数列求通项-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册专项训练

**基本信息** 数列求通项专题以七大题型系统整合定义法、累加累乘、构造法等核心方法，构建从基础到综合的解题体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义法|1|等差等比定义直接应用|从基本概念出发，建立首项与公差（比）关系| |累加法|2|相邻项差累加求和|基于递推式an-an-1=f(n)的可求和性| |累乘法|2|相邻项比累乘求积|针对an/an-1=f(n)的可求积特征| |已知Sn求an|3|Sn与an关系转化（n≥2时an=Sn-Sn-1）|强化n=1与n≥2的分类讨论| |构造法|5|构造等差/等比数列（如an+1=pan+q）|通过代数变形转化为基本数列模型| |奇偶项|5|分奇偶项讨论递推关系|利用分类思想处理分段递推| |因式分解法|2|递推式因式分解转化|结合正项数列性质简化运算|

数列求通项专题 使用时间：2026/6 题型一：定义法 1-1.等差数列a,的前n项和为S,数列b,是等比数列，满足4=3,6=1， b,+S,=10,a-2b,=a.求a}和{b,}的通项公式 题型二：累加法 2-1.己知数列{an}满足a=1,a1=a,+n+2"(neN),则an等于() A. nn-1+2-1 B.nn-+2-1 2 2 C.n+l+2n1-1 2 D. nn-1+21-1 2 2-2.数列{an}满足：a=1，,a=an+log2 A.22B.3C.4D.42 题型三：累乘法 1.数列a中，若a=2,040则20240 3-2.数列{an}中，a,=1,当n≥2时，an=2”a1,则数列{an}的通项公式为 题型四：已知Sn求a 4-1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a,=1,a1=2S,+2(neN),则数列{an}的 通项公式a= 4-2.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an(2S,-a)=1,则下列选项正确 的是() A.41=±1 B.S=n C.a <2vn D.aa<1 43.已知数列{a}满足a+2品+2马十+21，=2.求数列{}的通 项公式 题型五：构造法 61已知数列a,的首项a=，且各项满足公式Q。24ne,则数现 {an}的通项公式为() A.an=n B.g,2 n+1 C.a=n2 D.d,=I 5-2.己知数列{an}满足a1=1,a-1-an=2an-1an(n≥2)，则数列{an}的通项公式 an= 5-3.在数列{an}中，a,=1,an=2an1+2(n∈N,n≥2)，则数列{an}的通项公式为 5-4.已知数列a}的前n项和为S,S=l,且a1=2am+n-1,则通项公式a,为 5-5.已知数列{an}满足4=1，a+1=2a,+3”,则数列{a}的通项公式为 题型六：奇偶项 6-1.已知数列{an}满足4=1，an+1= [a,+2,为奇数则am=（) 2an,n为偶数， A.5×250-2B.5×250-4C.5×249-2D.5×249-4 6-2.（多选)己知数列{an}中，a=1,an·a1=3”,n∈N,则下列说法正确的 是() A.a=9 B.{a}是等比数列C.an-an-1=23”D.an1+a2n=43- 6-3.在数列{an}中，已知a=1,a1+an=2n,求通项公式an. 6-4.在数列{an}中，已知a=2,且当n为奇数时，a1=3an+1;当n为偶数时， an1=2an-1. (1)求{an}的通项公式； 6-5.已知数列{an}满足，a,=3,aa1=9×22m，n∈N. (I)求数列{a}的通项公式： (2)证明：数列{a}中的任意三项均不能构成等差数列. 题型七：因式分解法 7-l.已知正项数列fa,满足4=l,且a-(m+c=aah∈N,求a,的通 项公式。 7-2.已知数列{an}各项均为正数且满足a-(n-1)a,-2n2+n=0,数列{b,}满足 b=3,且b1=3b,+31.求{a},{b}的通项公式. 数列求通项专题答案 1.am=2n+1,b,=2- 2-1.【答案】B 【详解】由题设an+1-an=n+2”,即an=am-am-+…+a3-a2+a2-a+a =(n-1)+2"-+…+2+22+1+2+1,且n≥2，所以 a.=m-1+…+2+10+(2++22+2+）=0-1n-1+D+1-2=m0-D+2-1, 2 1-22 由4=1满足上式，故a,=m少+2-1 2 2-2.【答案】C 【详解】由an+1=an+log2 n+ n 可ga-a.=lag）=bsa+小-bs:a 利用累加法可得 a-a+a--a,-2+.+a2-a=10g2 n-10g2(n-1)+10g2(n-1)-10g2(n-2+..+10g2 2-10g21,n 22 ,化简得an=a1+log2n,则ag=1+log28=4. 3-1.【答案】 4048 2025 【详解】若a2,8H·则a,0且三” ann+1’ 所以a,=a0l0-22a=n-×n-2xn-3.1x 一X -X nn-1n-2…2 2=2 an-1 an-2 an-3 a n 24048 所以2024a2025=2024× 20252025 n2+n-2 3-2.【答案】4，=22 【详解】因为a,=241,n≥2，所以%=2,8兰=2,82=23，， 2=2, 、am-1 an-2 an-3 a 累乘得.0.0242-221,2-222，n≥2，nN an-1 an-2 an-3 a 5 （n+2n-1n2+n-2 n2+n-2 所以g=2?=22，n22,neN由于a=l,所以a,=2，n之2，neN 显然当=1时，a=1满是a.=2,所以a-2,neN 1,n=1 4-1【答案】 4×3-2,n≥2 【详解】在数列{an}中，an+1=2Sn+2,当n≥2时，an=2Sn-+2, 两式相减得a+1-am=2(Sn-Sm-)=2an,则a1=3a,而a2=2S,+2=2a1+2=4≠3a1, 因此当n≥2时，数列an}是以a2=4为首项，以3为公比的等比数列，a,=4×3-2, 1,n=1 所以数列{an}的通项公式an= 4×3"-2,n≥2 4-2【答案】ACD 【详解】A选项，a(2Sn-a)=1中，n=1得a(2S,-a)=1,即aa1=1,解得a=±1， A正确：B选项，因为n≥2时，an=Sn-Sn1,由a(2Sn-an)=1得 (S。-S-)(Sn+S-1)=1,即S-S=1,所以{S}为公差为1的等差数列，首项为 S=a=l,所以S2=1+n-1=n,故S。=±Vm,B错误；C选项，当S,=Vn时，当 n=1时，a1=1<2,n≥2时，a。=S。-Sn1=Vn-Vn-1<2n,当Sn=-√n时，当n=1 时，4=-1<2，n≥2时，a。=S。-S,-1=-V万+Vn-1<2万，综上，C正确： D选项，若S。=√n,n≥2时，a。=√n-√n-,显然此时a,=1满足上式，故 a.=6-h,此时aa---可-不+h-可i+, 若S。=-Vn,n≥2时，a,=-Vn+n-1,显然此时a,=-1满足上式，故 a,=-vn+/n-I, 此时aa-+可-i+同不ni+a+可1，徐上.D正 43【答案】an= - 【详解】由题意，当n=1时，a1=1a1+2a2十…+2-n=n2①， 当n≥2时1+2a2t…+202n1=-2@, ①-②得2rn=2n-1,即an=号 当n=1时2祭=1=a:故数列anl的通项公式为an=器 5-1【答案】B 【详解】因为数列an}的首项a=1,且各项满足公式a1= 2a,neN）,则a,≠0， a+2 a≠0，，以此类推，对任意的neN',an≠0， 由an+1= 2a可得 1=2+02=1+1 a,+2 2a,6+2所以，111 dne dn 2' 所以，数列 是等差数列，且首项为-1，公差为分， a :1=1+n-n+ 2 2 2，因此，0 n+1 5-2【答案】，1 2n-1 【详解】因为an-1-an=2an-an(n≥2)， ,a≥2，可得2-2a1-。+20u22). 所以0，=2a1+ an-1 an-1 =22，所以侣 从而a,a 是首项为。=1，公差为2的等差数列，】 所以对女+2-小-2-1，即a 1 > 5-3【答案】a,=3×2-1-2 【详解】因为an=2an-1+2neN,n≥2)，所以an+2=2(an1+2) 因为a=1,所以a1+2=3.所以数列an+2是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 an+2=3×2”-所以数列{an}的通项公式为an=3×2--2. 5-4【答案】a,=2”-n 【详解】an1=2an+n-1.a1+n+1=2(an+n) 又a+1=S,+1=2.{an+n}是以2为首项，2为公比的等比数列.an+n=2”, 5-5【答案】an=3"-2” 【详解】由a1=2a,+3”两边同除以3，可得出=2.0+1 3H-33”T3’ 6-号，则号弘+日设+及-号6+小，对照上式可得=1 1 即得6-1号.-小，因么-1=子，则数列6，-是以-子为首项，号为公比的等比数 列故61子=)即号=(+1，故a=-2 6-1【答案】C 【详解】：a2k+2=(a2k-1+2）+2=2a2k-2+4=2(a2k-2+2) 又a2+2=a,+2+2=5,{a2k+2成以首项为5，公比为2的等比数列 .a24+2=5×2,a2=5x24-1-2,即a1o0=5×249-2. 6-2【答案】ABD 【详解】解：数列{an}中，a=1,a。an+1=3”,n∈N所以a1a2=3,即a2=3 因为aa1=3”，所以a1a2=3所以，2=3 a 8 所以数列an}的奇数项和偶数项，均为以3为公比的等比数列 所以a2n=3×3"-1=3”a2m-1=1×3=3-对A,a4=32=9,故A正确： 对B,由分析知，{an}是等比数列，故B正确；对C,an-a21=3”-3-=23-,故C 错误；对D,a2-1+a2n=3”+3-1=43-,故D正确， 「n,n为奇数， 6-3【答案】an= n-l,n为偶数. 当n≥2时，an+am-1=2(n-1.它与an+1+an=2n相减得an+1-an-1=2. n,n为奇数， 因为a,=1,a2=2-1=1,所以an= n-l,n为偶数. 6-4【详解】(1)依题意，a2=3a,+1=7, 当n为偶数时，a1=2a-1,则数列{an}的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， n+l 于是a21=a2"=2”，即当n为奇数时，4，=22，当n为偶数时， n+l 22,n为奇数 an=3an-1+1=322+1,所以{a,}的通项公式是an= 3.22+1,n为偶数 6-5【答案】(1)an=3×2m- 【详解】(1)由a,01=9×22m，得a41442=9×22a 以上两式相比，得82=4，由a,4,=9×2,4,=3得a=6, 所以，数列{a2-}是首项为3，公比4为的等比数列，a2-1=3×22-2, 数列{a2n}是首项为6，公比为4的等比数列，a2.=6×4-=3×22m-, 综上，数列{an}的通项公式为an=3×2"- (2)假设数列{an}中存在三项数列am,ak,ap,(其中m<k<p)成等差数列，则 2ak=am+ap. 由（1)得2×3×2-=3×2m-+3×2P-1,即2=2m-+2P-1,两边同时除以2m-1,得 2-m1=1+2-m(*).(*)式左边为奇数，右边为偶数：(*)等式不成立，假设不成立 所以，数列a,}中得任意三项均不能构成等差数列. 7-1【答案】an=n 【详解】由已知，得(an+a+i)nan1-(n+1)an)=0, 因为数列{a}是正项数列，所以ma1-(+1)a,=0,即1="+1 an n 放4=2马=3048-n 41'42'a3 an-n-1 累乘得，g=2x3x4 ...x a1123n-1 =n,.an=n(n≥2)又a1=1也满足上式 故{an}的通项an=n 7-2【答案】an=2n-1,bn=n3” 【详解】由a-(n-1)an-2n2+n=0可得[an-(2n-1)](an+n)=0, :a,>0a,=2n-1,因为6=30，+3，左右两边同除以3，得=-之+1， 3n+13 所以数列 是公茶为1的等差数列，骨=1，小会=1+n-1=,6=n3 3n 10