湖南涟源市部分学校2027届高三上学期第一次月考数学试题

湖南省涟源市部分学校2027届高三第一次月考 数学试题 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1.已知集合A={xx2-3x-10<0},B={-2,-1,0,1,2,则AnB=() A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1} 2.己知c0sa=- 3且x为第二象限角，则sina+ana=（) A.42 B4V2 c&3 D 3 3 3 3.若实数xy满足x+2y=2xy,则x+2y的最小值为() A.4B.8C.4W2D.2W2 4.已知sin(a-)=寻，则cos(2a-)=() A.日B.-日C.号D.-月 5.函数f)=+n共在定义域上的奇偶性为() A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶D.非奇非偶 6.已知曲线f(x)=x3-2x2+1在点P处的切线平行于直线y=4x-3,则点P的坐标为 () A.(2,1)B.(-2,-15) C.()D.(2,1)或(-系-) 7.在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,1,则2b-c的取值范围 是() A.(-1,)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,3) 8.若函数f(x)=e-ax2在(0，+oo)上单调递增，则a的取值范围是() A.(-∞，]B.（-∞，e]C.(-∞，]D.(-∞，1] 1 二、多选题（共3题，每题6分，部分对的得部分分，选错得0分） 9.下列不等式恒成立的有() A.x+1≥2x>0) B.x+≤-2x<0)C.x2+1≥2xD.≥2 Vx2+2 10.关于函数f(x)=2sin(2x+),下列说法正确的有() A.函数fx)的最小正周期为mB.函数fx)的图象关于点(，0)对称 C.函数w在(-受，-)上单调递增D.将向右平移个单位得到y=2sn2x 11.已知函数f()=,则下列结论正确的有() A.fx)的极大值为B.x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(5)D.若f(x1)=f(x2),x1<x2,则2>x1+x2 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12.已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2)，则a+b= 13.在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=60°，D为BC中点，则AD的长度为 14若关于x的不等式e+x+2n≥r2+hm恒成立，则实数m的最大值为 三、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C对边分别为ab,c,已知 bcos C+ccos B=2acos A (1)求角A的大小：(7分) (2)若=2，△ABC的面积为V3,求b+c的值。(6分) 16.(本小题满分15分)己知函数f(x)=e*(x2-ax+1),a∈R (1)讨论fx)的单调性；（9分) (2)若x)在x=1处取得极值，证明：当x>0时，f(x)≥x+1。(6分) 17.(本小题满分15分)己知函数f(x)=2V3 sinx cosx+2cos2x-1。 (1)求x)的最小正周期和单调递增区间：(8分) (2)当x∈[0，时，求x的最大值和最小值，以及对应的x的值。(7分) 3 18.(本题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD, ∠DAB=∠PCB=609,CD=1,AB=3,PC=23,平面PCB⊥平面ABCD,F为线段BC的中点， E为线段PF上一点. (1)证明：PF⊥AD: (2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 4 19(本题清分17分)已知常数a>0,函数f)分式-m-2dn (1)若x>0,f(w)>4a2,求a的取值范围； （2)若x,、x2是fx)的零点，且≠七，证明：x1+x2>4a 4湖南省涟源市部分学校2027届高三第一次月考 数学试题答案 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1.己知集合A={xx2-3x-10<0},B={-2,-1,0,1,2,则AnB=(C) A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1 2.已知c0sa=- 且x为第二象限角，则sin+tana=(A) A.4V2 B c&3 D22 3 3 3.若实数xy满足x+2y=2xy,则x+2y的最小值为(B) A.4B.8C.4W2D.2W2 4.已知sin(a-君=}则cos(2a-)=(A) A.日B.-日C.号D.- 5.函数f)=+n共在定义域上的奇偶性为（A) A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶D.非奇非偶 6.己知曲线f(x)=x3-2x2+1在点P处的切线平行于直线y=4x-3,则点P的坐标为 (C) A.(2,1)B.(-2,-15) C.()D.(2,1)或(-系-) 7.在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,1,则2b-c的取值范围 是(C) A.(-1,3)B.(0,2) C.(-1,2)D.(0,3) 8.若函数f(x)=e-ax2在(0，+oo)上单调递增，则a的取值范围是(A) A.(-∞，]B.（-∞，e]C.(-o,]D.（-o,1] 二、多选题（共3题，每题6分，部分对的得部分分，选错得0分） 9.下列不等式恒成立的有(ABC) A.x+≥26x>0)B.x+≤-2(x<0)C.x2+1≥21xD.23≥2 √Jx2+2 10.关于函数f)=2sin(2x+到) 下列说法正确的有(AC) A.函数fx)的最小正周期为π B.函数)的图象关于点（石，0）对称 C.函数w在(-铝-)上单调递增 D.将fx)向右平移”个单位得到y=2sin2x 3 1.已知函数f)=:,则下列结论正确的有(AC) A.fx)的极大值为 B.x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(3)D.若fx1)=f(x2),x1<x2,则2>x1+x2 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12.已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2)，则a+b=_3 13.在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=60°，D为BC中点，则AD的长度为 V19 2 14,若关于x的不等式e+x+2h】≥m2+m恒成立，则实数m的最大值为 c -4 【解析】显然首先m>0,x>0, e+r+2hl≥r2+lu台e+x≥2+lm-2n-ele+h(r2), 令f(x)=e+x,(x>0),则f'(x)=e+1>0,(x>0),所以f(x)在定义域内严格单 调递增， 所以若有f(x)≥f(h(x2)成立，则必有x≥h(x2)=lnm+2nx, 即nm≤x-2nx对于任意的x>0恒成立， 令8（四=x-2血x(>0),则g(四）=1-2--2 当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x>2时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以当x=2时，g(四取得最小值g(2)=2-2n2=h二， 4 从而nms h,所以u的取值范围是ms 4 ,即实数m的最大值为 e2 4 三、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C对边分别为4b,c,已知 bcosC+ccos B=2acos A (1)求角A的大小；(7分) (2)若=2，△ABC的面积为V3,求b+c的值。(6分) 解：(1)由正弦定理，得sin B cos C+sinCcos B=2 sin A cos A,(3分) 左边为sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,(5分) 因为sinA≠0，所以2cosA=1,即cosA=又0AK元，得A=行。(7分) (2)由面积公式S=bcsinA=V3,得bc=4,(9分) 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A=(b+c)2-3bc,(11分) 代入a=2,bc=4,得4=(b+c)2-12,得b+c=4。(13分) 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ex(x2-ax+1),a∈R （1)讨论)的单调性；(9分) (2)若)在x=1处取得极值，证明：当x>0时，f(x)≥x+1。（6分) 解： f'(x)=er(x2-ax+1)+ex(2x-a)=e*(x2+(2-a)x+1-a)=e*(x+1-a)(x+1) (1)当a-1>-1→a>0时，函数f(x)在(-∞，-1)，(a-1,+∞)上单调递增， 在(-1，a-1)上单调递减： (2)当a=0,函数f(x)在R上单调递增 (3)当a-1<-1→a<0时，函数f(x)在(-∞，a-1),(-1,+∞)上单调递增， 在(a-1,-1)上单调递减： ②fx)在x=1处取得极值，f(1)=0→a=2→f(x)=e'(x2-2x+1)≥(x+1)x-1)2≥ x+1. 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2V3 sinx cosx+2cos2x-1。 (1)求x)的最小正周期和单调递增区间：(8分) (2)当x∈[0，习时，求x)的最大值和最小值，以及对应的x的值。(7分) 解：①f()=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+g),T=π 2km-≤2x+名≤2m+ka7)2m-号≤2x≤2m+背m-背≤x≤km+若 单调递增区间为(kπ-子，km+),kez ②xe[o,引→2x+e[, “2x+→x时有最大值2，当x时，有最小值-1. 18.(本题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD, ∠DAB=∠PCB=60°，CD=L,AB=3,PC=√3，平面PCB⊥平面ABCD,F为线段BC的中点， E为线段PF上一点. (1)证明：PF⊥AD: 2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为V万 解：(1)过D作DM⊥AB,垂足为M, 由题意知：BCDM为矩形，可得AM=2,BC=DM=1以 =2W5, tan60° 由PC=2√5，∠PCB=60°，则△PBC为等边三角形，且F为线段BC的中点，则PF⊥BC, 又因为平面PCB⊥平面ABCD,平面PCBO平面ABCD=BC,PFC平面PCB, 可得PF⊥平面ABCD,且ADC平面ABCD, 所以PF⊥AD (2)由(1)可知：PF⊥平面ABCD, 取线段AD的中点N,连接NF,则FN∥AB,N=2, 又因为AB⊥BC,可知NF⊥BC, 以F为坐标原点，NF,FB,FP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， B 则A3,3,0,D1,-5,0)P0,0,3B05,0), 因为E为线段PF上一点，设E(0,0,a),a∈[0,3]， 可得D1=(2,25,0,DP=(-1,5,3),BE=(0,-5,a, iDA=2x+2v3y=0 设平面PAD的法向量i=(x,y,),则 i.DP=-x+V3y+3:=01 令x=-3,则y=V5,:=-2,可得i=（-3,V5,-2), ni.BE 由题意可得：cosi,BE 2a+3=V万 例BE 4×V3+a2 4 整理得a2-4a+4=0,解得a=2, 所以当EF=2,直线BE与平面PAD夹角的正弦值为V 19(本思满分17分)已知常数a>0,两数f)式-x-2dnx (1)若x>0,f()>4a,求a的取值范围： (2)若x、x,是f(x)的零点，且≠6，证明：x+x3>4a 解(1)由已知得f()的定义域为{x|x>0), 且f)）=x-a-2n_P-x-2mg-2@x+0 a>0, ∴.当x∈(0,2a时，f"(x)<0,即f6x)在(0,2a）上单调递减： 当x∈(2a,+o)时，f'(x)>0,即f(x)在(2a+w)上单调递增 所以f(x)在x=2a处取得极小值即最小值， ∴f(x)n=f(2a）=-2a2h(2a), .Vx>0.f(x)>-4af(x)in =-2a In(2a)>-4a(2a)<he, 0<a<号，即a的取值跑国为Q) e （2)由（1)知，fx)的定义域为{x|x>0}, fx)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+o)上单调递增，且x=2a是fc)的极小值点. 、x,是fx)的零点，且5≠x, x、x,分别在(0,2四、(2a,+w)上，不妨设0<x<2a<x, 设F(x)=f(x)-f(4a-x), 则F(d=-2@0c++(2a-05a-x)_2a(x-2m Aa-x x(x-4a) 当x∈(0,2a时，F'(x)<0,F'(2a)=0,即F(x)在(0,2a]上单调递减. :0<x<2a,.F(:)>F(2a)=0,即f(x)>f(4a-x), f(:)=f(x)=0,∴f(s)>f(4a-), x<2a,.4a-x>2a, 又6>2a,f(x)在(2a,+0)上单调递增，∴.x3>4a-,即x+x2>4a.