专题研究 导数在函数的单调性应用中常见构造形式 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题研究 导数在函数的单调性应用中常见构造形式（学生版） 必备知识： 【1】利用与构造函数的常见形式 （1）对于,构造; （2）对于,构造; （3）对于,构造; （4）对于,构造. 【2】利用 与 构造函数的常见形式 （1）出现的形式，构造函数; （2）出现的形式，构造函数 【3】 利用与,构造函数的常见形式 （1）对于,构造函数; （2）对于,构造函数; （3）对于,构造函数; （4）对于,构造函数. 专题训练： 一、单选题 1．已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 6.已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 7.已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．定义域为的函数满足对任意，都有，且当时，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 10．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 13．对任意，函数的导数存在，若且，则的大小关系为 . 14．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知且，且，且，比较，，大小. 16．已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，求不等式的解集. 17．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，求不等式 的解集 18．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，求关于的不等式的解集. 19．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，请用“”号表示出的大小关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 导数在函数的单调性应用中常见构造形式（详解版） 必备知识： 【1】利用与构造函数的常见形式 （1）对于,构造; （2）对于,构造; （3）对于,构造; （4）对于,构造. 【2】利用 与 构造函数的常见形式 （1）出现的形式，构造函数; （2）出现的形式，构造函数 【3】 利用与,构造函数的常见形式 （1）对于,构造函数; （2）对于,构造函数; （3）对于,构造函数; （4）对于,构造函数. 专题训练： 一、单选题 1．已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，且，，， 因此. 故选：C. 2．定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，利用导数工具研究其单调性得到即可分析求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，即， 所以，但不一定成立；，但不一定成立； ，但不一定成立. 故选：A 3．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，判断函数单调性后即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，所以． 故选：B 4．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，利用的单调性解不等式. 【详解】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设，又，所以. 由，即. 所以，即. 故选：B 5．已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题干式子结构特征构造函数，利用导函数求得在上为增函数，然后利用函数的单调性逐项判断即可. 【详解】令，，则， 从而在上为增函数． 对于A，，错误． 对于B，，错误． 对于C，，错误． 对于D，，正确． 故选：D 6.已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、构造函数法证明不等式、利用导数证明不等式 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 7.已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性，再根据结合的单调性可判断出大小关系. 【详解】设，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，， 且，所以，所以， 故选：A. 8．定义域为的函数满足对任意，都有，且当时，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由题意分析可得是周期为的函数，构造函数，利用导数分析单调性，结合单调性和周期性，即可判断. 【详解】依题意知，对任意，都有，可得， 则，所以是周期为4的周期函数． 构造函数，则， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以, 故， 所以. 故选：A． 二、多选题 9．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，则，结合题意可得在上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】由题意令， 则， 当时，恒有成立， ，即在上单调递减， ， ， 即， 即得 对于A，D，故A错误，D正确； 对于B，C，故B错误，C正确. 故选：CD. 10．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在R上的单调递增求解． 【详解】令，则， 因为时，，所以， 则在上递增， 又是偶函数，且是定义在R上的奇函数， 所以是定义在R上的奇函数，且，则在R上单调递增， 所以，即，故A错误； ，即，故B正确； ，即，故C错误； ，即，故D正确， 故选：BD． 11．已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造辅助函数，求导判断单调性，然后逐项判断即可. 【详解】构造辅助函数，求导得， 因为，所以， 所以在上单调递增. 所以，所以，即，所以A正确； 根据单调性有，所以，即，所以B错误； 因为，所以， 则有，即，所以C正确； 根据单调性有，，即，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调区间及单调性，再利用奇偶性求解不等式. 【详解】令函数，由是上的奇函数，得， 函数是上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 显然，当时，由，得，即，解得， 当时，由，得，即，解得， 所以成立的x的取值范围是. 故答案为： 13．对任意，函数的导数存在，若且，则的大小关系为 . 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导得出函数单调性进而判断即可. 【详解】令，则， 所以在上为增函数， 因为，所以，故. 故答案为：. 14．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解. 【详解】设，则． 由当时，，得，即，故在区间上单调递增． 又，所以，即． 因为为上的偶函数，所以， 即，计算得，所以， 解得或． 故答案为：. 四、解答题 15．已知且，且，且，比较，，大小. 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，再求出导函数结合导函数的正负得出函数的单调性即可判断求解. 【详解】构造函数，变形得，即， 同理. 由，， 所以在递增，故. 得，，，故. 16．已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，求不等式的解集. 【知识点】构造函数法证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据不等式变形结果，构造函数，通过构造函数单调性，以及题目已知条件，构造新的不等式，并求出结果即可. 【详解】设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 17．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，求不等式 的解集 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性和单调性，把原不等式转化为代数不等式求解. 【详解】设， 因为函数 是定义在 上的偶函数，所以也是定义在 上的偶函数. 又当时，， 因为当 时， ，所以，即在上单调递增， 又是定义在 上的偶函数，所以在上单调递减. 由, 即. 所以. 所以解集为. 18．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，求关于的不等式的解集. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 19．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，请用“”号表示出的大小关系. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小 【分析】先构造新函数判断其单调性，再利用奇函数性质及单调性比较函数值大小. 【详解】设，因为， 所以在上是增函数， 又因为函数是奇函数，，所以，， 所以，当时，，所以； 当时，，， 又因为，所以在上是增函数， 所以， 因为，所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $