第一章～第三章（集合与常用逻辑用语、不等式，函数与基本初等函数， 一元函数的导数及其应用）（综合训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦集合、函数与导数模块整合，以题构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化数学抽象与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑用语|选择1-2、填空11|命题否定、集合运算|概念辨析→逻辑推理| |不等式|选择3-4|性质判断、最值求解|不等关系→函数工具应用| |函数与导数|选择5-10、填空12-15、解答16-21|奇偶性、单调性、极值、恒成立|函数性质→导数工具→综合应用|

第一章~第三章（集合与常用逻辑用语、不等式，函数与基本初等函数， 一元函数的导数及其应用）（综合训练） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知命题“”，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“”的否定是. 故选：C 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解含绝对值的不等式和一元二次不等式求出集合与集合，再求即可. 【详解】由，可得：或， 解得或，， 由，解得：， ， ， 即. 故选：B 3．若，且，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A，结合幂函数的单调性判断即可；对于BCD，举特例判断即可. 【详解】对于A，由，且函数在上单调递增，则，故A正确； 对于B，当时，满足，而，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：A 4．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 5．定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念结合奇偶函数的概念与性质进行判断. 【详解】因为“、均为偶函数”可以推出“函数为偶函数”，所以“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分条件； 因为当、均为奇函数时，也为偶函数， 所以“、均为偶函数”不是“函数为偶函数”的必要条件. 综上“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 6．已知函数，则的极值点的个数情况可能为（   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有2026个极值点 D．恰有2025个极值点 【答案】D 【分析】先对函数求导，然后令导数为，将问题转化为两个函数图象的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数. 【详解】对求导，可得， 令，即，移项可得， 那么的极值点个数就等于的变号零点个数， 当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号不同，所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图象关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线， 随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（交点左右两侧函数值大小关系不同）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）， 所以该函数可能恰有2025个极值点. 故选：D. 7．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【答案】D 【分析】列不等式求出定义域可判断A；利用偶函数的定义可判断B；利用二次函数和对数函数的性质求出最大值可判断C；利用复合函数的单调性可判断D. 【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确； ∵，则为偶函数，故B正确； ∵，， 令，当时，单调递减， 而在上单调递增，则在上单调递减，故D错误； ∵，，令， 当时，，则的最大值是，故C正确. 故选：D. 8．下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性，判断函数在区间上是否有最小值. 【详解】对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则是偶函数. 当时，， 在区间上单调递减，所以在区间上无最小值，故选项A错误； 对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是偶函数， 当时，，令， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 根据复合函数的单调性可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故选项B正确； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是奇函数，不符合题意，故选项C错误； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以函数为偶函数. 由，得，因为在区间上， 所以，所以在区间上单调递增， 当时，，但始终大于1，所以该函数在区间上没有最小值，故选项D错误. 故选：B 9．已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得函数在上为递增函数，且，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则满足，且， 当时，，因为都是增函数， 可得在上为单调递增函数，所以在上也是单调递增函数， 所以函数在上为单调递增函数，且，， 在不等式，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 10．已知函数，给出下列四个结论： ①，使得为偶函数； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用赋值法，结合奇偶性的定义可判断①；当时，分和两种情况讨论可得的单调性可判断②③；函数的零点个数即为函数与函数的交点个数可判断④. 【详解】对于①，当时，，又， 所以是偶函数，故，使得为偶函数，故①正确； 对于②③，当时， 若，， 当时，可得，所以，则， 又，则，又，则， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则， 所以函数在上单调递减， 综上所述：函数在上单调递减， 又当时，， 又，，所以不存在最小值，故②错误，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 即方程的根，即函数与函数的交点， 画出函数与的图像，如图所示： 由函数图像可知和至多有两个交点， 所以至多有两个零点，故④错误. 所以，正确命题的个数为2个. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据条件，利用对数函数的性质和根式有意义的条件，得，即可求解. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12．若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解. 【详解】由题意，可取， 函数是减函数，满足时，都有， 因为， 所以函数满足题意. 故答案为：.（答案不唯一） 13．已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为______． 【答案】1（答案不唯一，） 【分析】构造函数，将问题转化为函数在有一个零点问题求解. 【详解】令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 依题意，函数在有一个零点，因此，解得， 所以实数的取值范围是，的一个取值为1. 故答案为：1（答案不唯一，）. 14．设函数 ①若，则函数的零点个数有________个. ②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________. 【答案】 3 【分析】①，由来求得零点的个数. ②，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】①，当时，， 由解得； 由，解得或. 综上所述，的零点个数有个. ②，当时，在区间上单调递增， 值域为，无最值. 当时，， 开口向上，对称轴为，， 当时，， 则，①， 的开口向上，对称轴为， ，则①不成立. 当时，， 则，解得. 综上所述，. 故答案为：； 15．已知函数，给出下列四个结论： ①存在实数和，使函数没有零点； ②存在实数，对任意实数，函数恰有1个零点； ③存在实数，对任意实数，函数不会恰有2个零点； ④对任意实数和，函数不会恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】① ② ③ 【分析】根据图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断. 【详解】的零点个数即是直线和曲线的交点个数， 对于①，由于为偶函数，故图象关于轴对称，且， 当或时，此时直线和曲线没有交点；故①正确 ； 对于②，，当时，， 所以当， 故当 单调递减，当 单调递增， 故当时，此时 取极大值也是最大值， 故某一点处的切线的斜率最大值为， 当时，此时直线和曲线恰有1个交点；故②正确， 对于③，当时，当时，直线与无交点， 对任意的（），直线过原点，此时直线与只有一个交点， 存在实数，对任意实数，函数不会恰有2个零点，故③正确， 对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 已知函数，曲线在处的切线方程平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，得到函数在处的斜率，列方程求出的值； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为曲线在处的切线方程平行于轴， 所以，即，解得； （2）由（1）可知，所以， 要使该函数有意义，则，所以且， 所以函数定义域为 又，因为， 令，解得或（负值舍去）， 所以， 所以当时，，，单调递减， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 又极值点不能在区间端点处取得，所以该函数无极大值. 17．（13分） 已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 18．（14分） 已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ii）1个零点 【分析】（1）先对函数求导，再求出和的值，根据导数的几何意义得到切线方程，进而证明切线与直线平行. （2）（i）对函数求导，根据函数在区间上存在极值点，分析导数在该区间上的正负变化，确定的取值范围. （ii）结合（i）问中的取值范围，分析函数在区间上的单调性，判断零点个数. 【详解】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 19．（15分） 已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 20．（15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 【答案】(1)【小问1】 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的意义即可求出切线斜率，代入切点及斜率，点斜式可写出切线方程； (2)分别分析的单调性，求出两个函数单调递增区间的交集即可； (3)两个函数都有两个解，但其中一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。，利用公共解条件得到，可将问题转化为证明，确定公共解的范围，即可完成证明。 【详解】（1）易知，所以切点为， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为. （2）, 由于, 所以时，单调递增， 所以在上单调递增。 ，令，解得， 所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。 又所以， 即的最小值为. （3）因为的定义域为，的定义域为， 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。 因为， 所以，所以，所以或， 同理或， 因为，所以， 所以 所以，即， 可得， 因为，所以，所以， 因为是方程的正根， 令，所以当，所以， 当，因为，所以， 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解， 所以，即，证毕. 21．（15分） 已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3) 令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数，总有. 【分析】（1）求得，得到，结合对数函数的性质，即可得到与的大小关系； （2）若，得到恒成立；若，由（1）得，令，求得在递增，结合，分和，两种情况讨论，即可求得实数的取值范围； （3）令，利用导数求得的单调性和极小值，得到， 取，由（2）得到，令，求得，结合对数的运算性质和累加法，即可得证. 【详解】（1）由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. （2）由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. （3）略 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一章第三章（集合与常用逻辑用语、不等式，函数与基本 初等函数， 一元函数的导数及其应用) (综合训练) 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知命腰P.x∈R,-x+1>0。,则P为（) 3x∈R,x2-x+1>0 B3x∈R,r2-x+1<0 c.3r∈R,x2-x+1s0 D.VxER,x2-x+150 2.设类合4=x->,B=d-x-2≤0叫，则4nB=（) 116 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A（0) B.10) c.（-2,01 D.(-2,0) 3.若a,b∈R,且a>b,则下列说法一定正确的是() 11 A.d>b B.ab C.sina>sinb 。.回> 4.已知正数x,y满足2.4=4”，则2x+y的最小值是() 9 A.2N2 B.9 C.2 D.13 5.定义域为R的西数因，8()，。④、8（四与为函数”是“函数f()8(因为偶函数”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 条件 f(x)=acosx-x2 f(x) 6.已知函数 ,则 的极值点的个数情况可能为（) A.没有极值点 B.有无穷多个极值点 C.恰有2026个极值点 D.恰有2025个极值点 f(x)=l0g2 (1-x)+10g2(1+x) 7.已知函数 则下列说法错误的是() A.f)的定义域为-) B.f(为偶函数 c.f()的最大值是0 D.在(0，上单调递增 (0,+o) 8.下列函数中，是偶函数且在区间 上有最小值的是() A.y=c B.y=c C.y=o*-e 2 D.y=etex 2 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知四是定义在R上的奇函数，且满足当x>0时，儿)=3+，则不等式f--3)+4≤0的 解集为() A.（-∞，-2U1,+o) B.（0,-2,+o) c.【2 。.【2 10.已知函数)=血+1，给出下列四个结论： ①k<1,使得(x)为偶函数； ②k>1,使得f(存在最小值： ③k>1.fy0,+0) 在 上单调递减 ④k>0,使得(x)有三个零点： 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. (x)= Inx 11.函数 1-x2的定义域为一 12.若对任意%eR,函数四清足m@=f+),且当m>”时，都有fm)<f网，则函数（冈 的一个解析式是 13.已知五数国g,,g国子▣.当xe02)时，者自线y-四和yg的有个公共点，则交 数a的一个取值为 14设函数= 2-a,x<1, 4(x-a)(x-2a),x21. 316 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若a=1,则函数f()的零点个数有」 个 ②若函数f)有最小值，则实数a的取值范围是 15.已为玉数)4子6，给下列个结论： ①存在实数和b,使函数) 没有零点： ②存在实数人，对任意实数b,函数 恰有1个零点： ③存在实数b,对任意实数K,函数 (四不会恰有2个零点： ④对任意实数和b,函数/() 不会恰有3个零点 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.(13分) e 已知函数 () x+a,曲线y=f(x)在(，f(》处的切线方程平行于x轴 (1)求a的值： 2求函数f 的极值 17.(13分) f(x)=ar+lnx(a∈R) 已知函数 a若a=时，求曲线’9在= 处切线的斜率； 2求（的单调区间； 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 日版8=f-2x+2.者对在意e@+四，与作在e,使得G8g).米“的取值 18.(14分) 已知函数f=h0+-x+-公， 求证：曲线"=因在点（Qf(O》处的切线总与直线=1平行， a函数f代因在区间Q)上存在极值点， ()求k的取值范围： （①求因)在区同Qo)上的零点个数 19.(15分) 已知实数集1=a,aa,}n≥3)，定义p(0={a0,a,4,e4i≠} 考4={2.01,2，求0 2若(4）=06-8-12,12,18,24 ,求集合A: 3)若A中的元素个数为9，求(4) 的元素个数的最小值. 20.(15分) 已知函数()-兰8国点 1求曲线'=8（四在点68（©》处的切线方程； 尼已知（和8（闪在m四）上均单调递增，求实数m的最小值： 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B尼知方程1与8（闭-{的解集的并集为，}，且<名<5，求证： 1<xx<e3 21.（15分) 已知f)-=(x+lh(x+l)+asir 装-内在导) 处的切线为直线I,记的斜率为k,比较k与2的大小； 2)若对在意的∈(0，).fx)>0 恒成立，求“的取值范围； 证明：nl+号nt+71如<na+). 3 2 n+l n 616 第一章~第三章（集合与常用逻辑用语、不等式，函数与基本初等函数， 一元函数的导数及其应用）（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C A D D B C B 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11． 12．（答案不唯一） 13．1（答案不唯一，） 14． 3 15．① ② ③ 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为曲线在处的切线方程平行于轴， 所以，即，解得； （2）由（1）可知，所以， 要使该函数有意义，则，所以且， 所以函数定义域为 又，因为， 令，解得或（负值舍去）， 所以， 所以当时，，，单调递减， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 又极值点不能在区间端点处取得，所以该函数无极大值. 17．（13分） 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 18．（14分） 【详解】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 19．（15分） 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 20．（15分） 【详解】（1）易知，所以切点为， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为. （2）, 由于, 所以时，单调递增， 所以在上单调递增。 ，令，解得， 所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。 又所以， 即的最小值为. （3）因为的定义域为，的定义域为， 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。 因为， 所以，所以，所以或， 同理或， 因为，所以， 所以 所以，即， 可得， 因为，所以，所以， 因为是方程的正根， 令，所以当，所以， 当，因为，所以， 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解， 所以，即，证毕. 21．（15分） 【详解】（1）由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. （2）由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. (3) 令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数，总有. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $