精品解析：山东省威海市实验高级中学2025-2026学年高一下学期第二次诊断性考试数学试题

威海实验高中08级高一第二次诊断性考试 数学试题 出题人：邹玲 审题人：张云霞 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】 由题，所以其终边在第三象限. 【详解】由题，所以的终边与的终边相同，在第三象限， 所以是第三象限角. 故选：C 【点睛】此题考查求角的终边所在的象限，关键在于将角写成的形式进行辨析. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列式求解即可. 【详解】解：因为向量，，且， 所以，解得. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用算出答案即可. 【详解】因为 所以 故选：A 4. 设P为内一点，且，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别在线段上取点，使得，，然后利用向量条件得到，从而得出，最后利用即得结果. 【详解】如图，分别在线段上取点，使得，， 则，，代入得， 所以四边形是平行四边形，从而，即， 所以，所以与的面积之比为. 5. 若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出平移后函数解析式，由函数图象关于轴对称知函数为偶函数，结合诱导公式可得的表达式，然后可得最小正值． 【详解】将函数的图像向右平移个单位，所得图象对应的解析式为，因为所得图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数，因此，解得，故的最小正值是． 故选：A． 6. 已知，，则向量在方向上的投影为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求得的坐标，利用向量的坐标即可求得结果. 【详解】∵，，∴． ∴，． ∴向量在方向上的投影为． 故选：D． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题. 7. 已知，则的值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： ，所以，所以，故选A. 考点：两角和与差的三角函数与诱导公式. 【方法点晴】本题是给条件求值，先通过三角恒等变换把条件用两角和的正弦公式展开，再合起来化为一角、一名、一次式的形式，本质上都是两角和和与差的正、余弦公式的应用，再通过“凑角”用变形得到的角把待求值角的角表示出来，通过诱导公式来解决问题，最后求值时要注意函数名和符号的变化，不然很容出现错误. 8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过三角恒等变形将函数化为正弦函数，再利用正弦函数零点的周期性，将区间无零点条件转化为相位区间包含于相邻整数倍之间的不等式组，并结合参数范围限制求得满足条件的整数取值，最终确定参数取值范围. 【详解】 ， 由，得. 因为在上无零点，所以， 所以， 所以，解得. 因为，所以或. 当时，； 当时，； 当时，， 综上的取值范围是. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.错选不得分，部分选对得部分分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二倍角公式依次求解各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，故错误； 对于B选项，，故正确； 对于C选项，，故正确； 对于D选项，，故正确； 故选：BCD 10. 已知向量，，函数，下列命题，说法正确的选项是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的单调增区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】由数量积运算计算出并化为一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质验证各选择支． 【详解】， 其最小正周期是，A正确； 又，因此图象关于点对称，B正确； 得，因此是图象的一条对称轴，C错误； 由，得，即增区间，，D错误． 故选AB． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的图象与性质．三角函数问题常常把函数化为形式，然后利用正弦函数的性质求解． 11. 正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为0.5 B. 最大值为1 C. 的最大值为 D. 最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设利用坐标表示出向量关系，得到，再利用辅助角公式和三角函数的取值逐项判断即可. 【详解】以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 则，，，，． 设，，则，，， 由，得，则， 解得， 对于A，， 其中锐角由确定，，则当时，，A错误； 对于B，，，即，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 则， 而，当时，取得最大值为，C错误． 对于D，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若， 为第三象限角，则______ 【答案】 【解析】 【分析】首先将正切变为正弦和余弦，再结合二倍角公式，化简求值. 【详解】因为，且为第三象限角，所以， . 故答案为： 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】由题设，又与的夹角为锐角， 所以，则， 所以，可得且. 14. 在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点关于的对称点为，求得点，结合三角函数的定义，即可求解． 【详解】设点关于的对称点为， 可得，解得， 即角的终边上一点的坐标为， 根据三角函数的定义，可得． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. （1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案. （2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 16. 已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为． （1）求的值及的对称中心； （2）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的性质求出的值，以及对称中心； （2）根据正弦型函数的图象变换求出的解析式，再由正弦函数的图象性质即可求得该函数在给定区间上的值域. 【小问1详解】 由 ， 因，是函数的两个零点，且的最小值为， 则函数的周期，即，解得，则. 由，可得. 故，的对称中心为； 【小问2详解】 依题意，将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位， 可得， 因，则，由正弦函数的图象性质可得， 故在上的值域为. 17. 已知菱形的边长为2，为对角线（异于，）上一点． （Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底表示，并求； （Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得，由根据平面向量数量积的运算律求出，最后根据计算可得； （Ⅱ）依题意可得，如图建立平面直角坐标系，设，表示出，的坐标，再根据数量积的坐标运算得到，即可得解； 【详解】解：（Ⅰ）由可知，，从而 ， 因为，所以， 因为，，解得， 所以． （Ⅱ）因为，所以， 以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由为（异于，）上一点，从而设，则，，所以，，因此，因此，与的夹角为． 18. 某同学用“五点法”画函数（）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： （Ⅰ）请求出上表中的，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，若函数在（其中上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为、，求与夹角θ的大小． 【答案】（1），，，；（2）. 【解析】 【详解】（1），，， ∴， （2）将的图象沿x轴向右平移个单位得到函数， 由于在上的值域为， 则，故最高点为，最近点为． 则，，则，故． 19. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式，把化成标准形式，再套单调区间通式，解出的范围即可； （2）先算出时，的范围，再得到的值域，最后转化为恒成立，代入最值求出的范围； （3）先换元，利用，把三角方程变成关于的代数方程，再根据的区间求的范围，最后整理方程根据单调性，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以令，则， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 因为该不等式对任意恒成立， 所以 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题意有， 则关于的方程为， 令， 当时，， ， 则，有， 若关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威海实验高中08级高一第二次诊断性考试 数学试题 出题人：邹玲 审题人：张云霞 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设P为内一点，且，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，，则向量在方向上的投影为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，则的值是 A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.错选不得分，部分选对得部分分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，函数，下列命题，说法正确的选项是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的单调增区间为 11. 正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为0.5 B. 最大值为1 C. 的最大值为 D. 最大值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若， 为第三象限角，则______ 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. （1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 16. 已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为． （1）求的值及的对称中心； （2）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域. 17. 已知菱形的边长为2，为对角线（异于，）上一点． （Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底表示，并求； （Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角． 18. 某同学用“五点法”画函数（）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： （Ⅰ）请求出上表中的，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，若函数在（其中上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为、，求与夹角θ的大小． 19. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $