周周练08 3.1-3.3相似多边形与相似三角形判定方法（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 聚焦相似多边形与三角形判定，通过沧州博物馆古籍测量、无人机测绘等真实情境，融合基础巩固与探究创新，考查几何直观、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|成比例线段、相似矩形判定、三角形相似条件|第2题结合照片测量古籍长度，体现生活应用| |填空题|6/18|相似命题判断、成比例线段计算、黄金分割|第14题无人机测绘周长计算，渗透数学建模| |解答题|8/64|相似证明、实际问题（绿地花圃）、菱形平移相似探究|第24题探究菱形平移后相似及面积关系，培养创新意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.1-3.3相似多边形与相似三角形判定方法 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 4．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 5．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 7．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 8．如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点E是矩形边上一动点，连接，以为边构造平行四边形，分别交于点M、N，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若能成为正方形，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 12．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 13．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 14．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 15．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 18．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 19．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 20．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 21．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 22．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图． （保留作图痕迹） (1)如图1，作出线段的中点． (2)如图2，作出线段的三等分点． (3)如图3，在线段上确定一点使得． 24．九(5) 班“蒋哥数学学习合作小组”在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的性质拓展到矩形、菱形的相似中去． 如：相似矩形、相似菱形也有以下的性质：相似矩形、相似菱形的对角线之比等于相似比，周长比等于…，面积比等于…等等． 请你参与这个学习小组，一同探索下面这个问题： (1)如图， 将菱形沿着直线向右平移后得到菱形，证明：四边形是菱形； (2)利用相似多边形的定义证明菱形菱形； (3)若 菱形的面积是菱形 面积的一半，利用“相似三角形的性质拓展”求平移的距离的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.1-3.3相似多边形与相似三角形判定方法 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 2．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 3．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 4．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 5．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 7．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 8．如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故选：B ． 9．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 10．如图，点E是矩形边上一动点，连接，以为边构造平行四边形，分别交于点M、N，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若能成为正方形，则 【答案】B 【详解】解：连接交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故选项A正确； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B错误； ∵，故选项C正确， ∵为正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理：， ∴， ∴，故选项D正确； 综上，选项B符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 12．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 13．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 14．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 15．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 则的长为． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 18．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 19．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 20．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：略． 21．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 22．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 23．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图． （保留作图痕迹） (1)如图1，作出线段的中点． (2)如图2，作出线段的三等分点． (3)如图3，在线段上确定一点使得． 【答案】(1) 如图， (2) 如图， (3) 如图， 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，利用平行判定相似，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）取格点C、D，连接即可确定的中点，再利用相似三角形的判定与性质说明； （2）取格点C、D、E、F，连接、即可确定三等分点，再利用相似三角形的判定与性质说明； （3）取格点C、D，连接即可确定一点，再利用相似三角形的判定与性质说明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是线段的中点． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴与都是线段的三等分点， ∴点与都为所求作的线段的三等分点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴点即为所求作． 24．九(5) 班“蒋哥数学学习合作小组”在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的性质拓展到矩形、菱形的相似中去． 如：相似矩形、相似菱形也有以下的性质：相似矩形、相似菱形的对角线之比等于相似比，周长比等于…，面积比等于…等等． 请你参与这个学习小组，一同探索下面这个问题： (1)如图， 将菱形沿着直线向右平移后得到菱形，证明：四边形是菱形； (2)利用相似多边形的定义证明菱形菱形； (3)若 菱形的面积是菱形 面积的一半，利用“相似三角形的性质拓展”求平移的距离的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴,， ∵菱形沿着直线向右平移后得到菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 证明：∵， ∴ 同理可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形，是菱形， ∴ ∴ ∴菱形菱形， (3) 【分析】本题主要考查多边形相似的判定与性质，菱形的性质与判定，平移的性质； （1）根据平行四边形的性质可得,，根据平移的性质可得，即可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，证明，即可得证； （2）根据平移的性质可得， ，进而根据有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）的两个菱形相似，即可得证； （3）利用面积比等于相似比的平方求，进而求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵菱形菱形，菱形的面积是菱形面积的一半， ∴菱形与菱形的面积比为， ∴对应边之比为，即， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.1-3.3相似多边形与相似三角形判定方法 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 4．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 5．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 7．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 8．如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点E是矩形边上一动点，连接，以为边构造平行四边形，分别交于点M、N，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若能成为正方形，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 12．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 13．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 14．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 15．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 18．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测08 3.1-3.3相似多边形与相似三角形判定方法 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 2．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 3．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 4．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 5．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 7．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 8．如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故选：B ． 9．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 10．如图，点E是矩形边上一动点，连接，以为边构造平行四边形，分别交于点M、N，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若能成为正方形，则 【答案】B 【详解】解：连接交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故选项A正确； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B错误； ∵，故选项C正确， ∵为正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理：， ∴， ∴，故选项D正确； 综上，选项B符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 12．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 13．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 14．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 15．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 则的长为． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 18．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 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