河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一上期01月测试（二）

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数.对于，都有成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D．1 7．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数，则（   ） A． B． C． D． 10．若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B． C．函数图象关于点中心对称 D．当时， 11．已知函数，则（    ） A．在区间单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为 . 13．已知角满足，则 . 14．已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知集合，集合. (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16．（15分）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式． (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 17．（15分）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 18．（17分）已知函数 ，； (1)解不等式： ； (2)求证： 为定值，并求的值； (3)若满足 ，满足，求 的值. 19．（17分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： (2)已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期01月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C B D A D C ACD BC BCD 12．6 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性求出集合，再利用并集的概念运算； （2）根据一元二次不等式求解集合，再根据是的真子集求m的取值范围. 【详解】（1）， ， 故. （2）， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，得， 故实数m的取值范围为. 16．(1) (2)对称中心，对称轴， 【分析】（1）观察图象得到、及图象上点，由求，代入点求，得到解析式； （2）由图象变换得到解析式，整体代换求解对称中心和对称轴. 【详解】（1）由图，，，所以，，所以， 又图象过点，所以，所以， 解得，又，所以， 所以. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数， 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到， 由，解得；由，解得， 所以图象的对称中心为，对称轴. 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为，然后根据正弦函数的单调性求解单调递增区间即可； （2）由得，然后根据正弦函数性质求解值域即可； （3）设，根据得，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式得，，最后利用两角差正弦公式化简求值即可. 【详解】（1）. 令， 所以的单调递增区间为，； （2）当时，所以，所以，所以的值域为； （3）设，则， 由于，故， 所以，所以，， 故. 18．(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质化简不等式，结合换元法、一元二次不等式的解法、对数函数的单调性进行求解即可； （2）根据指数的运算性质，结合定值的特征运用倒序相加进行求解即可； （3）根据所给的两个等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）已知，则， ， 所以不等式可化为， 令，则不等式变为， 即，解得或， 当时，， 当时，， 所以，不等式的解集为. （2）已知，则，， 所以为定值， 令， 则， 两式相加得，所以， 即的值为. （3）已知满足，即， 已知满足，即， 令， 则原方程组可化为和， 而可化为， 设，因为函数都是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 由，， 所以有， 因为函数是实数集上的增函数 所以，即，， 所以. 19．(1) (2)（i）函数图象的对称中心为，在的值域为；（ii）实数的取值范围为：，的取值范围为：． 【分析】（1）根据函数的对称性得，赋值求得，从而得所求； （2）（i）设的对称中心为，根据对称性列方程，比较系数即可得解析式，根据复合函数单调性求解最值即可得在的值域；（ii）令，，，根据范围得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，从而得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且图象关于点对称， 则函数为奇函数， 所以， 则令得，令得，即， 所以； （2）（i）设的对称中心为，函数为奇函数， 则恒成立， 所以 整理得，故，解得， 所以函数的对称中心为， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单增， 所以，故在的值域为； （ii）令，由（i）知， 令，因为在单调减，在单调递增， 且，又 则①当时，方程有两个不等根且， 则，所以； ②当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1， 又方程转化为 设， 由二次函数与的图象特征， 原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，， 且有两个不等根，只有一个根，则必有， 当时，结合二次函数的图象， 则有，解之得； 综上，实数的取值范围为：； 此时，则其根，故必有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $