26.2.1 二次函数y=ax的图象和性质课件2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过复习二次函数定义及一次函数研究方法（列表、描点、连线）搭建知识支架，引导学生从具体函数y=x²入手，逐步探究抛物线特征。 其亮点在于以描点法为核心，通过全面取值（含负数、0、正数）培养几何直观（数学眼光），对比不同a值函数图象归纳规律发展推理意识（数学思维），用“正上负下，顶点定最值”等口诀强化数学语言表达。学生能提升画图与分析能力，教师可依托结构化流程高效教学。

（人教版）九年级上 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数 的图象和性质 22051 2 1. 会用描点法画y=ax²(a≠0) 的函数图象，认识 抛物线. 2. 通过观察图象，掌握y=ax² 的开口方向、对称轴、 顶点等图象特征 . 3.掌握用描点法绘制二次函数图象的步骤，能准确画出不同 值对应的抛物线。 学习目标 22051 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 复习导入 22051 1.说一说二次函数的概念? 一般地，形如y=ax²+bx+c(a ,b, c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数. 2.研究一次函数我们采用什么样的过程? 列表、描点、连线 22051 二次函数也是函数，我们沿用这套方法，先来研究最 简单的二次函数y=x², 猜一猜它的图象会是什么样子? 22051 新知探究 如何画出二次函数的图象？ 我们采用最基础且可靠的方法——描点法，主要分为三个核心步骤： 01 列表： 取自变量 的一些代表性数值，代入解析式计算出对应的函数值，整理成清晰的表格。 02 描点： 在平面直角坐标系中，以自变量 的值为横坐标，以对应的函数值 y 为纵坐标，准确描出各个坐标点。 03 连线： 按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线将所描出的点依次连接，形成完整的函数图象。 22051 1.7.2013 要画出一个函数的图象，最基础也是最可靠的方法就是描点法。它分为三个步骤：首先，我们需要列表，选取一些x的值，计算出对应的y值；然后，根据表格中的坐标，在坐标系里描出相应的点；最后，用一条平滑的曲线把这些点连接起来。接下来，我们就用这个方法来画 y = x² 的图象。 ‹#› 新知探究 第一步：列表求值，探寻规律 我们取自变量 的一系列值（含负数、0、正数），计算对应的值，构建如下表格： 思考与发现： ❶ 取值考量：选取负数、0、正数，能全面反映函数图象的整体特征，避免因取值片面导致规律误判。 ❷ 核心规律：当 取互为相反数的值时， 的值相等（如 与 ）。这一规律预示着函数图象具有轴对称性。 9 4 1 0 1 4 9 22051 1.7.2013 第一步是列表。我们选取了从-3到3的整数作为x的值，并计算出对应的y值。大家可以看到，当x取-2和2时，y的值都是4；x取-1和1时，y的值都是1。这说明当x取互为相反数的值时，y值相等。这个规律非常重要，它预示着函数图象可能具有某种对称性。 ‹#› 根据表中x,y 的值在平面直角坐 标系中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象. 问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y=x² 的图象. 解：列表 X … -3 -2 -1 0 工 2 3 … y=x² … 9 4 工 0 1 4 9 … 观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗? 22051 实际上，二次函数的图象都是类似 的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数y=ax²+bx+c 的图 象叫作抛物线y=ax ²+bx+c. 可以看出，二次函数y=x² 的图象是 一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时 球在空中经过的路线，只是这条曲线开口 向上. 22051 新知探究 第二步：描点 根据表格计算出的对应数值，我们在平面直角坐标系中依次找出并标记出下列坐标点： 观察发现：这些点在坐标系中呈现出明显的对称分布特征，关于轴对称，且随着的绝对值增大，值呈平方增长趋势，为后续绘制二次函数图像奠定了基础。 22051 1.7.2013 第二步是描点。我们根据刚才列表得到的坐标，在平面直角坐标系中找到这些点的位置并标记出来。大家可以看到，这些点在坐标系中分布得很有规律，特别是关于y轴对称。 ‹#› 新知探究 第三步：连线 完成描点后，我们需要用一条平滑的曲线，严格按照自变量从小到大的顺序，将所描出的点依次连接起来。 连接后形成的这条优美且对称的曲线，就是二次函数的图象。在数学中，我们把这种形状的曲线专门称为抛物线。 ★ 关键要点：连线时切忌画成折线，必须保持曲线的平滑性，这是二次函数图象的核心特征。 22051 1.7.2013 第三步是连线。我们用一条平滑的曲线，从左到右依次连接刚才描出的点。大家看，这条曲线优美而对称，它就是函数 y = x² 的图象。我们把这种形状的曲线称为抛物线。 ‹#› 想一想：所画出的抛物线y=x² 上分别取点(2,4),(3, 9), 并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么? y轴是抛物线y=x² 的对称轴 在抛物线y=x ²上任取一点(m, 22051 实际上，每条抛物线都有对 称轴，抛物线与对称轴的交点叫 作抛物线的顶点.顶点是抛物线 的最低点或最高点. 抛物线与其对称轴的交点(0,0)叫作抛物线y=x² 的顶点， 它是抛物线的最低点. 22051 归纳总结 新知探究 认识抛物线 01 定义： 函数 的图象是一条关于轴对称的曲线，这条曲线被称为抛物线。 02 对称轴： 该抛物线关于轴对称，我们将轴称为这条抛物线的对称轴，是图象的对称中心轴。 03 顶点： 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点；对于而言，这个顶点是整个图象的最低点（即最小值点）。 核心特征： 抛物线开口向上，在对称轴左侧图象下降，右侧图象上升，顶点是其极值点。 22051 1.7.2013 现在我们来正式认识一下抛物线。函数 y = x² 的图象是一条抛物线。它有一条重要的直线——对称轴，这里就是y轴。抛物线与对称轴的交点，我们称之为顶点，坐标是(0, 0)。对于y = x²的图象，这个顶点是整个图象的最低点。 ‹#› 新知探究 思考交流 思考：函数的图象是什么形状？它与的图象有什么关系？ 猜想：它的图象可能是一条抛物线，且与的图象关于轴对称？ ✏动手实践：请同学们仿照画的方法，绘制的图象 步骤 1；步骤 2；步骤 3。 22051 1.7.2013 我们已经学会了画 y = x² 的图象。现在请大家思考一个问题：函数 y = -x² 的图象会是什么样子呢？它和 y = x² 的图象有什么关系？请同学们拿出练习本，仿照刚才的步骤，自己动手画一画 y = -x² 的图象。 ‹#› 从二次函数y=x² 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物 线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 22051 例：在同一平面直角坐标系中，画出函数 ,y=2x ²的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. X … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … X … · -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x² … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 22051 新知探究 对比与 的图象特征 01 开口方向：的图象开口向上，的图象开口向下。 02 对称性： 两条抛物线均关于 轴对称，对称轴为直线 。 03 顶点坐标： 两者的顶点均为坐标原点，也是抛物线的最值点。 04 图象关系：的图象可看作是的图象关于轴翻折得到的。 核心结论：二次项系数的符号决定抛物线的开口方向，决定开口大小。 归纳总结 22051 1.7.2013 好，我们一起来看一下。当我们把 y = x² 和 y = -x² 的图象画在同一个坐标系中时，可以清晰地看到它们的异同。它们的对称轴都是y轴，顶点都是原点。但最大的不同在于开口方向：y = x² 开口向上，而 y = -x² 开口向下。实际上，y = -x² 的图象就是 y = x² 的图象沿着x轴翻折得到的。 ‹#› 新知探究 探究活动 01. 核心探究任务 在同一坐标系中，画出函数 和 的图象，并与 的图象对比，观察开口大小的变化。 02. 实践操作步骤 采用描点法，选取 计算对应 值，绘制三条抛物线. 对比三条曲线的开口宽窄，尝试描述 数值变化与开口大小的关系。 22051 1.7.2013 我们已经知道了a的符号决定开口方向，那么a的绝对值又会对图象产生什么影响呢？接下来，我们来探究一下。请大家在同一个坐标系中，画出 y = ½x² 和 y = 2x² 的图象，并和 y = x² 的图象进行比较，看看它们的开口大小有什么变化。 ‹#› 相同点： 1.抛物线的开口向上； 2.对称轴是y轴 ； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最低点； 4.当x>0 时 ，y随x的增大而增大；当x<0 时 ，y随x的增大而减小. 思考：(1)函数 ,y =2 x²的图象与函数y=x² 的图象 (图中的虚线图形)相比，有什么相同点和不同点? 不同点：开口大小不同， -4 -2 0 y=x² y=2x² 2 8 6 4 2- 22051 一般地，当a>0 时，抛物线y=ax ²的 开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶 点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开 口越小. 进一步，从二次函数y=ax²(a> 0)的 图象可以看出：当x<0 时 ，y随x的增大而 减小；当x>0 时 ，y 随x的增大而增大. 22051 探究：回顾上面研究二次函数y=ax²(a>0 )的图象和性 质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax²(a<0) 的图 象和性质吗? 类似于对函数y =ax²(a>0 )的 研究，可以在同一平面直角坐标系中 画出函数y = - x², ,y = -2x² 的图象 22051 新知探究 决定抛物线的开口宽窄 对比函数：的图象特征： ① 函数 的图象开口最 窄 ，图象形态更“瘦”； ② 函数 的图象开口宽度处于中等水平； ③ 函数的图象开口最 宽 ，图象形态更“胖”。 规律总结： 二次项系数的绝对值 越大，抛物线的开口就越窄； 越小，抛物线的开口就越宽。 探究总结 22051 1.7.2013 大家画好了吗？我们一起来观察这三条抛物线。可以看到，y = 2x² 的图象开口最窄，显得比较“瘦”；y = x² 的图象开口适中；而 y = ½x² 的图象开口最宽，显得比较“胖”。这说明a的绝对值确实会影响抛物线的开口大小。 ‹#› 新知探究 结论： 的符号决定抛物线的开口方向 1. 当 时，抛物线开口向上，图像呈“U”型，此时函数有最小值，顶点为最低点。 2. 当 时，抛物线开口向下，图像呈“∩”型，此时函数有最大值，顶点为最高点。 核心要点总结： 的正负是判断抛物线开口方向的核心依据；此外， 的大小决定开口宽窄—— 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 探究总结 22051 1.7.2013 通过刚才的对比，我们可以得出一个重要的结论：在二次函数 y = ax² 中，参数 a 的符号决定了抛物线的开口方向。当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。这是我们判断抛物线开口方向的关键。 ‹#› 观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技 术工具画二次函数y=ax²(a< 0)的图象，改变a的值，观察随 着a的变化，二次函数y=ax² 的图象的变化. 相同点： 1.抛物线的开口向下； 2.对称轴是y轴 ； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最高点； 4.当x>0 时 ，y随x的增大而减小；当x<0 时 ，y随x的增大而增大. 不同点：开口大小不同. a越小，抛物线的开口越小.二次函数y=ax2的图像与性质探究-初中数学A武能教学素材( html 交互动画).html 22051 一般地，抛物线y=ax² 的对称轴是y轴，顶点是原点. 当 a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当??<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高 点. |a|越大，抛物线的开口越小. 从二次函数y =ax²的图象可以看出：如果a>0, 那 么当x<0 时 ，y 随x的增大而减小，当x>0 时 ，y 随x的增 大而增大；如果a<0, 那么当x<0 时 ，y 随x的增大而增 大，当x>0 时 ，y 随x的增大而减小. 22051 新知探究 性质解读（一）：开口与最值 01 开口方向决定函数最值 当 时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，此时函数取得最小值； 当时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，此时函数取得最大值。 02 最值的位置特征 二次函数的最值恒在顶点处取得。对于基础形式 ，其顶点坐标为 (0, 0)，因此当时，函数取得最值 0。 口诀速记：正上负下，顶点定最值。 归纳总结 22051 1.7.2013 我们来深入解读一下这些性质。首先是开口方向和最值的关系。大家可以想象一下，开口向上的抛物线就像一个山谷，底部是最低点，所以函数有最小值；而开口向下的抛物线像一座山峰，顶部是最高点，所以函数有最大值。这个最值都出现在顶点位置，也就是x=0的时候，最值是0。 ‹#› 归纳总结 新知探究 性质解读（二）：对称轴与增减性 核心规律：二次函数以轴集直线为对称轴，它的增减性是相对于对称轴而言的，可结合抛物线的开口方向（“山谷”与“山峰”）来直观理解。 ① 当 时（开口向上，形如“山谷”） 对称轴左侧： 随 的增大而减小（沿轴正方向走“下坡”）； 对称轴右侧： 随 的增大而增大（沿轴正方向走“上坡”）； 记忆口诀：左减右增，顶点为函数的最小值点。 22051 1.7.2013 接下来是增减性。增减性必须相对于对称轴来讨论。我们可以把抛物线想象成一座山。当a>0时，是山谷，对称轴左边是上坡，y随x增大而减小；右边是下坡，y随x增大而增大。当a<0时，是山峰，对称轴左边是上坡，y随x增大而增大；右边是下坡，y随x增大而减小。 ‹#› 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 29 开口方向 a>0 二次函数y=ax²(a≠ O)的 图象和性质 a<0 最值 顶点坐标 对称轴 增减性 22051 谢谢大家聆听 22051 $