比一次函数得到二次函数的 概念？ 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）本节课学习了二次函数的哪些知识？二次函数的特征是什么？ 　　本节课重点学习了二次函数的概念及其基本特征．二次函数是形如 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数，其核心特征是自变量 x 的最高次数为 2． 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，b 和 c 可以为 0 吗？ 　　在二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，b 和 c 均可为 0．当 b＝0 时， 函数简化为 y＝ax2＋c；当 c＝0 时，函数变为 y＝ax2＋bx；当 b 和 c 同时 为 0 时，函数变为 y＝ax2． 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（3）本节课在探究的过程中如何通过类比一次函数得到二次函数的 概念？ 　　本节课通过实际问题引出二次函数概念．回顾一次函数，但当问题 涉及面积、增长率等情境时，一次函数模型无法适用．通过观察这类问 题的数量关系，发现变量间存在 x 的二次项，进而抽象出 y＝ax2＋bx＋c 的形式．类比一次函数与二次函数在表达式结构上形成递进关系，从而 建立二次函数的概念． 课后任务 教科书习题 26.1 第 1，2，3 题． $