1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量解决距离与夹角问题，分层设计从基础计算到综合应用，强化逻辑推理与空间观念，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一距离（点线、点面）、夹角（线线、线面、二面角）计算|单选题8题，如线线角余弦值、点面距离公式直接应用，夯实运算能力| |概念辨析|法向量性质、共面判定等易混点|多选题3题，如判断法向量是否共面、线面角与向量关系，培养推理意识| |综合应用|多知识点结合（证明+计算）|解答题5题，如正方体中先证线线平行再求线面角及距离，发展空间观念与模型观念|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 3．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 8．我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 10．下面四个结论正确的是（   ） A．若三点不共线，平面外任一点O，有，则四点共面 B．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．已知向量，，若，则为钝角 D．已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 三、填空题 12．已知两点与，则________________． 13．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 14．已知两平面的法向量分别为，，则这两个平面夹角的余弦值为__________． 四、解答题 15．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 16．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 18．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D D B D BC AD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 2．C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 3．D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 4．C 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 5．D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 6．D 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 7．B 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量及所过的点，再利用点到平面距离公式求解 【详解】依题意，平面过点，其法向量， 则，所以点Q到平面距离. 8．D 【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】在平面上任取一点，不妨取原点，设点为， 所以，点为坐标原点， 由题意平面的法向量为， 则点到平面的距离． 故选：D 9．BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 10．AD 【分析】利用空间四点共面性质判断A，利用法向量不能为零向量判断B，利用向量积小于零与向量夹是钝角不是充要关系判断C，利用线向量与法向量可求线面角来判断D. 【详解】因为，满足，所以四点共面，故A正确； 因为，所以当时，就不可能成为平面的法向量，故B错误； 由，当时，， 假设，此时， 所以当时，，此时不为钝角，故C错误； 若，则l与所成角为，故D正确的. 故选：AD 11．ABD 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 12． 【详解】根据空间中点到点的距离公式，. 13．/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 14． 【分析】本题关键在于：利用向量方法求面面夹角即可. 【详解】设两平面夹角为，则． 故答案为：. 15．(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 16．(1)由平面 平面， ，得 平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. (2) 【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面; (2)分别求出平面 与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设，故， 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， 设平面 与平面夹角为 , 即平面 与平面夹角的余弦值. 17． 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解； 【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 18．(1)证明： 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 19．(1)因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为平面，平面，所以平面. (2)由平面，平面，因此， 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. (3) 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，建立空间直角坐标系，使平行于的方向为轴，方向为轴，方向为轴， 结合可得各点坐标： ，，，, 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为,，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则 , 因此二面角的正弦值为： . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $