精品解析：广东广州市铁一中学2026-2027学年第一学期九年级开学练习 数学试题

广州市铁一中学2026学年第一学期开学练习 初三数学 本练习共6页，25小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、学生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将学生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，答题卡交回，练习问卷自行保管． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 6. 如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A. 这个月空气质量指数的最大值为 B. 中位数为 C. 数据在箱体的右侧比较集中 D. 第一四分位数为 7. 已知一次函数（a， b是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 8. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（ ） A. 9点40分 B. 10点15分 C. 9点45分或9点30分 D. 9点40分或10点 10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点（不含端点），则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 如图所示，直线经过点，将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线的解析式为______． 13. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 14. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 15. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 16. 如图1，在矩形中，为对角线，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，（1）的长为_________；（2）图2中点的坐标为，则的值为_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 19. 某校积极响应“弘扬传统文化”的号召，举行中学生诗词大赛．甲同学对八年级一班参赛学生中得分为70分、80分、90分、100分的人数进行了整理，并绘制出如下的条形统计图和扇形统计图． 学生姓名 小组比赛分数 班级比赛分数 学校大赛分数 乙 80 90 100 丙 85 85 100 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次统计中，分数的众数为 ，中位数为 ，请补全条形统计图； （2）本次统计中获得100分的同学有乙、丙两人、年级拟从这两位同学中推选一人参加区级决赛，结合他们的小组比赛、班级比赛和学校大赛分数（如下表），按“”的比例计算他们的最终得分，请你通过计算说明应推选谁参加区级决赛． 20. 已知一次函数，完成下列问题： （1）画出该函数的图象，并根据图象回答： ①当时，x的取值范围为___________； ②当时，y的取值范围为___________． （2）该函数与x轴，y轴分别交于点A，B，若x轴上有一点P使得的面积为6，求点P的坐标． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． （1）尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，，求菱形的面积． 22. 乐音的音调与振动频率有关，为了从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了项目化学习活动： 项目主题 用玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷子，若干相同的圆柱形玻璃杯，适量自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载音频分析软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 如图1，取若干相同的圆柱形玻璃杯，分别注入不同高度的水，用筷子依次敲击杯口，用音频分析软件测量振动频率，记录数据如下表： 水位高度 … 5 10 15 20 25 … 频率 … 500 420 340 260 180 … 任务二：建立模型 如图2，根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，由此判断f是关于h的一次函数． 任务三：应用模型 通过查阅资料，七个唱名与频率的对照表如下： 唱名 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 利用模型和对照表信息确定唱名所对应的水位高度，制作水杯琴，并演奏一首曲子． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求该玻璃杯振动频率f关于水位高度h的函数解析式（不要求写出自变量h的取值范围）； （2）兴趣小组量得其中一只玻璃杯水位高度为，请求出这只玻璃杯能敲出的唱名； （3）已知玻璃杯中水位每升高，则使用的水量增加．若要改造（2）中的水杯琴，使其敲出唱名，求该玻璃杯需要增加或减少的水量． 23. 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）如图，从运动开始，当t为何值时，； （2）如图，从运动开始，当t为何值时，； （3）如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 24. 在平面直角坐标系中，点，在直线：上． （1）当时，求直线的解析式； （2）若对于任意，总有，求的值； （3）已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小的值，若不存在，请说明理由． 25. 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图，过点P作于点E，求证：； （2）如图，连接，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市铁一中学2026学年第一学期开学练习 初三数学 本练习共6页，25小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、学生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将学生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，答题卡交回，练习问卷自行保管． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式； D、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式的乘除运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，选项计算错误． 4. 如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，根据矩形的每个内角为，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查多边形的内角和，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故选项正确，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意； C．有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，符合题意； D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形、菱形、矩形的判定，熟练掌握正方形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 6. 如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A. 这个月空气质量指数的最大值为 B. 中位数为 C. 数据在箱体的右侧比较集中 D. 第一四分位数为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键． 由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为， A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意； B、中位数为，说法正确，不符合题意； C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意； D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 已知一次函数（a， b是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数图像的性质， 根据表格中x与y的对应值，选取两组数据代入一次函数解析式求出a和b的值，进而分析各选项的正确性． 【详解】解：当时，；当时，代入 ， 解得， 所以一次函数解析式为． 因为，，图象经过第一、二、三象限，所以A正确； 因为，函数值y随x的增大而增大，所以B不正确； 因为方程的解为，所以C正确； 因为不等式的解集为，所以D正确． 故选：B． 8. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线经过第一、二、四象限，求出，再判断函数经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，如图所示： ，即， 则函数的图象经过第一、二、三象限，其大致图象如下： B选项图象满足题意． 9. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（ ） A. 9点40分 B. 10点15分 C. 9点45分或9点30分 D. 9点40分或10点 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出该时段内甲、乙两仓库的快件数量与时间之间的函数关系式，再根据两仓库快递件数相差100件建立方程，解方程即可． 【详解】解：设该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 设该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 当两仓库快递件数相差100件时，则有， 整理得：， ∴或， 解得或， ∴从开始经过10分钟或30分钟时，两仓库快递件数相差100件， ∴当两仓库快递件数相差100件时的时刻为9点40分或10点． 10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点（不含端点），则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出经过点和经过点时的k值，讨论在满足题意的情况下，直线，运动趋势与k值的增减变化关系从而求出答案． 【详解】解：方法一：用过定点和平移的观点来看，，经过点，当此直线经过点时，，当公共点往左边来时，可知． 经过点时，，当公共点往左边来时， 可得， 解得， 综上： 方法二：联立解析式，用不等式来解决 经过点，的直线解析式为： 联立，得 ， 由交点在线段上，且不含端点， ， 解得， 联立 可得， 由交点在线段，且不含端点， ， 解得 综上：． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 所以的取值范围是． 故答案为：． 12. 如图所示，直线经过点，将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据一次函数性质，得到直线解析式；再根据一次函数平移性质计算，即可得到答案． 【详解】结合题意，直线经过点 设一次函数解析式为 ∴ ∴ ∴ 结合题意，将直线向上平移3个单位长度，得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数解析式和图像的性质，从而完成求解． 13. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象中随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中，， ∴一次函数图象中随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： ． 14. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 16. 如图1，在矩形中，为对角线，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，（1）的长为_________；（2）图2中点的坐标为，则的值为_________． 【答案】 ①. 6 ②. 12 【解析】 【分析】（1）根据函数图象和点的运动轨迹可知，当点与点重合时，可得出的长； （2）设当点运动到时，，此时，根据勾股定理求出，即可得到，的值，代入求解即可； 【详解】（1）由图象可知，当点与点重合时，，， ， ， ； （2）设当点运动到时，，此时， 根据函数图象可知，当运动到时，， ， 由（1）可知：， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， 由图可知，点对应点运动到点的位置， ， 当点与点重合，，此时点与点重合， ，， ， ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 19. 某校积极响应“弘扬传统文化”的号召，举行中学生诗词大赛．甲同学对八年级一班参赛学生中得分为70分、80分、90分、100分的人数进行了整理，并绘制出如下的条形统计图和扇形统计图． 学生姓名 小组比赛分数 班级比赛分数 学校大赛分数 乙 80 90 100 丙 85 85 100 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次统计中，分数的众数为 ，中位数为 ，请补全条形统计图； （2）本次统计中获得100分的同学有乙、丙两人、年级拟从这两位同学中推选一人参加区级决赛，结合他们的小组比赛、班级比赛和学校大赛分数（如下表），按“”的比例计算他们的最终得分，请你通过计算说明应推选谁参加区级决赛． 【答案】（1）90；90；补全条形统计图如下： （2）乙； 乙的最终得分为：分 丙的最终得分为：分， ∵， 则应推选乙参加区级决赛． 【解析】 【分析】（1）先求出总人数，再利用中位数和众数的定义求解，最后补全条形图即可； （2）用加权平均数计算公式计算然后做比较即可． 【小问1详解】 解：总调查人数为：人， 80分的人数有：人， 将20人的分数从小到大排列，中位数为第10位和第11位数的平均数， 即， 其中90分出现的次数最多，即众数为：90． 补全条形统计图：略． 【小问2详解】 解：略． 20. 已知一次函数，完成下列问题： （1）画出该函数的图象，并根据图象回答： ①当时，x的取值范围为___________； ②当时，y的取值范围为___________． （2）该函数与x轴，y轴分别交于点A，B，若x轴上有一点P使得的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）解：列表： 0 1 0 2 4 6 描点，连线画出函数的图象如下： ； ①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出函数的图象即可； ①观察图象即可得时，x的取值范围； ②观察图象即可得时，y的取值范围； （2）由（1）可知，，，设点P的坐标为，则，利用三角形的面积公式建立方程，即可求解． 【小问1详解】 图略． ①由图象可得，当时，x的取值范围为， ②由图象可得，当时，y的取值范围为； 【小问2详解】 解：由题意，画出图形如下： 由（1）可知，，， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴， ∴，或， ∴，， ∴点P的坐标为或． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． （1）尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）如图所示，点F及线段，即为所求． （2）证明：在中，，点F为的中点， ，． 四边形是菱形， ，． ， 又， 四边形为平行四边形． ， 是矩形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明四边形为平行四边形．再由即可证明结论成立； （3）求出．证明．作于点G．求出．，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ． 四边形是菱形， ． ， ． 如图，作于点G． 在中，． ． ． ． 22. 乐音的音调与振动频率有关，为了从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了项目化学习活动： 项目主题 用玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷子，若干相同的圆柱形玻璃杯，适量自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载音频分析软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 如图1，取若干相同的圆柱形玻璃杯，分别注入不同高度的水，用筷子依次敲击杯口，用音频分析软件测量振动频率，记录数据如下表： 水位高度 … 5 10 15 20 25 … 频率 … 500 420 340 260 180 … 任务二：建立模型 如图2，根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，由此判断f是关于h的一次函数． 任务三：应用模型 通过查阅资料，七个唱名与频率的对照表如下： 唱名 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 利用模型和对照表信息确定唱名所对应的水位高度，制作水杯琴，并演奏一首曲子． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求该玻璃杯振动频率f关于水位高度h的函数解析式（不要求写出自变量h的取值范围）； （2）兴趣小组量得其中一只玻璃杯水位高度为，请求出这只玻璃杯能敲出的唱名； （3）已知玻璃杯中水位每升高，则使用的水量增加．若要改造（2）中的水杯琴，使其敲出唱名，求该玻璃杯需要增加或减少的水量． 【答案】（1） （2） （3）该玻璃杯需要减少的水量为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时f的值即可得到答案； （3）求出时h的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时， ， ∴这只玻璃杯能敲出的唱名为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 解得， ， 答：该玻璃杯需要减少的水量为． 23. 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）如图，从运动开始，当t为何值时，； （2）如图，从运动开始，当t为何值时，； （3）如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两组对边分别平行得到平行四边形，对边相等列方程求解即可； （2）过D、Q作垂线构造矩形，利用等腰三角形三线合一，F是的中点建立等式解方程即可； （3）对的直角顶点分两种情况讨论，分别构造直角，利用矩形性质、勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ，， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形， ， ，解得； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，过点Q作， ， ，， ， 四边形和均为矩形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得； 【小问3详解】 解：①如图，当时， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ，解得； ②如图，当时，过点D作， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得； 综上所述，或． 24. 在平面直角坐标系中，点，在直线：上． （1）当时，求直线的解析式； （2）若对于任意，总有，求的值； （3）已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，平行四边形的周长最小 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入关系式可表示出，再将的值代入可得答案； （2）先整理不等式可得，即可得，且时不等式对任意恒成立，进而得出答案； （3）根据与的中点重合可得点的坐标，再根据平行四边形的周长最小可得答案． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， 有， 解得， ∴直线的关系式为∶， 将代入直线的关系式，则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于任意x，总有， ∴恒成立， ∴，且， 解得，且， ∴， ∵， 由（1）得， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴与的中点重合． 设， ∵点，， ∴， 解得， ∴点． ，． 平行四边形的周长为． 点在直线上运动，，为定点． 该问题可转化为在直线：上找一点，使其到两点的距离之和最小． 作点关于直线：的对称点，则， ，当点三点共线时，取最小值， 即当为线段与直线的交点时平行四边形的周长最小． 设的解析式为， 有， 解得， ， ， 则点坐标为， ，解得． 存在，当时，平行四边形的周长最小． 25. 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图，过点P作于点E，求证：； （2）如图，连接，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接，，过作于， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质结合，，证明，可得，，再进一步证明即可； （2）如图，连接，，过作于，证明，，证明，可得，，，进一步可得结论； （3）如图，连接，，过作于，作于，证明，，求解，证明四边形为正方形；可得，，求解，，进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，过作于，作于， 由（2）得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形； ∵， ∴， ∴四边形为正方形； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $