1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦用空间向量研究直线、平面的位置关系，以基础概念辨析为起点，通过运算深化到空间几何综合应用，分层梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（方向向量、法向量关系）|单选题（1-6）、填空题（11-13）直接考查定义与简单运算，夯实数学抽象基础| |中档|多知识点辨析与应用|多选题（9-10）辨析线面、面面关系，填空题（14-15）结合坐标系计算，培养推理意识| |综合|空间几何综合证明|解答题（16-17）以正方体、三棱锥为情境，用向量法证明平行与垂直，发展数学表达与空间观念|

高二数学1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步训练 一、单选题： 1.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则(    ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，点，则(    ) A. 直线坐标平面 B. 直线坐标平面 C. 直线坐标平面 D. 直线坐标平面 3.设的一个方向向量为，的一个方向向量为，若，则  (    ) A. B. C. D. 4.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则(    ) A. 或 B. C. D. 与斜交 5.设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是 A. ，，且， B. ，，且 C. ，，且 D. ，，且 6.直线的一个方向向量是(    ) A. B. C. D. 7.在正方体中，若为的中点，则直线垂直于(    ) A. B. C. D. 8.已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.下列命题是真命题的有(    ) A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 平面，的一个法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 三、填空题： 11.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为          ． 12.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，，若存在一点，使，，则点的坐标为          ． 13.若，，是平面内三点，设平面的法向量为，则          ． 14.已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则平面和平面的位置关系是          ． 15.如图，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成角，则直线与平面的位置关系是          ． 四、解答题： 16.如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点证明： 平面； 平面平面． 17.如图，在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，，分别为，上的点，且求证：平面平面． 高二数学用空间向量研究直线、平面的位置关系答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面平行的向量表示，属于基础题． 因为，所以有，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【解答】 解：若直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，则有， 即，解得． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间中线面的位置关系，考查线面平行的向量表示，考查线面垂直的向量表示，考查运算求解能力，属于基础题． 首先求向量的坐标，再判断向量与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项． 【解答】 解：由题意可知，， 平面的法向量为， 因为，且， 所以与既不平行也不垂直，所以直线与坐标平面既不平行也不垂直， 故A，B错误； 坐标平面的法向量为， ，所以，且平面，故 C正确，D错误． 故选：． 3.【答案】  【解析】因为，  所以，  即，  所以，  即． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线的方向向量和平面的法向量及直线与平面的位置关系，属于基础题． 根据直线的方向向量和平面的法向量，计算数量积即可判断直线与平面的位置关系即可． 【解答】 解：直线的一个方向向量， 平面的一个法向量为， ，， 或． 故选A． 5.【答案】  【解析】对于，可得，则． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线的方向向量，属于基础题． 先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量． 【解答】 解：依题意，直线的斜率为， 则直线的一个方向向量为， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量判断线线垂直，属于中档题． 建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算可得，即得结果． 【解答】 解：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为． 则，，，，，，， ， ，， ，． ， ． 故选B． 8.【答案】  【解析】， 的法向量与的法向量也互相平行． ，． 9.【答案】  【解析】【分析】 分别由两向量共线的坐标表示、以及两向量垂直的条件：数量积为，解方程可得结论． 本题考查平面的法向量的运用和向量共线、垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】 解：若，则，即有，即， 即有，故A正确，C错误； 若，则，即有， 可得，，， 解得，，， 则，故B错误，D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的方向向量，平面的法向量，线面垂直，面面平行的坐标表示，属于基础题．【解析】 解：，，，则，直线与垂直，故A正确．，，，则，或，故B错误．，，与不共线，不成立，故C错误．点，，，，．向量是平面的法向量，即解得，故D正确． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的共线问题，属于基础题． 由，得出与平行，利用向量的共线关系求解即可． 【解答】 解：由题意得，，所以与平行，则存在实数使得，即，可得，所以，， 答案为：． 12.【答案】  【解析】由题意得，，，，设所求点的坐标为， 则，，， 由，，， 因此，解得 即点的坐标为 13.【答案】  【解析】由已知得，，，是平面的一个法向量，，，即解得 ． 14.【答案】平行  【解析】【分析】 本题考查平面的法向量，考查学生的运算能力，属于中档题． 先证明出面，即可证明出平面和平面平行． 【解答】 解：因为平面的法向量为， 且，所以． 同理可证：． 又，，面， 所以面． 又为面的法向量， 所以面面． 故答案为：平行． 15.【答案】平行  【解析】由题意知，，，两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为平面， 所以为与平面所成的角， 所以． 因为， 所以，，，． 所以，，，，，， 所以，， 设为平面的法向量，由得 取，得，， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面， 所以平面． 16.【答案】证明：以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为，则，，，，，由正方体的性质，知平面，所以为平面的一个法向量由于，则，所以又平面，所以平面． 因为为平面的一个法向量，由于，，则即也是平面的一个法向量，所以平面平面．   17.【答案】证明  如图，以三棱锥的顶点为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 设， 则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则有，． 令，得，，即． 显然是平面的一个法向量． 又， 所以， 即平面的法向量与平面的法向量互相垂直， 平面平面．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $