湖南宁远一中崇德学校2026-2027学年高三上学期9月模拟测试数学试题

高三数学模拟试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分． 1. 已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 4. 在平行四边形中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（ ） A. 8.8升 B. 9升 C. 9.1升 D. 9.2升 7. 已知，，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 C. 已知 关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10. 已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列的通项公式为 C. D. 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到渐近线的距离等于 B. 内切圆的圆心在直线上 C. 为定值 D. 若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点， 则___________． 13. 若函数是偶函数，则__________． 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有______种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分13分）在锐角 中，，， （1）求角A； （2）求 的周长l的范围. 16. （本题满分15分）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 17. （本题满分15分）某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． （1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． （2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 18. （本题满分17分）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 19. （本题满分17分）已知函数. （1）求的单调区间； （2）设 ，设对于每个正整数，方程 的正数根为. ①证明： ②证明：. 答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分． 1. 已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 【答案】C 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 4. 在平行四边形中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】在平行四边形中，为中点，则， 因为，所以， 若，则，所以. 5. 已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【详解】令，则展开式中各项系数和为，因为，所以， 当，即时等号成立，所以展开式的各项系数之和的最小值为16. 6. 《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（ ） A. 8.8升 B. 9升 C. 9.1升 D. 9.2升 【答案】B 【详解】设第节竹筒盛米升，则数列为等差数列，，设公差为， 则有，解得，所以， 7. 已知，，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 【答案】C 【详解】对于，因为，，所以， 则，当时取等号，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时等号成立， 与已知矛盾，故等号不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，则，故C正确； 对于D，，取接近，则接近，此时接近，不满足大于，故D错误 故选：C 8. 在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上，所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 C. 已知 关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5， 故A正确； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B正确； 对于C，样本点的残差绝对值为，故C错误； 对于D，新样本数据的平均数为，方差为，故D正确. 10. 已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列的通项公式为 C. D. 【答案】BC 【详解】由题意，设等差数列的公差为，， 由得，即，① 由，，成等比数列，得，即即，② 由①②可得，，因此的通项公式为， 故选项A错误，选项B正确； ，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到渐近线的距离等于 B. 内切圆的圆心在直线上 C. 为定值 D. 若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 【答案】ABC 【详解】对于A选项，由题意可知，则渐近线方程为，焦点到渐近线的距离等于， 同理到渐近线的距离为； 对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点， 根据切线长定理得 则 ， 又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即， 点P到的距离， 同理点P到的距离， 则，故C选项正确； 对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点， 则___________．【答案】 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即，圆心到直线的距离为， 故.其中为圆的半径. 13. 若函数是偶函数，则__________． A. 0 B. C. D. 【答案】 【详解】因是偶函数，则， 即，也即函数是偶函数，则， ，则得，所以， 则. 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有______种． 【答案】72 【详解】由，得 ， 即 ，设， 则 ，设另一个数为，显然，， 当时，三个数为，，，对应，，，有种可能； 当时，三个数为，，，对应，，，有种可能； 当时，三个数为，，，对应，，，有种可能； 当时，三个数为，，，对应，，，有种可能， 所以，一共有 种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分13分）在锐角 中，，， （1）求角A； （2）求 的周长l的范围. 【小问1详解】∵，， 所以，所以， 因为，所以， ，所以. 【小问2详解】，所以,所以，， 所以, 因为 是锐角三角形，且， 所以，解得，所以，所以， 所以. 16. （本题满分15分）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 【详解】（1）证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱柱中，由，是的中点， 则， 设平面的一个法向量为，由，则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为 ，所以， 所以平面平面. （2）设，则， 设此时平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面与平面所成夹角为，且 即， 即，解得：或（舍去）， 所以平面的一个法向量为， 又点，则， 所以点到平面的距离：. 17. （本题满分15分）某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． （1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． （2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 【小问1详解】 在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件“该学生来自（1）班”，事件“该学生的数学成绩低于135分”，则由题意得． ， 该学生为（1）班学生的概率． 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为，则， ， ． 18. （本题满分17分）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【小问1详解】 因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到，解得，所以抛物线的标准方程. 【小问2详解】 （i）证明：由题可设，， 由，消得到，则，， 又，所以，令，得到， 所以，又轴，则，得到， 所以，解得，则，所以直线过定点. （ii）因为在抛物线上，则，解得，所以，由（i）知， 又点为抛物线的准线与轴的交点，则，又的面积与的面积相等， 则到直线的距离相等，所以，即，解得， 所以直线的方程为或. 19. （本题满分17分）已知函数. （1）求的单调区间； （2）设 ，设对于每个正整数，方程 的正数根为. ①证明： ②证明：. 【小问1详解】 因为函数，所以 当 时 ，单调递减； 时 ，单调递增， 故的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 【小问2详解】 ①因为 ，所以和的单调性一致，所以在 上单调递增， 构造函数 ，则 ， 当时， ，因为 ，所以单调递增， 所以 ，故 ，则在 上单调递增， 故 ，即 ， ，则 , 又因 在 上单调递增，故得 ， 即 得证； ②由①知，对 ， ，故 ，因此， 先证明不等式 ， 设 ，则 当 时， ， 在 上单调递增， 即当 时，，即 ，即 令 ，得 ，因此, 而 , 所以，所以，故得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $