3.1.2第2课时椭圆方程及其性质的应用作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固”（10题）与“能力进阶”（5题）分层设计，以椭圆方程及性质应用为核心，从基础运算到实际情境综合应用，构建知识巩固路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线与椭圆位置关系、弦长、离心率、中点弦|以选择、填空为主，聚焦单一知识点运算与概念理解，如直线与椭圆相切判定（题2）| |能力进阶|参数方程、实际情境应用（航天轨道、油纸伞投影）|结合多选、解答题，突出综合推理与模型构建，如嫦娥四号椭圆轨道问题（题12）|

3.1.2 第2课时　椭圆方程及其性质的应用 【基础巩固】 1．直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A．　 B．－　 C．±　 D．± 3．(多选)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　　) A．y＝2x－3 B．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋3 4．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　) A． B． C． D． 5．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 6．过椭圆＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 7．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点 ，且|MN|＝，则k＝________． 8．过椭圆M：＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为________． 9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 10．(2026·四川广安模拟预测)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的右焦点为F，椭圆C上的点到F的距离最大值为2＋. (1)求a的值和C的离心率； (2)过点P的直线l交C于A，B两点，若P为AB的中点，求直线l的方程． 【能力进阶】 11．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　) A． B． C． D． 12．(多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．< D．> 13．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率e＝________． 14．设O为坐标原点，椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为.直线l：y＝kx＋m(m>0)经过椭圆右焦点且与C交于A，B两点，AF的中点为M，|OM|＋|MF|＝5. (1)求椭圆C的方程； (2)设点P(0，1)，＝－4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 15．如图所示，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2千米，短半轴长为1千米．根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路m，l上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ的长最短时，OQ的长为(　　) A. 千米　　　 B．2 千米 C． 千米 D． 千米 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 第2课时　椭圆方程及其性质的应用 【基础巩固】 1．直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：A　直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交． 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A．　 B．－　 C．±　 D．± 解析：C　把y＝kx＋2代入＝1，整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝0，∴k2＝，即k＝±. 3．(多选)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　　) A．y＝2x－3 B．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋3 解析：ACD　直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7，而直线y＝2x＋1被椭圆C截得的弦长大于7.故选A、C、D. 4．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　) A． B． C． D． 解析：A　由消去y整理得 2x2＋(x－1)2＝4， 即3x2－2x－3＝0， ∴弦的中点的横坐标是x＝， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－， ∴弦的中点坐标是. 5．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：A　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2， ∵圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切， ∴＝a， 即2b＝，∴a2＝3b2， ∵a2＝b2＋c2，∴c2＝2b2， ∴，∴e＝. 6．过椭圆＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＝1，得＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 答案：4，3 7．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点 ，且|MN|＝，则k＝________． 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0. 由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，即(1＋k2)2＝.化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1. 答案：±1 8．过椭圆M：＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＝－1，由此可得＝1，∵x2＋x1＝2x0，y2＋y1＝2y0，，∴a2＝2b2. 又由题意知，M的右焦点为，故a2－b2＝3， 因此a2＝6，b2＝3，∴M的方程为＝1. 答案：＝1 9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 解：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0， 由消去x整理得 9y2－2ay＋a2－8＝0， 由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a＝3或a＝－3， ∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0， 它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离为d＝. 由 解得即P. 10．(2026·四川广安模拟预测)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的右焦点为F，椭圆C上的点到F的距离最大值为2＋. (1)求a的值和C的离心率； (2)过点P的直线l交C于A，B两点，若P为AB的中点，求直线l的方程． 解：(1)由题意可知，b＝1，a2＝1＋c2，a＋c＝2＋，得a＝2，c＝， 则C的离心率为. (2)由(1)知，C：＋y2＝1， 若直线l的斜率为0或不存在，则线段AB的中点应在坐标轴上， 故设l：y＝k(x－1)＋B(x2，y2)， 联立得(4k2＋1)x2＋k(4－8k)x＋4k2－4k－3＝0， 则x1＋x2＝－＝2，得k＝－， 故直线l的方程为y＝－x＋1. 【能力进阶】 11．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　) A． B． C． D． 解析：A　联立方程组 消去y，整理得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)， 则x0＝， y0＝1－x0＝1－. ∴kOP＝. 12．(多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．< D．> 解析：BD　由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝|PF|， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； 所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，得＋2a2c1， 所以＋2a2c1， 即＋2a2c1，由图可得， 所以2a1c2<2a2c1，即<，所以C错误，D正确． 13．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率e＝________． 解析：因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为，设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ＝，所以θ＝60°，即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴长a＝，短半轴长b＝2，离心率e＝. 答案： 14．设O为坐标原点，椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为.直线l：y＝kx＋m(m>0)经过椭圆右焦点且与C交于A，B两点，AF的中点为M，|OM|＋|MF|＝5. (1)求椭圆C的方程； (2)设点P(0，1)，＝－4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 解：(1)设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线．∴|OM|＝＝， ∴|OM|＋|MF|＝＝a＝5. ∵e＝，∴c＝2，∴b＝， ∴椭圆C的方程为＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y整理，得 (1＋5k2)x2＋10mkx＋5m2－25＝0. ∴Δ>0，x1＋x2＝－， x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝ ＝. ∵P(0，1)，＝－4， ∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝－4， ∴＋5＝0， 整理得3m2－m－10＝0， 解得m＝2或m＝－(舍去)． ∴直线l过定点(0，2)． 15．如图所示，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2千米，短半轴长为1千米．根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路m，l上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ的长最短时，OQ的长为(　　) A. 千米　　　 B．2 千米 C． 千米 D． 千米 解析：D　由题意知椭圆的方程为＋y2＝1. 设直线PQ的方程为y＝kx＋b，则Q，P(0，b)，联立方程组消元可得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4(b2－1)＝0， 由直线PQ与椭圆相切可知 Δ＝64k2b2－16(1＋4k2)(b2－1)＝0， 整理可得b2＝4k2＋1， ∴|PQ|2＝＋5＝9，当且仅当4k2＝，即k2＝时取等号． ∴当|PQ|最短时，b2＝4×＝6，即|OQ|＝.故OQ的长为千米．故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $