奥数培优·第6讲 能被30以下质数整除的数的特征（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 6 讲 能被 30 以下质数整除的数的特征 【前言】 华罗庚名人名言：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 课内我们已经学习过 2、3、5 的整除判断方法，但奥数计算题、分解质因数、余数大题中，经常出现 7、11、13、17、19 这类质数的整除判定。本节课依托同余原理，系统梳理30 以内全部质数的快速判定法则，不用竖式长除，直接化简大数，是小学数论核心必备工具。 【三维教学目标】 知识与技能 熟记 30 以内全部质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29； 掌握 2、3、5、11、7、13、17、19、23、29 完整整除判定规则； 理解同余分段推导逻辑，能连续循环化简超大数字，快速判断整除。 过程与方法 通过代数拆分、同余变形推导整除规律，锻炼逻辑推导能力； 对比各类质数判定模板，归纳统一分段解题思路； 结合典型例题实操，总结大数化简标准步骤。 情感态度与价值观 感受数论规律简洁严谨的数学美感； 养成先观察数字特征、再动笔计算的解题习惯； 降低大数计算畏难情绪，激发奥数数论学习兴趣。 【教学重难点】 重点 2、3、5、11 基础整除特征； 7、13、17、19 三位分段通用判定法； 多位数循环分段化简完整操作步骤。 难点 等关键等式的同余推导； 分段作差不够减时，灵活添加质数倍数处理； 自主推导 23、29 冷门质数整除判定公式。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错点 1：判断 11 时数位从左数，正确规则必须从右（个位）开始区分奇偶位； ⚠️ 易错点 2：分段计算差值后数字仍大于 1000，忘记重复分段化简，直接下结论； ⚠️ 易错点 3：17 配乘数 3、19 配乘数 7 极易记混； ⚠️ 易错点 4：忽略 0 可以被任意非零质数整除(如； ⚠️ 易错点 5：遗漏 30 以内质数 23、29，只记前 8 个质数。 一、知识点总结 （一）前置预备知识 1. 30 以内完整质数集合：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 2. 同余记号定义：，代表 N 除以质数 p，余数等于 r； 3. 多标准书写：，代表个位，十位，百位； 4. 核心推导等式 5. ，，，， （二）基础质数（2、3、5）整除特征 1. 能被 2 整除：个位数字为 0、2、4、6、8， 2. 能被 5 整除：个位数字为 0、5， 3. 能被 3、9 整除：所有数位数字相加的和可被 3/9 整除 4. 推导：，9、99、999 均是 3、9 的倍数 5. 简化式： （三）质数 11 专属判定规则 规则：从右起划分奇偶位，奇数位数字总和与偶数位数字总和，大数减小数，差值能被 11 整除则原数可整除。 同余推导： 通用同余式： 补充：两数相减不够时，直接加 11 的倍数再计算。 （四）质数 7、13 通用分段判定 六位数记为 由，得： 完整判定步骤： 1. 多位数从右侧向左每 3 位划分为一段，分为末三位、前段剩余数字； 2. 两段数字大数减小数求差； 3. 差值≥1000 时重复分段，直到三位数以内；差值能被 7/13 整除，原数即可整除。 （五）质数 17 判定规则 核心等式： 判定方法：数字右侧分出末三位，剩余为前段；末三位减去前段 ×3，差值能被 17 整除。 （六）质数 19 判定规则 核心等式： 判定方法：数字右侧分出末三位，剩余为前段；末三位减去前段 ×7，差值能被 19 整除。 （七）拓展：23、29 判定规则（30 以内剩余质数） 1.能被 23 整除：， 判定式 2.能被 29 整除：， 判定式 （八）五大通用解题方法 1. 个位判断法：仅适用 2、5； 2. 数位求和法：仅适用 3、9； 3. 奇偶位作差法：仅适用 11； 4. 三位分段作差法：7、13、17、19、23、29 通用； 5. 循环化简法：差值仍为四位数以上，重复分段直到≤3 位。 二、经典例题 例 1 判断 31428576 能否被 11、13 整除 ★★基础 【解题思路】11 使用奇偶位差值法，13 使用三位分段循环法，分开计算验证。 【完整解析】 ① 判断能否被 11 整除 数字：3 1 4 2 8 5 7 6（从右编号） 奇数位（个位、百位、万位、百万位）数字：6、5、2、1，和 = 6+5+2+1=14 偶数位（十位、千位、十万位、千万位）数字：7、8、4、3，和 = 7+8+4+3=22 差值：22−14=8，8 不是 11 的倍数，因此 31428576 不能被 11 整除。 ② 判断能否被 13 整除 第一次分段：31428 | 576，31428-576=30852 第二次分段：30 | 852，852-30=822 822÷13=63……3，有余数，无法整除。 答：31428576 既不能被 11 整除，也不能被 13 整除。 【方法总结】 11 专用奇偶位相减；7、13 统一三位分段，多位数必须循环化简。 【随堂小练 1】 判断 215332 能否被 7、11、13 整除 例 2 判断 2661027 能否被 17 整除 ★★提升 【解题思路】17 判定规则：末三位 - 前段 ×3，分段计算差值，负数可取绝对值。 【完整解析】 数字分段：2661 | 027（末三位 27，前段 2661） 27 - 2661×3 = 27 - 7983 = -7956 取绝对值循环分段：7 | 956 956 - 7×3 = 935 935 ÷ 17 = 55，刚好整除。 答：2661027 能被 17 整除。 【方法总结】 17 配套乘数固定为 3，差值为负直接取绝对值重复分段。 【随堂小练 2】 判断 987654321 能否被 17 整除 例 3 判断 987654321 能否被 19 整除 ★★提升 【解题思路】19 判定规则：末三位 - 前段 ×7，多次分段循环化简。 【完整解析】 末三位 321，前段 987654，计算 321 - 987654×7 = -6913257； 对结果分段：6913 | 257，257 - 6913×7 = -48134； 继续分段：48 | 134，134 - 48×7 = -202； 202 ÷ 19 = 10 余 12，不能整除。 答：987654321 不能被 19 整除。 【方法总结】 19 固定乘 7，化简至三位数后试除验证。 【随堂小练 3】 判断 7259108 能否被 19 整除 三、拓展例题 拓展 1 自主推导能被 61 整除的判定公式 ★★★拔高 【题目】已知，推导多位数被 61 整除的判定式。 【解题思路】利用，四位数分段变形同余式。 【完整解析】 判定规则：末三位 − 前段 ×4。。 答： 【方法总结】 找到 10 的 n 次方模质数余数，即可推导分段判定公式。 【随堂小练 4】 利用，推导 53 整除判定式 拓展 2 判断 N=31428576 能否被 37 整除 ★★★拔高 【解题思路】，三位分段求和判定。 【完整解析】 分段 31 | 428 | 576 三段总和：31+428+576=1035 ，有余数。 答：31428576 不能被 37 整除。 【方法总结】 模 37 时 1000 余 1，采用分段求和而非作差。 【随堂小练 5】 判断 829511 能否被 37 整除 拓展 3 综合竞赛题：找出最小五位数，同时被 13、17 整除 ★★★★挑战 【题目】找出五位数中最小的数，既能被 13 又能被 17 整除。 【完整解析】13、17 互质，最小公倍数 最小五位数 10000，，向上取整 46 验证：10166 分段 10 | 166 ； 答：最小符合条件五位数为 10166。 【方法总结】 多质数同步整除，先求最小公倍数，再结合分段法验证。 【随堂小练 6】 找出四位数内能被 7、19 同时整除的最小数 四、易错题专区 易错题 1 11 奇偶位左右分错 【题目】判断 121 能否被 11 整除 错误解法：从左划分奇偶位：百位 1（奇）、十位 2（偶）、个位 1（奇），差 (1+1)-2=0，答案巧合正确，规则错误。 错误分析：判定 11 必须从个位（最右侧） 开始数第一位。 正确解法：右起：个位 1 (奇)、十位 2 (偶)、百位 1 (奇)，奇数位和 = 2，偶数位和 = 2，差值 0，可整除。 【避坑】 判断 11，数位一律从右往左数。 易错题 2 17、19 乘数记混 【题目】判断 1234 能否被 17 整除 错误解法：末三位 234 − 1×7 错误分析：17 对应乘数 3，19 才是 7。 正确解法：234-3×1=231，231÷17 余 10，不可整除。 【避坑口诀】 十七乘三，十九乘七。 易错题 3 分段后不循环化简 【题目】判断 1234567 能否被 13 整除 错误：分段 1234、567，差 667 直接停止计算。 正确：667 继续分段 0、667，667÷13 余 4，不能整除。 【避坑】 差值≥1000 必须重复分段。 五、趣味挑战题 1. 数字魔术：任意 8 位大数，利用三位分段法快速判断能否被 7 整除； 2. 进制拓展：证明能被 7 整除的充要条件是 n 为 3 的倍数； 3. 余数谜题：求证四位数，若能被 17 整除，原数可被 17 整除。 六、一题多解精选 经典题：证明 1001 可同时被 7、11、13 整除 方法 1：分解质因数 ，直接得证； 方法 2：三位分段 1 | 001，，0 可被三者整除； 方法 3：同余推导 ，。 【教师点评】分解质因数法计算最快；三位分段法无需分解大数，适合还未熟练掌握分解质因数的五年级学生。 七、基本练习（5 道） 1. 判断 45621 能否被 3、9、11 整除； 2. 用三位分段法判断 789542 能否被 7、13 整除； 3. 判断 156032 能否被 17 整除； 4. 已知，推导能被 53 整除的判定公式； 5. 找出能同时被 13、19 整除的最小三位数。 八、拓展练习（3 道） 1. 求证：（）； 2. 判断 31428576 能否被 37 整除； 3. 写出 30 以内全部质数，并整理对应整除记忆口诀。 九、随堂小练完整答案 随堂小练 1 215332 分段 215 | 332，332-215=117 ，， 答：仅能被 13 整除。 随堂小练 2 987654321 【解】数字 987654321，末三位 321，前段 987654 321 - 987654×3 = -2962641，取绝对值 2962641 分段：2962 | 641，641 - 2962×3 = 641 - 8886 = -8245 分段：8 | 245，245 - 8×3 = 221 (221÷17=13 答：987654321可以被 17 整除。 随堂小练 3 7259108 【解】数字 7259108，末三位 108，前段 7259 108−7259×7=108−50813=−50705，取绝对值 50705 分段：50 | 705， 705−50×7=355 355÷19=18……13，有余数，不能被 19 整除。 答：分段计算差值无法被 19 整除。 随堂小练 4 53 推导 答：，判定式： 随堂小练 5 829511 答：分段求和 829+511=1340，，不可整除。 随堂小练 6 答：最小公倍数，最小四位数。 十、基本练习答案 1. 奇数位和 = 1+6+4=11，偶数位和 = 2+5=7，差 = 4，不能被 11； 2. 789-542=247，，仅能被 13 整除； 3. ，有余数，不能被 17 整除； 4. ； 5. 。 十一、拓展练习完整解答 1. 由，得，代入多位数可证等式； 2. 三段和 1035，除以 37 余 36，不能整除； 3. 30 以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。 十二、本讲总结 (一)思维导图 （二）核心速查表 质数 判定核心规则 记忆口诀 2、5 观察个位数字 2、5 看尾巴 3、9 所有数字求和 3、9 求和 11 奇偶位和大数减小数 11 奇偶相减 7、13 右分三位，末三位减前段 7、13 三位分段 17 末三位−前段 ×3 十七乘三 19 末三位−前段 ×7 十九乘七 23 末三位−前段 ×12 二三乘十二 29 末三位−前段 ×15 二九乘十五 （三）避坑清单 1. 判断 11 必须从右数个位为第一位； 2. 17 配 3、19 配 7，乘数不要记反； 3. 分段差值大于 1000，必须循环再次分段； 4. 作差得到负数可直接取绝对值计算； 5. 30 以内质数不要漏掉 23、29。 （四）解题小口诀 三十质数十个全，二三五看个位和； 十一奇偶两相减，七十三三分段算； 十七乘三十九七，大数循环缩三位； 推导先找千余数，同余变形法则现。 祝贺你顺利完成了本讲的学习，记得给自己一点小小的鼓励🌱 学科网（北京）股份有限公司 $