3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学3.1.2椭圆的简单几何性质同步训练 一、单选题： 1.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则(    ) A. B. C. D. 2.已知椭圆：上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 3.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知椭圆有两个顶点在直线上，则此椭圆的焦点坐标是(    ) A. B. C. D. 6.设椭圆，的离心率分别为，若，则(    ) A. B. C. D. 7.若椭圆的弦的中点则弦长(    ) A. B. C. D. 8.曲线与的关系是(    ) A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有相等的焦距，不同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 以上都不对 二、多选题： 9.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点异于左，右顶点，且面积的最大值为，则下列结论正确的是(    ) A. 椭圆的焦距为 B. 椭圆的短轴长为 C. 的周长为 D. 椭圆上存在个点，使得 10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点距离太阳最近的点与太阳中心的距离为，远日点距离太阳最远的点与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则(    ) A. 轨道的焦距为 B. 轨道的离心率为 C. 轨道的短轴长为 D. 当越大时，轨道越圆 三、填空题： 11.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的左焦点，则           ． 12.过椭圆右焦点的最短弦长为          ． 13.我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”若椭圆：，则以椭圆的焦点为顶点的相似椭圆的标准方程为          ． 14.已知椭圆的两个焦点为，点，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为          ． 四、解答题： 15.已知椭圆：的焦距为，离心率为． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且． 求的方程． 若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点． 高二数学3.1.2椭圆的简单几何性质答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的顶点、长短轴，椭圆的焦点、焦距，属于基础题． 依题意可得，解得即可． 【解答】 解：因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以， 又， 则． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故AF，即平行四边形为矩形， 因此， 在中，， 设，则， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：根据椭圆方程的特点，可得且，故B，C错误； 当时，点在椭圆内部， 所以直线与椭圆必有公共点，故 A错误． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点， 设  ，  ，则  ，   在  中，， 根据余弦定理，得  ，配方得：  ， 所以  ，所以  ， 当且仅当  时，等号成立，即  ， 故  ，解得  ． 故选C． 5.【答案】  【解析】在中，由得，由得，则该直线交轴于点，交轴于点， 依题意得，，则，显然，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆的焦点坐标是． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆中离心率有关的计算，属于基础题． 由椭圆的离心率，椭圆的离心率，利用求出即可． 【解答】 解：易得，，， 结合，得， 解得． 故选：   7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的弦长，属于一般题． 设，，先求出，得出直线的方程，进而可得结果． 【解答】 解：设，， 因为为的中点， 所以，， 又，两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 由题意可知 所以， 所以， 即有直线的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或， 即有，， 则． 故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的性质，属于基础题． 根据椭圆方程求出焦距，结合焦点所在的位置求解即可． 【解答】 解：曲线的焦距为， 而曲线 表示的椭圆的焦距也是， 但由于焦点所在的坐标轴不同， 故选B． 9.【答案】  【解析】由题意，当为椭圆上顶点或下顶点时，的面积最大，此时，结合，，解得，，，则椭圆的焦距为，故A错误 椭圆的短轴长为，故B正确 的周长为，故C正确 假设椭圆上存在点，使得，设，，则，，解得，即为椭圆上顶点或下顶点时，满足题意，故D错误． 10.【答案】  【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得，，故，， 对于，焦距，故A错误 对于，因为离心率，故B正确 对于，短轴长，故C正确 对于，离心率，当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确故选BCD． 11.【答案】  【解析】设椭圆右焦点为，由椭圆的对称性知，，，，原式． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系的相关知识，试题难度一般． 根据题意得出过焦点的弦中当弦与长轴垂直时，弦长最短，当时弦与长轴垂直，代入即可得出从而得出最短弦长． 【解答】 解：由方程知，， 所以， 因为在过焦点的弦中，当弦与长轴垂直时，弦长最短， 所以设弦的端点为，， 则， 代入方程可得， 所以弦长． 故答案为． 13.【答案】  【解析】椭圆的离心率为 设椭圆的标准方程为， 则， 椭圆的半焦距，， 即椭圆的标准方程为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题． 根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有四边形的面积为，再根据椭圆定义，列出不等式，转化求解离心率的范围即可． 【解答】 解：因为，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形为矩形，并且， 设，， 由椭圆的定义可得， 所以， 因为， 所以， 因为四边形的面积为， 的面积，可得， ， 可得， 又，可得，可得， 所以． 故答案为：． 15.【答案】解：Ⅰ设椭圆的半焦距为， 由题意可得，，解得， ， 则椭圆的方程为； Ⅱ过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 设，的横坐标分别为，，可得，， 则．  【解析】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． Ⅰ设椭圆的半焦距为，由题意可得，运用离心率公式可得，由，，的关系可得，进而得到椭圆方程； Ⅱ求得直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 16.【答案】解：由题意可知： 故椭圆的方程为 由过且垂直轴的直线平分可得： 设显然直线的斜率存在，直线的方程为：， 联立 则 由可得： 即 即 化简整理可得：， 故直线的方程为：， 故直线过定点．  【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了直线过定点的问题，考查了推理能力与分析能力，解题的关键是要有较强的运算求解能力，属于中档题． 由题意，可得，再结合及，，的关系列出方程组，解方程组求出，，则可得椭圆的标准方程； 由知，的坐标为，显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，设点，，联立直线与椭圆的方程消元后得到：利用韦达定理及可得：化简整理可求出，则可得直线的方程， 即可得到定点坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $