学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（天津专用，范围：人教A版选必一第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何、直线与圆，通过基础题与综合题梯度设计，考查逻辑推理、空间观念及运算能力，适配高二学段知识掌握与能力发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|9/45|直线倾斜角、向量共面、圆的方程|基础概念与基本运算结合，如第4题向量共面判定| |填空|6/30|空间向量夹角、动点最值、正方体与球|多知识点交汇，如第14题正方体体积与向量范围| |解答|5/75|立体几何证明与空间角、轨迹方程、存在性问题|综合应用突出，如19题直三棱柱中线面平行、二面角及存在性探究，20题轨迹方程与圆的综合，体现数学建模与逻辑推理|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 3．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若共面，则等于（   ） A．-9 B．9 C．-5 D．5 5．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 8．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 9．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．若与垂直，则________. 11．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 12．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 13．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 14．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是____________，的范围是____________． 15．已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 17．（15分）如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分）设直线与直线的交点为，圆心在轴上的圆过点和点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 19．（15分）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 20．（16分）已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题5分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程。 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 2．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 3．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 4．已知向量，若共面，则等于（   ） A．-9 B．9 C．-5 D．5 【答案】B 【详解】向量， 由于共面，所以存在，使得， 即 所以解得 5．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 6．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 7．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 8．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 9．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 11．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 12．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 13．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 14．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是____________，的范围是____________． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为 ， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为 故答案为：，． 15．已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意知，， 所以所在直线方程为，即. （2）由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即. （3）由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 17．（15分）如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)略(2)(3) 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 所以， 所以，所以． （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，， 设平面为法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（15分）设直线与直线的交点为，圆心在轴上的圆过点和点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，得，即. 由题意设圆的标准方程为， 则，解得. 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为，此时弦长，满足题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即. 圆心到直线的距离为. 因为，且，所以. 所以，所以，所以. 此时，直线的方程为，即. 综上直线的方程为，或. 19．（15分）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)略.(2)(3)存在点， 【详解】（1）设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 20．（16分）已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)（i）（ii） 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B A C B A C D D B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 11． 0 12． 13． 8 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意知，， 所以所在直线方程为，即.（4分） （2）由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即.（9分） （3）由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即.（14分） 17．（15分） 【答案】(1)略(2)(3) 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，（1分） 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，，（3分） 所以，（4分） 所以，所以．（5分） （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得，（7分） 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则，（9分） 所以直线与平面所成角的正弦值为；（10分） （3）因为，， 设平面为法向量为，则，取，（12分） 又平面的一个法向量为，（13分） 设平面与平面的夹角为， 则，（14分） 所以平面与平面的夹角的余弦值为.（15分） 18．（15分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，得，即.（2分） 由题意设圆的标准方程为， 则，解得.（5分） 所以圆的标准方程为.（6分） （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为，此时弦长，满足题意；（7分） 当直线的斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即. 圆心到直线的距离为.（9分） 因为，且，所以.（11分） 所以，所以，所以.（13分） 此时，直线的方程为，即. 综上直线的方程为，或.（15分） 19．（15分） 【答案】(1)略.(2)(3)存在点， 【详解】（1）设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面.（4分） （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为.（9分） 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，；（5分） 设平面的法向量，则， 令，解得：，，；（7分） 轴平面，平面的一个法向量， ，（8分） 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.（9分） （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：.（15分） 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ，（10分） 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，，（12分） 记直线与平面所成角为，则，， 即，（14分） 整理可得：，解得：（舍）或，.（15分） 20．（16分） 【答案】(1)(2)（i）（ii） 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，.（4分） （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：，（6分） 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得.（7分） 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为.（9分） （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.   （11分） 联立，得，.（12分） 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得，（14分） 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件.（16分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5m黑色签字笔答 识 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 2 3 23 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 45 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 456 456 5. 正确填涂 78 78 56789 78 2345678 5678 78 123456789 2345678 12345678 缺考标记 9 9 单项选择题（每小题5分， 共45分) 1[A][B][C]D] 4[A][B][C]D] 7[A][B][C]D] 2[A]B][C]D] 5[A]B][C]D] 8[A][B][C]D] 效南 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 9[A][B][C]D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10 11 警 12 妇 14. 15 器 数学第1页（共6页） I 请雍餐题目的餐题段撼肉作簽：超出墨垒形神捱限扉及撼的餐案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 数学第页（共6页） 请在静题的筝题林绮作超出墨色宝的第森效效： 17.(15分) E A D B 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题且的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在冬题耳的答题区域内作 超出黑色矩形边框阻定区域的答王放 19.(15分) B B A 数学第5页（共6页） 请在各题月的瓷题区域内作瓷：超出黑色矩形边框限定区域的瓷案无效： 仕音题日中合题誉兴内行什合？赠出巴足形世妆是誉兴合不元状 请在各题目 20.(16分) 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 3．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若共面，则等于（   ） A．-9 B．9 C．-5 D．5 5．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 8．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 9．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．若与垂直，则________. 11．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 12．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 13．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 14．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是____________，的范围是____________． 15．已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 17．（15分）如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分）设直线与直线的交点为，圆心在轴上的圆过点和点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 19．（15分）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 20．（16分）已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $