天津市西青区杨柳青第一中学2026届高三第三次质量检测（12月月考）数学试题

2025-2026学年度第一学期高三年级第三次阶段性测试 数学学科答案（2025.12) 1-9 ABCCB DACD 10)5 (11)0 (12)4或-12 (13) 93 4 222 3 (16)(本小题满分14分) 解：(I)由己知及正弦定理得V2cosC(sin AcosB+sin B cos A)+sinC=0 5 cosCsim C+sinC=0,:simC≠0eosC=-5,:0<c<元，：C.3z 2 (I)(i)因为a=2,b=2,C=3 ,由余弦定理得 c2=a2+b2-2 abcosC=2+4-2×V2x2× 2 10,c=√10 (近)由_C=b sin C sin B →sinB=5 5 因为B为锐角，所以c0sB= 2V5 5 5m2B=2×52y5_4,c0s2B=co8B-smB=3 -X 555 sin(2B+C)=sin2B cosC+cos2Bsin C= 2+x5. 2 52-10 (17)(本小题满分15分) 【解折】(I)平面ADPQ⊥平面ABCD,平面DPO0平面AB(D=AD, PDc面ADPO,PD⊥AD,∴直线PD⊥平面ABCD. 由题意，以点D为原点，分别以DA,DCDT的方向为x轴，y轴，：轴的正向建立如图空间 直角坐标系， 则可得：D(0.0,0),B(2,2,0).C(0,2,0),1(2.0.0),Q2,0,1八.P(0,0,2). 依题意，易证：D=(-2,0,0)是平面1D(的一个法向量， 又B=(0.2,-),·丽.A而=0，又：直线QB￠平面PDC'，·.QB1/ΨPD'. 高三年级数学第1页共6页 (Ⅱ)？PB=(2,2,-2),PC=0,2,-2).设n=(化M)为平面PBC的法向量， 低8 m2+2y-25=0,不锁设=1，可得可=01，小. 2-2=0 没n=(5,2)为平面P8Q的法向量，又PB=(2,2,-2),P9=(2,0,-1), 则低8{z产00不量-2，可得可a m·PB=0 即 设平面PCB与平面PBQ夹角为O, 则 cosocos(nn13 Inlln2l 2 平面PCB与平面PBQ夹角的正弦值 2 (m)设H0,0,h)(0≤h≤2)，则=(-2,0，h),又P形=(2,2，-2)： ms丽，预75，即、-2洲75 15 25,V4+h151 ÷6-25h+24=0,解得=号或h-号（合去）. 故所求线段DH的长为乞： (18)(本小题满分15分) c_1 a 2 a=2 图D的a+ob339,得6=3，所越腿C的方为士 =1. 2 43 c=1 a2=b2+c2 (Ⅱ)由题意可设M(4,m),(4,n),P(xo,yo),且m>0,n<0. 直线AM的方程为y=(x+2). 6 y=m(x+2, 6 由 r .=1 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0. 43 △=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立. 高三年级数学第2页共6页 4m2-108 54-2m2 由-2x0= 27+m2 解得。= 27+m2 所以%=爱+2) 18m 18m 所以P( 54-2m2 27+m2 27+m227+m). ①当直线PO⊥x轴时，即m=3,风=3， 54-2m2 =1 27+m2 由椭圆的对称性可得|MR曰FR曰NR=3. 又因为∠MRF=∠NRF=90°， 所以∠MFR=∠FNR=45°. ②当直线PQ不垂直x轴时，即m≠3时，n≠3， 18m -0 直线FP的斜率kp=27+m2 6m 6n 54-2m2 -19-m2: 同理ke=g- 27+m2 因为P,F,Q三点共线，所以 6m 6n 9-m=9-7· 所以mn=-9. 在RrAMRE RANRF中，mMR=K=,amZ☑欢3D INRI Inl 3 所以tan∠MFR=tan∠FNR.因为∠MFR,∠FNR均为锐角，所以∠MFR=∠FNR. 综上，若P,F,2三点共线，则∠MFR=∠FNR. (19)(本小题满分15分) 解：（I)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得(a+1=a2ag, 即(2+2d=(1+d)1+7d),解得d=±1，因为an>0,所以d=1, 故an=4+(n-1)d=n, {b}是首项为2，公比为2的等比数列，bn=b·g"=2". (f) 高三年级数学第3页共6页 2a =+++ 台c:c 2+0+…+a2u C3 C2m-1) (L+ aa ajas a2+04+…+ a2m-1a2m+（b2b4 西a-0可2+4周++2得] 1,1 1 段8=2周++6日+m-”+n周 =x+4周+6周++e-2周+2周 所-2×+2x+2日++2份”-2a (Ⅲ)由于2=2,22=4,23=8,24=16,2=32,26=64,2=12所以 d1对应的区间为(0，]，则d1=0: 42,d3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则d2=d=1,即有2个1： d4,4,d6,4,对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,61，(0,7]，则d4=d,=d6=d,=2,即有22个2 d,4,,45对应的区间分别为(0,8]，(0,9].…，(0,15]，则4，=d,==d=3,即有2个3 46,4,,41对应的区间分别为(0.161.(0,17小，…，(0,3，则d46=d,==d1=4,即有2个4 42,4,,4对应的区间分别为(0,32]，(，33]，…，(0,63]，则d2=d==d=5,即有2个5： 44,45,…,410对应的区间分别为(0,64]，(0,6]，…，(0,100]，则dM=d==dm=6,即有37个6. 所以S,0=1×2+2×22+3×2+4×24+5×246x37=480. 高三年级数学第4页共6页 (20)(本小题满分16分) 解：(1)当m=2时，f(x)=1-2x-nx,则f'(x)=-2-，所以f()=-1,f'(=-3, 所以曲线y=f(x)在点(（1，f(1)处的切线方程为y+1=-3(x-1),即3x+y-2=0. (I)函数f()的定义域为(0，+o),且f(x)=-m-1-mr+1, ①当m≥0时，易得f'(x)<0,f(x)在(0，+0)上单调递减， 又f(1)=-1,所以当x>1时，f(x)<-1,不符合题意： ②当m<0时，由f(✉)>0，得x>-立时，即f()在(+网)上单调递增： m 由f()<0,得0<x<-】时，即f()在(0，-上单调递减， 所以f(x,)m=f(扁)=m+lh(m), 因为f(x)≥-l,则其等价于m+ln(-m)2-1,即1+m+ln(-m)≥0. 令u(m)=1+m+h(-m(m<0）,则u(m)=1+1=m+1, m m 所以当m∈(-oo,-l)时，W(m)>0,当m∈(-1,0)时，t'(m)<0, 则u(m)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减， 所以u(m）mx=u(-1)=0,因u(m)之0恒成立，故m=-1. (III)g(x)=f(x)+xe*-m=xe*-Inx-mx-1,xE(0,+co). 令g(x)=0,得e_1nc+1-m=0, 令()=c_1+1-mx0,切)，则gx)与()有相同的零点， 且v()=e_1-(nx+=2e+nx x2 高三年级数学第5页共6页 令r(y=xe+lnxx∈(0，+)，则r(x)=(x2+2x)e*+， 因为当x>0时，'(x)>0,所以r(x)在区间(0，+o)上单调递增， 又日-e2-1<0.0=e>0,所以6e0 使得r(x)=0, 所以当x∈(0，x)时，r(x)<0,即v(x)<0: 当xe(xo,+oo)时，r(x)>0,即'(x)>0, 所以v(x)在(0，x)单调递减，在(x,+∞)单调递增， 所以v()的最小值为()=c_+1-m. Xo 由()=0，得s+,=0,即e=en上， 令p(x)=xe,x∈(0，+oo),则p(x)=(x+1)e>0,则p(x)在(0，+o)单调递增. 因为1.时0.则=o》 所以名=h,从而e=↓， ，xo=-lnxo, 所以v()的最小值()=e_,+1-m=1-m. Xo 因为m>1,所以当x趋近于0时，v(x)趋近于+o: 当x趋近于+oo时，v(x)趋近于+oo,且v(x)mn=1-m<0, 所以(x)有2个零点，故g(x)有2个零点.2025-2026学年度第一学期高三年级第三次阶段性测试 数学学科（2025.12) 一、选释题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上， (1)设全集U=R,集合A={x-l<x<4},B={xy=ln(x-2)》,则AU(CuB)= (A)（-∞，4) (B)（o∞，4] (C)(-1,+∞） (D)R (2)设a,B∈R,则“sina=siB”是“a+B=π”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)函数f(x)=cos2x+2sinx在[-元，π]的图象大致为 A) (4)下列结论中错误的是 (A)在回归模型中，.决定系数越大，则回归拟合的效果越好 (B)样本数据2x+1,2x2十1，…，2x,+1的方差为8，则数据x,x2,…,x,的方差为2 (C)若随机变量X服从正态分布N(3,σ)，且P(X≤4)=0.6，则P(3<X<4)=0.2 (D)具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为y=0.4x一m,若样本点中心为(m,3), 则m=-5 (5)面数f(x=nx+2x-6零点所在的大致区间为(m,n+1)(∈N),则x的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 AB AC (6)若非斐向量AB与AC满 死=0，方，则△MBC为 （A)三边均不相的三角形 (B)直角三角形 (C)底边和腰不相等的等樱三角形 (D)等边三角形 隔计敬敬学第1页共4页 知农曲线号-1>0.b>≥0的顶点为A,离心率为2，抛物线y=2π 一点M(1,)到其焦点的距离为4.若双山线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的方程为 (A)x2-上=1 (B) 3y2=1 (c)x2_ -=1 (D) +3 4-y2=1 (8)已知函数f)=2cos(x+pja>0,习引， 其图象距离y轴最近的一条对称轴方程为 2,最近的一个对称中心为 则下列结论错误的是 (A)9=-I (B)f(x)的图象在区间 11π 12’12 内有2个对称中心 (c)f(x)在区 [司 上单调递增 (D)()的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数y=2s血2x的图象 (9)如图，在直角梯形ABCD中，AB=3CD,BC=4,∠ABC=30,若梯形ABCD绕AD所 在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为 (A)38元 (B)48元 (C)128元 (D)208π 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中 包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分， (10)i是虚数单位，复数z满足二=1+2i,则|z=一 7 (11)(x+y)(x-y)°的展开式中xy的系数是。 （用数字作答) (12)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y+a=0相交，且公共弦长为2√2，则a的值 为 嵇三年纵数丝第2页共4页 (13)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球、5个白球，乙箱中有4个红球、6， 个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机锁出1个球，则摸到红球的概率 为 .:若从甲箱中随机摸出3个球，用X表示摸出红球的个数，则随机变量X的数学期 望为 (14)如图，在△ABC中，点D、F分别为BC、AC中点，AD与BF相交 于点P,点E满足A正=2EB.记AB=a,AC=b,用a,b表示BP= 若AB=3,AC=4,BAC=60°，则BP.ED= (15)已知函数f(x)满足f(x)= 2Wx-a-x+1,x≥2， x-a-x-1,x<2. 若函数f(x)恰好有3个零点，则实数a 的取值范围是 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (16)(本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V2cosC(acos B+bcosA)+c=0. (I)求C的大小； (Ⅱ)当a=5,b=2时， (1)求边长c: (i)求sin(2B+C)的值. (17)(本小题满分15分) 如图，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA,PD⊥AD, 平面ADPQ⊥平面ABCD,且AD=PD=2QA=2. (I)求证：OB∥平面PDC: (II)求平面PCB与平面PBQ夹角的正弦值： (II)已知点川在棱PD:上，且异面直线AIH与PB所成角 D 的氽弦值为7V5 ，求线段DH的长 高三年级数学第3页共4资 (18)(本小题满分15分) 己知椭圆+上 豆+存=1(>b>0)的离心率为行右焦点为P,左顶点为4，上顶点为B, △ABF的面积为3N 2 （I)求椭圆的方程： (II)己知点R的坐标为(4，O),M,N是直线x=4上的两点(M在x轴上方，N在x轴 下方)，直线AM,AN与椭圆分别交于P,Q两点.若P,F,2三点共线，求证：∠MFR=∠FNR. (19)(本小题满分15分) 已知{an}是公差大于0的等差数列，a1=1,a,+1是a2和a的等比中项.{bn}是公比大于0 的等比数列，b=2,b-b2=4. (I)求{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)对任意的正整数n,设cn= a+2,n为奇数，n bn, n为偶数.示白c (Ⅲ)记dm为{bn}在区间(0，m](meN)中的项的个数，求数列{dnm}的前100项和. (20)(本小题满分16分) 己知函数f(x)=m(1-x)-1-lnx. (I)当m=2时，求曲线y=∫(x)在点(1，∫(1)处的切线方程； (Ⅱ)若f(x)≥-1，.求m的值： (I)当m>1时，求证：g(x)=f(x)+xe*-m有2个零点. 高三年级数弊第4页共4赏