湖南永州市部分学校2026-2027学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

湖南永州市2026-2027学年高三上学期第一次模拟考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 已知复数 ,则 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.抛物线 上与焦点的距离等于 3 的点的横坐标是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.在 中, ,则 A. B. C. D. 5.已知数列 的前 项和为 ,若 ,则 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 6.直线 与圆 相交所得的弦长为 ,则 A. 1 B. C. 2 D. 3 7.已知一组数据为1,2,3,4,6,若 为这组数据的上四分位数,则 的展开式中 的系数为 A. 6 B. 3 C. 1 D. -10 8.在三棱锥 中, ,若该三棱锥外接球的表面积为 ,则直线 与平面 所成角的正弦值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数 的最小正周期为 ，则下列选项正确的有 A. B. C. 在 上单调递增 D. 函数 的图象关于点 对称 10.设 为椭圆 的两个焦点, 为 的上顶点,点 在 上,以下选项正确的有 A. 若 ,则 B. 若 ,则 的最大值为 2 C. 若存在点 满足 ,则 的离心率的取值范围是 D. 若任意一点 都满足 ,则 的离心率的取值范围是 11.函数 的定义域是 ,对于 ,定义集合 ,以下选项正确的有 A. 若 ,则 B. 若 ,且 ,则 C. 若 的定义域为 ,对任意 都有 ,则 是偶函数 D. 若 ,对任意 都有 ,则 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线 在点 处的切线方程为________. 13.某数学竞赛题库有 两类试题, 类试题有6000道, 类试题有4000道.某学生解答 类试题正确率为 90%,解答 类试题正确率为 70%.若从题库中随机抽取一道试题,则该学生解答正确的概率是_______. 14.已知 的周长为 12，且 ，则 面积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.记 为等差数列 的前 项和,已知 . (1)求数列 的通项公式； (2)数列 的前 项和为 ,求证: . 16.盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意抽取 3 张,每张卡片被取出的可能性都相等,记 为抽取出的 3 张卡片上的最小数字. (1)求抽取出的 3 张卡片中有 2 张卡片上的数字是 1 的概率. (2)求随机变量 的分布列和数学期望. 17.如图,四棱锥 中,侧面 底面 ,底面 为平行四边形, . (1)求证: . (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 18.已知双曲线 的两个焦点分别为 ,其渐近线方程为 , 过点 且斜率为 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点. (1)求 的标准方程. (2)若 不垂直 轴,直线 与双曲线的另一个交点为 ,且 ,求 的取值范围. (3)若 垂直 轴,点 在 上，点 在 上，是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上? 若存在,求点 的纵坐标,若不存在,请说明理由. 19.已知函数 . (1)当 时，求 的单调区间. (2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. (3)若 存在两个极值点 ，且 ，求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南永州市2026-2027学年高三上学期第一次模拟考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】. 2. 已知复数 ,则 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】共轭复数为 ,由复数模的定义, . 3.抛物线 上与焦点的距离等于 3 的点的横坐标是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】由 得 ,焦点为 ,准线为 .设所求点为 ,由于 在抛物线上, . .由 得 . 4.在 中, ,则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由正弦定理, ,所以 .在 内, 可能为 或 .但 ,所以 ,排除 ,得到 . 5.已知数列 的前 项和为 ,若 ,则 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】. 6.直线 与圆 相交所得的弦长为 ,则 A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】圆心为 ,半径为 .圆心到直线的距离为 .圆心到弦的垂线平分弦,故 , 即 .解得 ,由 知 . 7.已知一组数据为1,2,3,4,6,若 为这组数据的上四分位数,则 的展开式中 的系数为 A. 6 B. 3 C. 1 D. -10 【答案】A 【解析】数据已经从小到大排列.按百分位数的计算规则, 不是整数,上四分位数取第 4 个数据, 即 .在 中, 项为 ,故系数为 6. 8.在三棱锥 中, ,若该三棱锥外接球的表面积为 ,则直线 与平面 所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】法一：设 .在 中,由余弦定理, ,故 . 舍去负根,得 . 取 ,设 .三棱锥不退化,故 .设球心为 ,球半径为 , 由 得 .由于 ,球心的前两个坐标均为 .再由 ,知其第三个坐标为 .选择 轴正方向,可设 . 由 及 ,相减得到 ,从而 . 记 .由于 ,计算得 . 点 在球面上,故 . 利用 化简,得 . 将 代入 ,得到 ,即 . 由于 ,得 . 设直线 与平面 所成角为 .因 在底面上, . 法二：设 为 中点, 分别为 与 的外心. 由直角三角形性质, 是 中点, . 由正弦定理, 的外接圆半径为 的外接圆半径同样为 . 因此 . 球心 到公共弦中点 的距离满足 . 由于 分别垂直于两个三角形所在平面,在垂直于 且经过 的截面内, . 于是 ,同理 . 两平面不同,故截面中的两条射线 与 分居 两侧,夹角为 ; 两平面的夹角的正弦值为 .由面积公式,点 到直线 的距离为 . 于是点 到底面 的距离为 ,仍有 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数 的最小正周期为 ，则下列选项正确的有 A. B. C. 在 上单调递增 D. 函数 的图象关于点 对称 【答案】ACD 【解析】由 ,得 ,故 正确. 代入 ,有 ,故B错误. 当 时, .正弦函数在该区间上严格递增,且相位随 递增,故 正确. 取 ,则 .对任意 ,有 ,故图象关于 中心对称, D正确. 10.设 为椭圆 的两个焦点, 为 的上顶点,点 在 上,以下选项正确的有 A. 若 ,则 B. 若 ,则 的最大值为 2 C. 若存在点 满足 ,则 的离心率的取值范围是 D. 若任意一点 都满足 ,则 的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【解析】设 ,焦点为 ,离心率 ,上顶点为 . 椭圆上点到一个焦点的距离介于 与 之间. 时 ,故 , A正确. 由椭圆定义, .基本不等式给出 .当 为上、下顶点时,两焦半径均为 ,等号可以取得.故 时最大值为 2, B 正确. 设 ,则 .因此所求条件等价于 .由椭圆方程, ,其值域为 .由于 ,存在所需点当且仅当 ,即 ,等价于 .正确范围应为 ,故C错误. 由 ,得 .记 ,则 . 若 ,这一二次函数在 上单调不增,最大值在 处取得,为 4,满足题意. 若 ,顶点 位于 ,最大值为 ,不满足题意. 所以条件等价于 ,即 , D正确. 11.函数 的定义域是 ,对于 ,定义集合 ,以下选项正确的有 A. 若 ,则 B. 若 ,且 ,则 C. 若 的定义域为 ,对任意 都有 ,则 是偶函数 D. 若 ,对任意 都有 ,则 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 ,故 , A正确. 由于 严格递减, 等价于 ,所以 .当 时,实际有 , B错误. 恒有 .由 ,得 ,所以 . 同理, ,故 .两式合并得 .定义域为 ,因此 是偶函数, C正确. 若对任意 有 ,则 推出 ,即 ,所以 在 上单调不减. 反之,若 单调不减,则 ,显然有相应集合包含.因此二者等价. 函数可导,故需要且只需要 对一切实数 成立.若 ，取负数 且绝对值足够大，则 为很大的正数,而 接近 0,从而 ,矛盾.所以 .当 时,对于 ,有 ,自动成立; 对于 ,条件等价于 .令 ,则 ,所以 在 上递减、 在 上递增,最小值为 .故 的实际范围为 , D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线 在点 处的切线方程为________. 【答案】 【解析】函数的导数为 ,在 处的导数为 2, 即 . 13.某数学竞赛题库有 两类试题, 类试题有6000道, 类试题有4000道.某学生解答 类试题正确率为 90%,解答 类试题正确率为 70%.若从题库中随机抽取一道试题,则该学生解答正确的概率是_______. 【答案】0.82 【解析】随机抽到 类、 类试题的概率分别为 .解答正确可以分成 “抽到 类且答对” 与 “抽到 类且答对” 两个互斥事件.因此所求概率为 . 14.已知 的周长为 12，且 ，则 面积的最大值为________. 【答案】 【解析】设 分别为角 的对边. 由 ,有 . 又 ,原条件可化为 . 三角形中 ,故 , . 由正弦定理与和差化积, . 所以 .再用周长条件 ,得 . 记面积为 .由余弦定理与 ,得到 . 得 .得 ，所以 .当且仅当 时取等号,此时三边 可构成三角形,且满足 . 法二：由前述转化得半周长 .海伦公式给出 . 由于 且两因子均为正,基本不等式给出 ,故 ,即 . 等号当且仅当 成立. 法三：固定 ,条件 表明动点 位于以 为焦点的椭圆上.该椭圆长半轴为 ,半焦距为 ,短半轴为 .因此点 到直线 的距离最大为 ,而积最大为 .当 位于短轴端点时, ,与前两种方法的取等构型一致 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.记 为等差数列 的前 项和,已知 . (1)求数列 的通项公式； (2)数列 的前 项和为 ,求证: . 【解析】(1)设首项为 、公差为 .由 得 . 又 ，所以 .联立可得 , 因此 . (2)由(1)知 . 于是 . 因为 ,所以 ,故 . 16.盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意抽取 3 张,每张卡片被取出的可能性都相等,记 为抽取出的 3 张卡片上的最小数字. (1)求抽取出的 3 张卡片中有 2 张卡片上的数字是 1 的概率. (2)求随机变量 的分布列和数学期望. 【解析】(1)把8张实物卡片视为不同对象,等可能抽法共有 种. 抽到两张 1,必须把这两张全部抽出,第三张从其余 6 张中选取,故概率为 . (2)由于数字4的卡片只有 2 张,不可能抽出 3 张后最小值仍为 4,所以 的可能取值只有1,2,3. 当 时, 至少抽到一张 1 .用反面计数, . 当 时,三张均来自2,3,4对应的 6 张卡片,且不能全来自 3,4 对应的 4 张卡片. 因此 . 当 时,三张均来自 3,4 对应的 4 张卡片.因 4 只有两张,这时必至少包含一张 3, 故 . 分布列为: X 1 2 3 P 数学期望 . 17.如图,四棱锥 中,侧面 底面 ,底面 为平行四边形, . (1)求证: . (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【解析】(1)取 中点 .由 ,知 . 又平面 平面 ,两平面的交线为 ,且 在平面 内,所以 平面 . 在底面内,从 向直线 作垂线, 垂足到 的距离为 ,所以该垂足恰为 ,即 ,且 . 直线 同时垂直于平面 内相交的两条直线 、 ，故 平面 . 因为 在该平面内，所以 . (2)由 底面,且 ,在直角三角形 中有 . 以 为原点, 分别为 轴正方向,得 .由平行四边形性质, . 平面 ,取 . 可取法向量 , 因为 且 . 对平面 ,取 与 . 可取法向量 . 计算得 . 平面夹角取 内的角,故其余弦值为 . 18.已知双曲线 的两个焦点分别为 ,其渐近线方程为 , 过点 且斜率为 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点. (1)求 的标准方程. (2)若 不垂直 轴,直线 与双曲线的另一个交点为 ,且 ,求 的取值范围. (3)若 垂直 轴,点 在 上，点 在 上，是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上? 若存在,求点 的纵坐标,若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由焦点可知 ,故 .渐近线为 ,与 比较得 .所以 ,双曲线标准方程为 ,即 . (2)直线 过 ,故 .与 联立,消去 ,得 . 当 时方程降为一次,直线只有一个有限交点,不符合题设的两个交点,故 . 当 时,判别式为 ,确有两个不同交点. 本问 不垂直 轴,即 不是水平直线,因此还要求 . 设 .因为双曲线关于原点中心对称,直线 与双曲线的另一交点为 . 由韦达定理, .又 , 故 . 直线 的斜率为 ,所以 . 令，题设等价于.当时，得到，即，故 . 当 时,得到 ,即 ,故 . 因此 . (3)此时 .设 ,则 . 因为 是按顺序命名的矩形,平行四边形关系给出 . 邻边垂直等价于 ,即 ,记为①. 点 均在双曲线上,分别满足 与 . 两式相减,得 . 利用①代入 ，得到 ，记为②. 由②得 .再由 ，得 . 此时 ， ， ，符合题意. 由①、②， ，可约去 ，得 ，故 . 结合 ，得到 ， 所以 . 还要检验这两个根能否实现.两根均满足 ; 取 ， 则①、②与 同时成立，因此 也在双曲线上.两个邻边均非零且互相垂直，构成非退化矩形. 19.已知函数 . (1)当 时，求 的单调区间. (2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. (3)若 存在两个极值点 ，且 ，求证: . 【解析】(1)函数定义域为 .当 时, . 分母恒正.于是当 时 ; 当 时 ; 当 时 .所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .端点处导数为 0,亦可将可取的有限端点并入相应单调区间. (2) 对一切 成立.取 , 得 ,所以必须有 . 若 ,则对 ,因此 .必要性与充分性均已证明, 故 . (3)一般地, .若 ,则分子在 时严格为正,不可能有两个极值点. 因此必须 .极值点满足 .要有两个不同正根,必须 ,即 . 由韦达定理, , 故 .令 ,则 ,且 . 由于 ,有 . 同时, ,且 . 所以只需证明 ,其中 . 令 .有 ,且 . 因此 .代入分子并除以正数 ,得 . 又由 ,得到 .从而 . 连结上述不等式,即得 ,证毕 . 学科网（北京）股份有限公司 $