精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 所有单位向量都相等 C. 向量模是一个正实数 D. 相反向量的模一定相等 4. 在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 的最大值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 7. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则 B. 若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是 C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2 D. 存在ω，对，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 13. 已知正边长为2，则__________. 14. 不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，. （1）用，表示； （2）求； （3）若，，求实数t值. 16. 已知. （1）化简； （2）若α，β为锐角，，. ①求角； ②求的值. 17. 已知平面向量，，. （1）求在方向上投影向量的数量； （2）求； （3）求与夹角余弦值. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，，，求； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 19. 已知函数，（）. （1）若，求的值； （2）若函数，求的最小正周期与对称轴方程； （3）若存在，使得对任意的恒成立，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果. 【详解】因为， 所以与的终边相同. 故选：D. 2. 已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由扇形的面积公式结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 又扇形的面积，将上式代入，得， 当且仅当时，有最大值1． 故选：A． 3. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 所有单位向量都相等 C. 向量的模是一个正实数 D. 相反向量的模一定相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 4. 在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题:,变形即可. 【详解】由题:, 故, 故选:B. 5. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义得，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为的终边经过点，则，所以， 故选：C. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 的最大值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式与二倍角公式将函数化为，即可判断选项A，B；利用对称轴公式即可判断C；利用正弦函数的单调性即可判断选项D； 【详解】 对于选项A：由上边推导知选项A错误； 对于选项B：由以上推导得到最大值为，故选项B错误； 对于选项C：令，不存在整数k使得，故选项C错误； 对于选项D:当时，，正弦函数在区间上单调递增，故选项D正确； 故选：D 7. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果. 【详解】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为， 故选：D 8. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用和角余弦公式及辅助角公式，结合最大值有，进而求得，最后应用二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设 ，且， 所以，则，可得， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示和模长公式即可判断A,B，利用平面向量的数量积即可判断C，利用三角形的面积公式即可判断D； 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：由选项A,B知，， 因为，故，故选项C正确； 对于D：由选项C知，且，， 所以，故D错误； 故选：BC 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二倍角公式及诱导公式五计算可判断A；根据二倍角公式及诱导公式五计算可判断B；根据，利用两角和的正切公式化简求值可判断C；根据正切二倍角公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则 B. 若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是 C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2 D. 存在ω，对，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式得，再应用正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】A选项， ， 所以的图象上最高点和最低点间距离的最小值为， 所以，可得，A对； B选项，由，则， 又，故， 要想的图象在上单调递增， 需满足，可得，B错； C选项，由的图象关于轴对称， 所以，可得， 由，故当时，取得最小值，最小值，C对； D选项，对，恒成立， 即的图象关于对称， 所以，则，故满足要求， 显然存在ω，对，恒成立，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】列不等式求解即可. 【详解】由题：，即， 由正弦函数的图像与性质得：， 故答案为：. 13. 已知正边长为2，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的公式直接计算即可. 【详解】如图所示， 因为与的夹角为， 所以， 故答案为： 14. 不等式对于任意恒成立，则实数a取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，问题化为恒成立，讨论、，并令，得到，再讨论、、并应用基本不等式求右侧范围，即可得参数范围. 【详解】令，则，故恒成立， 若时，有； 若时，则， 令，则，所以， 当，时，； 当时，，当且仅当时取等号，此时； 当时，，当且仅当时取等号，此时； 综上，，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，. （1）用，表示； （2）求； （3）若，，求实数t的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用表示出，即可得； （2）应用向量数量积的运算律求，即可得； （3）由，，再应用向量垂直及数量积的运算律列方程求参数值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由，，则，所以. 【小问3详解】 由，， 因为，所以，所以， 即，解得. 16. 已知. （1）化简； （2）若α，β为锐角，，. ①求角； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式即可化简得到结果. （2）①利用和角的正切公式即可求得公式 ②利用二倍角公式即可化简，再将①的结果代入即可求得结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 ①由题意可得，， 由α，β为锐角，可得， 由，所以. ②原式. 17. 已知平面向量，，. （1）求在方向上的投影向量的数量； （2）求； （3）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）投影向量的数量为，代入计算即可； （2）将模长问题转化为数量积运算求解即可； （3）将夹角问题转化为数量积运算求解即可. 【小问1详解】 ， 所以投影向量的数量为. 【小问2详解】 ， ， 所以. 【小问3详解】 ， 所以. 所以与夹角的余弦值为. 18. 已知函数（，，）部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，，，求； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像确定周期，从而求出再代入图像中的一个点即可求出； （2）根据同角三角函数的关系即可得到，再利用与两角差的正弦公式即可求得结果； （3）将恒成立问题，转化为最值问题，再利用二次函数的动轴定区间即可求得结果. 【小问1详解】 依题意知，，， 所以，又，可得，故函数（）， 由图象经过点，所以， 可得，所以，， 所以，，又因为，所以， 所以， 令解得， 故对称中心为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 由， 可得，即，可得， 所以； 【小问3详解】 因为对任意的，，都有， 所以， 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，， 对称轴为，所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 19. 已知函数，（）. （1）若，求的值； （2）若函数，求的最小正周期与对称轴方程； （3）若存在，使得对任意的恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据计算即可； （2）由题意得，利用同角三角函数基本关系及二倍角公式化简后即可求解； （3）由得对任意的恒成立，令，得对恒成立，计算即可求解. 小问1详解】 由题意得，平方可得， 所以 所以 ； 【小问2详解】 ， ， 所以最小正周期为，对称轴方程为，； 【小问3详解】 存在，使得对任意的恒成立， 因为当时，有，所以， 所以对任意的恒成立， 令，则，， 则恒成立， 即对恒成立， 因为在上单调递减，即， 所以对恒成立， 所以，可得，所以t的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$