0202单调性与最值 专项训练 -2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 单调性与最值示 专项训练 0202单调性与最值 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 确定函数的单调性 例1（1）．下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义判断即可. 【详解】由“对任意的时，均有”，得函数在上单调递增， 对于A，在上不单调递增，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 例1（2）．（多选）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】令，结合对数函数、二次函数和复合函数的性质即可得结果. 【详解】令，所以 . 由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又关于对称，所以的图象关于直线对称 故选：CD. 2、 利用定义证明函数的单调性 例2．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 训练2-1．函数 的单调递增区间是 ______. 【答案】 【分析】将函数分解成两个基本初等函数和，再根据复合函数的单调性判断可得. 【详解】由得定义域为 R.令，则函数在上单调递增. 当时，二次函数单调递增，所以在上单调递增； 当时，二次函数单调递减，所以在单调递减； 故函数的单调递增区间为. 故答案为： 训练2-2．函数的单调递减区间是________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 训练2-3．求函数的单调递减区间． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间． 【详解】由题意可知，解得或． 易知函数由，复合而成， 且在单调递减，在单调递减，在上单调递增； 利用复合函数单调性可得的单调递减区间为. 3、 已知单调性求参数的取值范围 例3．已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，分析求解，即可得答案. 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 故选：A 训练3-1．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、二次函数的单调性求解即可. 【详解】根据题意，设，对称轴为，则， 函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 必有，解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：D． 训练3-2．若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 训练3-3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用一次函数的性质计算即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以，即. 故答案为：. 四、利用函数单调性比较大小 例4．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上是减函数，所以， 即. 训练4-1．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 训练4-2．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 五、利用函数单调性解不等式 例5．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 训练5-1．已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为是上的单调递增函数， 由可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 训练5-2．已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 6、 利用函数单调性求最值 例6．已知函数则的值域为______． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，先求每一段函数的值域，再取并集，求整体函数的值域. 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 综上，的值域为． 故答案为：． 训练6-1．已知函数，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出． 【详解】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 训练6-2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 【答案】AC 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以函数是减函数，故A正确； 函数在上单调递增，且此时有， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确； 函数的图象的对称轴为直线且，又函数的图象开口向上， 所以在上的最小值为，故D错误． 故选：AC 训练6-3．（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的单调递增区间为和 B． C．的最大值为4 D．当时， 【答案】ACD 【分析】A选项，先得到时，单调递增，当时，单调递减，结合函数的奇偶性得到A正确；B选项，由函数奇偶性和单调性得到；C选项，由函数单调性得到最大值为；D选项，利用函数奇偶性得到. 【详解】A选项，当时，， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 又是定义在R上的偶函数，故当时，单调递增， 综上，的单调递增区间为和，A正确； B选项，由A选项，当时，单调递减，，B错误； C选项，由A选项，在和上单调递增，在和上单调递减， 故当和时，取得最大值，最大值为，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：ACD 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 单调性与最值示 专项训练 0202单调性与最值 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 确定函数的单调性 例1（1）．下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 例1（2）．（多选）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 2、 利用定义证明函数的单调性 例2．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 训练2-1．函数 的单调递增区间是 ______. 训练2-2．函数的单调递减区间是________． 训练2-3．求函数的单调递减区间． 三、已知单调性求参数的取值范围 例3．已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 训练3-1．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 训练3-2．若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 训练3-3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________. 四、利用函数单调性比较大小 例4．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 训练4-1．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 训练4-2．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 五、利用函数单调性解不等式 例5．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 训练5-1．已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 训练5-2．已知函数则不等式的解集为__________. 6、 利用函数单调性求最值 例6．已知函数则的值域为______． 训练6-1．已知函数，则的最小值是__________. 训练6-2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 训练6-3．（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的单调递增区间为和 B． C．的最大值为4 D．当时， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $