3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 椭圆几何性质同步练习通过基础选择、提升多选填空、综合解答的三层设计，覆盖定义、方程、离心率等核心知识点，从单一运算到综合应用逐步进阶，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义、标准方程、离心率计算|8道选择题聚焦基础概念，如点与椭圆位置关系、方程参数范围，培养运算能力| |能力提升|离心率综合应用、直线与椭圆位置关系|3多选（如焦距多解）、3填空（如面积计算），发展推理能力与几何直观| |综合应用|椭圆方程求解与最值问题|2道解答题（求方程、斜率关系、面积最值），体现模型观念与应用意识|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南益阳高二上期中）设椭圆的离心率分别为．若，则（） A. B. C. D. 2.（2025-2026·湖南岳阳高二下期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（） A. B. C. D. 3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.（2025-2026·吉林高二上期中）点与椭圆的位置关系为（） A.在椭圆上 B.在椭圆内 C.在椭圆外 D.不能确定 5.（2025-2026·广西钦州高二上期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ） A. B. C. D. 6.（2025-2026·湖南高二上期末）椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 7.（2024-2025·四川高二期中）椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8．设F是椭圆＋＝1的右焦点，点P是椭圆上的动点，点A是直线3x－4y－12＝0上的动点，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A. B.5 C.－1 D.4 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）椭圆的焦距为，则的值可能是（） A.12 B.10 C.6 D.4 10.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 11.（2024-2025·湖南娄底高二下期中）已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南高二上期末）直线与椭圆交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为                   . 13.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为                   . 14.（2024-2025·江西抚州高二上期中）若椭圆的离心率为，则                   . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南娄底高二下期末）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 16.（2024-2025·湖南岳阳高二上期末）已知椭圆：的焦距为8，离心率为. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 直线与C交于两点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南益阳高二上期中）设椭圆的离心率分别为．若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于椭圆，其离心率满足. 对于椭圆，其离心率满足. 已知，所以. 即. 解得，又，所以. 2.（2025-2026·湖南岳阳高二下期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，即，由，，得. 设，则，在中，，，. 由余弦定理得，代入化简得，解得，即. 答案为D. 3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】A 【解析】设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得，2a＝4，a＝2， ∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|＝3， ∴将x＝c代入＋＝1得y＝±， ∴|AB|＝＝3， ∴b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1. 4.（2025-2026·吉林高二上期中）点与椭圆的位置关系为（） A.在椭圆上 B.在椭圆内 C.在椭圆外 D.不能确定 【答案】B 【解析】由椭圆方程,将点代入左边得. 因为,故点在椭圆内. 故选:B. 5.（2025-2026·广西钦州高二上期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆,得. 由得; 由得. 故的取值范围是, 即. 故选:A 6.（2025-2026·湖南高二上期末）椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为椭圆方程为, 所以,由得, 故, 则离心率. 7.（2024-2025·四川高二期中）椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知椭圆，，，. 因为是，的等比中项， 所以，即. 展开得，即. 所以，又，所以. 故选：B. 8．设F是椭圆＋＝1的右焦点，点P是椭圆上的动点，点A是直线3x－4y－12＝0上的动点，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A. B.5 C.－1 D.4 【答案】C 【解析】由题可知，a＝2，F(1,0)．设椭圆的左焦点为F1，则F1(－1,0)．由椭圆定义得|PF|＋|PF1|＝4，则|PA|－|PF|＝|PA|－(4－|PF1|)＝|PA|＋|PF1|－4，又将椭圆方程与直线方程联立有消y得7x2－24x＋32＝0，其Δ<0，故直线与椭圆相离．如图，要使|PA|＋|PF1|－4最小，只需保证F1P与直线3x－4y－12＝0垂直即可，此时F1，P，A三点共线，则|PA|＋|PF1|≥|F1A|≥＝3，故|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF1|－4≥3－4＝－1.故|PA|－|PF|的最小值为－1. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）椭圆的焦距为，则的值可能是（） A.12 B.10 C.6 D.4 【答案】AD 【解析】已知椭圆方程，焦距. 当焦点在轴时，，. 由，可得. 当焦点在轴时，，. 由，可得. 故答案选：AD. 10.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】AD 【解析】由题意可知， 解得a＝3，b＝2，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 11.（2024-2025·湖南娄底高二下期中）已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】设椭圆右焦点为,由椭圆对称性，四边形为平行四边形, 故,且得. 由且,得,又椭圆定义, 故,得,. 由余弦定理,中, 代入、得, 故,则离心率. 设,,由椭圆中心对称性得, 故,,则. 由在椭圆上，得,, 两式相减得,故. 由,得, 故, 则. 故选:AC. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南高二上期末）直线与椭圆交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为                   . 【答案】 【解析】由直线与椭圆 联立,消去得,判别式, 故； 由弦长公式得； 椭圆上顶点到直线的距离； 故的面积. 13.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为                   . 【答案】 【解析】设椭圆标准方程为. 由焦距，得. 椭圆过点，故. 由. 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 14.（2024-2025·江西抚州高二上期中）若椭圆的离心率为，则                   . 【答案】2 【解析】已知椭圆，其长半轴，短半轴. 可得. 已知离心率，且，则，平方得. 即，化简得. 因为，所以. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南娄底高二下期末）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】解：(1)由椭圆右顶点为得，由离心率得，结合椭圆关系，计算得，故椭圆的方程为. (2)联立，整理得. 由直线与椭圆交于两个不同点，得，解得. 设，，由韦达定理得，. 由直线与斜率互为相反数，得，即，代入，，通分后分子为零，得. 将韦达定理结果代入上式，得，化简得，解得，满足的取值范围要求. 16.（2024-2025·湖南岳阳高二上期末）已知椭圆：的焦距为8，离心率为. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 直线与C交于两点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 【答案】(1) 解：因为椭圆的焦距为8,所以,解得. 由离心率公式,解得. 由椭圆的基本关系式,代入数值得,解得. 因此椭圆的标准方程为. (2) 解：将直线与椭圆联立,消去后得到方程. 设交点,, 则由根与系数的关系得,. 利用弦长公式得. 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为, 将其与椭圆联立消去,得到方程. 令判别式Δ,解得. 取与距离较远的直线,两平行线之间的距离为. 因此,三角形面积最大值为. 化简后得最大面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $