精品解析：天津市西青区张家窝中学2027届高三第一学期第一次月考数学试题

2026-2027学年度高三第一学期第一次月考 数学 一､单选题：本题共10个小题，每小题5分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n均大于0，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 10 7. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二､填空题：共8个小题，每小题5分. 11. 若复数满足（其中是虚数单位），则为______． 12. 在二项式的展开式中常数项为___________． 13. 已知函数，则____________． 14. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 15. 在中，，，，则__________． 16. 已知圆截直线所得弦的长度为6，则实数的值为___________. 17. 计算：__________. 18. 已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______. 三､解答题本大题共5小题，共60分. 19. 解下列不等式 （1） （2） （3）已知不等式的解集为或. ①求实数的值； ②解关于的不等式. 20. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 21. 三棱台中，若平面，分别是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）求点到平面的距离. 22. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三第一学期第一次月考 数学 一､单选题：本题共10个小题，每小题5分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可得：． 所以. 故选：B． 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题“”的否定为“”. 故选：B. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项. 【详解】的定义域是， 因为，所以是奇函数，排除CD， 因为，排除B， 故选：A. 6. 已知m，n均大于0，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：∵，∴，当且仅当，即，时，等号成立．故最小值为. 故选：C． 7. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，即可求出，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标运算计算可得； 【详解】解：∵向量，，且，∴，即，∴， ∴， 故选：D. 8. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由和正弦定理，可得， 又因为， 由余弦定理可得， 且，所以． 9. 在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理将用表示出来，即可得出答案。 【详解】由题意可得： ， 注意到， 故 . 故选C。 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于基础题。 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由已知判断出函数的单调性，结合奇偶性可得，再解不等式可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则即为， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 可知在上单调递减，且， 可得，解得. 故选：C. 二､填空题：共8个小题，每小题5分. 11. 若复数满足（其中是虚数单位），则为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简即可得出模长. 【详解】, 所以=. 故答案为： 12. 在二项式的展开式中常数项为___________． 【答案】135 【解析】 【分析】依题意，先写出并化简二项展开式的通项公式，再由求出，代入通项即可求得常数项. 【详解】二项式的通项公式为：， 使，解得， 故二项式的展开式中常数项为. 故答案为为：135. 13. 已知函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【详解】，. 14. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足 15. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 16. 已知圆截直线所得弦的长度为6，则实数的值为___________. 【答案】－9 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，从而可得参数值． 【详解】圆标准方程是，显然， 圆心为，圆心到已知直线的距离为， 所以，解得， 故答案为：－9． 17. 计算：__________. 【答案】10 【解析】 【详解】原式 18. 已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可. 【详解】由已知得：， ， 当且仅当时取等号； 由题意：， 即， 解得：或， 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 三､解答题本大题共5小题，共60分. 19. 解下列不等式 （1） （2） （3）已知不等式的解集为或. ①求实数的值； ②解关于的不等式. 【答案】（1） （2）或 （3）① ②：时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的性质计算即可. （2）先去掉绝对值，然后根据不等式的性质计算即可. （3）①根据二次函数的性质和不等式的解集计算的值；②先化简不等式，然后分三种情况求出解集即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 即，解得. 【小问2详解】 因为，所以，当时，，解得； 当时，或，解得或， 综上，解得或. 【小问3详解】 ①由不等式的解集为或， 所以，且的两根为 所以，所以. ②不等式为，即， 当时，此时，则不等式的解集为； 当时，此时，则不等式无解； 当时，此时，则不等式的解集为. 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为. 20. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出得到，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理即可计算求解. （3）先由倍角公式求出、，即可由两角差的余弦公式求. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理，得到； 所以. 【小问2详解】 因为，所以； 由正弦定理，得到. 【小问3详解】 因为， ； 所以； 21. 三棱台中，若平面，分别是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）在三棱台中，平面， 显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 由分别是中点，得， 则， 因此，而点直线，则， 又平面平面， 所以平面； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，要证明线面平行，只需要用向量证明该直线与平面内两个相交直线垂直即可. （2）先求出平面与平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式计算即可. （3）根据点到平面的距离公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 设二面角的大小为， 则. 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知，，由（2）知， 平面的法向量， 所以点到平面的距离. 22. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； （3）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以， 当时，恒成立， 所以函数在单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $