第一章、第二章综合测试卷【基础卷】- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章、第二章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版八上第一章 勾股定理、第二章 实数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26八年级下·云南红河·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 4．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 10．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 12．（25-26七年级下·广东惠州·期末）若一个正数的平方根分别是与，则为________． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小数部分是______． 14．（25-26八年级下·广东江门·期末）若，则__________． 15．（25-26八年级下·广东广州·期中）若三角形三边长分别为1，a，2，则_____． 16．（2026·吉林白山·二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 17．（2024·广东江门·中考真题）已知，，则等于________． 18．（2026·广东广州·中考真题）我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 20．（本题6分）（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 21．（本题6分）（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： （1）的值； （2）求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． （1）求此时风筝离地面的高度； （2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 23．（本题8分）（24-25八年级下·浙江台州·阶段检测）如图，在中，点D是边上一点，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）求的长． 24．（本题8分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_________； （2）已知：，则_______； （3）计算：________ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 25．（本题12分）（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 26．（本题12分）（25-26八年级下·江西宜春·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，且、均为正整数，则 ______ ， ______ ． （2）若，当、均为整数时，则 ______ ， ______ ． 【拓展延伸】 （3）化简． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章、第二章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版八上第一章 勾股定理、第二章 实数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26八年级下·云南红河·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中，且三个数均为正整数，符合题意； 选项C中，，，不满足勾股定理，不符合题意； 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意． 2．（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可. 解：∵函数 中， 是二次根式且在分母位置， ∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ， 联立得 ， 解得 ． 3．（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 4．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根的定义，以及二次根式的加法运算逐个判断即可． 解：对选项A：∵ ，∴ A错误； 对选项B：∵ 算术平方根的结果为非负数，，∴ B错误； 对选项C：∵ ，∴ ，C正确； 对选项D：∵ ，∴ D错误． 5．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 6．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设梯子底端到墙的距离为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 解：设梯子底端到墙的距离为，则梯子长度为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则， ∴梯子长度为， 故选：C． 8．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量. 解：如图， ∵， ∴， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， 同理：,， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， ∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板. 9．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 10．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 12．（25-26七年级下·广东惠州·期末）若一个正数的平方根分别是与，则为________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解方程即可得出答案． 解：根据题意得：， 解得：． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小数部分是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算的值，确定其整数部分为3，则小数部分为． 解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 故答案为∶. 14．（25-26八年级下·广东江门·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】先移项，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 解：∵， ∴． 15．（25-26八年级下·广东广州·期中）若三角形三边长分别为1，a，2，则_____． 【答案】3 【分析】先根据三角形的三边关系得，即，则，再根据二次根式的性质化简即可． 解：∵三角形三边长分别为1，a，2， ∴，即， ∴， ∴． 16．（2026·吉林白山·二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 【答案】15 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 17．（2024·广东江门·中考真题）已知，，则等于________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，直接代入计算即可作答． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 18．（2026·广东广州·中考真题）我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 【答案】 【分析】根据，确定最长边，最短边，所求第三边为，将已知条件代入给定公式求解，舍去负根即可． 解：三角形三边长满足，最长边为，最短边为， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∵边长为正数， ∴， ∵，符合条件， ∴它的第三边长为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 【答案】（1）点即为所作图形： （2） 【分析】本题考查基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，可得，即，根据可得； （2）根据题意，得，设，再根据勾股定理，列方程，求解即可． 解：（1）略 （2）， ， 连接， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 故． 20．（本题6分）（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 21．（本题6分）（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： （1）的值； （2）求的值． 【答案】（1）8；（2）20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． （1）求此时风筝离地面的高度； （2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 【答案】（1）米；（2）米 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）在中利用勾股定理求出的长即可得到答案． （1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴此时风筝离地面的高度的长为米； （2）解：在中，由勾股定理， ∴， ∴引线的长度应加长米． 23．（本题8分）（24-25八年级下·浙江台州·阶段检测）如图，在中，点D是边上一点，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． （2） 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵是直角三角形， ∴ ∵，， ∴． 24．（本题8分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_________； （2）已知：，则_______； （3）计算：________ 【答案】（1）；（2）2；（3）9 【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 解：（1）； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意得， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 25．（本题12分）（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． （1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 26．（本题12分）（25-26八年级下·江西宜春·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，且、均为正整数，则 ______ ， ______ ． （2）若，当、均为整数时，则 ______ ， ______ ． 【拓展延伸】 （3）化简． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）由，得，可解得答案． （2）由，可得答案． （3）把被开方数配成完全平方式可得答案． 解：（1）， ， 解得：负值已舍去， 故答案为：，； （2）， ，， 故答案为：，； （3）． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算及化简，解题的关键是掌握完全平方公式． 学科网（北京）股份有限公司 $