第1章勾股定理分层特训-2026-2027学年数学八年级上册北师大版

**基本信息** 以勾股定理为核心，分层设计基础与思维训练，融合数学文化与实际应用，系统培养几何直观、推理能力及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标|17题（1-17）|勾股定理逆定理判断直角三角形、折叠问题方程法、网格线段勾股定理计算、圆柱侧面展开求最短路径、面积法求点到直线距离|从概念（直角三角形判定）到性质应用（边长、面积计算），再到简单实际情境（彩带缠绕、最短距离），形成“概念-性质-应用”逻辑链| |思维达标|3题（18-20）|勾股树面积关系推导、中线倍长构造全等三角形、消防云梯问题建模|结合数学文化（赵爽弦图、勾股树）与综合探究（动态折叠、中线辅助线），实现从单一应用到跨知识整合的拓展|

第1章勾股定理分层特训01 基础达标 1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．5，13，12 D． 2．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 4．为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，地面周长为．如果希望彩带绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 6．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则(    ) A．184 B．86 C．119 D．81 8．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 9．中，，，高，则的长为__． 10．如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 11．一个零件的平面图如图所示：其中，，，．则四边形的周长为______． 12．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为______． 13．如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为_________． 14．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 15．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 16．春秋季节人民广场放风筝已经成为银川市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 17．如图，有一块凹四边形的绿地， ，，，，，求这块绿地的面积． 01 思维达标 18．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 19．综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 20．有一些涉及三角形的数学问题，需要通过延长三角形某一边的中线，从而构造全等三角形进行解决． 【方法体验】 （1）如图1，在中，，点为中点，若，求的长．为解决此问题，小张延长至点，使得，连接，如图2，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则__________． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章勾股定理分层特训-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C A C C B D 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：若三角形三边a、b、c满足（c为最大边），则该三角形是直角三角形．据此判断每组数中两个较小边的平方和是否等于最大边的平方即可． 【详解】对于A：∵，，∴ ，能构成直角三角形. 对于B：∵，，∴ ，不能构成直角三角形. 对于C：∵，，∴ ，能构成直角三角形. 对于D：∵，，∴ ，能构成直角三角形. 故选B． 2．A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 3．C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将圆柱侧面展开成矩形，彩带绕4圈相当于在展开图中水平移动4倍底面周长，垂直移动圆柱高，利用勾股定理求斜边长度即可． 【详解】解：∵圆柱高为，底面周长为，绕4圈， ∴展开图中水平方向长度，垂直方向高度， ∴彩带长度， ∴至少需要彩带米． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查与弦图有关的计算，勾股定理，连接，利用勾股定理，可以推出，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知∶， 连接， 在直角和中，， 即， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 9．14或4 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，注意分两种情况讨论． 【详解】解：如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； 当在点右侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 综上，的长为14或4． 故答案为： 14 或 4 ． 10． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴最大内角为． 故答案为：． 11．32 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理分别求出和的长，再利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：32． 12．121 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，由勾股定理得，再由正方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 正方形和正方形的面积之和， 故答案为：． 13．3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出，由折叠的性质得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 14． 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．(1) 即为所求作； (2) 是直角三角形． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，，，，可知 16．风筝的高度为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：在中， 由勾股定理得，（米）， 则（米）， 答：风筝的高度为米． 17．这块绿地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式．根据勾股定理，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据这块绿地的面积的面积的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 则四边形面积为： ． 答：这块绿地的面积是． 18．(1)16，5 (2) ①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①略 ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 19．(1)消防车距离着火楼距离是15米 (2)消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 20．（1）10； （2）延长至点，使得，连接，， ∵D为的中点 ∵在与中 ， ， ，， ∴ ∴在中，． ∵， ∴垂直平分， ， ． （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，垂直平分线的性质，掌握作辅助线的方法是解题的关键． （1）根据题意证明，得到，，进而在中，根据勾股定理求解即可； （2）延长至点，使得，连接，，证明，得到，，因此，得到，从而根据勾股定理有，又由即可证明； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，由（2）同理有，又，得到，即可求得．②当点在延长线上时，同理得到，求得（不合题意，舍去）．即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，． 故答案为：10． （2）略 （3）分两种情况讨论： ①当点在线段上时， 由（2）同理有， ∵在中有：， ， ∵，，， ， 解得． ②当点在延长线上时， 由①同理有， 则， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $