周练 错题巩固与压轴训练 3.4～3.5 相似三角形的性质 图形的位似 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第三章 图形的相似（3.4～3.5） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•成都期末）·【A】如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 2．（2025秋•和平区期末）·【A】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（　　） A．1 B．4 C．8 D．18 3．（2026•朝阳区校级模拟）·【B】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4．（2025秋•定远县期中）·【B】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG、AH．则下列说法错误的是（　　） A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．AC2＝CG•BC D．AG＝AH 5．（2025秋•嘉荫县期末）·【C】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP＝CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 6．（2024•青浦区三模）·【C】如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 二．填空题（共6小题） 7．（2026•绵阳一模）·【A】如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB的宽度是_____ cm． 8．（2025秋•皇姑区期末）·【A】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为_______ ． 9．（2025秋•沈河区期末）·【A】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若点A的坐标为（3，1），点D的坐标为（6，2），△ABC的面积为3，则△DEF的面积的值为_______ ． 10．（2026•罗湖区校级自主招生）·【B】如图，在▱ABCD中，M、N分别为CD、AD上一点，已知，，GC与EB交于点O，，且为既约分数，则m+n＝________ ． 11．（2026•绥棱县校级三模）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D1是BD的中点，连结HD1，过D1作D1H1⊥BC于点H1；D2是BD1的中点，连结H1D2，过D2作D2H2⊥BC于点H2；…如此继续下去，分别记四边形CDD1H、四边形HD1D2H1、四边形H1D2D3H2…四边形Hn﹣2Dn﹣1DnHn﹣1的面积为S1，S2，S3，…，Sn．若S△ABC＝2，则S2026＝____________________ ． 12．（2026•南关区校级一模）·【C】如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有DF＝AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH•MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有 _________ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•浦东新区校级月考）·【A】如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值． 14．（2026秋•同步）·【B】如图，把菱形ABCD沿着BD的方向平移到菱形A′B′C′D′的位置，两个菱形的重叠部分为四边形B′EDF． （1）求证：四边形B′EDF是菱形； （2）若四边形B′EDF面积是菱形ABCD面积的一半，且，求菱形ABCD平移的距离． 15．（2025秋•广信区期中）·【B】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 _____________ ． （3）应用： ①如图2，已知∠AOB＝30°，其内部有一点P，OP＝12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值； ②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ____________________ ，此时∠CFE＝________ ． 16．（2026秋•同步）·【C】如图1，在△ABC中，点D，点E分别在AB，AC上． （1）添加条件：____________________ ，可使△AED∽△ABC；（填一个即可） （2）已知△ADE∽△ACB． ①若DE：CB＝3：5，AD＝4，则AC的长为___________________ ； ②若AD：AC＝1：2，△ADE的面积为2，求四边形BCED的面积． （3） 如图2，已知△ABC∽△ADE．求证：△ABD∽△ACE； （4）如图3，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，求AD的长． 17．（2025春•黄石期末）·【C】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）如图1，点O是AB的中点，OM⊥AC于M，求证：AM＝CM； （2）如图2，若∠A＝30°，AB＝8cm，动点P从点A出发，在AB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CA边上以每秒cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜4），连接PQ． ①若△APQ是直角三角形，直接写出t的值； ②求证：PQ的中点D在△ABC的一条中位线上． 18．（2024秋•嵊州市期末）·【C】综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在△ACB和△A′C′B′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长BC至D，使CD＝B′C′，连结AD． 因为AC＝A′C′（已知），∠ACD＝90°＝∠C′， 所以△ADC≌△A′B′C′（SAS） 所以AD＝A′B′（全等三角形的对应边相等）． … 所以△ABC≌△ADC（SSS） 所以△ABC≌△A′B′C′ 【实践解决】 （1） 请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整． （2） 小嵊进行了如下的思考：如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．连接AD，若AC＝2，AD＝1，∠DAC＝45°，求AE的长． （3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，△MON是等腰直角三角形，∠MON＝90°，P是△MON外一点，∠MPO＝75°，PO＝2，MP＝2，求线段NP的长． 19．（2026春•渠县校级期末）·【C】如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，若． （1）求BD和AC的长； （2）如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若△AMN是以点A为顶角的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边AC上一点，且DE＝EC，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 20．（2025秋•尧都区期末）·【C】【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据 ________ 证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）． 【类比解答】 如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE＝________ ． 【拓展延伸】 （1）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．线段BE与FD的数量关系为 ____________________ ．（直接写出） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B D C A 1．（2025秋•成都期末）·【A】如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】D 【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2）， ∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），即（﹣8，4）或（8，﹣4）， 故选：D． 2．（2025秋•和平区期末）·【A】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（　　） A．1 B．4 C．8 D．18 【答案】C 【解答】 解：∵△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，且， ∵AB∥DE， ∴， 又∵AM∥DN， ∴， ∵OM＝4， ∴ON＝2OM＝8， ∴D点横坐标为8． 故选：C． 3．（2026•朝阳区校级模拟）·【B】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B ②根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误； ③根据全等三角形的性质得到ANAG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确； ④根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2， ∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点， ∴AD＝4，AH＝2， ∠BAD＝90°， ∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG， ∵∠ANH＝∠GNF， ∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确； ∴∠AHN＝∠HFG， ∵AG＝FG＝2＝AH， ∴AFFGAH， ∴∠AFH≠∠AHF， ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误； ∵△ANH≌△GNF， ∴ANAG＝1， ∵GM＝BC＝4， ∴2． ∵∠HAN＝∠AGM＝90°， ∴△AHN∽△GMA， ∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA， ∴AK＝NK， ∵AD∥GM， ∴∠HAK＝∠AMG， ∴∠AHK＝∠HAK， ∴AK＝HK， ∴AK＝HK＝NK， ∵FN＝HN， ∴FN＝2NK，故③正确； ∵延长FG交DC于M， ∴四边形ADMG是矩形， ∴DM＝AG＝2， ∵S△AFNAN•FG2×1＝1， S△ADMAD•DM4×2＝4， ∴S△AFN：S△ADM＝1：4，故④正确， 综上，正确的是①③④． 故选：B． 4．（2025秋•定远县期中）·【B】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG、AH．则下列说法错误的是（　　） A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．AC2＝CG•BC D．AG＝AH 【答案】D 【解答】解：由作法得DE垂直平分AC，GH＝GC， ∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以A选项正确，不符合题意； ∵CG＝GH，CF＝AF， ∴FG为△ACH的中位线， ∴FG∥AH， ∴AH⊥AC， ∴∠CAH＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°， ∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°， ∴∠B＝2∠HAB，所以B选项正确，不符合题意； ∵GC＝GA， ∴∠C＝∠GAC＝36°， ∴∠BGA＝∠C+∠GAC＝72°， ∴∠BAG＝180°﹣∠B﹣∠BGA＝72°， ∴BG＝BA， ∴AB＝GB＝AC． ∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B， ∴△CAG∽△CBA， ∴CG：CA＝CA：CB， ∴CA2＝CG•CB，故C选项正确，不符合题意； ∵∠C不一定是30°， ∴AHCH＝AG，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．（2025秋•嘉荫县期末）·【C】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP＝CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C ③由①中Rt△ADC≌Rt△BPC可知∠PBC＝∠DAC＝22.5，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，根据∠CBA＝45°可知，∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，即可求出AP＝AB，即AC+CD＝AB； ②由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BFBP，在Rt△BCP中，若BF＝CP，则∠PBC＝30°，与③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP； ④由△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，可得AF垂直平分BP，根据垂直平分线的性质可得BO＝BP，则∠BPO＝∠PBO＝22.5°+22.5°＝45°，可得出∠BOP＝90°，即PO⊥BE． ⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BFBP，即BP＝2PF． 【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠BCP＝90°， 在△ACD与△BCP中， ， ∴△ADC≌△BPC（SAS）， ∴BP＝AD；故①正确； ③∵BC＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠DAC＝22.5°，∠ABE＝∠CBE＝22.5°， ∵Rt△ADC≌Rt△BPC， ∴∠PBC＝∠DAC＝22.5°， 在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°， ∵∠CBA＝45°， ∴∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°， ∴∠ABP＝∠BPC， ∴AP＝AB， ∴AC+CP＝AB， ∵CP＝CD， ∴AC+CD＝AB；故③正确； ②由③可知，△ABP是等腰三角形， ∵AF平分∠BAC， ∴BFBP， 在Rt△BCP中，若BF＝CP，则∠PBC＝30°，与③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；故②错误； ④∵△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC， ∴AF垂直平分BP， ∴BO＝BP， ∴∠BPO＝∠PBO＝∠PBC+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°， ∴∠BOP＝90°，即PO⊥BE．故④正确； ⑤由③可知，△ABP是等腰三角形， ∵AF平分∠BAC， ∴BFBP， ∴BP＝2PF，故⑤正确． 所以①③④⑤正确． 故选：C． 6．（2024•青浦区三模）·【C】如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【解答】解：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵CE＝DH， ∴△BCE≌△CDH（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCH，BE＝CH，故①正确； ∵∠DCH+∠FCB＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF+∠FCB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CH⊥BE，故②正确； ∵G在正方形对角线BD上， ∴G到AD，CD的距离相等， ∵△BCE≌△CDH（SAS）， ∴CE＝DH， ∴S△GCE＝S△GDH，故③正确； 设正方形ABCD的边长为4a， ∴BC＝CD＝4a， 当E是CD的中点时，EC＝HD＝2a． 由勾股定理得： BE2a＝CH， ∵∠HDG＝∠CBG＝45°，∠HGD＝∠CGB， ∴△HGD∽△CGB， ∴， ∴GCCH， ∵∠BEC＝∠CEF，∠ECB＝∠EFC＝90°， ∴△ECB∽△EFC， ∴， ∴， ∴EF， ∴CF， ∵GCCH2a， ∴GF＝CG﹣CF， ∴GE， ∴， ∴当E是CD的中点时，，故④正确， 当EC＝2DE时，， ∵DH＝CE，DC＝BC， ∴， ∵△HGD∽△CGB， ∴（）2， ∵△GDH中DH边上的高与△DGC中CD边上的高相等，， ∴， 设S△GDH＝4x，则S△CGB＝9x，S△DGC＝6x， ∴S△BCD＝S△CGB+S△DGC＝9x+6x＝15x， ∴S正方形ABCD＝2S△BCD＝30x， 当EC＝2DE时，， ∴， ∴S△DEG＝2x， ∴S四边形DEGH＝S△GDH+S△DEG＝4x+2x＝6x， ∴S正方形ABCD＝5S四边形DEGH，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•绵阳一模）·【A】如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB的宽度是　3　 cm． 【答案】3． 【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，交AB于点F，则OF⊥AB， 由题意得：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∴， 解得：AB＝3， ∴此时液面AB的宽度是3cm； 故答案为：3． 8．（2025秋•皇姑区期末）·【A】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为　16　 ． 【答案】16． 【解答】解∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2， ∴（）2， ∵△ABC的面积为4， ∴△DEF的面积是16． 故答案为：16． 9．（2025秋•沈河区期末）·【A】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若点A的坐标为（3，1），点D的坐标为（6，2），△ABC的面积为3，则△DEF的面积的值为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O， 又∵点A的坐标为（3，1），点D的坐标为（6，2）， ∴△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积是12． 故答案为：12． 10．（2026•罗湖区校级自主招生）·【B】如图，在▱ABCD中，M、N分别为CD、AD上一点，已知，，GC与EB交于点O，，且为既约分数，则m+n＝　196　 ． 【答案】196． 【解答】解：由题意，∵， ∴可设AE＝7k，则ED＝18k． ∴AD＝25k， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝25k． 分别延长CG、DA交于点F， ∵AD∥BC， ∴，． ∴AFk． ∴EF＝AE+AF＝7kkk． ∴． 又∵为既约分数， ∴m＝75，n＝121． ∴m+n＝75+121＝196． 故答案为：196． 11．（2026•绥棱县校级三模）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D1是BD的中点，连结HD1，过D1作D1H1⊥BC于点H1；D2是BD1的中点，连结H1D2，过D2作D2H2⊥BC于点H2；…如此继续下去，分别记四边形CDD1H、四边形HD1D2H1、四边形H1D2D3H2…四边形Hn﹣2Dn﹣1DnHn﹣1的面积为S1，S2，S3，…，Sn．若S△ABC＝2，则S2026＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得：， ∴∠A＝∠1，， ∵DH⊥BC，D1是BD的中点， ∴，DH∥AC， ∴∠3＝∠4，∠A＝∠4，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴CD∥HD1． ∴△BD1H∽△BDC， ∴（）2， ∴S1＝S四边形CDD1HS△BDC，同理S2， S3＝S四边形HDD2H2， ∴Sn＝S四边形， ∴． 故答案为：． 12．（2026•南关区校级一模）·【C】如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有DF＝AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH•MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有 　①②③⑤　 ． 【答案】①②③⑤． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵E为AB的中点， ∴EA＝EB， 由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°， ∴∠EHM＝∠B＝90°， ∵EM＝EM，EH＝EB， ∴Rt△EMH≌Rt△EMB（HL）， ∴∠MEH＝∠MEB， ∵∠FEH＝∠FEA， ∴∠FEM＝∠FEH+∠MEH（∠AEH+∠BEH）＝90°， ∴△EFM是直角三角形， 故①②正确， ∵∠FEM＝90°＝∠FHE， ∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH， ∴∠EFH＝∠HEM， 又∵∠FHE＝∠EHM＝90°， ∴△FHE∽△EHM， ∴， 又∵EH＝EBAB， ∴AB2＝4HF•HM，故⑤正确， 如图1中，当M与C重合时， 设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a， ∵∠FEM＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE， ∴∠AFE＝∠ECB， 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AEF∽△BCE， ∴， ∴AF＝a， ∴DF＝3a， ∴DF＝3AF， ∴DF＝AF，故③正确， 如图2中， 当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•浦东新区校级月考）·【A】如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值． 【答案】5：1． 【解答】解：作EH∥AC交BC于H， ∴． 又∵点E是AD的中点， ∴DH＝HC， ∵BD：DC＝2：1， ∴BH：HC＝5：1， ∵EH∥AC， ∴BE：EF＝BH：HC＝5：1． 14．（2026秋•同步）·【B】如图，把菱形ABCD沿着BD的方向平移到菱形A′B′C′D′的位置，两个菱形的重叠部分为四边形B′EDF． （1）求证：四边形B′EDF是菱形； （2）若四边形B′EDF面积是菱形ABCD面积的一半，且，求菱形ABCD平移的距离． 【答案】（1）证明：有平移的特征知A′B′∥AB，又CD∥AB， ∴A′B′∥CD，同理B′C′∥AD． ∴四边形BEDF为平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD． ∴∠ABD＝∠ADB． 又∵∠A′B′D＝∠ABD， ∴∠A′B′D＝∠ADB． ∴FB′＝FD． ∴四边形B′EDF为菱形； （2）1． （2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方，可以计算出小菱形的边，再进一步计算其平移的距离． 【解答】（1）证明：有平移的特征知A′B′∥AB，又CD∥AB， ∴A′B′∥CD，同理B′C′∥AD． ∴四边形BEDF为平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD． ∴∠ABD＝∠ADB． 又∵∠A′B′D＝∠ABD， ∴∠A′B′D＝∠ADB． ∴FB′＝FD． ∴四边形B′EDF为菱形． （2）解：∵菱形B′EDF与菱形ABCD有一个公共角， ∴此两个菱形对应角相等又对应边成比例． ∴此两个菱形相似． ∵S菱形ABCD：S菱形FB'ED＝2：1， ∴． ∴B'D1． ∴平移的距离BB′＝BD﹣B′D1． 15．（2025秋•广信区期中）·【B】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 　两点之间线段最短　 ． （3）应用： ①如图2，已知∠AOB＝30°，其内部有一点P，OP＝12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值； ②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 　a+b ，此时∠CFE＝　90°　 ． 【答案】见试题解答内容 （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答； ②根据等边三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，据此得出∠ABD＝∠ACE，作点A关于CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF＝FM，证明△ACM是等边三角形，得出FM＝FB＝b，最后得出△AEF周长的最小值是AF+AE+EF＝AF+FMa+b，此时∠CFE＝90°． 【解答】解：（1）如图所示： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N， 连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小， 连接OM、ON，如图： 由轴对称的性质可知，OM＝OP＝12，ON＝OP＝12， CP＝CM，DP＝DN，∠MON＝2∠AOB＝60°， ∴△MON为等边三角形， ∴MN＝12， ∴△PCD的周长＝PC+CD+DP＝CM+CD+DN＝MN＝12； ②∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF＝CF， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）， 作点A关于CE的对称点M，连接FM交CE于E′， 此时AE+EF的值最小，此时AE+EF＝FM， ∵CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴△ACM≌△ACB， ∴FM＝FB＝b， ∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF＝AF+FMa+b，∠CFE＝90°． 故答案为：a+b，90°． 16．（2026秋•同步）·【C】如图1，在△ABC中，点D，点E分别在AB，AC上． （1）添加条件：　∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或（填一个即可）　 ，可使△AED∽△ABC；（填一个即可） （2）已知△ADE∽△ACB． ①若DE：CB＝3：5，AD＝4，则AC的长为　　 ； ②若AD：AC＝1：2，△ADE的面积为2，求四边形BCED的面积． （3）如图2，已知△ABC∽△ADE．求证：△ABD∽△ACE； （4）如图3，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，求AD的长． 【答案】（1）∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或（填一个即可）； （2）6； （3）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴，∠BAD＝∠CAE． ∴△ABD∽△ACE； （4）． （2）①依据题意，由△ADE∽△ACB，则DE：CB＝AD：AC＝3：5，结合AD＝4，从而可以计算得解； ②依据题意，由△ADE∽△ACB，则（）2，结合AD：AC＝1：2，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且∠BAD＝∠CAE，从而证明△ABD∽△ACE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系（如∠BAD＝30°、∠CBD＝30°）和勾股定理，逐步推导得出AD的长度． 【解答】（1）解：∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或.理由如下： 当∠ADE＝∠ACB时， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC； 当∠AED＝∠ABC时， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC； 当或时， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC． 故答案为：∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或（填一个即可）； （2）解：①由题意，∵△ADE∽△ACB， ∴DE：CB＝AD：AC＝3：5． ∵AD＝4， ∴AC． 故答案为：； ②∵△ADE∽△ACB， ∴（）2． ∵AD：AC＝1：2， ∴， ∴， ∵△ADE的面积为2， ∴四边形BCED的面积＝3×△ADE的面积＝6； （3）证明：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴，∠BAD＝∠CAE． ∴△ABD∽△ACE； （4）解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM． ∵∠BAD＝30°，∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝30°， ∴∠AMD＝∠DBC． 又∠ADM＝∠BDC＝90°， ∴△BDC∽△MDA， ∴， 又∵∠BDC＝∠ADM， ∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA， ∴△BDM～△CDA， ∴，， ∴BM＝26， 在Rt△ABM中，， ∴． 17．（2025春•黄石期末）·【C】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）如图1，点O是AB的中点，OM⊥AC于M，求证：AM＝CM； （2）如图2，若∠A＝30°，AB＝8cm，动点P从点A出发，在AB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CA边上以每秒cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜4），连接PQ． ①若△APQ是直角三角形，直接写出t的值； ②求证：PQ的中点D在△ABC的一条中位线上． 【答案】见试题解答内容 （2）①分两种情况：当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，当∠AQP＝90°时，△APQ∽△ABC，分别依据相似三角形的对应边成比例，即可得到t的值；②作PM⊥AC于点M，作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，利用梯形中位线定理，可得DF2，过AC的中点R作直线平行于BC，可得RCAC＝DF＝4成立，即可得到D在过R的中位线上，即可得到PQ的中点D在△ABC的一条中位线上． 【解答】解：（1）如图1，连接OC， ∵点O是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴OCAB＝AO， 又∵OM⊥AC于M， ∴AM＝CM； （2）①由题可得，AP＝2t，CQt，BCAB＝4， ∴AC4，AQ， 两种情况： 当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB， ∴，即， 解得t； 当∠AQP＝90°时，△APQ∽△ABC， ∴，即， 解得t＝2， ∴t的值为或2； ②如图，作PM⊥AC于点M，作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则PMAP＝t，AMt， ∵∠ACB＝90°， ∴DF为梯形PECQ的中位线， ∴DF， ∵QCt，PE＝MC＝AC﹣AM＝4t， ∴DF2， ∵AC＝4， 过AC的中点R作直线平行于BC， ∴RCAC＝DF＝4成立， ∴D在过R的中位线上， ∴PQ的中点D在△ABC的一条中位线上． 18．（2024秋•嵊州市期末）·【C】综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在△ACB和△A′C′B′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长BC至D，使CD＝B′C′，连结AD． 因为AC＝A′C′（已知），∠ACD＝90°＝∠C′， 所以△ADC≌△A′B′C′（SAS） 所以AD＝A′B′（全等三角形的对应边相等）． … 所以△ABC≌△ADC（SSS） 所以△ABC≌△A′B′C′ 【实践解决】 （1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整． （2）小嵊进行了如下的思考：如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．连接AD，若AC＝2，AD＝1，∠DAC＝45°，求AE的长． （3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，△MON是等腰直角三角形，∠MON＝90°，P是△MON外一点，∠MPO＝75°，PO＝2，MP＝2，求线段NP的长． 【答案】（1）见解答； （2）AE＝3； （3）PN＝2． （2）如图2，先证明△DCB≌△ECA（SAS），得BD＝AE，再利用勾股定理即可解答； （3）如图3，过点O作OQ⊥OP，使OQ＝OP，连接PQ，QM，MQ与PN交于点K，PN与OM交于点A，同理可得：△NOP≌△MOQ（SAS），再证明△OQP是等腰直角三角形，证明△MPQ是等腰三角形，运用勾股定理和等腰三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，延长BC至D，使CD＝B′C′，连结AD． 因为AC＝A′C′（已知），∠ACD＝90°＝∠C′， 所以△ADC≌△A′B′C′（SAS）， 所以AD＝A′B′（全等三角形的对应边相等）， ∵AB＝A′B′， ∴AD＝AB， ∵AC⊥BD， ∴BC＝CD， ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴△ABC≌△A′B′C′； （2）解：如图2，∵△ACB和△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACE＝∠DCB， ∴△DCB≌△ECA（SAS）， ∴BD＝AE， Rt△ACB中，AC＝2， ∴AB2，∠CAB＝45°， ∵∠DAC＝45°， ∴∠DAB＝90°， ∵AD＝1， ∴BD3， ∴AE＝BD＝3； （3）解：如图3，过点O作OQ⊥OP，使OQ＝OP，连接PQ，QM，MQ与PN交于点K，PN与OM交于点A， 同理可得：△NOP≌△MOQ（SAS）， ∴PN＝MQ，∠ONP＝∠OMQ， ∵OQ＝OP，OQ⊥OP，OP＝2， ∴△OQP是等腰直角三角形，且PQ＝2，∠OPQ＝45°， ∵∠OPM＝75°，PM＝2， ∴∠MPQ＝75°+45°＝120°，PM＝PQ， ∴∠PMQ＝∠PQM＝30°， ∵∠ONP＝∠OMQ，∠OAN＝∠MAK， ∴∠AKM＝∠AON＝90°， ∴PK⊥MQ， ∴MK＝KQ， Rt△MPK中，∠KMP＝30°， ∴KPPM， ∴KMPK， ∴MQ＝2， ∴PN＝MQ＝2． 即线段NP的长是2． 19．（2026春•渠县校级期末）·【C】如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，若． （1）求BD和AC的长； （2）如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若△AMN是以点A为顶角的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边AC上一点，且DE＝EC，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）BD＝4cm，AC＝10cm； （2）①t＝5； ②9或10或． （2）①由△AMN是以点A为顶点的等腰三角形，得出AM＝AN，则可列出关于t的方程，解方程即可； ②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由BD＞DE可判断点M不在BD上，当点M在AD时，分DE＝DM，ED＝EM，MD＝ME三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵BD：AD：CD＝2：3：4， ∴设BD＝2xcm，则AD＝3xcm，CD＝4xcm， ∵CD⊥AB，， ∴， 解得x＝2（负值舍去）， ∴BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm， ∴； （2）由（1）知：①∵△AMN是以点A为顶点的等腰三角形， ∴AM＝AN， 即10﹣t＝t， ∴t＝5； ②∵DE＝CE， ∴∠DCE＝∠CDE， 又∵CD⊥AB， ∴∠CDE+∠ADE＝90°，∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ADE＝∠A， ∴AE＝DE ∴， 当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM＜BD＜DE； 当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形； 当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能． 如果DE＝DM，则t﹣4＝5， ∴t＝9； 如果ED＝EM，则点M运动到点A， ∴t＝10； 如果MD＝ME＝t﹣4， 过点E作EF⊥AB于F，如图3所示： ∵ED＝EA， ∴cm， 在Rt△AEF中，EF＝4cm； ∵BM＝tcm，BF＝7cm， ∴FM＝（t﹣7）cm， 在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42， ∴． 综上所述，符合要求的t值为9或10或． 20．（2025秋•尧都区期末）·【C】【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据 ASA 证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）． 【类比解答】 如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE＝　26°　 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．线段BE与FD的数量关系为 　　 ．（直接写出） 【答案】见试题解答内容 【类比解答】延长AE交BC于点F，由【问题情境】可知，AC＝FC，再由等腰三角形的在得∠EFC＝∠EAC＝63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 【拓展延伸】（1）延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD（ASA），得BF＝CD，再由【问题情境】可知，BE＝FEBF，即可得出结论； （2）如图2，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，得到∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，根据全等三角形的性质得到BE＝GEGB，求得HB＝HD，根据全等三角形的性质得到GB＝FD，于是得到结论． 【解答】解：【问题情境】∵OP平分∠MON， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵AC⊥OP， ∴∠ACO＝∠BCO， ∵OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴AO＝BO，AC＝BC， 故答案为：ASA； 【类比解答】如图2，延长AE交BC于点F， 由【问题情境】可知，AC＝FC， ∴∠EFC＝∠EAC＝63°， ∵∠EFC＝∠B+∠DAE， ∴∠DAE＝∠EFC﹣∠B＝63°﹣37°＝26°， 故答案为：26°； 【拓展延伸】（1），证明如下： 如图3，延长BE、CA交于点F，则∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠ABF+∠BED＝∠ACD+∠BAC， ∴∠ABF＝∠ACD， 又∵AB＝AC， ∴△ABF≌△ACD（ASA）， ∴BF＝CD， 由【问题情境】可知，，； （2）如图4，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H， 则∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB， ∵∠EDB∠C∠GDB＝∠EDG， 又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°， ∴△DEB≌△DEG（ASA）， ∴BE＝GEGB， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝∠GDB， ∴HB＝HD， ∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH， ∴∠EBF＝∠HDF， ∴△GBH≌△FDH（ASA）， ∴GB＝FD， ∴BEFD． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $