专题2.1 导数的概念及其运算专项训练-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第二册

专题2.1 导数的概念及其运算 考点预览 考点一 平均变化率与瞬时变化率 考点二 导数的定义 考点三 导数的几何意义与切线方程 考点四 基本初等函数的导数公式与运算法则 考点五 导数运算的综合应用 一、知识填空 1．平均变化率 （1）函数 在区间 上的平均变化率为 。 （2）平均变化率的几何意义是曲线上两点连线的 。 2．瞬时变化率与导数 （1）函数 在 处的导数 ，它表示函数在 处的 。 （2）若上式的极限不存在，则函数在 处 。 3．导数的几何意义 （1） 表示曲线 在点（，）处 的斜率。 （2）切线方程为 。 4．基本导数公式 （1） （）； ； 。 （2） ； ； ； 。 5．导数的运算法则 （1） 。 （2） ； （）。 二、考点专练 考点一 平均变化率与瞬时变化率 方法与技巧： 1. 识别信号：求函数在区间上的平均变化率、位移的速度等实际变化率问题。 1. 操作流程：直接代入 ；瞬时变化率取 的极限。 1. 技巧·口诀：“纵差比横差，平均变化率；区间取无穷小，瞬时就现形”。 1. 易错点：平均变化率与瞬时变化率的区别——前者是割线斜率，后者是切线斜率； 时 。 【例题精讲】 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．4 B．8 C．2 D．1 2．物体位移 （米），求 从 1 到 的平均速度（用 表示），并求 时的瞬时速度。 【变式训练】 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．2 B．4 C．1 D．6 2．函数 在 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 3．自由落体 在 到 的平均速度为（　　）（） A．15 B．10 C．20 D．5 【巩固练习】 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．2 B．4 C．1 D．3 2．函数 在 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 3．平均变化率 的几何意义是（　　） A．割线的斜率 B．切线的斜率 C．x 轴的斜率 D．法线的斜率 4．函数 在任意区间 上的平均变化率为（　　） A．3 B．b-a C．1 D．不能确定 5．函数 在 上的平均变化率当 时的极限为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 6．物体位移 ，则 时的瞬时速度为（　　） A．12 B．6 C．9 D．24 7．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．-4 B．4 C．-2 D．2 8．若函数在 处可导，则 时 的极限为（　　） A． B． C． D．不存在 考点二 导数的定义 方法与技巧： 1. 识别信号：利用导数定义求极限、判断可导性、求分段函数分界点处的导数。 1. 操作流程：紧扣定义 ；变形形式 。 1. 技巧·口诀：“增量比极限，分母对增量；认准结构对定义，多了少了都不行”。 1. 易错点：（系数要配平）； 必须趋于 且不为 。 【例题精讲】 1．已知 ，则 （　　） A．6 B．3 C．1.5 D．12 2．利用定义求 在 处的导数。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D．0 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．利用定义求 在 处的导数。 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．15 B．5 C．45 D．10 2．利用定义求 在 处的导数。 3．若 ，则 （　　） A．4 B．2 C．0 D．1 4．函数 在 处（　　） A．不可导 B．可导且导数为 0 C．可导且导数为 1 D．连续且可导 5．已知 ，则 （　　） A．3 B．1 C．2 D．6 6．利用定义求 的导函数。 7．若 ，则 （　　） A．-4 B．4 C．2 D．-2 8．函数在一点处可导是它在该点连续的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三 导数的几何意义与切线方程 方法与技巧： 1. 识别信号：求曲线在某点处的切线方程、已知切线斜率求切点或参数。 1. 操作流程：先判"在点"还是"过点"——在点处：直接求 得斜率，切点为（，）；过点（点不在曲线上）：设切点 ，由 解出切点。 1. 技巧·口诀：“在点直接求，过点设切点；斜率即导数，点斜写方程”。 1. 易错点：切点必须在曲线上；"在某点处的切线"与"过某点的切线"不是一回事；切线斜率不存在时切线为竖直线 。 【例题精讲】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．求曲线 过点 的切线方程。 【变式训练】 1．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 2．曲线 在 处的切线斜率为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 3．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．曲线 在 处的切线斜率为（　　） A．3 B．1 C．2 D．0 2．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 4．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 5．曲线 上切线斜率为 8 的切点为（　　） A． B． C． D． 6．求曲线 过点 的切线方程（该点不在曲线上）。 7．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 8．若曲线 在 处的切线斜率为 2，则 （　　） A．任意常数 B．2 C．0 D．1 考点四 基本初等函数的导数公式与运算法则 方法与技巧： 1. 识别信号：求具体函数（多项式、指数、对数、三角）的导数。 1. 操作流程：熟记公式——，，，，，，；复合用四则法则。 1. 技巧·口诀：“幂降一，正余弦导互换符号，指数乘对数，对数除对数”。 1. 易错点： 的负号易漏； 与 分母中的 别忘；乘法法则是"前导后不导加前不导后导"。 【例题精讲】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 2．求 的导数。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　）（复合：外导乘内导） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．，则 （　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．，则 （　　） A． B． C． D． 5．（　　） A． B． C． D． 6．，则 （　　） A． B． C． D． 7．（　　） A． B． C． D． 8．，则 （　　） A． B．2 C．e D．3 考点五 导数运算的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：含参求导、由切线条件求参数、复合函数与抽象函数求导。 1. 操作流程：含参函数按法则求导后结合条件（切线、平行、垂直等）列方程；抽象函数利用 定义或四则法则变形。 1. 技巧·口诀：“含参先求导，条件列方程；抽象看结构，定义来帮忙”。 1. 易错点：切线平行是斜率相等，垂直是斜率之积为 （斜率存在时）；含参问题求导后参数是常数，不要对参数求导。 【例题精讲】 1．已知 的图象在 处的切线斜率为 5，则 （　　） A．2 B．3 C．1 D．4 2．已知函数 满足 ，求 。 【变式训练】 1．已知 在 处的导数为 4，则 （　　） A．2 B．1 C．4 D．3 2．曲线 与 在原点处的切线（　　） A．都是 B．分别为 与 C．互相垂直 D．不相同 3．若曲线 在 处的切线斜率为 4，则 （　　） A．2 B．1 C．4 D．-2 【巩固练习】 1． 在 处的导数为 16，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．12 2．曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B．e C．1 D．0 3．已知 ，则 （　　） A．-1 B．1 C．-3 D．3 4．若曲线 在点 处的切线斜率为 12，则 （　　） A． B．2 C．-2 D．4 5．曲线 过点 的切线斜率为（　　） A．1 B．e C．0 D．不存在 6．，则 （　　） A．0 B．1 C．2 D． 7．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．2 B．4 C．1 D．0 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A．6 B．3 C．9 D．2 5．（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D．0 7．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 8．，则 （　　） A． B． C． D． 9．求曲线 在点 处的切线方程。 10．已知 在 处的导数为 1，求 。 11．求函数 的导数。 12．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 导数的概念及其运算 考点预览 考点一 平均变化率与瞬时变化率 考点二 导数的定义 考点三 导数的几何意义与切线方程 考点四 基本初等函数的导数公式与运算法则 考点五 导数运算的综合应用 一、知识填空 1．平均变化率 （1）函数 在区间 上的平均变化率为 。 （2）平均变化率的几何意义是曲线上两点连线的 。 2．瞬时变化率与导数 （1）函数 在 处的导数 ，它表示函数在 处的 。 （2）若上式的极限不存在，则函数在 处 。 3．导数的几何意义 （1） 表示曲线 在点（，）处 的斜率。 （2）切线方程为 。 4．基本导数公式 （1） （）； ； 。 （2） ； ； ； 。 5．导数的运算法则 （1） 。 （2） ； （）。 自检自纠： 1．（1） （2）割线的斜率 2．（1）瞬时变化率 （2）不可导（导数不存在） 3．（1）切线 （2） 4．（1）；； （2）；；； 5．（1） （2）； 二、考点专练 考点一 平均变化率与瞬时变化率 方法与技巧： 1. 识别信号：求函数在区间上的平均变化率、位移的速度等实际变化率问题。 1. 操作流程：直接代入 ；瞬时变化率取 的极限。 1. 技巧·口诀：“纵差比横差，平均变化率；区间取无穷小，瞬时就现形”。 1. 易错点：平均变化率与瞬时变化率的区别——前者是割线斜率，后者是切线斜率； 时 。 【例题精讲】 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．4 B．8 C．2 D．1 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．物体位移 （米），求 从 1 到 的平均速度（用 表示），并求 时的瞬时速度。 【答案】平均速度为 ，瞬时速度为 米/秒 【详解】平均速度 ； 时极限为 。 【变式训练】 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．2 B．4 C．1 D．6 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．函数 在 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．自由落体 在 到 的平均速度为（　　）（） A．15 B．10 C．20 D．5 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．函数 在 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．平均变化率 的几何意义是（　　） A．割线的斜率 B．切线的斜率 C．x 轴的斜率 D．法线的斜率 【答案】A 【详解】两点连线为割线。故选 A。 4．函数 在任意区间 上的平均变化率为（　　） A．3 B．b-a C．1 D．不能确定 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．函数 在 上的平均变化率当 时的极限为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】A 【详解】平均变化率为 ，极限为 。故选 A。 6．物体位移 ，则 时的瞬时速度为（　　） A．12 B．6 C．9 D．24 【答案】A 【详解】， 时为 。故选 A。 7．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．-4 B．4 C．-2 D．2 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．若函数在 处可导，则 时 的极限为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】即导数定义。故选 A。 考点二 导数的定义 方法与技巧： 1. 识别信号：利用导数定义求极限、判断可导性、求分段函数分界点处的导数。 1. 操作流程：紧扣定义 ；变形形式 。 1. 技巧·口诀：“增量比极限，分母对增量；认准结构对定义，多了少了都不行”。 1. 易错点：（系数要配平）； 必须趋于 且不为 。 【例题精讲】 1．已知 ，则 （　　） A．6 B．3 C．1.5 D．12 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 2．利用定义求 在 处的导数。 【答案】 【详解】。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【详解】即导数定义本身。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 3．利用定义求 在 处的导数。 【答案】 【详解】。 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．15 B．5 C．45 D．10 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 2．利用定义求 在 处的导数。 【答案】 【详解】。 3．若 ，则 （　　） A．4 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 4．函数 在 处（　　） A．不可导 B．可导且导数为 0 C．可导且导数为 1 D．连续且可导 【答案】A 【详解】左右导数分别为 与 ，不相等，不可导。故选 A。 5．已知 ，则 （　　） A．3 B．1 C．2 D．6 【答案】A 【详解】拆分：。故选 A。 6．利用定义求 的导函数。 【答案】 【详解】。 7．若 ，则 （　　） A．-4 B．4 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】原式 ，故 。故选 A。 8．函数在一点处可导是它在该点连续的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】可导必连续，连续不一定可导（如 在 处）。故选 A。 考点三 导数的几何意义与切线方程 方法与技巧： 1. 识别信号：求曲线在某点处的切线方程、已知切线斜率求切点或参数。 1. 操作流程：先判"在点"还是"过点"——在点处：直接求 得斜率，切点为（，）；过点（点不在曲线上）：设切点 ，由 解出切点。 1. 技巧·口诀：“在点直接求，过点设切点；斜率即导数，点斜写方程”。 1. 易错点：切点必须在曲线上；"在某点处的切线"与"过某点的切线"不是一回事；切线斜率不存在时切线为竖直线 。 【例题精讲】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，切线 ，即 。故选 A。 2．求曲线 过点 的切线方程。 【答案】 【详解】 在曲线上，，，切线为 。 【变式训练】 1．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．曲线 在 处的切线斜率为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，即 。故选 A。 【巩固练习】 1．曲线 在 处的切线斜率为（　　） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，切点 ，。故选 A。 3．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，切点 ，。故选 A。 4．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，切点 ，。故选 A。 5．曲线 上切线斜率为 8 的切点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，切点 。故选 A。 6．求曲线 过点 的切线方程（该点不在曲线上）。 【答案】 或 【详解】设切点 ，，得 ， 或 ；切线为 或 （对应切点 与 ）。 7．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，即 。故选 A。 8．若曲线 在 处的切线斜率为 2，则 （　　） A．任意常数 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【详解】 恒为 （在 处），与 无关，故 为任意常数。故选 A。 考点四 基本初等函数的导数公式与运算法则 方法与技巧： 1. 识别信号：求具体函数（多项式、指数、对数、三角）的导数。 1. 操作流程：熟记公式——，，，，，，；复合用四则法则。 1. 技巧·口诀：“幂降一，正余弦导互换符号，指数乘对数，对数除对数”。 1. 易错点： 的负号易漏； 与 分母中的 别忘；乘法法则是"前导后不导加前不导后导"。 【例题精讲】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．求 的导数。 【答案】 【详解】乘法法则：。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】公式。故选 A。 2．（　　）（复合：外导乘内导） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数公式。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复合函数，外导乘内导。故选 A。 6．，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】乘法法则，。故选 A。 7．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．，则 （　　） A． B．2 C．e D．3 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点五 导数运算的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：含参求导、由切线条件求参数、复合函数与抽象函数求导。 1. 操作流程：含参函数按法则求导后结合条件（切线、平行、垂直等）列方程；抽象函数利用 定义或四则法则变形。 1. 技巧·口诀：“含参先求导，条件列方程；抽象看结构，定义来帮忙”。 1. 易错点：切线平行是斜率相等，垂直是斜率之积为 （斜率存在时）；含参问题求导后参数是常数，不要对参数求导。 【例题精讲】 1．已知 的图象在 处的切线斜率为 5，则 （　　） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 2．已知函数 满足 ，求 。 【答案】 【详解】求导得 ，令 ：，故 。 【变式训练】 1．已知 在 处的导数为 4，则 （　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 2．曲线 与 在原点处的切线（　　） A．都是 B．分别为 与 C．互相垂直 D．不相同 【答案】A 【详解】两者在原点处导数均为 ，切线都是 轴。故选 A。 3．若曲线 在 处的切线斜率为 4，则 （　　） A．2 B．1 C．4 D．-2 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 【巩固练习】 1． 在 处的导数为 16，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．12 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 2．曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B．e C．1 D．0 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．已知 ，则 （　　） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 4．若曲线 在点 处的切线斜率为 12，则 （　　） A． B．2 C．-2 D．4 【答案】A 【详解】，。故选 A。 5．曲线 过点 的切线斜率为（　　） A．1 B．e C．0 D．不存在 【答案】B 【详解】设切点 ，，得 ？由 得 ，。故选 B。 6．，则 （　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 7．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开：，。故选 A。 三、达标检测 1．函数 在 上的平均变化率为（　　） A．2 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】幂函数公式。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】公式。故选 A。 4．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A．6 B．3 C．9 D．2 【答案】A 【详解】，。故选 A。 5．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】公式。故选 A。 6．已知 ，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【详解】即导数定义。故选 A。 7．曲线 在 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，切点 ，。故选 A。 8．，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】乘法法则。故选 A。 9．求曲线 在点 处的切线方程。 【答案】 【详解】，，切线为水平线 。 10．已知 在 处的导数为 1，求 。 【答案】 【详解】，，。 11．求函数 的导数。 【答案】 【详解】。 12．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ，。 【答案】， 【详解】切点在曲线上：；斜率：，，，。 学科网（北京）股份有限公司 $