期中复习讲义（第一至三单元及圆的认识）-2026-2027学年数学六年级上册人教版

人教版（2024年版）·六年级上册·期中复习（第一~三单元及圆的认识） 复习讲义 期中复习讲义 期中复习讲义（第一至三单元及圆的认识）-2026-2027学年六年级上册数学人教版 人教版（2024年版）六年级数学上册　期中复习　第一~三单元及圆的认识 梳理 8 条／典例 7 例／分类练习 7 类 42 题／易错 6 题 班级：__________　姓名：__________　日期：__________ 　期中复习目标 课标要点 1．会用有序数对和“方向＋距离”确定位置，能分段描述路线。 2．会算分数乘、除法及混合运算并解决实际问题；认识圆和扇形。 学习重难点 重点：分数乘、除法统一成乘法；找准被看作“1”的量。 难点：“多（少）几分之几”：“1”已知用乘法，未知用除法。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　【确定位置】用有序数对表示方格图上的位置 2 知识点 02　【确定位置】用方向和距离确定位置，分段描述路线 2 知识点 03　【分数乘法】计算法则与运算律 3 知识点 04　【分数乘法】用乘法解决“求一个数的几分之几是多少” 4 知识点 05　【分数除法】倒数的意义 4 知识点 06　【分数除法】计算方法与混合运算 4 知识点 07　【分数除法】已知一个数的几分之几是多少求这个数，合作问题 5 知识点 08　【圆的认识】圆心、半径、直径与扇形 5 典例精讲 6 分类练习 10 类型1　用有序数对表示位置与平移 10 类型2　用方向和距离确定位置、描述路线 11 类型3　分数乘法：约分、连乘与运算律 12 类型4　用分数乘法解决问题 13 类型5　倒数与分数除法的计算 14 类型6　用分数除法解决问题 15 类型7　圆和扇形的认识 16 易错专练 17 参考答案与解析 17 　期中知识结构导图 　知识梳理 知识点梳理　01　【确定位置】用有序数对表示方格图上的位置 在方格图上，竖着的叫列，横着的叫行，一般从左往右数列、从下往上数行。一个位置用两个数合起来表示，第一个数写列、第二个数写行，这样的一对数叫作有序数对。如图，点P在第4列第3行，记作（4，3），两个数的先后次序不能交换。同一列上的点，有序数对的第一个数都相同；同一行上的点，第二个数都相同。一个点向右或向左移动，只有第一个数变化；向上或向下移动，只有第二个数变化。 （列，行）：先列后行，中间用逗号隔开 小提示：（4，3）和（3，4）是两个不同的位置，写之前先问自己“这是第几列”。 知识点梳理　02　【确定位置】用方向和距离确定位置，分段描述路线 只知道方向或者只知道距离，都不能确定一个物体的准确位置：要先定下参照点，再说清物体在参照点的哪个方向上、离参照点有多远。方向一般用“北偏东30°”这样的说法，先说离得近的正方向，再说往哪一边偏了多少度，习惯上用不大于45°的角来描述。图中的图书馆位于广场北偏东30°、相距800米的地方；反过来以图书馆为参照点，广场就在它的南偏西30°方向800米处，方向相反、度数不变、距离不变。描述一条分成几段的路线时，每一段都要以这一段的起点为参照点，说出方向和路程。 确定位置＝参照点＋方向＋距离 北偏东↔南偏西，北偏西↔南偏东（参照点互换时） 小提示：走到下一段时，参照点跟着换成新的起点，别一直用出发的地点。 知识点梳理　03　【分数乘法】计算法则与运算律 分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。整数可以看成分母是1的分数，所以这几种情况都归到同一个法则里。能约分的先约分再乘，几个数连乘时可以隔着乘号直接约分，例如×，4和8约成1和2，3和9约成1和3，结果是。遇到小数乘分数，可以把小数化成分数再约分，也可以在分数能化成有限小数时把分数化成小数。分数相乘时也能交换因数的位置、改变结合的顺序、把括号外的数分别乘进括号，这就是把乘法运算律推广到了分数。 ×＝ (a＋b)×c＝a×c＋b×c 小提示：约分只能在分子和分母之间进行，不能把两个分子或两个分母相互约。 知识点梳理　04　【分数乘法】用乘法解决“求一个数的几分之几是多少” 求一个数的几倍是多少用乘法，求一个数的几分之几是多少同样用乘法，列式都是“这个数×几分之几”。连续求几分之几时，先弄清每一步是谁的几分之几：先求出第一步的量，再以它为标准继续乘；也可以先把两个分率相乘，得到最后的量是最初那个量的几分之几。“比一个数多（少）几分之几”，先把这个数看作“1”，算出另一个量相当于它的（1＋几分之几）或（1－几分之几），再相乘；也可以先求出多（少）的部分，再加上或减去。 一个数×几分之几＝这个数的几分之几 被看作“1”的量×(1±几分之几)＝另一个量 小提示：“多”是和谁比就把谁看作“1”，不一定是题目里先出现的那个量。 知识点梳理　05　【分数除法】倒数的意义 乘积是1的两个数互为倒数，倒数表示的是两个数之间的关系，要说“谁是谁的倒数”。求一个分数的倒数，把分子、分母交换位置；求整数的倒数，先把它看成分母是1的分数；求小数的倒数，先把小数化成分数。1乘1得1，所以1的倒数是它本身；0乘任何数都得0，找不到一个数和0相乘得1。 a×b＝1　→　a、b互为倒数 小提示：真分数的倒数都大于1，假分数的倒数小于1或等于1。 知识点梳理　06　【分数除法】计算方法与混合运算 把一个分数平均分成几份，求每份是多少，就是求它的几分之一，所以分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。一个数除以分数，也等于乘这个分数的倒数，这两条可以合成一句：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数，被除数不变。这样分数乘、除法就能统一成分数乘法，能约分的先约分。分数混合运算的顺序与整数相同：先乘除、后加减，有括号先算括号里面的；只有乘除时从左往右依次算，也可以先把除法都改成乘法再一起约分。被除数不是0时，除数小于1，商比被除数大；除数大于1，商比被除数小。 ÷＝×（c、d不为0） 小提示：只把除数换成它的倒数，被除数的分子、分母不能跟着颠倒。 知识点梳理　07　【分数除法】已知一个数的几分之几是多少求这个数，合作问题 题里说“甲是乙的几分之几”，乙就是被看作“1”的量。乙已知、求甲用乘法；乙未知、甲已知，就用“对应的量÷对应的几分之几”求乙，算完可以用乘法回代检验。“比乙多（少）几分之几”而乙未知时，先求出已知量相当于乙的几分之几，再用除法。两人合做一件工作，不知道工作总量时，把总量看作“1”：单独做要几天，每天就完成总量的几分之一；两人每天一共完成的几分之几相加，再用1除以这个和，就是合做需要的时间。 对应的量÷对应的几分之几＝被看作“1”的量 两人合做需要的时间＝1÷两人每天一共完成总量的几分之几 小提示：拿不准用乘还是用除时，先写出“谁×几分之几＝谁”这句数量关系，再看要求的是哪一个。 知识点梳理　08　【圆的认识】圆心、半径、直径与扇形 用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，用r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，用d表示。在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径是半径的2倍，写成d＝2r。圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。沿任意一条直径对折，两边都能完全重合，所以圆是轴对称图形，有无数条对称轴。圆上两点之间的部分叫作弧；一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形叫作扇形，顶点在圆心的角叫作圆心角，在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。 d＝2r　　r＝d÷2 整个圆的圆心角一共是360° 小提示：说“直径是半径的2倍”一定要加上“在同一个圆里”这个前提。 　典例精讲 七道例题按单元排开：例1、例2是确定位置，例3、例4是分数乘法，例5、例6是分数除法，例7是圆的认识。每道都写全了【分析】【解答】【方法小结】，先盖住解答自己做一遍，再逐行对照。 例1　美术馆的一面展墙按方格挂画，从左往右数是列，从下往上数是行，甲、乙、丙三幅画的位置如图。①甲画的位置用有序数对表示是（　　）；②乙画和甲画在同一（　　）上，乙画和丙画在同一（　　）上；③把丙画向左平移3格，它的新位置是（　　）。 【分析】①先数列、再数行：甲画在从左往右第2列、从下往上第3行。②比较有序数对：第二个数相同就在同一行，第一个数相同就在同一列。③向左平移只改变列数，行数不变。 【解答】①甲画在第2列第3行，记作（2，3）。②乙画在（5，3），和甲画的第二个数都是3，在同一行上；乙画和丙画的第一个数都是5，在同一列上。③丙画原来在（5，1），向左平移3格，列数5－3＝2，行数还是1，新位置是（2，1）。 ①（2，3）　②行；列　③（2，1） 【方法小结】写有序数对一律先列后行；判断同行同列只看对应的那个数；左右平移改第一个数，上下平移改第二个数。 例2　湿地公园的观鸟路线如图：从游客中心出发，沿北偏西40°方向走300米到达观鸟亭，再从观鸟亭向正东走500米到达芦苇驿站。①以观鸟亭为参照点，游客中心在观鸟亭的什么方向上？距离多少米？②从芦苇驿站沿原路走回游客中心，应当怎样走？③按原路往返一趟，一共要走多少米？ 【分析】①参照点从游客中心换成了观鸟亭，方向要反过来：北变南、西变东，偏的度数和两地的距离都不变。②回程的每一段都以这一段的起点为参照点，先走的是后一段，而且方向相反。③往返走的是同一条路，路程是单程的2倍。 【解答】①观鸟亭在游客中心的北偏西40°方向300米处，所以游客中心在观鸟亭的南偏东40°方向上，距离300米。 ②第一段以芦苇驿站为参照点：观鸟亭在它的正西方向500米处，先向正西走500米到观鸟亭；第二段以观鸟亭为参照点：沿南偏东40°方向走300米，回到游客中心。 ③单程是300＋500＝800（米），往返一趟是（300＋500）×2＝1600（米）。 答：往返一趟一共要走1600米。 【方法小结】换参照点时，方向的两个字都换成相反的，度数和距离不变；描述回程先倒过来排段序，再逐段换参照点。 例3　下面三道题各有算法上的讲究，按要求算出结果：第①题是三个数连乘，第②题可以用运算律使计算简便，第③题是小数和分数相乘。 ①×× ②（＋）×24 ③2.4× 【分析】①连乘时不必两个两个地乘，可以把三个分子、三个分母写在一条分数线上，一次约分。②括号里是两个分母不同的分数，先通分再乘比较麻烦；用乘法分配律，分别乘24更简便。③2.4可以化成5分之12，再与6分之5约分。 【解答】①　4分之3×9分之2×5分之12 ＝ ＝5分之2 约分过程：分子里的3和分母里的9约成1和3，分子里的2和分母里的4约成1和2，分子里的12和分母里剩下的3、2约成2和1，分子剩下2，分母剩下5，结果是5分之2。 ②　（6分之5＋8分之3）×24 ＝6分之5×24＋8分之3×24 ＝20＋9 ＝29 ③　2.4×6分之5 ＝5分之12×6分之5 ＝2 【方法小结】连乘先整体约分；括号外乘的整数正好是括号里各分母的公倍数时，用乘法分配律；小数乘分数，化成分数后常常能直接约分。 例4　植物园有一块3600平方米的花圃，其中种郁金香，郁金香里有是红色的。①红色郁金香占地多少平方米？②红色郁金香的占地面积是整块花圃的几分之几？ 【分析】第一个分率9分之5是把整块花圃看作“1”，第二个分率5分之2是把郁金香的占地面积看作“1”。①先求郁金香的面积，再求它的5分之2。②红色郁金香是郁金香的5分之2，郁金香又是花圃的9分之5，所以红色郁金香是花圃的9分之5的5分之2。 【解答】①郁金香：3600×9分之5＝2000（平方米）；红色郁金香：2000×5分之2＝800（平方米）。综合算式：3600×9分之5×5分之2＝800（平方米）。 ②9分之5×5分之2＝9分之2。 检验：3600×9分之2＝800（平方米），与第①问的结果一致。 答：红色郁金香占地800平方米，是整块花圃的9分之2。 【方法小结】连续求几分之几，每一步都要说清“是谁的几分之几”；两个分率相乘得到的，是最后的量占最初那个量的几分之几。 例5　社区的扫地机器人今天比昨天多工作了，今天工作了90分钟。昨天工作了多少分钟？ 【分析】“比昨天多工作了7分之2”，是和昨天比，被看作“1”的是昨天的工作时间，它是未知的。今天比昨天多出昨天的7分之2，今天的时间相当于昨天的（1＋7分之2），即7分之9。数量关系：昨天的时间×7分之9＝90分钟。 【解答】1＋7分之2＝7分之9， 90÷7分之9＝90×9分之7＝70（分钟）。 检验：70×（1＋7分之2）＝90（分钟），与题目相符。 答：昨天工作了70分钟。 【方法小结】“比谁多几分之几”就把谁看作“1”；这个量未知时，先求出已知量相当于它的几分之几，再用除法。 例6　学校的一个蓄水池，单开甲进水管9小时能注满，单开乙进水管18小时能注满。①两根进水管同时打开，几小时能把空池注满？②注满时，甲管注入的水占整池的几分之几？ 【分析】蓄水池有多大不知道，把一池水看作“1”。甲管9小时注满，每小时注入整池的9分之1；乙管18小时注满，每小时注入整池的18分之1。两管同时开，每小时一共注入（9分之1＋18分之1）。 【解答】①9分之1＋18分之1＝18分之2＋18分之1＝18分之3＝6分之1， 1÷6分之1＝6（小时）。 也可以用假设法：假设这池水有18立方米，甲管每小时注入18÷9＝2（立方米），乙管每小时注入18÷18＝1（立方米），注满要18÷（2＋1）＝6（小时），结果相同。 ②甲管工作了6小时，每小时注入整池的9分之1，一共注入6×9分之1＝3分之2。 答：两管同时打开6小时能注满，甲管注入的水占整池的3分之2。 【方法小结】总量未知就看作“1”，每小时完成的几分之几＝1÷单独完成的时间；合做时间＝1÷每小时合做完成的几分之几。 例7　小林用圆规画圆，他把圆规两脚之间的距离定为2.5cm，针尖固定在点O处旋转一周，然后在这个圆里画了一个扇形，扇形的圆心角是90°，如图所示。①画出的圆的直径是（　　）cm；②这个圆有（　　）条对称轴；③图中的扇形是这个圆的（　　）。 【分析】①圆规两脚之间的距离就是半径，同一个圆里直径是半径的2倍。②沿任意一条直径对折，圆的两边都能完全重合。③整个圆的圆心角是360°，看这个扇形的圆心角占360°的几分之几。 【解答】①d＝2r＝2.5×2＝5（cm）。②圆沿任意一条直径对折都能重合，有无数条对称轴。③扇形的圆心角是90°，90÷360＝4分之1，所以这个扇形是圆的4分之1。 ①5　②无数　③4分之1 【方法小结】画圆时“两脚距离＝半径”；在同一个圆里，扇形占整个圆的几分之几，就看它的圆心角占360°的几分之几。 　分类练习 下面七类题按单元顺序排列，每类由易到难。判断题对的画“√”、错的画“×”；选择题把字母写进括号；计算题写出主要过程；解决问题写出算式、单位和答句；画图题在图上完成。 类型1　用有序数对表示位置与平移 先列后行是一切的起点；判断同行同列、写平移后的位置，都只改有序数对里对应的那一个数。 1．科技馆一楼的展位平面图如图，从左往右数是列，从下往上数是行。航天展位的位置记作（　　）；位置是（1，5）的是（　　）展位；从机器人展位出发，向右走（　　）格、再向上走（　　）格，就到了航天展位。 2．下面每组的两个位置都用有序数对表示，两个位置在同一列上的一组是（　　）。 A．（2，6）和（2，1） B．（3，5）和（5，3） C．（4，4）和（1，4） D．（6，2）和（2，6） 3．在同一张方格图上，数对（5，0）和数对（0，5）表示的是同一个位置。（　　） 4．公园里一块四边形花坛画在方格图上，四个顶点A、B、C、D的位置如图，顶点C的位置用有序数对表示是（　　）；把整块花坛向上平移1格，顶点A的新位置是（　　）。 5．棋盘上从左往右数是列、从下往上数是行，黑子放在（6，3）。白子和黑子在同一列，并且比黑子高2行，白子的位置是（　　）；红子和黑子在同一行，在黑子左边4格处，红子的位置是（　　）。 6．学校的书法作品展墙从左往右数是列，从下往上数是行，一共9列4行，每个格子挂一幅作品。①展墙挂满时一共有多少幅作品？②小宇的作品挂在（7，2），小雨的作品挂在同一行最右边的格子里，小雨作品的位置是什么？两幅作品中间还隔着几幅？ 类型2　用方向和距离确定位置、描述路线 先找参照点，再说方向和距离；路线分几段，参照点就要换几次。 7．以村委会为参照点，周围几处场所的位置如图。卫生所在村委会的（　　）偏（　　）（　　）°方向上，距离（　　）米；农贸市场在村委会的正（　　）方向上，距离（　　）米。 8．海上搜救中心要把一艘遇险渔船的准确位置报给救援船，下面几组信息中，能确定渔船准确位置的是（　　）。 A．渔船在搜救中心的东北方向 B．渔船离搜救中心12千米 C．渔船在搜救中心的北偏东25°方向上，距离12千米 D．渔船正以每小时8千米的速度向北漂移 9．学校在少年宫的北偏东20°方向1.2千米处，那么少年宫在学校的南偏西20°方向1.2千米处。（　　） 10．雷达站的屏幕如图，每两个相邻圆环之间相距1千米，货轮的位置已经标出。又发现一艘渔船在雷达站西偏北30°方向上，距离4千米，请在图中标出渔船的位置。 11．小亮去体育馆的路线如图：从家向正东走400米到邮局，再从邮局沿北偏东25°方向走600米到体育馆。①从体育馆沿原路回家，先怎样走、再怎样走？②小亮每分钟走50米，从家走到体育馆要多少分钟？ 12．一艘巡逻艇从港口出发，沿南偏东30°方向航行，已经航行了18千米，正好是这段航线全程的。①这段航线全程是多少千米？②巡逻艇掉头返回港口，应当朝什么方向航行？ 类型3　分数乘法：约分、连乘与运算律 先约分再乘，连乘一次约到底；看到能凑整的数，优先用乘法分配律和结合律。 13．口算时先约分，把得数直接填在括号里：①×16＝（　　）　②×＝（　　）　③0.6×＝（　　） 14．按运算顺序逐步写出过程，能约分的先约分： ①××9 ②（－）× 15．观察数的特点，选用合适的运算律简便计算： ①（＋）×12 ②×13＋×5 ③×＋× 16．不用算出得数，下面四个算式中，积比小的是（　　）。 A．× B．×1 C．×2 D．× 17．米的和米的一样长。（　　） 18．计算1.8×有两种方法：把1.8化成分数是（　　），再与相乘，得（　　）；把化成小数是（　　），再与1.8相乘，得（　　）。 类型4　用分数乘法解决问题 被看作“1”的量已经知道，要求它的几分之几，就用乘法；两步的题先分清每一步是谁的几分之几。 19．一台无人机的电池充满后能飞行42分钟，今天已经飞了全部时间的。已经飞行了多少分钟？还能飞多少分钟？ 20．8×和×8的积相等，但意义不同：×8表示（　　）个的和；8×表示求8的（　　）是多少；两个算式的积都是（　　）。 21．图书角有故事书240本，科普书的本数是故事书的，漫画书的本数是科普书的。要求漫画书有多少本，正确的列式是（　　）。 A．240×× B．240× C．240× D．240×＋ 22．一件冲锋衣原价480元，换季时售价比原价便宜了。现在的售价是多少元？（用两种方法解答） 23．学校田径队有男生27人，女生人数比男生多。田径队一共有多少人？ 24．一个皮球从32米的高处自由落下，每次弹起的高度都是落下高度的。第二次弹起的高度是多少米？ 类型5　倒数与分数除法的计算 求倒数先把数写成分数的样子；除法一律换成乘除数的倒数，再按乘法约分。 25．（　　）和互为倒数；0.25的倒数是（　　）；在所有的数里，只有（　　）和它的倒数相等。 26．下面每组中两个数的乘积，只有一组是1，这两个数互为倒数的一组是（　　）。 A．0.5和5 B．1.25和 C．和 D．1和0 27．计算下面各题，写出转化成乘法的那一步： ①÷ ②16÷ ③÷10 28．先说清运算顺序，再逐步算出结果： ①÷× ②（＋）÷ ③－÷2 29．不计算，把下面三个商按从大到小的顺序排列（填序号）：①÷　②÷　③÷1。（　　）＞（　　）＞（　　） 30．小丽把18÷改写成18×再计算，这样改写后得数不变。（　　） 类型6　用分数除法解决问题 被看作“1”的量未知时用除法；合作问题不知道总量，就把总量看作“1”。 31．木工师傅把一根米长的木条锯成长短一样的7段，每段长多少米？ 32．农场收割小麦，已经收割了84公顷，正好是这片麦田的。这片麦田一共有多少公顷？ 33．小明看一本科幻小说，已经看了全书的，正好是96页。求这本书一共有多少页，正确的列式是（　　）。 A．96× B．96÷(1－ C．96×(1－ D．96÷ 34．今年报名参加秋季运动会的学生比去年减少了，今年有180人报名。去年有多少人报名？ 35．快递分拣站要搬运一批包裹，甲机器人单独搬要15分钟，乙机器人单独搬要10分钟。两台机器人一起搬，多少分钟能搬完？ 36．学校食堂运来一批大米，第一周吃了这批大米的，第二周吃了剩下的，这时还剩90千克。这批大米原来有多少千克？ 类型7　圆和扇形的认识 圆心定位置、半径定大小；比较扇形先看圆心角占360°的几分之几。 37．如图，量得这个圆的直径是7cm，它的半径是（　　）cm；用圆规画一个和它同样大的圆，圆规两脚之间的距离应当是（　　）cm。 38．用圆规在纸上画圆，决定所画的圆大小的是（　　）。 A．针尖扎在纸上的位置 B．圆规两脚之间的距离 C．笔尖开始旋转的起点 D．纸的大小 39．直径是6cm的圆，一定比半径是4cm的圆大。（　　） 40．如图，把一个圆平均分成8份，每一份都是一个扇形，每个扇形的圆心角是（　　）°；涂色的3份合在一起也是一个扇形，它的圆心角是（　　）°。 41．圆有（　　）条对称轴；半圆有（　　）条对称轴；在一个正方形里画一个最大的圆，这个组合图形有（　　）条对称轴。 42．一个圆形花坛按圆心角分成三个扇形区域：月季区的圆心角是120°，菊花区占整个花坛的，其余部分种草。①菊花区的圆心角是多少度？②种草区域是整个花坛的几分之几？ 　易错专练 这六题分别卡在数对的顺序、分段路线的参照点、分数乘整数的算法、“几分之几”和“几分之几米”、除法只颠倒除数、找错被看作“1”的量上。先自己做，再对照解析里的“错解示例→错因→正解”。 易错1　小刚的座位在第3列第6行，他在登记表上写成了（6，3）。正确的写法是（　　）；（6，3）表示的是第（　　）列第（　　）行。 易错2　从A点出发向正北走200米到B点，再从B点向正东走150米到C点。下面关于C点位置的说法，正确的是（　　）。 A．C在A的正东方向150米处 B．C在A的正北方向200米处 C．C在B的正东方向150米处 D．C在B的正北方向150米处 易错3　计算×10时，有同学把分子、分母都乘10，写成＝。请写出正确的过程和结果。 易错4　一根绳子长4米，先剪去它的，再剪去米。先剪去的是（　　）米，比后剪去的多（　　）米；两次剪完后，绳子还剩（　　）米。 易错5　计算÷时，有同学写成×。请写出正确的过程和结果。 易错6　果园今年收获苹果4800千克，比去年多收了。有同学列式4800×（1＋）求去年的产量。这样列式对吗？去年收获苹果多少千克？ 　分类练习与易错专练　参考答案与解析 　类型1　用有序数对表示位置与平移 1．【答案】（6，4）；恐龙；3；2 【解析】航天展位在第6列第4行，记作（6，4）。 （1，5）表示第1列第5行，图上这个位置是恐龙展位。 机器人展位在（3，2），到航天展位（6，4）：列数从3到6，向右走6－3＝3（格）；行数从2到4，向上走4－2＝2（格）。 2．【答案】A 【解析】同一列上的位置，有序数对的第一个数相同。 A组两个数对的第一个数都是2，在第2列上，选A。 C组第二个数都是4，两个位置在同一行而不是同一列；B组和D组只是把两个数调换了位置，既不同列也不同行。 3．【答案】× 【解析】（5，0）的第一个数是5、第二个数是0；（0，5）的第一个数是0、第二个数是5。 有序数对的两个数先后次序不同，表示的位置就不同，所以这句话错误。 4．【答案】（5，4）；（1，3） 【解析】顶点C在第5列第4行，记作（5，4）。 顶点A原来在（1，2），向上平移1格，列数不变还是1，行数2＋1＝3，新位置是（1，3）。 5．【答案】（6，5）；（2，3） 【解析】白子和黑子同一列，第一个数也是6；比黑子高2行，第二个数是3＋2＝5，白子在（6，5）。 红子和黑子同一行，第二个数也是3；在黑子左边4格，第一个数是6－4＝2，红子在（2，3）。 6．【答案】①9×4＝36（幅）　②小雨的作品在（9，2）；9－7－1＝1（幅）　答：展墙挂满时一共有36幅作品；小雨作品的位置是（9，2），两幅作品中间隔着1幅。 【解析】①每行有9格，一共4行，挂满时有9×4＝36（幅）。 ②同一行最右边是第9列，行数和小宇一样是2，小雨的作品在（9，2）。第7列和第9列之间只夹着第8列，隔着9－7－1＝1（幅）。 答：展墙挂满时一共有36幅作品；小雨作品的位置是（9，2），两幅作品中间隔着1幅。 　类型2　用方向和距离确定位置、描述路线 7．【答案】北；西；35；600；南；300 【解析】卫生所的射线从正北方向往西偏了35°，所以卫生所在村委会的北偏西35°方向上，图上标出的距离是600米。 农贸市场的射线正好朝着正南，没有偏，所以在村委会的正南方向上，距离300米。 8．【答案】C 【解析】确定准确位置要有参照点，还要同时知道方向和距离。 A只有大致方向，B只有距离，D说的是渔船怎样移动，都不能确定准确位置。 C以搜救中心为参照点，方向和距离都有，选C。 9．【答案】√ 【解析】参照点从少年宫换成学校，方向的两个字都换成相反的：北换成南，东换成西，偏的度数不变。 两地之间的距离也不变，所以少年宫在学校的南偏西20°方向1.2千米处，这句话正确。 10．【答案】从正西方向起向北量出30°画一条射线，在这条射线与第4个圆环的交点处标出“渔船” 【解析】以雷达站为参照点，先找到正西方向，再用量角器从正西方向向北量出30°，画一条射线。 每两个相邻圆环相距1千米，4千米就是第4个圆环。射线与第4个圆环的交点就是渔船的位置，标上“渔船”。 11．【答案】①先从体育馆沿南偏西25°方向走600米到邮局，再从邮局向正西走400米回到家　②（400＋600）÷50＝20（分钟）　答：从家走到体育馆要20分钟。 【解析】①回程先走后一段：以体育馆为参照点，邮局在它的南偏西25°方向600米处；再以邮局为参照点，家在它的正西方向400米处。 ②全程是400＋600＝1000（米），1000÷50＝20（分钟）。 答：先沿南偏西25°方向走600米到邮局，再向正西走400米回家；从家走到体育馆要20分钟。 12．【答案】①18÷5分之3＝30（千米）　②北偏西30°方向　答：这段航线全程是30千米，返回港口应朝北偏西30°方向航行。 【解析】①全程是被看作“1”的量，是未知的；已经航行的18千米对应全程的5分之3，用除法：18÷5分之3＝18×3分之5＝30（千米）。检验：30×5分之3＝18（千米）。 ②去的时候港口是参照点，方向是南偏东30°；返回时以巡逻艇为参照点，港口在它的北偏西30°方向，所以朝北偏西30°方向航行。 答：这段航线全程是30千米，返回港口应朝北偏西30°方向航行。 　类型3　分数乘法：约分、连乘与运算律 13．【答案】①10　②8分之1　③3分之1 【解析】①16和8约分得2和1，5×2＝10。 ②7和14约成1和2，3和12约成1和4，分子1×1＝1，分母4×2＝8，得8分之1。 ③0.6＝5分之3，5分之3×9分之5，3和9约成1和3，5和5约成1和1，得3分之1。 14．【答案】①1　②4分之1 【解析】①　15分之4×12分之5×9 ＝ ＝1 约分：分子4×5×9＝180，分母15×12＝180，结果是1。 ②　（10分之7－5分之2）×6分之5 ＝（10分之7－10分之4）×6分之5 ＝10分之3×6分之5 ＝4分之1 15．【答案】①19　②14　③11分之5 【解析】①用乘法分配律：（4分之3＋6分之5）×12＝4分之3×12＋6分之5×12＝9＋10＝19。 ②两个乘积里都有9分之7，反过来用乘法分配律：9分之7×13＋9分之7×5＝9分之7×（13＋5）＝9分之7×18＝14。 ③两个乘积里都有11分之5：11分之5×8分之7＋11分之5×8分之1＝11分之5×（8分之7＋8分之1）＝11分之5×1＝11分之5。 16．【答案】D 【解析】一个数（0除外）乘一个大于1的数，积比原来的数大；乘1，积等于原来的数；乘一个小于1的数，积比原来的数小。 6分之7和2都大于1，A、C的积都比5分之3大；B乘1，积等于5分之3；只有D乘的9分之8小于1，积比5分之3小，选D。 17．【答案】√ 【解析】4分之3米的3分之1：4分之3×3分之1＝4分之1（米）；3分之1米的4分之3：3分之1×4分之3＝4分之1（米）。 两个算式只是交换了两个因数的位置，根据乘法交换律积不变，两段一样长，这句话正确。 18．【答案】5分之9；20分之27；0.75；1.35 【解析】1.8＝10分之18＝5分之9，5分之9×4分之3＝20分之27。 4分之3＝3÷4＝0.75，1.8×0.75＝1.35。 核对：20分之27＝27÷20＝1.35，两种方法结果相同。 　类型4　用分数乘法解决问题 19．【答案】42×7分之5＝30（分钟）　42－30＝12（分钟）　答：已经飞行了30分钟，还能飞12分钟。 【解析】把充满电能飞行的42分钟看作“1”，已经飞的是它的7分之5，用乘法：42×7分之5＝30（分钟）。 还能飞的时间：42－30＝12（分钟）。 答：已经飞行了30分钟，还能飞12分钟。 20．【答案】8；4分之3；6 【解析】分数乘整数可以看作几个相同的分数相加：4分之3×8就是8个4分之3的和。 整数乘分数表示求这个整数的几分之几是多少：8×4分之3就是求8的4分之3是多少。 两个算式只是交换了因数的位置，积相等，都是8×4分之3＝6。 21．【答案】A 【解析】科普书是故事书的6分之5，先求科普书：240×6分之5＝200（本）；漫画书是科普书的5分之3，再求漫画书：200×5分之3＝120（本）。合起来就是240×6分之5×5分之3，选A。 B求出的是科普书的本数；C把漫画书当成了故事书的5分之3，看错了标准；D把两个分率相加，没有意义。 22．【答案】方法一：480×（1－4分之1）＝360（元）　方法二：480－480×4分之1＝360（元）　答：现在的售价是360元。 【解析】“比原价便宜了4分之1”，是把原价看作“1”，原价已知。 方法一：现在的售价是原价的（1－4分之1）＝4分之3，480×4分之3＝360（元）。 方法二：先求便宜了多少钱，480×4分之1＝120（元），再用原价减去：480－120＝360（元）。 答：现在的售价是360元。 23．【答案】27×（1＋9分之2）＝33（人）　27＋33＝60（人）　答：田径队一共有60人。 【解析】“比男生多9分之2”，把男生人数看作“1”，男生27人已知，女生人数是男生的（1＋9分之2）＝9分之11。 女生：27×9分之11＝33（人）；一共：27＋33＝60（人）。 答：田径队一共有60人。 24．【答案】32×4分之3×4分之3＝18（米）　答：第二次弹起的高度是18米。 【解析】第一次弹起的高度是32米的4分之3：32×4分之3＝24（米）。 第二次是从24米落下，弹起的高度是24米的4分之3：24×4分之3＝18（米）。 答：第二次弹起的高度是18米。 　类型5　倒数与分数除法的计算 25．【答案】7分之11；4；1 【解析】把11分之7的分子、分母交换位置，得7分之11，所以7分之11和11分之7互为倒数。 0.25＝4分之1，交换分子、分母得1分之4，也就是4。 1×1＝1，所以1的倒数是它本身。 26．【答案】B 【解析】1.25＝4分之5，4分之5×5分之4＝1，所以1.25和5分之4互为倒数，选B。 A中0.5×5＝2.5，不是1；C中7分之3×10分之7＝10分之3，不是1；D中1×0＝0，也不是1。 27．【答案】①2分之3　②20　③24分之1 【解析】①14分之9÷7分之3＝14分之9×3分之7＝2分之3（9和3约成3和1，7和14约成1和2）。 ②16÷5分之4＝16×4分之5＝20。 ③12分之5÷10＝12分之5×10分之1＝24分之1。 28．【答案】①5分之1　②1　③5分之2 【解析】①只有乘除，从左往右算：8分之3÷4分之3×5分之2＝8分之3×3分之4×5分之2＝5分之1。 ②先算括号里的加法：9分之5＋6分之1＝18分之10＋18分之3＝18分之13，再算除法：18分之13÷18分之13＝1。 ③先算除法：5分之3÷2＝5分之3×2分之1＝10分之3，再算减法：10分之7－10分之3＝10分之4＝5分之2。 29．【答案】②；③；① 【解析】三个算式的被除数都是9分之7。②的除数5分之4小于1，商比9分之7大；③的除数是1，商等于9分之7；①的除数4分之5大于1，商比9分之7小。 所以②＞③＞①。核对：9分之7÷5分之4＝36分之35，9分之7÷4分之5＝45分之28，36分之35＞9分之7＞45分之28。 30．【答案】√ 【解析】除以一个不是0的数，等于乘这个数的倒数；4分之3的倒数是3分之4，被除数18不变。 18÷4分之3＝24，18×3分之4＝24，改写前后得数都是24，这句话正确。 　类型6　用分数除法解决问题 31．【答案】8分之7÷7＝8分之1（米）　答：每段长8分之1米。 【解析】把8分之7米平均分成7份，求每份多长，用分数除以整数。 8分之7÷7＝8分之7×7分之1＝8分之1（米）。 答：每段长8分之1米。 32．【答案】84÷12分之7＝144（公顷）　答：这片麦田一共有144公顷。 【解析】“正好是这片麦田的12分之7”，整片麦田被看作“1”，是未知的；已经收割的84公顷对应麦田的12分之7。 84÷12分之7＝84×7分之12＝144（公顷）。 检验：144×12分之7＝84（公顷）。答：这片麦田一共有144公顷。 33．【答案】D 【解析】全书页数是被看作“1”的量，是未知的；96页对应的是全书的8分之3，用96÷8分之3＝256（页），选D。 A把全书当成了已知的量；B、C把96页对应的分率错看成了（1－8分之3），那是还没看的部分。 34．【答案】180÷（1－7分之1）＝210（人）　答：去年有210人报名。 【解析】“比去年减少了7分之1”，把去年的报名人数看作“1”，它是未知的。今年的人数相当于去年的（1－7分之1）＝7分之6。 180÷7分之6＝180×6分之7＝210（人）。 检验：210×（1－7分之1）＝180（人）。答：去年有210人报名。 35．【答案】1÷（15分之1＋10分之1）＝6（分钟）　答：两台机器人一起搬，6分钟能搬完。 【解析】包裹的总数不知道，把这批包裹看作“1”。甲每分钟搬它的15分之1，乙每分钟搬它的10分之1。 两台每分钟一共搬：15分之1＋10分之1＝30分之2＋30分之3＝6分之1。 1÷6分之1＝6（分钟）。答：两台机器人一起搬，6分钟能搬完。 36．【答案】90÷[（1－5分之2）×（1－2分之1）]＝300（千克）　答：这批大米原来有300千克。 【解析】第一周吃后剩下这批大米的（1－5分之2）＝5分之3；第二周吃了剩下的2分之1，又剩下5分之3的（1－2分之1），即5分之3×2分之1＝10分之3。 最后剩的90千克对应这批大米的10分之3，这批大米被看作“1”，用除法：90÷10分之3＝300（千克）。 检验：300×5分之2＝120（千克），300－120＝180（千克），180×2分之1＝90（千克），与题目相符。 答：这批大米原来有300千克。 　类型7　圆和扇形的认识 37．【答案】3.5；3.5 【解析】同一个圆里，半径是直径的一半：r＝d÷2＝7÷2＝3.5（cm）。 画圆时圆规两脚之间的距离就是半径，所以也是3.5cm。 38．【答案】B 【解析】针尖扎的位置是圆心，它决定圆画在哪里，不决定大小。 圆规两脚之间的距离是半径，半径决定圆的大小，选B；笔尖从哪里开始转、纸有多大，都与圆的大小无关。 39．【答案】× 【解析】直径是6cm的圆，半径是6÷2＝3（cm）。 3cm比4cm短，半径小的圆小，所以直径是6cm的圆反而比半径是4cm的圆小，这句话错误。 40．【答案】45；135 【解析】整个圆的圆心角是360°，平均分成8份，每份是360÷8＝45（°）。 3份合起来是45×3＝135（°）。 41．【答案】无数；1；4 【解析】圆沿任意一条直径对折都能重合，有无数条对称轴。 半圆只有沿着和直径垂直、并经过圆心的那条直线对折才能重合，有1条对称轴。 正方形里最大的圆，圆心在正方形的中心；正方形的4条对称轴都经过圆心，也都是圆的对称轴，所以这个组合图形有4条对称轴。 42．【答案】①360×4分之1＝90（°）　②（360－120－90）÷360＝12分之5　答：菊花区的圆心角是90°，种草区域是整个花坛的12分之5。 【解析】①整个圆的圆心角是360°，菊花区占4分之1，圆心角是360×4分之1＝90（°）。 ②种草区域的圆心角：360－120－90＝150（°），占整个花坛的150÷360＝12分之5。 答：菊花区的圆心角是90°，种草区域是整个花坛的12分之5。 　易错专练 易错1　【答案】（3，6）；6；3 【解析】错解示例：（6，3）。 错因：先写了行数、后写了列数，把有序数对的先后次序弄反了。 正解：有序数对先列后行，第3列第6行记作（3，6）；（6，3）表示第6列第3行，是另一个位置。 易错2　【答案】C 【解析】错解示例：选A，以为“向正东走150米”说的是以出发点A为参照点。 错因：描述第二段路线时，参照点要换成这一段的起点B，不能仍用A。 正解：第二段以B为参照点，C在B的正东方向150米处，选C。B说的是B点相对于A的位置，D的方向错了。 易错3　【答案】15分之7×10＝3分之14 【解析】错解示例：15分之7×10＝＝150分之70。 错因：分数乘整数只用分子乘整数，分母不变；分子、分母同时乘10，得到的150分之70和15分之7大小相等，相当于没有乘。 正解：15分之7×10＝，先把10和15约成2和3，得＝3分之14。 易错4　【答案】3；4分之9；4分之1 【解析】错解示例：认为两次都剪去了4分之3米，一样长。 错因：“它的4分之3”是把4米看作“1”的分率，要用乘法算出长度；“4分之3米”后面带着单位，就是一段具体的长度。 正解：先剪去4×4分之3＝3（米），比后剪去的多3－4分之3＝4分之9（米）；还剩4－3－4分之3＝4分之1（米）。 易错5　【答案】8分之5÷16分之15＝3分之2 【解析】错解示例：8分之5÷16分之15＝5分之8×15分之16＝75分之128。 错因：除以一个数等于乘这个数的倒数，只把除数换成倒数，被除数8分之5不能颠倒。 正解：8分之5÷16分之15＝8分之5×15分之16＝3分之2（5和15约成1和3，16和8约成2和1）。 易错6　【答案】不对；4800÷（1＋5分之1）＝4000（千克）　答：去年收获苹果4000千克。 【解析】错解示例：4800×（1＋5分之1）＝5760（千克）。 错因：“比去年多收了5分之1”，被看作“1”的是去年的产量，它是未知的，不能用乘法；5760千克比今年还多，明显不合理。 正解：今年的产量相当于去年的（1＋5分之1）＝5分之6，4800÷5分之6＝4800×6分之5＝4000（千克）。 检验：4000×（1＋5分之1）＝4800（千克）。答：去年收获苹果4000千克。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $