1.4.2空基向量的应用变式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第3题及其变式 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第3题】如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 基础变式： 1．在三棱锥中，，，两两垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱锥中，，，平面，为中点，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．(多选）如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（    ） A．点关于直线的对称点的坐标为 B．点关于点的对称点的坐标为 C．夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量的坐标为 7．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为______． 提高变式： 1．如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为，，，则______. 2．在三棱锥中，已知、、两两垂直且相等，点、分别是线段和上的动点，且满足，，则和所成角的余弦的取值范围是___________. 3．如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，．分别经过三条棱作截面平分三棱锥的体积，则这三个截面的面积的最大值为_________． 4．在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，，.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________. 拔尖变式： 1．（多选）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 2．（多选）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 3、在三棱锥中，棱两两垂直且，点在底面内（包括边界），且直线与平面所成角的正弦值为，则_____. 4．如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长，以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面的面积为__________. 5．如图，是正方体的一个“直角尖”（两两垂直且相等）棱的中点，是中点，是上的一个动点，连接，则当与所成角为最小时，_________． 6．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求： (1)点的轨迹；(2)的最小值；(3)该轨迹的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第3题及其变式 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第3题】如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】 【分析】解法一：构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，写出、、的坐标，进而求面ABC的法向量，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 解法二：设点O到平面的距离为d，由求出d即可由求解. 【详解】解法一：构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示， ∴，，，则，，， 若是平面ABC的一个法向量，则，令，则， ∴，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为. 解法二：设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 基础变式： 1．在三棱锥中，，，两两垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作面于，连接，由线面角的定义得为所求角，再利用等体积法求得，即可求解. 【详解】如图，过作平面于，连接，则为直线与平面所成的角， 因为，又，平面，所以平面， 又，，，所以， 又易知，可得中，边上的高长为， 所以，由，得到， 所以，在中，，故选：C. 2．如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解. 【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：C. 3．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点的坐标，进而得出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】在三棱锥中，两两互相垂直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 为的中点，且，则，， ，，设所成的角为， ，，， 即直线与所成角的大小为．故选：C． 4．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用异面直线向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，则， 设异面直线与所成角大小为， 则.故选：A 5．如图，在三棱锥中，，，平面，为中点，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由线面垂直性质可得，由三角形中位线性质可得，从而根据线面垂直判定定理证得平面，由线面角定义可知为所求角；利用等腰三角形性质可求得结果. 【详解】取中点，连接 平面，平面， ，分别为中点，，又， ，平面，，平面，即为与平面所成角，，为中点，，与平面所成角为，故选：。 6．(多选）如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（    ） A．点关于直线的对称点的坐标为 B．点关于点的对称点的坐标为 C．夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量的坐标为 【答案】AD 【分析】对A：由以及对称点构成正方形，即可求得对称点坐标；对B：由中点坐标公式，即可判断；对C：利用余弦定理求得，即可判断；对D：写出平面中两个不共线的向量坐标，求平面法向量即可. 【详解】对A：设点关于直线的对称点为，则四边形为正方形，所以坐标为，A正确；对B：设点关于点的对称点为，则中点为，由得，B错误；对C：由，得，所以夹角的余弦值为，C错误；对D，因为，设平面的一个法向量的坐标为,，则，取得平面的一个法向量的坐标为，D正确；故选：AD. 7．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】两两垂直，可以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求解． 【详解】由平面ABC，得，又，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，∵，，∴，则，，， ，∴直线EF与直线AC所成角的余弦值为． 提高变式： 1．如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为，，，则______. 【答案】1. 【分析】根据，利用等体积法即可求得答案. 【详解】如图，设点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的投影点分别为，连接,则. 而，，所以. 2．在三棱锥中，已知、、两两垂直且相等，点、分别是线段和上的动点，且满足，，则和所成角的余弦的取值范围是___________. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别为、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，设、，利用空间向量法可求得和所成角的余弦的取值范围. 【详解】根据题意，以为原点，分别为、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则、、、、，，，所以. 因为，，所以当，时，取得最大值，且最大值为1； 当时，取得最小值，且最小值为，所以和所成角的余弦的取值范围是. 3．如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，．分别经过三条棱作截面平分三棱锥的体积，则这三个截面的面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据已知条件将三棱锥放在一个长方体中，以经过OA的截面为例进行分析计算面积为，同理计算其他两种情况，，并比较大小，即得结果. 【详解】如图，将三棱锥放在长方体中， 经过OA的截面交BC于K，则K定为中点，因为此时K到平面AOB的距离是C到平面AOB的距离的一半，，符合题意.截面的面积为：； 同理可得，经过OB的截面面积为；经过OC的截面面积为.所以，三个截面的面积的最大值为 4．在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，，.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________. 【答案】 【分析】首先可证平面PAC，则BD与平面PAC所成角为，所以当D为PC的中点时取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】因为PA，AB，AC两两垂直，，所以平面PAC，则BD与平面PAC所成角为，所以，当AD取得最小值时，取得最大值在等腰中， 当D为PC的中点时，AD取得最小值，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则，，，，，则，，， 设平面PBC的法向量为，则，即，令，得.因为，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为. 拔尖变式： 1．（多选）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 【答案】AB 【分析】A选项，利用空间向量数量积公式得到A正确；B选项，变形得到；C选项，求出及，利用向量夹角余弦公式求出答案；D选项，推出三棱锥体积为，D错误. 【详解】A选项，因为两两垂直，所以， 故，A正确； B选项，，B正确； C选项， ，， 由勾股定理得，所以与的夹角余弦为， 故与的夹角为，C错误； D选项，，因为， 所以三棱锥的体积为，由于，D错误.故选：AB 2．（多选）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.55【分析】选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B，根据三棱锥体积进行运算；选项CD，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成长方体，找到相应角进行计算； 【详解】对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球，则外接球直径，故A正确； 选项B，由三棱锥的体积，得，化简得，故B正确；对于C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为， 则，，， 则 ，故C错误； 对于D，直线与平面、平面、平面所成角分别为， 则， 故 ，故D正确. 3、在三棱锥中，棱两两垂直且，点在底面内（包括边界），且直线与平面所成角的正弦值为，则_____. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，令，设，先求平面的法向量为，由得，进而得，最后利用空间向量数量积的运算可求得结果. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，所以，， 设，设平面的法向量为，所以， 令，得，所以，所以，即， 设直线与平面所成的角为，所以， 所以. 4．如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长，以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面的面积为__________. 【答案】 【分析】首先做过点的平面的垂线，判断得出，进而得出截面的形状，求出截面圆的半径，即可求解. 【详解】正三棱锥的三条侧棱两两垂直，过点作平面于点，且侧棱长，正三棱锥的三个侧面都为以为直角顶点的等腰直角三角形， 得，所以.作交于点， 则，因为球的半径满足：，故以为球心的球被平面所截的圆面如图所示，其中，因为平面， 所以，故所求截面的面积为. 5．如图，是正方体的一个“直角尖”（两两垂直且相等）棱的中点，是中点，是上的一个动点，连接，则当与所成角为最小时，_________． 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得与的夹角的余弦值用表示，求得角度最小时点在的位置，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示：不妨设，则，，，，， 设点的坐标为，，则，所以, 所以，，设直线与所成角为 则①，令， 则.代入①得：，所以，当即时，取得最大值，此时取得最小值.从而 ，所以.故. 6．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求： (1)点的轨迹；(2)的最小值；(3)该轨迹的长度． 【答案】(1)设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，点的轨迹为. (2)；(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据题设中的几何条件即可求解； （2）根据空间两点的距离公式及二次函数即可求解最小值； （3）根据点的轨迹即可求解． 【详解】（1）建立空间直角坐标系：，，，．则，，设，则，其中，且，点到平面的距离为．点到平面的距离为． 点到平面的距离为．因为，，依次成等差数列，所以． 即，解得，设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 由，可知，点的轨迹为线段. （2）,， 所以当时，取得最小值，最小值为. （3）因为，点的轨迹为，所以，即轨迹的长度为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $