1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南永州高二上期中）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（） A. B.1 C. D. 2.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则(　　) A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 4.若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合 5.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，＝λ，＝3，若PN⊥BM，则λ等于(　　) A.   B.   C.   D. 6.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（） A. B. C. D.或 7.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 8.（2025·江苏一模）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若则      B.若，，则 C.若，，则      D.若，，则 二、多项选择题（共3小题） 9.若直线l的一个方向向量为d＝(6，2，3)，平面α的一个法向量为n＝(－1，3，0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.直线l在平面α内 D.不能确定 10.下列命题中不正确的是(　　) A.如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a B.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C.如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 11.（2025-2026·甘肃武威高二下期末）在正方体中，设棱长为，则下列结论正确的有（） A.向量的模长为 B.向量的坐标为 C.直线与平面垂直 D.异面直线与所成角为 三、填空题（共3小题） 12.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为                  ． 13.若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝                  . 14.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则                   ． 四、解答题（共2小题） 15.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点． (1) 求证：PB∥平面MNC； (2) 若AC＝BC，求证：平面PAC⊥平面MNC. 16.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南永州高二上期中）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（） A. B.1 C. D. 【答案】A 【解析】因，故直线的方向向量与平面的法向量平行. 两向量平行，则. 由，可得. 解得. 故答案为：A. 2.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则(　　) A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合 【答案】D 【解析】∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合． 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【答案】B 【解析】根据题意，以C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)， ∴M(2，1，1)，N(1，1，2)， ∴＝(－1，0，1)． 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)， ∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n， 又∵MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C.故选B. 4.若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合 【答案】D 【解析】因为n＝－3m，所以m∥n， 所以α∥β或α与β重合． 5.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，＝λ，＝3，若PN⊥BM，则λ等于(　　) A.   B.   C.   D. 【答案】C 【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则P(λ，0,1)，N，B(1,0,0)，M，所以＝，＝， 又因为PN⊥BM， 所以·＝λ－＋－＝0，即λ＝. 6.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】由，得. 直线方向向量与平面法向量平行， 故. 故选：A. 7.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 【答案】B 【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0， ∴a⊥b，∴α⊥β. 8.（2025·江苏一模）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若则      B.若，，则 C.若，，则      D.若，，则 【答案】B 【解析】已知选项A，且时，与可能平行、相交或异面，所以A错误. 已知选项B，因为，意味着垂直平面内所有直线，又，所以，B正确. 已知选项C，且时，可能平行，也可能，所以C错误. 已知选项D，且时，与可能相交、平行或，所以D错误. 答案为：B. 二、多项选择题（共3小题） 9.若直线l的一个方向向量为d＝(6，2，3)，平面α的一个法向量为n＝(－1，3，0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.直线l在平面α内 D.不能确定 【答案】BC 【解析】∵d·n＝－6＋6＋0＝0， ∴d⊥n， ∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．故选BC. 10.下列命题中不正确的是(　　) A.如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a B.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C.如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】ABD 【解析】若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确． 11.（2025-2026·甘肃武威高二下期末）在正方体中，设棱长为，则下列结论正确的有（） A.向量的模长为 B.向量的坐标为 C.直线与平面垂直 D.异面直线与所成角为 【答案】CD 【解析】正方体棱长为，得，故选项A错误. 题设未给定确定的空间直角坐标系，不同建系方式对应的坐标不同，无法确定其固定坐标，故选项B错误. 由正方体性质得平面，故选项C正确. 由正方体性质得平面，结合平面，得， 从而异面直线与所成角为，故选项D正确. 故选：CD 三、填空题（共3小题） 12.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为                  ． 【答案】－1或－ 【解析】由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0， ∴λ＝－1或－． 13.若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝                  . 【答案】－3 【解析】∵α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝，解得y＝1，z＝－4，∴y＋z＝－3. 14.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则                   ． 【答案】 【解析】由，可知法向量，即存在实数，使得. 由此得，，. 由，解得. 代入，得. 代入，得，解得. 故. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点． (1) 求证：PB∥平面MNC； (2) 若AC＝BC，求证：平面PAC⊥平面MNC. 【答案】(1)证明 因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC. (2)解 因为AC＝BC，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥PB，PB∥MN，所以PA⊥MN.又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面MNC. 16.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接，， 由，，为中点，得，又， 故四边形为平行四边形，得，. 因为四边形为正方形， 所以，， 从而，， 故四边形为平行四边形，得，又平面，平面， 故平面. (2)解：以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得，，，， 从而，，. 设平面的法向量为，得，令，得，， 故. 设平面的法向量为，得，令，得，， 故. 计算得， 故平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $