专题1.5 数学归纳法 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题1.5 数学归纳法 考点预览 考点一 数学归纳法的原理与步骤 考点二 用数学归纳法证明等式 考点三 用数学归纳法证明不等式 考点四 归纳—猜想—证明 考点五 数学归纳法的综合应用 一、知识填空 1．数学归纳法的适用范围 （1）数学归纳法用于证明与正整数 有关的命题。 （2）两个步骤缺一不可：第一步验证 成立，是归纳的基础；第二步假设 成立，推出 成立，是递推的依据。 2．数学归纳法的步骤 （1）第一步（奠基）：验证 （ 为初始值）时命题成立。 （2）第二步（递推）：假设 （）时命题成立，证明当 时命题也成立。 3．归纳假设的使用 （1）第二步必须使用归纳假设，即把 时的结论代入推证过程。 （2）从 到 ，通常需要增加或调整的项数为 。 4．常见证明类型 （1）等式型：如 。 （2）整除型：证明 能被某数整除时，常将 拆为含 的部分。 5．归纳—猜想—证明 （1）先由前几项归纳猜想 的表达式，再用 证明。 （2）猜想时注意结合递推关系式检验前几项。 二、考点专练 考点一 数学归纳法的原理与步骤 方法与技巧： 1. 识别信号：判断数学归纳法证题过程的正误、补全证明步骤。 1. 操作流程：核查两步——奠基是否验证了初始值；递推是否用了归纳假设并推出 。 1. 技巧·口诀：“奠基验初始，递推用假设，两步齐才叫归纳”。 1. 易错点：只验证 而不递推、或只递推不奠基，都不能完成证明；递推时从 到 必须用上归纳假设，否则不是数学归纳法。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明命题时，两个步骤是（　　） A．验证 n=1 成立；假设 n=k 成立，推出 n=k+1 成立 B．验证 n=1 成立；验证 n=2 成立 C．假设 n=k 成立；假设 n=k+1 成立 D．验证 n=k 成立；验证 n=k+1 成立 2．用数学归纳法证明"对 ，"时，奠基应验证（　　） A． B． C． D．任意 【变式训练】 1．数学归纳法证明的第二步中，归纳假设是（　　） A． 时命题成立 B． 时命题成立 C． 时命题成立 D．对一切 命题成立 2．用数学归纳法证明""，从 到 需增加的项是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于数学归纳法的说法正确的是（　　） A．第二步推理必须使用归纳假设 B．第二步可以不用归纳假设 C．只需验证 n=1 成立即可 D．奠基只能验证 n=1 【巩固练习】 1．用数学归纳法证明""（），奠基验证（　　） A． B． C． D． 2．数学归纳法的第一步称为（　　） A．奠基步骤 B．递推步骤 C．归纳假设 D．反证步骤 3．用数学归纳法证明命题" 是奇数"（）是否合适？（　　） A．合适 B．不合适，该命题与 n 有关但不能用归纳法 C．只能证明前几项 D．无法判断 4．从 到 的递推中，常见的项数变化是（　　） A．增加一项或按命题结构确定 B．固定增加两项 C．减少一项 D．不变 5．用数学归纳法证明" 能被 6 整除"（），奠基验证 时值为（　　） A．0 B．6 C．2 D．12 6．数学归纳法证题中，若第二步成立但未验证奠基，则（　　） A．证明不完整，命题未必成立 B．命题一定成立 C．只需再验证 n=2 D．递推自动包含奠基 7．用数学归纳法证明"凸 边形内角和为 "，奠基应验证（　　） A． B． C． D． 8．数学归纳法第二步证明了"若 成立，则 成立"，其意义是（　　） A．建立从 k 到 k+1 的递推关系 B．验证了所有 n 的值 C．验证了 n=k+1 单独成立 D．与奠基无关 考点二 用数学归纳法证明等式 方法与技巧： 1. 识别信号：证明含 的恒等式（求和式、积式、幂和式等）。 1. 操作流程：奠基验证 ；假设 成立，写出 时的式子=（ 时式子）+（新增项），代入归纳假设化简整理至目标形式。 1. 技巧·口诀：“右增左添项，假设代进去，通分合并凑目标”。 1. 易错点： 时的式子必须比 时多一项或结构对应变化，不能直接把 换成 了事；最后必须整理到与命题完全一致。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明：。 2．用数学归纳法证明：。 【变式训练】 1．用数学归纳法证明 ，从 到 时左边增加（　　） A． B． C． D． 2．假设 时 成立，则 时左边为（　　） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明 ， 时左边为（　　） A．2 B．1 C．3 D．6 【巩固练习】 1．用数学归纳法证明 ， 时左边为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 2．上题中从 到 增加的项为（　　） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明 ， 时左边为（　　） A． B． C． D． 4．假设 时 ，则 时左边为（　　） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明等式的关键第二步是（　　） A．在归纳假设基础上推证 n=k+1 时成立 B．直接代入 n=k+1 验证 C．只验证 n=k 成立 D．证明对所有 n 成立 6．用数学归纳法证明 的结论时， 时值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．0 7．用数学归纳法证明 ， 时右边为（　　） A．1 B．4 C．2 D．8 8．用数学归纳法证明 ，从 到 增加的项为（　　） A． B． C． D． 考点三 用数学归纳法证明不等式 方法与技巧： 1. 识别信号：证明含 的不等式，如 、 型。 1. 操作流程：奠基验证初始值；递推时在归纳假设基础上放缩或加强，比较 时的两边大小。 1. 技巧·口诀：“假设作跳板，放缩凑目标；差比两法选其一”。 1. 易错点：放缩的方向必须保持不等号方向不变；从 到 时两边变化幅度不同，需单独比较增加的部分。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明：（，）。 2．用数学归纳法证明：（）。 【变式训练】 1． 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 2．证明 （）时， 时左边为（　　） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证不等式时，常用的放缩技巧是（　　） A．把部分项放大或缩小以凑出目标形式 B．两边同时平方 C．把不等号改为等号 D．忽略高阶小量后取等号 【巩固练习】 1． 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 2．用数学归纳法证明 （）时，只需说明（　　） A． B． C． 为奇数 D． 为偶数 3． 的值为（　　） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明 （）时，奠基验证（　　） A． B． C． D． 5．证明 （）从 到 时，左边增加的量为（　　） A． B． C． D． 6．把 1(k+1)2 适当放大为（　　），便于相加时相互抵消。 A． B． C． D． 7． 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 8．用数学归纳法证不等式的第二步中，比较增加量常用（　　） A．作差法或作比法 B．数学归纳法 C．反证法 D．待定系数法 考点四 归纳—猜想—证明 方法与技巧： 1. 识别信号：给出递推关系与前几项，要求观察规律、猜想通项并用数学归纳法证明。 1. 操作流程：先算 ，，，；观察分子分母与符号规律，猜想 ；用数学归纳法证明猜想。 1. 技巧·口诀：“算够四项找规律，猜想通项再归纳”。 1. 易错点：猜想必须与所有已知项吻合（不能只看前两项）；证明时第二问的归纳假设要代入递推式。 【例题精讲】 1．数列 满足 ，，写出前 3 项并猜想 。 2．对上题的猜想 ，用数学归纳法证明。 【变式训练】 1．数列 ，，，，…（）的通项可猜想为（　　） A． B． C． D． 2．数列 ，，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 3．归纳猜想所得结论，正确的处理方式是（　　） A．必须用数学归纳法（或其他方法）证明 B．直接作为定理使用 C．只需再验证一项 D．无需验证也无需证明 【巩固练习】 1．数列 ，，，，…（）的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 2．数列 满足 ，，前 3 项为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．数列 ，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 4．数列 ，，则 （　　） A．1 B．2 C．4 D．0.5 5．数列 ，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 6．归纳—猜想—证明中"证明"环节最常用的方法是（　　） A．数学归纳法 B．反证法 C．综合法 D．分析法 7．数列 ，，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 8．数列 ，，则 （　　） A． B． C． D． 考点五 数学归纳法的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：整除性问题、几何问题（凸多边形、平面分区域）、数列与不等式的综合证明。 1. 操作流程：整除型将 情形拆成" 情形（用归纳假设）+ 常数倍的简单项"；几何型分析从 到 新增的量。 1. 技巧·口诀：“整除拆两项，假设凑整除；几何看增量，逐层来递推”。 1. 易错点：整除证明中拆出的部分要能分别被除数整除；几何计数问题的新增量需画图确认，不能想当然。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明： 能被 6 整除（）。 2．平面内 条直线（任意两条不平行、任意三条不共点）最多把平面分成 部分，猜想 。 【变式训练】 1． 能被 2 整除的理由是（　　） A． 为相邻两整数之积 B． 为偶数 C． 为偶数 D． 为偶数 2．凸 边形（）的对角线条数为（　　） A． B． C． D． 3．证明 能被 整除（）， 时表达式为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 能被（　　）整除（）。 A．2 B．3 C．5 D．7 2．凸 5 边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 3．证明 能被 9 整除（）， 时表达式为（　　） A．27 B．21 C．28 D．8 4．平面内 个圆（两两相交且无三圆共点）最多把平面分成 部分，则 （　　） A．4 B．3 C．5 D．2 5． 能被 6 整除的关键是（　　） A．三个连续整数之积必含 2 的倍数与 3 的倍数 B．n 为偶数 C．n+1 为奇数 D．三项之和为 3 的倍数 6．凸 边形（）从一个顶点出发的对角线有（　　）条。 A． B． C． D． 7．证明 能被 整除（），用数学归纳法时递推的关键变形是（　　） A．？应为 B． C． D． 8．球面被 个大圆最多分成 部分，，，，猜想 （　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．用数学归纳法证明命题的第一步是（　　） A．验证初始值成立 B．假设 n=k 成立 C．证明 n=k+1 成立 D．得出结论 2．用数学归纳法证明 ， 时右边为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 3． 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 4．数列 ，，，，…（）的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 5．凸 边形（）内角和为（　　） A． B． C． D． 6． 的奇偶性为（　　）（） A．恒为奇数 B．恒为偶数 C．随 n 变化 D．无法确定 7．数学归纳法证明中，从 到 的推理必须（　　） A．使用归纳假设 B．重新证明所有结论 C．使用反证法 D．验证所有项 8． 的值为（　　） A． B． C． D． 9．用数学归纳法证明：。 10．数列 满足 ，，猜想 并加以证明。 11．用数学归纳法证明：（，）。 12．平面内 条直线最多把平面分成 部分，已知 ，，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 数学归纳法 考点预览 考点一 数学归纳法的原理与步骤 考点二 用数学归纳法证明等式 考点三 用数学归纳法证明不等式 考点四 归纳—猜想—证明 考点五 数学归纳法的综合应用 一、知识填空 1．数学归纳法的适用范围 （1）数学归纳法用于证明与正整数 有关的命题。 （2）两个步骤缺一不可：第一步验证 成立，是归纳的基础；第二步假设 成立，推出 成立，是递推的依据。 2．数学归纳法的步骤 （1）第一步（奠基）：验证 （ 为初始值）时命题成立。 （2）第二步（递推）：假设 （）时命题成立，证明当 时命题也成立。 3．归纳假设的使用 （1）第二步必须使用归纳假设，即把 时的结论代入推证过程。 （2）从 到 ，通常需要增加或调整的项数为 。 4．常见证明类型 （1）等式型：如 。 （2）整除型：证明 能被某数整除时，常将 拆为含 的部分。 5．归纳—猜想—证明 （1）先由前几项归纳猜想 的表达式，再用 证明。 （2）猜想时注意结合递推关系式检验前几项。 自检自纠： 1．（1）正整数 （2）；； 2．（2） 3．（2）一项（或按题意确定） 4．（1） （2）（或归纳假设相关的项） 5．（1）数学归纳法 二、考点专练 考点一 数学归纳法的原理与步骤 方法与技巧： 1. 识别信号：判断数学归纳法证题过程的正误、补全证明步骤。 1. 操作流程：核查两步——奠基是否验证了初始值；递推是否用了归纳假设并推出 。 1. 技巧·口诀：“奠基验初始，递推用假设，两步齐才叫归纳”。 1. 易错点：只验证 而不递推、或只递推不奠基，都不能完成证明；递推时从 到 必须用上归纳假设，否则不是数学归纳法。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明命题时，两个步骤是（　　） A．验证 n=1 成立；假设 n=k 成立，推出 n=k+1 成立 B．验证 n=1 成立；验证 n=2 成立 C．假设 n=k 成立；假设 n=k+1 成立 D．验证 n=k 成立；验证 n=k+1 成立 【答案】A 【详解】数学归纳法由奠基（）与递推（ 到 ，须用归纳假设）两步构成。故选 A。 2．用数学归纳法证明"对 ，"时，奠基应验证（　　） A． B． C． D．任意 【答案】A 【详解】命题对 提出，奠基应验证初始值 。故选 A。 【变式训练】 1．数学归纳法证明的第二步中，归纳假设是（　　） A． 时命题成立 B． 时命题成立 C． 时命题成立 D．对一切 命题成立 【答案】A 【详解】归纳假设即假定 （）时命题成立。故选 A。 2．用数学归纳法证明""，从 到 需增加的项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】和式增加第 项，即 。故选 A。 3．下列关于数学归纳法的说法正确的是（　　） A．第二步推理必须使用归纳假设 B．第二步可以不用归纳假设 C．只需验证 n=1 成立即可 D．奠基只能验证 n=1 【答案】A 【详解】递推必须使用归纳假设，否则不是数学归纳法；奠基从命题的初始值开始，不一定是 。故选 A。 【巩固练习】 1．用数学归纳法证明""（），奠基验证（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题对一切正整数成立，奠基验证 ： 成立。故选 A。 2．数学归纳法的第一步称为（　　） A．奠基步骤 B．递推步骤 C．归纳假设 D．反证步骤 【答案】A 【详解】第一步验证初始值，称为奠基（归纳奠基）。故选 A。 3．用数学归纳法证明命题" 是奇数"（）是否合适？（　　） A．合适 B．不合适，该命题与 n 有关但不能用归纳法 C．只能证明前几项 D．无法判断 【答案】A 【详解】命题与正整数 有关，可用数学归纳法（亦可直接由 为偶数得证）。故选 A。 4．从 到 的递推中，常见的项数变化是（　　） A．增加一项或按命题结构确定 B．固定增加两项 C．减少一项 D．不变 【答案】A 【详解】一般增加一项，但如含 类结构的命题可能涉及多项，需按题意确定。故选 A。 5．用数学归纳法证明" 能被 6 整除"（），奠基验证 时值为（　　） A．0 B．6 C．2 D．12 【答案】A 【详解】 时 ，能被 6 整除。故选 A。 6．数学归纳法证题中，若第二步成立但未验证奠基，则（　　） A．证明不完整，命题未必成立 B．命题一定成立 C．只需再验证 n=2 D．递推自动包含奠基 【答案】A 【详解】递推链必须有起点，缺奠基则证明无效。故选 A。 7．用数学归纳法证明"凸 边形内角和为 "，奠基应验证（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】凸多边形最少边数为 3，奠基验证三角形内角和。故选 A。 8．数学归纳法第二步证明了"若 成立，则 成立"，其意义是（　　） A．建立从 k 到 k+1 的递推关系 B．验证了所有 n 的值 C．验证了 n=k+1 单独成立 D．与奠基无关 【答案】A 【详解】递推与奠基结合，才能覆盖所有正整数。故选 A。 考点二 用数学归纳法证明等式 方法与技巧： 1. 识别信号：证明含 的恒等式（求和式、积式、幂和式等）。 1. 操作流程：奠基验证 ；假设 成立，写出 时的式子=（ 时式子）+（新增项），代入归纳假设化简整理至目标形式。 1. 技巧·口诀：“右增左添项，假设代进去，通分合并凑目标”。 1. 易错点： 时的式子必须比 时多一项或结构对应变化，不能直接把 换成 了事；最后必须整理到与命题完全一致。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明：。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时，左边 ，右边 ，成立。（2）假设 时 ；则 时，左边 ，成立。由（1）（2）知对一切正整数 成立。 2．用数学归纳法证明：。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时，两边均为 。（2）假设 时成立；则 时，左边 ，即 时成立。故命题成立。 【变式训练】 1．用数学归纳法证明 ，从 到 时左边增加（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】增加第 项 。故选 A。 2．假设 时 成立，则 时左边为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时左边 （再用归纳假设后化简为 B 的形式）。故选 A。 3．用数学归纳法证明 ， 时左边为（　　） A．2 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．用数学归纳法证明 ， 时左边为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】 时左边只有 。故选 A。 2．上题中从 到 增加的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】增加第 项 。故选 A。 3．用数学归纳法证明 ， 时左边为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．假设 时 ，则 时左边为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．用数学归纳法证明等式的关键第二步是（　　） A．在归纳假设基础上推证 n=k+1 时成立 B．直接代入 n=k+1 验证 C．只验证 n=k 成立 D．证明对所有 n 成立 【答案】A 【详解】第二步必须使用归纳假设推证。故选 A。 6．用数学归纳法证明 的结论时， 时值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．0 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．用数学归纳法证明 ， 时右边为（　　） A．1 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．用数学归纳法证明 ，从 到 增加的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】增加第 项 。故选 A。 考点三 用数学归纳法证明不等式 方法与技巧： 1. 识别信号：证明含 的不等式，如 、 型。 1. 操作流程：奠基验证初始值；递推时在归纳假设基础上放缩或加强，比较 时的两边大小。 1. 技巧·口诀：“假设作跳板，放缩凑目标；差比两法选其一”。 1. 易错点：放缩的方向必须保持不等号方向不变；从 到 时两边变化幅度不同，需单独比较增加的部分。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明：（，）。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时， 成立。（2）假设 （）时 ；则 ，故 时成立。由（1）（2）知命题成立。 2．用数学归纳法证明：（）。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时， 成立。（2）假设 时成立，即 ；则 时，左边 ，成立。故命题成立。 【变式训练】 1． 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．证明 （）时， 时左边为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．用数学归纳法证不等式时，常用的放缩技巧是（　　） A．把部分项放大或缩小以凑出目标形式 B．两边同时平方 C．把不等号改为等号 D．忽略高阶小量后取等号 【答案】A 【详解】放缩须保持不等号方向，且服务于凑出 时的目标式。故选 A。 【巩固练习】 1． 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．用数学归纳法证明 （）时，只需说明（　　） A． B． C． 为奇数 D． 为偶数 【答案】A 【详解】差为 即可，对一切正整数成立。故选 A。 3． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．用数学归纳法证明 （）时，奠基验证（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题对 提出，奠基验证 ：。故选 A。 5．证明 （）从 到 时，左边增加的量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．把 1(k+1)2 适当放大为（　　），便于相加时相互抵消。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，放大后可裂项相消。故选 A。 7． 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．用数学归纳法证不等式的第二步中，比较增加量常用（　　） A．作差法或作比法 B．数学归纳法 C．反证法 D．待定系数法 【答案】A 【详解】对增加的部分作差（比）判断符号（与 1 的大小）。故选 A。 考点四 归纳—猜想—证明 方法与技巧： 1. 识别信号：给出递推关系与前几项，要求观察规律、猜想通项并用数学归纳法证明。 1. 操作流程：先算 ，，，；观察分子分母与符号规律，猜想 ；用数学归纳法证明猜想。 1. 技巧·口诀：“算够四项找规律，猜想通项再归纳”。 1. 易错点：猜想必须与所有已知项吻合（不能只看前两项）；证明时第二问的归纳假设要代入递推式。 【例题精讲】 1．数列 满足 ，，写出前 3 项并猜想 。 【答案】，，，猜想 【详解】逐项计算：，；各项倒数 ，， 成等差，故猜想 （可用数学归纳法证明）。 2．对上题的猜想 ，用数学归纳法证明。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时 成立。（2）假设 时 ；则 ，成立。故猜想成立。 【变式训练】 1．数列 ，，，，…（）的通项可猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，故 。故选 A。 2．数列 ，，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】符号正负交替（首项为正），分母比分子的序号大 1，故 。故选 A。 3．归纳猜想所得结论，正确的处理方式是（　　） A．必须用数学归纳法（或其他方法）证明 B．直接作为定理使用 C．只需再验证一项 D．无需验证也无需证明 【答案】A 【详解】不完全归纳得到的结论须证明方可确认。故选 A。 【巩固练习】 1．数列 ，，，，…（）的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，。故选 A。 2．数列 满足 ，，前 3 项为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．数列 ，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分母为正奇数 。故选 A。 4．数列 ，，则 （　　） A．1 B．2 C．4 D．0.5 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．数列 ，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，验证 符合。故选 A。 6．归纳—猜想—证明中"证明"环节最常用的方法是（　　） A．数学归纳法 B．反证法 C．综合法 D．分析法 【答案】A 【详解】与正整数 有关的猜想常用数学归纳法证明。故选 A。 7．数列 ，，，，… 的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．数列 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点五 数学归纳法的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：整除性问题、几何问题（凸多边形、平面分区域）、数列与不等式的综合证明。 1. 操作流程：整除型将 情形拆成" 情形（用归纳假设）+ 常数倍的简单项"；几何型分析从 到 新增的量。 1. 技巧·口诀：“整除拆两项，假设凑整除；几何看增量，逐层来递推”。 1. 易错点：整除证明中拆出的部分要能分别被除数整除；几何计数问题的新增量需画图确认，不能想当然。 【例题精讲】 1．用数学归纳法证明： 能被 6 整除（）。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时 能被 6 整除。（2）假设 时 能被 6 整除；则 时，？核对：，而 中 为连续两数之积必为偶数，故差能被 6 整除，再由归纳假设即得。故命题成立。 2．平面内 条直线（任意两条不平行、任意三条不共点）最多把平面分成 部分，猜想 。 【答案】 【详解】，，，新增第 条直线被分成 段，每段增加一个区域，故 ，累加得 （可用数学归纳法证明）。 【变式训练】 1． 能被 2 整除的理由是（　　） A． 为相邻两整数之积 B． 为偶数 C． 为偶数 D． 为偶数 【答案】A 【详解】相邻两整数之积必为偶数。故选 A。 2．凸 边形（）的对角线条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每个顶点引出 条对角线，总数为 。故选 A。 3．证明 能被 整除（）， 时表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时为 ，能被 整除。故选 A。 【巩固练习】 1． 能被（　　）整除（）。 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】： 为奇数时 为偶， 为偶数时 为偶，故总能被 2 整除。故选 A。 2．凸 5 边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．证明 能被 9 整除（）， 时表达式为（　　） A．27 B．21 C．28 D．8 【答案】A 【详解】，能被 9 整除。故选 A。 4．平面内 个圆（两两相交且无三圆共点）最多把平面分成 部分，则 （　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【详解】两圆相交把平面分成 4 部分。故选 A。 5． 能被 6 整除的关键是（　　） A．三个连续整数之积必含 2 的倍数与 3 的倍数 B．n 为偶数 C．n+1 为奇数 D．三项之和为 3 的倍数 【答案】A 【详解】三个连续整数中必有一个偶数和一个 3 的倍数。故选 A。 6．凸 边形（）从一个顶点出发的对角线有（　　）条。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】除去自身与相邻两点，共 条。故选 A。 7．证明 能被 整除（），用数学归纳法时递推的关键变形是（　　） A．？应为 B． C． D． 【答案】A 【详解】，两部分分别含归纳假设与因式 ，均能被 整除。故选 A。 8．球面被 个大圆最多分成 部分，，，，猜想 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，注意 ，规律为 （验证：，，）。故选 A。 三、达标检测 1．用数学归纳法证明命题的第一步是（　　） A．验证初始值成立 B．假设 n=k 成立 C．证明 n=k+1 成立 D．得出结论 【答案】A 【详解】第一步为归纳奠基，验证 。故选 A。 2．用数学归纳法证明 ， 时右边为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】。故选 A。 3． 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不能确定 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．数列 ，，，，…（）的通项猜想为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，故 。故选 A。 5．凸 边形（）内角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】凸 边形内角和为 。故选 A。 6． 的奇偶性为（　　）（） A．恒为奇数 B．恒为偶数 C．随 n 变化 D．无法确定 【答案】A 【详解】 为偶数，加 1 为奇数。故选 A。 7．数学归纳法证明中，从 到 的推理必须（　　） A．使用归纳假设 B．重新证明所有结论 C．使用反证法 D．验证所有项 【答案】A 【详解】递推必须以归纳假设为基础。故选 A。 8． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等比求和：。故选 A。 9．用数学归纳法证明：。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时，两边均为 。（2）假设 时成立；则 时，左边 ，即 时成立。故命题成立。 10．数列 满足 ，，猜想 并加以证明。 【答案】猜想 ，证明成立 【详解】，，，猜想 。（1） 时成立。（2）假设 时 ；则 ，成立。故猜想成立。 11．用数学归纳法证明：（，）。 【答案】证明成立 【详解】（1） 时， 成立。（2）假设 （）时 ；则 （因 时 ），即 ，成立。故命题成立。 12．平面内 条直线最多把平面分成 部分，已知 ，，求 。 【答案】 【详解】累加：。 学科网（北京）股份有限公司 $