精品解析：广东广州市天河区执信中学2026～2027学年九年级上学期数学开学测试试卷

2026-2027学年度初三级第一学期 数学学情检测练习 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的） 1. 代数式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象不经过第三象限 C. 随的增大而减小 D. 图象可由直线向上平移4个单位长度得到 4. 如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(　 　) A. 体育场离张强家 B. 体育场离早餐店 C. 张强在体育场锻炼了 D. 张强从早餐店散步回家用了 5. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，●，■，16，10，4，4，11．其箱线图如图． 则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 6. 为打造以“的城市”IP为核心引领，聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区对城区某干道进行亮化改造，如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为25米，点到路灯杆的水平距离为20米，点到地面的竖直距离为1.8米，则起重臂顶端离地面的高度为（ ） A. 14.8米 B. 16.8米 C. 18.8米 D. 20.8米 7. 如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以，为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第二部分非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一次函数，若y随x的增大而增大，则的取值范围是___ 12. 已知一组数据5，7，4，，6，8的平均数为6，则的值为________． 13. 设、是方程的两个实数根，且，则______． 14. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 15. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，按此规律继续摆放，则________； 16. 如图（1），一根长为的木棒斜靠在竖直的墙上，为，如果木棒的顶端A沿墙下滑，底端B向外移动，下滑后的木棒记为，则x与y满足的等式，即y关于x的函数解析式为，如图（2），小明利用画图软件画出了该函数图象， （1）请写出图象上点P的坐标（1，______）． （2）根据图象，当的周长大于的周长时，x的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算及解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由． 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是1，求另一个根． 20. 现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 “”得分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是 ； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 21. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积； （3）不解关于的方程，直接写出方程的解． 22. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． （1）尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，，求菱形的面积． 23. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． （1）求a，b的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 24. 探究下列问题： 【问题探究】 （1）小欢在八年级下学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形的对角线和垂直，小欢发现图1中的四条线段、、、存在以下数量关系，请你证明以上等式成立． 【新知发现】 （2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点在矩形内，连接，，，，可得：，请你完成以上结论的证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点和点分别在边和上，连接、和，若，，，求边的长． 25. 已知直线经过两点． （1）求直线的解析式． （2）点是平面内一点，是否存在以A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图1，点关于轴的对称点为点，点在轴上，连接BE，将沿BE翻折到，直线与轴相交于点． ①当点落在第四象限时，求的取值范围； ②若是直角三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度初三级第一学期 数学学情检测练习 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的） 1. 代数式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：要使有意义， ∵被开方数非负且分母不为0， ∴， 解得. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 根据直接开平方法解一元二次方程，然后判断即可． 【详解】解：， ∴， 解得，， 故选：D． 3. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象不经过第三象限 C. 随的增大而减小 D. 图象可由直线向上平移4个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，图象分布，点与函数图象的关系，以及函数图象的平移规律，即可解题． 【详解】解：∵ 对于一次函数，当时，， ∴ 图象不经过点，A错误； ∵ ，， ∴ 图象经过第一，二，三象限，且随的增大而增大，故B，C错误.； 根据函数图象平移“上加下减”的规律，可由直线向上平移4个单位长度得到，故D正确． 4. 如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(　 　) A. 体育场离张强家 B. 体育场离早餐店 C. 张强在体育场锻炼了 D. 张强从早餐店散步回家用了 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象所表示的意义逐项分析即可． 【详解】解：A、体育场离张强家，说法正确，此选项不符合题意； B、因为体育场离张强家，而早餐店离家越来越近，所以体育场离早餐店，说法不正确，此选项符合题意； C、张强在体育场锻炼了，说法正确，此选项不符合题意； D、从图象可知，张强从早餐店散步走回家花了，说法正确，此选项不符合题意． 5. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，●，■，16，10，4，4，11．其箱线图如图． 则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是，原说法正确，不符合题意； B、由箱线图可知，这组数据的中位数是，原说法错误，符合题意； C、由箱线图可知，这组数据的第三四分位数是，原说法正确，不符合题意； D、由箱线图可知，这组数据的最大值为，最小值为，故被墨水污染的数据中一个数是，一个数是，原说法正确，不符合题意． 6. 为打造以“的城市”IP为核心引领，聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区对城区某干道进行亮化改造，如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为25米，点到路灯杆的水平距离为20米，点到地面的竖直距离为1.8米，则起重臂顶端离地面的高度为（ ） A. 14.8米 B. 16.8米 C. 18.8米 D. 20.8米 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长即可作答． 【详解】解：过点B作地面于点， 根据题意已知米，米，米， ， 四边形是矩形， 故米， 在中，根据勾股定理可得 （米） （米） 即起重臂顶端离地面的高度为米． 7. 如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象法求解即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴不等式的解集为． 8. 如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 9. 如图，在中，，，以，为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用证明，得出，再在中利用勾股定理求解； 【详解】解：连接，  和都是等边三角形，  ，，，  ， 即， 在和中， ， ， ，  ，，  ， 在中，，，，  ，，  是等边三角形，  ， 在中，， ． 10. 如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】，过点D作于点M，根据题意，得，当时，此时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解答即可； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 根据函数图象，得当时，过点D作于点M，根据题意，得， 当时，此时， 根据勾股定理，得，， 根据勾股定理，得， 平行四边形， ， 故①②都正确； 当时， ，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形为正方形， 过点D作于点M，交于点N， 则，四边形是矩形， 设，点D到的距离为， ∴， 解得， 故当时，四边形为正方形， 故③正确； 当时，点E是的中点，设与的交点为N， 设，点D到的距离为， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积为； 故④正确； 第二部分非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一次函数，若y随x的增大而增大，则的取值范围是___ 【答案】． 【解析】 【详解】一次函数的图象有两种情况： ①当时，函数的值随x的值增大而增大； ②当时，函数的值随x的值增大而减小． 由题意得，函数的y随x的增大而增大，． 12. 已知一组数据5，7，4，，6，8的平均数为6，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义，所有数据的和等于平均数乘数据个数，列方程即可求出的值． 【详解】解：这组数据共个，平均数为， 这组数据的总和为， 已知数据的和为， 可得 ， 解得 ． 13. 设、是方程的两个实数根，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入中，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵垂直且平分线段， ∴． 15. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，按此规律继续摆放，则________； 【答案】16 【解析】 【分析】如详解图，先利用一线三等角模型得到，得到，再由勾股定理得到，同理得到的值，，的值，然后都加起来即可得到答案． 【详解】解：如图， 图中的四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 同理可得：，，， ． 16. 如图（1），一根长为的木棒斜靠在竖直的墙上，为，如果木棒的顶端A沿墙下滑，底端B向外移动，下滑后的木棒记为，则x与y满足的等式，即y关于x的函数解析式为，如图（2），小明利用画图软件画出了该函数图象， （1）请写出图象上点P的坐标（1，______）． （2）根据图象，当的周长大于的周长时，x的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）当时，，即可求解； （2）由的周长的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 故点的坐标为， 故答案为：1； （2）由，得：， 由题意得：，， 则的周长，而的周长， 则当的周长的周长时， 即， 由（1）知，当时，，当时，， 则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、， 从图象看，当时，，即的周长大于的周长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算及解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先把所有的二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （2）解一元二次方程方法：配方法、公式法、因式分解法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ，． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由． 【答案】AF=CE 【解析】 【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可得AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，再结合角平分线的性质可得∠ADF=∠CBE，即可根据“AAS”证得△ADF≌△CBE，问题得证. AF=CE．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC ∵∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F ∴∠ADF=∠ADC，∠CBE=∠ABC， ∴∠ADF=∠CBE， ∵在△ADF和△CBE中， AD=CB，∠A=∠C，∠ADF=∠CBE ∴△ADF≌△CBE（AAS） ∴AF=CE． 考点：平行四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质 点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是1，求另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）-1 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝−4ac，即可得出Δ＝（m＋1）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根； （2）将x＝1代入原方程可求出m的值，进而可得出原方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵a＝1，b＝−（m−1），c＝−m， ∴Δ＝−4ac＝[−（m−1）]2−4×1×（−m）＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：将x＝1代入原方程，得：12−（m−1）×1−m＝0， 解得：m＝1， ∴原方程为x2−1＝0， 解得：， ∴方程的另一个根为−1． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”． 20. 现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 “”得分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是 ； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 【答案】（1）94；94 （2）89.5 （3）200 【解析】 【分析】（1）求众数：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以统计“豆包”得分中各数值出现的频次即可得到．求中位数：先根据扇形统计图计算得分C组的占比，再计算A、B、C、D四组的人数，结合C组的具体数据，将的20个得分从小到大排序后，取第10和第11个数据的平均数得到． （2）法一：求“豆包”得分的第一四分位数：因为20个数据的第一四分位数位置为，所以将排序后的“豆包”得分取第5和第6个数据的平均数即可．法二：豆包20个数据的中位数是第10、第11个数的平均数，前10个数的中位数是第5、第6个数的平均数，计算求解即可得． （3）估计非常满意的用户数量：先计算样本中“豆包”得分在的频率，再用总用户数1000乘以该频率得到估计值． 【小问1详解】 解：观察豆包的20个得分，94一共出现了5次，出现次数最多， ∴． 总共有20个用户得分，中位数是排序后第10、第11个数据的平均数． 根据扇形图，A组占、B组占， ∴A组有个数据，B组有个数据，前两组共6个数据； ∵C组有6个数据， ∴排序后第7到第12个数据都属于C组，第10、11个数据是C组的最后两个94和94， 剩余的第13到20个数据属于D组． 将得分从小到大排序后，第10个数据是94，第11个数据是94， 因此中位数． 【小问2详解】 解：法一：20个数据的位置为， 第一四分位数是排序后第5个和第6个数据的平均数． 豆包得分已经从小到大排列，第5个数据是89，第6个数据是90， 因此． 法二：∵豆包20个数据的第10、第11个数都是93， 前10个数中第5、第6个数分别是89、90， ∴前10个数的中位数是， ∴． 【小问3详解】 解：抽取的20个豆包用户中，得分在的共有4个，占比为． ∴1000名用户中非常满意的数量为． 21. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积； （3）不解关于的方程，直接写出方程的解． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）求出的值，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）根据两直线交点的横坐标为对应的一元一次方程的解，即可得出结果. 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数的解析式为，， ∴当时，； ∴， ∴， ∵，， ∴的面积； 【小问3详解】 解：由题意，关于的方程的解为点的横坐标， 即. 22. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． （1）尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）如图所示，点F及线段，即为所求． （2）证明：在中，，点F为的中点， ，． 四边形是菱形， ，． ， 又， 四边形为平行四边形． ， 是矩形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明四边形为平行四边形．再由即可证明结论成立； （3）求出．证明．作于点G．求出．，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ． 四边形是菱形， ． ， ． 如图，作于点G． 在中，． ． ． ． 23. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． （1）求a，b的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 【答案】（1） （2） （3）1.2 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可； （3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意列方程组为：， 解得； 【小问2详解】 设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克， ∴当时， ； 当时， ； 综上所述，； 【小问3详解】 当时，， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 当时，， ∴（元）， ∴由上可得：当时，y取最大值520（元）， ∴由题意可得，， ∴解得． ∴m的最大值为1.2． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 24. 探究下列问题： 【问题探究】 （1）小欢在八年级下学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形的对角线和垂直，小欢发现图1中的四条线段、、、存在以下数量关系，请你证明以上等式成立． 【新知发现】 （2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点在矩形内，连接，，，，可得：，请你完成以上结论的证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点和点分别在边和上，连接、和，若，，，求边的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形对角线，交点为， ∴． ∴根据勾股定理：在中，； 在中，； 在中，； 在中，． ∴，， ∴． （2）证明：过点作于，延长交于． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形、都是矩形， ∴，． ∴根据勾股定理：，，，． ∴，， 代入、， 得． （3） 【解析】 【分析】（1）设对角线交点为，因为，所以四个三角形均为直角三角形，分别对四个直角三角形用勾股定理表示，再对等式两边分别整理即可证明． （2）过点作矩形两组对边的垂线，将分别用直角三角形勾股定理表示，利用矩形对边相等的性质，整理等式两边即可证明． （3）延长到F，使，延长到G，使，连接，因为点对应的位置符合（1）的结论条件，所以建立数量关系，代入已知数值求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：延长到F，使，延长到G，使，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）的结论知： ，  代入得 ， 即， ∵边长为正， ∴​． 25. 已知直线经过两点． （1）求直线的解析式． （2）点是平面内一点，是否存在以A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图1，点关于轴的对称点为点，点在轴上，连接BE，将沿BE翻折到，直线与轴相交于点． ①当点落在第四象限时，求的取值范围； ②若是直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）①；②点D的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先画出图形，利用平行四边形的性质求解即可； （3）①①如图，当落在轴上时，求解，可得，再进一步利用轴对称的性质与勾股定理求解即可；②如图，当时，由对折可得：，，可得，则，当时， 结合①可得：，如图，当时，同理可得：，，求解，可得，则，如图，当时，同理可得，此时在轴正半轴，可得，从而可得答案. 【小问1详解】 解：∵直线经过两点． ∴， 解得：， ∴直线解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， ∵， 当四边形为平行四边形时， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴； 综上：点的坐标为； 【小问3详解】 解：①如图，当落在轴上时， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴当点落在第四象限时，的取值范围为：. ②如图，当时， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 结合①可得：， 如图，当时， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 如图，当时， 同理可得， 此时在轴正半轴， ∴， 综上：点D的坐标为或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线与图形，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $