安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2025-2026学年高二年级第二学期数学周测（4.2）

安师大附中高二年级第二学期数学周练参考答案 2026.4.22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C B C A D C B BC ABC CD 12 、 13 、 2e 14 、 15 、（1）解：因为展开式的第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比是1: 2 所以 解得n = 5 或n = 0 （舍）所以n = 5 . （2）解：由（1）知 n = 5 ， n 展开式的通项公式为： Tr+1 = C r = Crx r ，rε {0, 1,2,3,4,5} 令 Z ，则r ∈{0, 2, 4} ，即展开式的第 1,3,5 项为有理项， T x5 = 32x5 ，T3 = C x2 = 80x 所以展开式中的有理项有： 32x5 ， 16 、（1） f (x) 的定义域为R ， f, (x) = aex -1 ， 当a ≤ 0 时， f, (x) < 0 ， f (x)单调递减，无极值，不合题意；当a > 0 时，令f, (x) = 0 ，得ex 即x = - ln a ， 当x < - ln a 时， f,(x) < 0 ， f (x)单调递减，当x > - ln a 时， f, (x) > 0 ， f (x)单调递增，所以f (x)在x = - ln a 处取得极小值，故1 < - ln a < 2 ，解得 所以实数a 的取值范围为 （2）令f (x) = 0 ，得a = ，令g (x ) = ，则 g , 当 —2 < x < 0 时， g,(x) > 0 ， g (x)单调递增，当0 < x < 2 时， g, (x) < 0 ， g (x)单调递减，又g (0) = 1 ， g (—2) = —e2 ， g (2) = 3e—2 ， 当a ≤ —e2 时，方程a = g (x)无解，所以f (x)在(—2, 2) 上无零点， 当 —e2 < a ≤ 3e—2 时，方程a = g (x)有1个根，所以f (x)在(—2, 2) 上有1个零点，当3e—2 < a < 1时，方程a = g (x)有2 个根， f (x)在(—2, 2) 上有2 个零点， 当a = 1 时，方程a = g (x)有1个根， f (x)在(—2, 2) 上有1个零点， 当a > 1 时，方程a = g (x)无解， f (x)在(—2, 2) 上无零点．综上所述： 当a ≤ —e2 或a > 1 时， f (x)在(—2, 2) 上无零点； 当 —e2 < a ≤ 3e—2 或a = 1 时， f (x)在(—2, 2) 上有1个零点； 当3e—2 < a < 1时， f (x)在(—2, 2) 上有2 个零点． 17 、（1）记事件 A = “第二次取出的是黑球” ，事件B = “第三次取出的是红球”，事件 A 可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故P 事件 AB = “第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故P 故P （2）易知随机变量X 可能的取值为3, 4, 5 ， 当X = 3 时，前三次分别取出 1 个红球、1 个黑球和 1 个白球， P 当X = 5 时，前四次分别取出 2 个黑球和 2 个白球， P 当X = 4 时， P (X = 4) = 1— P(X = 3) — P(X = 5) = ， 学科网（北京）股份有限公司 故随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 2 5 2 5 1 5 18 、（1）记事件 A 为“正确答案选两个选项” ，事件B 为“学生甲得2 分”． （2）（i）记X 为“选择方案 I 的得分” ，则X可以取0 ， 2 ， 3 ， P 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 1 3 1 2 1 6 (ⅱ) 记X 为“选择方案 I 的得分” ，则P = p 所以： E 记Y 为“选择方案 II 的得分” ，则P = p 所以： E (Y p = 2 — p； 学科网（北京）股份有限公司 记Z 为“选择方案 III 的得分” ，则P(Z = 0) = p × 1+ (1—p )× = p + ， P (Z = 6) = p × 0 + (1 — p ) × = 1 — p ) ， 所以： E (Z ) = 0 × (|( p + ), + 6× 1—p )= 1—p )． ( — p < 2 )〔2 3 ( 要使唯独选择方案 Ⅰ 最好，则 { 1 — p ) < ，解得 ： < p < 1 ，故 p 的取值范围为 (| ( , 1 ) , ． 0 < p < 1 ) l 19 、（1） 由题意知g,(x) = a — ex ， 当a ≤ 0 时， g, (x) < 0 ，所以g(x)在(—∞, +∞) 上单调递减； 当a > 0 时，令g, (x) < 0 ，解得x > lna ，令g, (x) > 0 ，解得x < lna ，所以g(x)在(—∞, lna)上单调递增，在(lna, +∞) 上单调递减． （2）因为f (—x) = —xcos (—x) = —xcosx = —f (x) ，所以f (x)是奇函数， 又f, (x) = cosx — xsinx ，当x ∈ , π 时， cosx ≤ 0 ， xsinx ≥ 0 ，所以f, (x) ≤ 0 ，令u (x) = f, (x) ，所以u, (x) = —sinx — sinx — xcosx = —2sinx — xcosx ， 当x ∈「|L0, 」 (7)|时，u,(x) ≤ 0 ，所以u (x) 即f, (x ) 在「|L0, 」 (7)|上单调递减， 又f, (0) = 1 > 0 ， f, (|( ), = — < 0 ，所以3x0 ∈ (|(0, ), ，使得f, (x0 ) = 0 ，所以当x ∈[0, x0 ) 时， f,(x) > 0 ，当x ∈(x0, π ] 时， f,(x) < 0 ， 所以f (x)在[0, x0 ] 上单调递增，在[x0, π ] 上单调递减， 又f (0) = 0 ，f (π ) = —π , f (x0 ) = x0cosx0 ∈ (0, π ) ，所以当x ∈[0, π ] 时，f (x ) ∈ —π, f (x0 ) ，又f (x)是奇函数，所以当x ∈[—π, 0] 时， f (x ) ∈ —f (x0 ) , π . 综上： f (x)在区间[—π,π ]上的值域为[—π,π ]． （3）若f (x) ≥ xg(x)对任意的x ∈「|L— , +∞,) 恒成立，即x (ex + cosx — ax — 2) ≥ 0 对任意的 学科网（北京）股份有限公司 x ∈ L (「)|- , +∞), 恒成立，记h (x) = ex + cosx - ax - 2 ，即xh (x) ≥ 0 对任意的x ∈「|L- , +∞), 恒成立， h (0) = 0 ， h,(x) = ex -sinx - a ， h, (0) = 1- a ， 当a >1 时：当x ∈[0, +∞) ，令k (x) = h, (x) ，则k, (x) = ex -cosx ≥ 0 ， 所以k (x) = h, (x) 在[0, +∞) 上单调递增，令φ(x) = ex - x -1, x > 0 ，则φ, (x) = ex -1> 0 ，故φ (x)在(0, +∞) 上单调递增，则φ(x) ≥φ(0) = 0 ，所以当x > 0 时， ex > x +1 ， 又h, (0) = 1- a < 0 ， h, (1+ a) = e1+a -sin (1+ a) - a ≥ e1+a -1- a ≥1+ a +1-1- a = 1 > 0 ， 故存在唯一的x1 ∈ (0, +∞) ，使得h,(x1 ) = 0 ，当x ∈(0, x1 ) 时， h,(x) < 0 ， h (x) 在(0, x1 ) 上单调递减，所以h (x) < h (0) = 0 ，此时xh (x) < 0 ，不符合题意． 当a ≤1 时：（i）若x > 0 ，令m (x) = x -sinx ， x > 0 ，则m, (x) = 1-cosx ≥ 0 ，故m (x)在(0, +∞) 上单调递增，则m (x) > m(0) = 0 ， 所以h, (x) = ex -sinx - a >1+ x -sinx - a >1- a ≥ 0 ，则h (x) 在(0, +∞) 上单调递增，所以h (x) > h (0) = 0 恒成立，即xh (x) > 0 成立，符合题意； （ii）当x ∈ L (「)|- , 0」 (7)|时，若t (x) = k,(x) ，则t,(x) = ex +sinx 在「|L- , 0」 (7)|上单调递增，又t, (0) = 1 ， t, (|(- ,) = e- -1< 0 ，所以存在唯一的x2 ∈ (|(- , 0), ，使得t,(x2 ) = 0 ，当x ∈ (|(- , x2 ), 时， t, (x) < 0 ， t (x)在(|(- , x2 ), 上单调递减， 当x ∈(x2, 0) 时， t, (x) > 0 ， t (x)在(x2, 0) 上单调递增， 又t (|(- ), = e- > 0 ， t (0) = 0 ，故存在唯一的x3 ∈ (|( - , 0), ，使t (x3 ) = k, (x3 ) = 0 ，故当x ∈ (|(- , x3 ), 时， t (x) = k, (x) > 0, k (x) = h, (x)在(|(- , x3 ), 上单调递增， 当x ∈(x3, 0) 时， t (x) = k,(x) < 0 ， k (x) = h, (x) 在(x3, 0) 上单调递减， 又k|((- ,) = e- +1- a > 0 ，k (0) = 1- a ≥ 0 ，所以x ∈「|L- , 0」 (7)|时，k (x) = h, (x) ≥ 0 ，则h (x) 在「|L- , 0」 (7)|上单调递增，故h (x) ≤ h (0) = 0 ，即xh (x) ≥ 0 恒成立． 综上， a 的取值范围是(-∞, 1] ． 学科网（北京）股份有限公司 $安师大附中高二年级第二学期数学周练参考答案 2026.4.22 9 10 11 D B A BC ABC CD a06号 3 13、2e 14、 13 15、（1)解：因为展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是1：2 n(n-1)(n-2)(1-3) 即 24 所以=2 n(n-1) 2,(m-2m-到=6，解得n=5或n=0(舍) 2 所以n=5. 1 (2)解：由(1)知n=5,2x- 展开式的通项公式为： T=C(2x) =C2rf1x号'，e0,123,45) 令5-3∈Z,则∈{02,4}，即展开式的第1,35项为有理项， 2 7=C2'(0x=32x,,=C2'(-0x2=80x2,T=C2'(-x=10 所以展开式中的有理项有：32x,80r,10 16、(1)f()的定义域为R,f(x)=ae-1, 当a≤0时，f()<0,f(x)单调递减，无极值，不合题意： 当a>0时，令f()=0,得e=,即x=-ha, 当x<-lna时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>-na时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所闲在=山0处取得极小值。数≤-血a<2,解府。日ca日 1 所以实数销取值范图为。) 2)=0,得a=.),则g-e-e er 当-2<x<0时，8，x)>0,g()单调递增，当0<x<2时，8，(c)<0，g()单调递减， 又g(0)=1,g(2)=e,8(2)=3e2, 当a≤e2时，方程a=g(x)无解，所以f(x)在(2,2)上无零点， 当e2<a≤3e2时，方程a=g(x)有1个根，所以f(x)在(2,2)上有1个零点， 当3e2<a<1时，方程a=g（x)有2个根，f(x)在(2,2）上有2个零点， 当a=1时，方程a=g()有1个根，f(x)在（一2,2）上有1个零点， 当a>1时，方程a=g(x)无解，f()在（一2,2上无零点. 综上所述： 当a≤e2或a>1时，f(x)在(2,2上无零点： 当e2<a≤3e2或a=1时，f(x)在(2,2)）上有1个零点： 当3e2<a<1时，f(x)在(2,2）上有2个零点. 17、(1)记事件A=“第二次取出的是黑球”，事件B=“第三次取出的是红球， 事件A可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 事件AB=“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 1 故PA8)=2×x{2x211 54*35×310,故PB4)= (AB)_10_1 P(A)24 5 (2)易知随机变量X可能的取值为3,4,5， 当X=3时，前三次分别取出1个红球1个黑球和1个白球，P(X=3列-CCCA-? A5 当X=5时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，P(X=5)=CCN= 当x=4时，P=)=1-=到-收=)=号 故随机变量X的分布列为： X 4 2 2 1 5 5 x5=5 18、(1)记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为学生甲得2分”. P(B=P(4)P(B+A司B月2x0+2 2C 8 (2)G)记X为“选择方案I的得分”，则X可以取0,2,3， pr时2-y-go8x-80 6 所以X的分布列为 X 0 2 1 1 1 3 6 13 E(X)=0×,+2×5+3×= 3 2 621 2 1-1+p (面)记X为选择方案I的得分，则P(X=0)=p×C+-p川×C4P P=2-p0+0-小号--p小--p +0-px0=2P 所以：)-0P20-p+3号 4 方这方案江的湖分，-0明气0-小是号 Pr=4=p0+0-pkCC--p).PW=0=pxC+0-p川0=石n. 所以：0=0传p40-p小6g=2-n 记☑为选帮方案m的9护，则化=0=px1+一)x气p+。 P收=可px0+-小-). 2-p 3 2 要使啡孢选择方案1最好，则（一p)5,解得：<<1，救即的取值范围为0后，小 .0<p<1 19、(1)由题意知g,（x)=a一e, 当a≤0时，8，(x)<0,所以g(x)在（一∞，+∞）上单调递减： 当a>0时，令g,(d)<0,解得x>lna,令g,(d)>0,解得x<lna, 所以g(x)在（一o,lnad)上单调递增，在(na,+co)上单调递减。 (2)因为f(一)=xcos()=*cosx=f(x),所以f(x)是奇函数， 6)=cor一im,当∈时，cor≤0，o≥0，所以x6)s0, 令u(d)=f(d,所以u,()=siv一siv一COS=—2snr一XCOSX, 当∈心引，w因s0,所功u个)在儿心引上单调选减， 40=1>0.02.-<0,所以3=00，使6)=0， 所以当x∈[0，)时，f)>0,当x∈(，π]时，()<0， 所以()在[o,x]上单调递增，在[x,π]上单调递减， 又f0)=0,f)=-兀，f(x)=COSx,∈(0，)，所以当x∈[0，元时，f()∈[元f()〗， 又f()是奇函数，所以当x∈[一元，0]时，()∈[f(x),π]. 综上：f)在区间[一元，π]上的值域为[一兀，。 9)若)2g对任高旅∈上子+入福成立，取(e:ox一x一小上0对任意的 ∈号+o包成之，记)=e+2,照u)≥0则红的e{号+od但成文 h(0)=0,2(d)=e-sinx-a,h,(0)-1-a, 当a>1时：当x∈[0，+∞)，令k(d)=h,(d),则k,()=e-cosx≥0， 所以k()=h,(x)在[0，+)上单调递增，令p(d)=e-x-1,x>0,则p(d=e-1>0,故 p(d)在(0，+∞)上单调递增，则(d)2p(0)=0,所以当x>0时，e>x+1, h,(0)=l-a<0,h,(1+d=ea-sin(1+a）-a≥e*a-1-a≥1+a+1-l-a=1>0, 故存在唯一的x∈(0，+∞)，使得，(k)=0,当x∈(0，x)时，h,(d)<0,h(因在(0，x)上单 调递减，所以h(d)<h(O)=0,此时xh(x)<0,不符合题意. 当a≤1时：G)若x>0,令m(x)=x-six,x>0,则m,(x)=1-cosx≥0， 故m()在(0，+∞)上单调递增，则m()>m(0)=0, 所以h,(x)=e-sinr-a>1+x-simx-a>l-a≥0，则h(x)在(0，+o)上单调递增， 所以h()>h(0)=0恒成立，即xh(x)>0成立，符合题意： D当∈十子时、若)=因，败)=c+m在上号0止单调道装 又40=1.0=e10,所以存在唯一：∈0（径0，使6）=0 当∈0时，因<0，)在0行上单调道减。 当x∈(，0)时，t()>0,t(x)在(x,0)上单调递增， 0号=e>0,0=0.故在t,00,侵)=()=0， 故当0，行时，t)=k()≥0k(=九()在0,5上单词指， 当x∈(，0)时，()=，()<0，k(d)=,()在(x,0)上单调递减， 4)-e+1a>0,k0-1a20,所ke时，k)=a个20，则m)在 '号0单霸院常m=0=0.因30政数 综上，a的取值范围是(-o,1].安师大附中高二年级第二学期数学周练习 2026.4.22 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知函数f(x)=x3,则1i f1+2△)-f0-(） △x→0 △x A.-2 B.2 C.3 D.6 2.已知随机变量X的分布列如表所示，则D()=() 36 A. B. 25 0 C.14 D. 14 5 1-3q 25 5 3.某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的 率为 当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为：否则，第一件产品合 格的概率为亏·则某天生产线肩动时，生产出的第一件产品是合格品的概率为（） A.19 22 3 3 C. D. 22 25 22 5 4(j 的展开式中的常数项为() A.61 B.29 C.309 D.308 5.已知函数f(x)=(x+a'(x+1)在x=1处取得极小值，则a=() A.-1 B.-5 C.-1或-5 D.-1或5 6.某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每 个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排 方法的种数为() A.35 B.36 C.42 D.50 7.设函数f四=(c-a)n(x-b),若)≥0恒成立，则2的最大值为（) A. 1 1 e R导 C. D. 8.程老师给本班的多媒体设置了一个开机密码，该密码由3个“C”、1个“X”、1个“Q” 2个“9”、1个“5”和1个“8”共9个字符组成，某一天班上的甲同学知道了密码由上面 的9位字符组成，但不知道这9个字符具体的排列顺序，只知道C与C不相邻，X和Q不 相邻，他想趁下午放学后去偷偷地破解该密码，则甲同学不超过100次就破解出该密码的概 率为() 1 1 1 1 A. B. C. D. 186 102 84 408 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数y=f(x)的导函数y='(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.x=b时，f(x)取得最大值 f(x) B.x=c时，f(x)取得极大值 C.f(a)<f(b)<f(c) D.f(b)>f(c)>f(d) 10.若(3x+1)(x-2)°=a。+4x+4,x2++a4,.x6(4≠0)，则() A.n=5 B.4=-200 C.4+4+…+4。=28 D.4+242+3a+…+6a。=23 11.若-=(e"-1)nn,则下列说法正确的有() A.当m>0时，m=lnn B.当0<n<1时，<0 C.当>0时，n2+2m+3>4n D.3∈(0，+o),(m-n+1)2=0.01 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.4,令Y=3X-2,则P(Y=-2)=一 13.若两曲线y=x2-1与y=dnx-1存在公切线，则实数a的最大值为一 14.现有甲、乙、丙、丁四位同学进行传球游戏，规则如下：当球在某人手中的时候他都会 等可能地将球传给其余三人中的某一个人.己知刚开始的时候球在甲手上，记事件A=“第 n次传球结束时球回到甲手上”，则PA,A,)= —2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤！ 15.(13分)已知在 1 2x- 的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的 比是1：2. (1)求n: (2)求展开式中所有的有理项. 16.(15分)已知函数f(x)=ae-x-1. (1)若f(x)在(1,2)上存在极小值，求实数a的取值范围： (2)讨论f(x)在(-2,2)上的零点个数. 17.(15分)袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白 球现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出 的球的个数为随机变量X (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求X的分布列和期望. —3— 18.(17分)为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型.教 育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的 区分度，也有利于提高学生的得分率，多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的 四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分.全部选对得6分，有错选或全不选得0 分，正确答案为两项时，选对1个得3分：正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2 个得4分.多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率为1-p(其 中0<p<1). (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选拼一个透项，若刀分 求学生甲该题得2分的概率： (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： I:随机选一个选项：Ⅱ：随机选两个选项；Ⅲ：随机选三个选项. ()若卫=了，且学生甲选择方案紅，求本题得分的数学期望： (ⅱ)以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？ 19.（17分)已知函数f(x)=rCOSr,,g(x)=ax+2-e*(a∈R) (1)讨论8(x)的单调性： (2)求f(x)在区间[-兀，π上的值域： (3)若f(x)≥g(x)对任意的x∈-5，+o恒成立，求a的取值范围 2 一4一 安徽师范大学附属中学2025-2026学年度 高二年级第二学期数学周测 测试范围：导数+排列组合+概率 2026.4.22 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 ．已知函数f (x ) = x3 ，则 ( ) A ． -2 B ．2 C ．3 D ．6 2 ．已知随机变量X的分布列如表所示，则D(X) = ( ) A ． B ． C ． D ． 3 ．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为 ．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为 ；否则，第一件产品合格的概率为 ．则某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品的概率为 ( ) A ． B ． C ． D ． 4 ． 的展开式中的常数项为 ( ) A ．61 B ．29 C ．309 D ．308 5 ．已知函数f (x ) = (x + a )2 (x +1) 在x = 1 处取得极小值，则a = ( ) A ． -1 B ． -5 C ． -1或-5 D ． -1或5 6 ．某空间站由A ， B ， C 三个舱构成，某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，其中宇航员甲只能去A 舱，则不同的安排方法的种数为 ( ) A ．35 B ．36 C ．42 D ．50 7 ．设函数f (x ) = (ex+1 - a )ln (x -b ) ，若f (x )≥ 0 恒成立，则 的最大值为 ( ) A ． B ． C ． D ． 8 ．程老师给本班的多媒体设置了一个开机密码，该密码由 3 个“C”、1 个“X”、1 个“Q ”、 2 个“9 ”、1 个“5 ”和 1 个“8 ”共 9 个字符组成，某一天班上的甲同学知道了密码由上面的 9 位字符组成，但不知道这 9 个字符具体的排列顺序，只知道 C 与 C 不相邻，X 和 Q 不相邻，他想趁下午放学后去偷偷地破解该密码，则甲同学不超过 100 次就破解出该密码的概率为 ( ) A ． B ． C ． D ． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9 ．已知函数y = f (x) 的导函数y = f’(x) 的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( ) ( A ． x = b 时， f ( x ) 取得最大值 B ． x = c 时， f ( x ) 取得极大值 D ． f ( b ) > f ( c ) > f ( d ) )C ． f (a) < f (b) < f (c) 10 ．若(3x +1)(x - 2)n = a0 + a1x + a2x2 + . . . + a6x6 （a6 ≠0），则 ( ) A ． n = 5 B ． a3 = -200 C ． a1 + a2 + . . . + a6 = 28 D ． a1 + 2a2 + 3a3 + ... + 6a6 = 23 11．若mn - m = (em -1)ln n ，则下列说法正确的有 ( ) A ．当m > 0 时， m = ln n B ．当0 < n <1时， m < 0 C ．当m > 0 时， n2 + 2m + 3 > 4n D ． 3n ∈(0, +∞) ， (m - n +1)2 = 0.01 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知随机变量X 服从两点分布，且P(X = 1) = 0.4 ，令Y = 3X- 2 ，则P(Y = -2) = ______. 13 ．若两曲线y = x2 -1 与y = alnx -1 存在公切线，则实数a 的最大值为 . 14 ．现有甲、乙、丙、丁四位同学进行传球游戏，规则如下：当球在某人手中的时候他都会等可能地将球传给其余三人中的某一个人. 已知刚开始的时候球在甲手上，记事件 An =“第n 次传球结束时球回到甲手上 ”，则 P(A3 | A7 ) = . 1 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 ．（13 分）已知在 n 的展开式中，第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比是1: 2 ． （1）求n ； （2）求展开式中所有的有理项． 16 ．（15 分） 已知函数f (x) = aex - x -1 ． （1）若f (x)在(1, 2) 上存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）讨论f (x)在(-2, 2) 上的零点个数． 17 ．（15 分）袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球，其中有 1 个红球，2 个黑球，2 个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量X . （1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； （2）求X 的分布列和期望. 3 学科网（北京）股份有限公司 18. （17 分）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分 6 分．全部选对得 6 分，有错选或全不选得 0分，正确答案为两项时，选对 1 个得 3 分；正确答案为三项时，选对 1 个得 2 分，选对 2个得 4 分．多选题正确答案是两个选项的概率为p ，正确答案是三个选项的概率为1- p （其中 0 < p < 1 ）． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若p ，求学生甲该题得 2 分的概率； （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ ：随机选三个选项． （i）若p ，且学生甲选择方案Ⅰ , 求本题得分的数学期望； （ii） 以本题得分的数学期望为决策依据，p 的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 19 ．（17 分） 已知函数f (x) = xcosx, g(x) = ax + 2 - ex (a ∈ R) ． （1）讨论g(x ) 的单调性； （2）求f (x)在区间[-π, π ]上的值域； （3）若f (x) ≥ xg(x)对任意的x 恒成立，求a 的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $