专题2.4 导数的综合应用 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题2.4 导数的综合应用 考点预览 考点一 函数图象与导数信息提取 考点二 函数零点与方程的根 考点三 恒成立与参数范围 考点四 导数的实际应用（优化问题） 考点五 导数综合证明 一、知识填空 1．由导数信息还原函数图象 （1） 的区间对应 图象 的区间。 （2） 且 在 两侧变号，则（，）是图象上的 点。 2．函数零点与方程的根 （1） 的根即 图象与 轴 的横坐标。 （2）判断零点个数：先求 定形，再用 确定与 轴的相对位置。 3．恒成立问题 （1） 在区间 上恒成立 在 上的 。 （2） 恒成立 的最小值 。 4．能成立（有解）问题 （1） 在 上有解 在 上的 。 （2） 在 上有解 在 上的 。 5．实际应用的一般步骤 （1）设变量 → 建立函数模型（注意 ）→ 求导 → 确定最值 → 作答。 （2）实际问题的最值一般在 点或边界取得。 二、考点专练 考点一 函数图象与导数信息提取 方法与技巧： 1. 识别信号：给出 或 的图象，判断另一者的图象、单调性、极值点个数。 1. 操作流程：导图正负 → 原图升降；导图零点变号 → 原图极值点；原图上升（下降）→ 导图正（负）。 1. 技巧·口诀："导图定升降，零点定峰谷；正负看上下，变号看穿过"。 1. 易错点：导图与 轴相切（不变号）处不是极值点；不要把 的极值点当成 的极值点。 【例题精讲】 1．已知 的图象是一条开口向上的抛物线，与 轴交于 和 ，则 的极小值点为（　　） A． B． C． D．不存在 2．若 的图象在 上持续上升，则该区间上 满足（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式训练】 1．已知 ，则 的图象在（　　）处达到谷底（极小值点） A． B． C． D． 2．若 在 上恒为正，则 的图象在 上（　　） A．持续上升 B．持续下降 C．先升后降 D．不能确定 3．导函数 的图象与 轴相切于 （不变号），则 （　　） A．不是极值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是最值点 【巩固练习】 1．已知 ，则 的极大值点为（　　） A． B． C． D．不存在 2．已知 ，则 的极小值点为（　　） A． B． C． D． 3．若 在 处取得极大值，则图象上点（，）是局部的（　　） A．最高点 B．最低点 C．中点 D．端点 4．函数 的图象的峰（极大值点）的横坐标为（　　） A．-1 B．1 C．0 D．3 5．若 对一切 成立，则 图象的特征是（　　） A．单调上升无峰谷 B．有峰有谷 C．单调下降 D．关于原点对称 6．已知 （）的极小值点为 ，则图象在 处（　　） A．达到局部最低 B．达到局部最高 C．穿过 x 轴 D．与 x 轴相切 7．由 的图象判断 的符号时，上升段对应（　　） A． B． C． D．无规律 8．下列关于 与 图象的说法正确的是（　　） A． 的零点（变号）对应 的极值点 B． 的零点对应 的极值点 C．两者图象形状相同 D． 的图象不能确定 的单调性 考点二 函数零点与方程的根 方法与技巧： 1. 识别信号：判断方程 （或 ）根的个数。 1. 操作流程：分离参数（）或直接研究 ；求导定单调性与极值；画草图按极值与 轴（或水平线）的相对位置数交点。 1. 技巧·口诀："求导定形画草图，峰谷与轴比高低；参数分离更直观，水平线上数交点"。 1. 易错点：极值恰好等于 0 时是相切情形，根的个数要单独讨论；单调区间端点处的极限（）要交代清楚。 【例题精讲】 1．判断方程 的实根个数。 A．3 B．2 C．1 D．0 2．方程 有三个不同实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．方程 在 上的根的个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 2．方程 的实根个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．若函数 恰有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意 【巩固练习】 1．方程 的实根个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 2．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．方程 ？令 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．0 C．-1 D．e 4．由上题，方程 的实根个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若函数 极大值或极小值恰为 0 ，则（　　） A．恰有两个零点 B．恰有一个零点 C．恰有三个零点 D．无零点 6．方程 的实根个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 7．用导数判断方程根的个数的核心是（　　） A．研究函数的单调性、极值并数图象交点 B．直接解方程 C．代入特殊值 D．用二分法 8．函数 （）与 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 考点三 恒成立与参数范围 方法与技巧： 1. 识别信号：（或 ）在区间 上恒成立，求 的范围。 1. 操作流程：最值法——恒成立转化为 （或 ）；先求导分析 在 上的最值；分离参数时注意方向。 1. 技巧·口诀："恒成立转最值，小的看最小大的看最大；分离参数定方向，等号取到要检验"。 1. 易错点：分母含参数或含变量时不等号方向可能翻转；"恒成立"与"能成立（有解）"条件不同——前者对接最小（大）值，后者相反。 【例题精讲】 1．若 对一切 成立，求 的取值范围。 2．若 对一切 成立，求 的取值范围。 【变式训练】 1．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若 对 恒成立，则的最大值为（　　） A． B． C． D．不存在 3．若 对 恒成立？令 ， 在 上的最小值为（　　）（用 表示） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若 对 有解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若 在 上恒成立？ 在 上（　　） A．单调递增，最大值 ，恒成立 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 4．若 对 恒成立？等价于 的最大值（　　） A．1 B．0 C．2 D． 5．若 对 恒成立，则的取值范围为（　　） A．，无最小值，故不存在这样的 ？注意 时恒成立 B． C． D． 6．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．令 ， 在 上的最小值为（　　）（用 表示） A． B． C． D． 8．恒成立问题转化的基本思路是（　　） A．转化为函数最值问题 B．转化为零点问题 C．转化为奇偶性问题 D．转化为周期性问题 考点四 导数的实际应用（优化问题） 方法与技巧： 1. 识别信号：用料最省、利润最大、容积最大、费用最低等实际问题。 1. 操作流程：设自变量 → 依题意写出目标函数并注明定义域 → 求导 → 在定义域内求最值 → 检验作答（带单位）。 1. 技巧·口诀："一设二列三求导，四定最五回头报；定义域里找最值，答句单位不能少"。 1. 易错点：漏写实际意义下的定义域（如长度为正）；最值点必须是实际允许的解；作答要回答实际问题而非只给导数结果。 【例题精讲】 1．用长为 m 的铁丝围成一个矩形，当边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 2．某商品利润（万元）， 为销量（千件），，求利润最大时的销量与最大利润。 【变式训练】 1．周长一定的矩形中面积最大的是（　　） A．正方形 B．长方形（长宽比 2:1） C．长方形（长宽比 3:1） D．不能确定 2．容积问题中，，其定义域为（　　） A． B． C． D． 3．实际问题求出 后，还需（　　） A．确认 在定义域内且确为最值 B．直接作答 C．舍去该点 D．再求二阶导（超出要求） 【巩固练习】 1．面积为 的矩形中周长最小的是（　　） A．正方形 B．长与宽比为 2:1 的矩形 C．长与宽比为 3:1 的矩形 D．不能确定 2．把 20 cm 铁丝围成矩形，最大面积为（　　） A． B． C． D． 3．利润函数 的最大值在 （　　）处取得 A．9 B．4 C．18 D．36 4．实际应用题中设自变量后，第一步要确定（　　） A．目标函数与定义域 B．导数值 C．极值个数 D．单调区间个数 5．函数 （）的最大值为（　　） A．25 B．24 C．20 D．30 6．若利润函数在定义域内单调递增，则利润最大在（　　）取得 A．定义域右端点（或上界） B．内部极值点 C．左端点 D．不能确定 7．无盖方盒容积问题中，设底边长 、高 ，容积 ，还需要的条件是（　　） A．材料总面积（表面积）限制 B． 的任意值 C． 与 无关 D．以上都不需要 8．优化问题作答时，最后一步是（　　） A．回答实际问题（含单位） B．求二阶导数 C．画函数图象 D．重新设变量 考点五 导数综合证明 方法与技巧： 1. 识别信号：证明含 、 的简单不等式、比较代数式大小。 1. 操作流程：移项构造 ，求导判断 的单调性，借助最值（端点或极值）得到 （或 ）。 1. 技巧·口诀："移项构造再求导，单调最值定符号；最值压轴是关键，端点极限别忘掉"。 1. 易错点：构造函数后必须确定定义域；用最值证不等式时取等条件要与原命题一致（严格不等号时最值不能取等）。 【例题精讲】 1．证明：当 时，。 2．证明：当 时，。 【变式训练】 1．证明 （）时构造的函数为（　　） A． B． C． D． 2．证明 （）时， 的最小值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．e 3．证明 （）可构造（　　） A．，B．， 的最大值 C． D． 【巩固练习】 1．当 时，比较 与 的大小。 A． B． C．相等 D．不能确定 2．证明 的关键步骤是研究 的（　　） A．最小值 B．最大值 C．零点个数 D．奇偶性 3．当 时， 与 的大小为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 4．构造函数证明不等式时，第一步是（　　） A．移项使一侧为 0，确定定义域 B．直接求最大值 C．画图 D．数学归纳 5．当 时， 与 的大小为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 6．当 时，比较 与 。 A． B． C．相等 D．不能确定 7．已知 ，则 ，该说法（　　） A．正确 B．错误 C．仅当 x<1 D．无法判断 8．导数证明不等式的本质是（　　） A．利用函数单调性与最值 B．利用函数奇偶性 C．利用周期性 D．利用对称性 三、达标检测 1．已知 ，则 的极大值点为（　　） A． B． C． D．不存在 2．方程 的实根个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．方程 在 上的根的个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 5．当 时， 与 的大小为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 6．函数 有三个不同零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．用长为 20 m 的铁丝围成矩形，最大面积为（　　） A． 平方米 B． 平方米 C． 平方米 D． 平方米 9．证明：当 时，。 10．方程 有三个不同实根，求 的取值范围。 11．若 对一切 成立，求 的取值范围。 12．用长为 20 m 的铁丝围成一个矩形，当边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 导数的综合应用 考点预览 考点一 函数图象与导数信息提取 考点二 函数零点与方程的根 考点三 恒成立与参数范围 考点四 导数的实际应用（优化问题） 考点五 导数综合证明 一、知识填空 1．由导数信息还原函数图象 （1） 的区间对应 图象 的区间。 （2） 且 在 两侧变号，则（，）是图象上的 点。 2．函数零点与方程的根 （1） 的根即 图象与 轴 的横坐标。 （2）判断零点个数：先求 定形，再用 确定与 轴的相对位置。 3．恒成立问题 （1） 在区间 上恒成立 在 上的 。 （2） 恒成立 的最小值 。 4．能成立（有解）问题 （1） 在 上有解 在 上的 。 （2） 在 上有解 在 上的 。 5．实际应用的一般步骤 （1）设变量 → 建立函数模型（注意 ）→ 求导 → 确定最值 → 作答。 （2）实际问题的最值一般在 点或边界取得。 自检自纠： 1．（1）上升 （2）极值（峰谷） 2．（1）交点 （2）单调性；极值 3．（1）最小值 （2）不小于（） 4．（1）最大值 （2）最小值 5．（1）定义域 （2）极值 二、考点专练 考点一 函数图象与导数信息提取 方法与技巧： 1. 识别信号：给出 或 的图象，判断另一者的图象、单调性、极值点个数。 1. 操作流程：导图正负 → 原图升降；导图零点变号 → 原图极值点；原图上升（下降）→ 导图正（负）。 1. 技巧·口诀："导图定升降，零点定峰谷；正负看上下，变号看穿过"。 1. 易错点：导图与 轴相切（不变号）处不是极值点；不要把 的极值点当成 的极值点。 【例题精讲】 1．已知 的图象是一条开口向上的抛物线，与 轴交于 和 ，则 的极小值点为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】 在 两侧左负右正（抛物线开口向上）， 为极小值点； 为极大值点。故选 B。 2．若 的图象在 上持续上升，则该区间上 满足（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】上升段导数非负。故选 A。 【变式训练】 1．已知 ，则 的图象在（　　）处达到谷底（极小值点） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，左负右正为极小。故选 A。 2．若 在 上恒为正，则 的图象在 上（　　） A．持续上升 B．持续下降 C．先升后降 D．不能确定 【答案】A 【详解】导恒正即上升。故选 A。 3．导函数 的图象与 轴相切于 （不变号），则 （　　） A．不是极值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是最值点 【答案】A 【详解】导数不变号，无极值。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的极大值点为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】： 正， 负， 正； 处左正右负为极大值点。故选 A。 2．已知 ，则 的极小值点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 处左负右正为极小值点。故选 A。 3．若 在 处取得极大值，则图象上点（，）是局部的（　　） A．最高点 B．最低点 C．中点 D．端点 【答案】A 【详解】极大值是局部最高。故选 A。 4．函数 的图象的峰（极大值点）的横坐标为（　　） A．-1 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】极大值点 。故选 A。 5．若 对一切 成立，则 图象的特征是（　　） A．单调上升无峰谷 B．有峰有谷 C．单调下降 D．关于原点对称 【答案】A 【详解】恒增无极值。故选 A。 6．已知 （）的极小值点为 ，则图象在 处（　　） A．达到局部最低 B．达到局部最高 C．穿过 x 轴 D．与 x 轴相切 【答案】A 【详解】极小值点即局部谷底。故选 A。 7．由 的图象判断 的符号时，上升段对应（　　） A． B． C． D．无规律 【答案】A 【详解】上升段导数非负。故选 A。 8．下列关于 与 图象的说法正确的是（　　） A． 的零点（变号）对应 的极值点 B． 的零点对应 的极值点 C．两者图象形状相同 D． 的图象不能确定 的单调性 【答案】A 【详解】导数变号零点对应极值点。故选 A。 考点二 函数零点与方程的根 方法与技巧： 1. 识别信号：判断方程 （或 ）根的个数。 1. 操作流程：分离参数（）或直接研究 ；求导定单调性与极值；画草图按极值与 轴（或水平线）的相对位置数交点。 1. 技巧·口诀："求导定形画草图，峰谷与轴比高低；参数分离更直观，水平线上数交点"。 1. 易错点：极值恰好等于 0 时是相切情形，根的个数要单独讨论；单调区间端点处的极限（）要交代清楚。 【例题精讲】 1．判断方程 的实根个数。 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】令 ，极大值 ，极小值 ，且 时 ，图象三次穿过 轴，共 3 个实根（，）。故选 A。 2．方程 有三个不同实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等价于 与 有三个交点； 的极大值 、极小值 ，故 ，即 。故选 A。 【变式训练】 1．方程 在 上的根的个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】令 ， 恒增；，，由零点存在定理恰有 1 根。故选 A。 2．方程 的实根个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】作图：、 为根； 时两图象还交于一点（ 时 ，），共 3 个根。故选 A。 3．若函数 恰有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意 【答案】A 【详解】有三个零点需先有两个极值点， 有两根需 。故选 A。 【巩固练习】 1．方程 的实根个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】零点 ，，共 3 个。故选 A。 3．方程 ？令 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．0 C．-1 D．e 【答案】A 【详解】 得 ，最小值 。故选 A。 4．由上题，方程 的实根个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】，无实根。故选 A。 5．若函数 极大值或极小值恰为 0 ，则（　　） A．恰有两个零点 B．恰有一个零点 C．恰有三个零点 D．无零点 【答案】A 【详解】极值恰为 0 时图象与 x 轴相切于峰谷，共两个不同零点。故选 A。 6．方程 的实根个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】令 ， 恒增；，，恰 1 根。故选 A。 7．用导数判断方程根的个数的核心是（　　） A．研究函数的单调性、极值并数图象交点 B．直接解方程 C．代入特殊值 D．用二分法 【答案】A 【详解】导数定形后数交点。故选 A。 8．函数 （）与 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】 即 ，判别式 且两根均正，2 个交点。故选 A。 考点三 恒成立与参数范围 方法与技巧： 1. 识别信号：（或 ）在区间 上恒成立，求 的范围。 1. 操作流程：最值法——恒成立转化为 （或 ）；先求导分析 在 上的最值；分离参数时注意方向。 1. 技巧·口诀："恒成立转最值，小的看最小大的看最大；分离参数定方向，等号取到要检验"。 1. 易错点：分母含参数或含变量时不等号方向可能翻转；"恒成立"与"能成立（有解）"条件不同——前者对接最小（大）值，后者相反。 【例题精讲】 1．若 对一切 成立，求 的取值范围。 【答案】 【详解】令 ，对称轴 ，在 上递增，最小值 ，故 。 2．若 对一切 成立，求 的取值范围。 【答案】 【详解】分离参数： 对 恒成立；令 ，，最大值 ，故 。 【变式训练】 1．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（ 取等），故 。故选 A。 2．若 对 恒成立，则的最大值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】 得 ，最小值 。故选 A。 3．若 对 恒成立？令 ， 在 上的最小值为（　　）（用 表示） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上恒正，最小值 。故选 A。 【巩固练习】 1．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上最小值 ，故 。故选 A。 2．若 对 有解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有解即 的最小值 。故选 A。 3．若 在 上恒成立？ 在 上（　　） A．单调递增，最大值 ，恒成立 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【答案】A 【详解】 恒增，最大值 ，故恒成立。故选 A。 4．若 对 恒成立？等价于 的最大值（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】 在 上最大值 ，故 。故选 A。 5．若 对 恒成立，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 且可任意接近 0： 时 恒成立，故 。故选 A。 6．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上最小值 ，故 。故选 A。 7．令 ， 在 上的最小值为（　　）（用 表示） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称轴 在区间右端，函数在 上递减，最小值 ，故 。故选 A。 8．恒成立问题转化的基本思路是（　　） A．转化为函数最值问题 B．转化为零点问题 C．转化为奇偶性问题 D．转化为周期性问题 【答案】A 【详解】恒成立即最值约束。故选 A。 考点四 导数的实际应用（优化问题） 方法与技巧： 1. 识别信号：用料最省、利润最大、容积最大、费用最低等实际问题。 1. 操作流程：设自变量 → 依题意写出目标函数并注明定义域 → 求导 → 在定义域内求最值 → 检验作答（带单位）。 1. 技巧·口诀："一设二列三求导，四定最五回头报；定义域里找最值，答句单位不能少"。 1. 易错点：漏写实际意义下的定义域（如长度为正）；最值点必须是实际允许的解；作答要回答实际问题而非只给导数结果。 【例题精讲】 1．用长为 m 的铁丝围成一个矩形，当边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 【答案】边长为 m 的正方形时最大，面积为 平方米 【详解】设一边长 （），则面积 ， 得 ； 在 处取最大值 。 2．某商品利润（万元）， 为销量（千件），，求利润最大时的销量与最大利润。 【答案】销量 千件时利润最大，最大利润 万元 【详解】 得 ； 在 递增、 递减，最大值 万元。 【变式训练】 1．周长一定的矩形中面积最大的是（　　） A．正方形 B．长方形（长宽比 2:1） C．长方形（长宽比 3:1） D．不能确定 【答案】A 【详解】由均值不等式或导数均得正方形。故选 A。 2．容积问题中，，其定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】容积为正需 。故选 A。 3．实际问题求出 后，还需（　　） A．确认 在定义域内且确为最值 B．直接作答 C．舍去该点 D．再求二阶导（超出要求） 【答案】A 【详解】实际问题的解要符合定义域与实际意义。故选 A。 【巩固练习】 1．面积为 的矩形中周长最小的是（　　） A．正方形 B．长与宽比为 2:1 的矩形 C．长与宽比为 3:1 的矩形 D．不能确定 【答案】A 【详解】对偶结论：定面积正方形周长最小。故选 A。 2．把 20 cm 铁丝围成矩形，最大面积为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】A 【详解】正方形边长 5，面积 25。故选 A。 3．利润函数 的最大值在 （　　）处取得 A．9 B．4 C．18 D．36 【答案】A 【详解】 得 。故选 A。 4．实际应用题中设自变量后，第一步要确定（　　） A．目标函数与定义域 B．导数值 C．极值个数 D．单调区间个数 【答案】A 【详解】建模需目标函数与定义域。故选 A。 5．函数 （）的最大值为（　　） A．25 B．24 C．20 D．30 【答案】A 【详解】 得 ，。故选 A。 6．若利润函数在定义域内单调递增，则利润最大在（　　）取得 A．定义域右端点（或上界） B．内部极值点 C．左端点 D．不能确定 【答案】A 【详解】增函数最大在右端。故选 A。 7．无盖方盒容积问题中，设底边长 、高 ，容积 ，还需要的条件是（　　） A．材料总面积（表面积）限制 B． 的任意值 C． 与 无关 D．以上都不需要 【答案】A 【详解】约束条件（表面积固定）建立 与 的关系。故选 A。 8．优化问题作答时，最后一步是（　　） A．回答实际问题（含单位） B．求二阶导数 C．画函数图象 D．重新设变量 【答案】A 【详解】规范作答需回应实际问题。故选 A。 考点五 导数综合证明 方法与技巧： 1. 识别信号：证明含 、 的简单不等式、比较代数式大小。 1. 操作流程：移项构造 ，求导判断 的单调性，借助最值（端点或极值）得到 （或 ）。 1. 技巧·口诀："移项构造再求导，单调最值定符号；最值压轴是关键，端点极限别忘掉"。 1. 易错点：构造函数后必须确定定义域；用最值证不等式时取等条件要与原命题一致（严格不等号时最值不能取等）。 【例题精讲】 1．证明：当 时，。 【答案】证明成立 【详解】令 （），， 递增，， 故 。 2．证明：当 时，。 【答案】证明成立 【详解】令 ，（）， 递增，， 。 【变式训练】 1．证明 （）时构造的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】移项构造差函数。故选 A。 2．证明 （）时， 的最小值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．e 【答案】A 【详解】， 处最小值 。故选 A。 3．证明 （）可构造（　　） A． B．， 的最大值 C． D． 【答案】A 【详解】由 ，，最小值 ，故 恒成立。故选 A。 【巩固练习】 1．当 时，比较 与 的大小。 A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】令 ，（），。故选 A。 2．证明 的关键步骤是研究 的（　　） A．最小值 B．最大值 C．零点个数 D．奇偶性 【答案】A 【详解】最小值 证得不等式。故选 A。 3．当 时， 与 的大小为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】令 ，，。故选 A。 4．构造函数证明不等式时，第一步是（　　） A．移项使一侧为 0，确定定义域 B．直接求最大值 C．画图 D．数学归纳 【答案】A 【详解】移项构造并确定定义域。故选 A。 5．当 时， 与 的大小为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】令 ，（已证 ），。故选 A。 6．当 时，比较 与 。 A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】，（）， 递减，。故选 A。 7．已知 ，则 该说法（　　） A．正确 B．错误 C．仅当 x<1 D．无法判断 【答案】A 【详解】，最小值 ，故 。故选 A。 8．导数证明不等式的本质是（　　） A．利用函数单调性与最值 B．利用函数奇偶性 C．利用周期性 D．利用对称性 【答案】A 【详解】单调性定符号，最值定界。故选 A。 三、达标检测 1．已知 ，则 的极大值点为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】 处左正右负。故选 A。 2．方程 的实根个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】极大值 ，极小值 ，三个交点。故选 A。 3．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最小值 ，故 。故选 A。 4．方程 在 上的根的个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】恒增，，恰 1 根。故选 A。 5．当 时， 与 的大小为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．函数 有三个不同零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】水平线介于极大值 2 与极小值 -2 之间，即 ，。故选 A。 7．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．用长为 20 m 的铁丝围成矩形，最大面积为（　　） A． 平方米 B． 平方米 C． 平方米 D． 平方米 【答案】A 【详解】正方形边长 5。故选 A。 9．证明：当 时，。 【答案】证明成立 【详解】令 （），， 递增，。 10．方程 有三个不同实根，求 的取值范围。 【答案】 【详解】等价于 与 有三个交点，需 ，即 。 11．若 对一切 成立，求 的取值范围。 【答案】 【详解】分离参数 ， 的最大值为 ，故 。 12．用长为 20 m 的铁丝围成一个矩形，当边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 【答案】边长均为 5 m（正方形）时最大，最大面积 25 平方米 【详解】设一边长 （），， 得 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $