精品解析：江西南城县万坊初级中学2025-2026学年度第一学期素养评价（一）八年级数学

2025-2026学年度第一学期素养评价（一）八年级数学 （内容：第一章~第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10=30分） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵43=64，∴64的立方根是4， 故选A 考点：立方根． 2. 关于的叙述不正确的是（ ） A. B. 面积是的正方形的边长是 C. 是有理数 D. 在数轴上可以找到表示的点 【答案】C 【解析】 【分析】把根据二次根式的化简方法化简后得，即可判断A说法正确，根据正方形面积公式即可判断B说法正确，再根据有理数、无理数定义可判断C说法错误，根据实数与数轴的关系即可判断D说法正确，进而可得答案. 【详解】解：A.，故A选项不符合题意. B.面积为12的正方形边长为，故B选项不符合题意. C.，是无理数，不是有理数，故C选项符合题意. D.数轴上的点与实数一一对应，是实数，故在数轴上可以找到表示的点，叙述正确，故D不符合题意. 3. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 4. 下列计算正确的是(　 　) A. ＋＝ B. ÷＝2 C. ()－1＝ D. (－1)2＝2 【答案】B 【解析】 【详解】解：与不能合并，所以A选项错误； B．原式==2，所以B选项正确； C．原式=，所以C选项错误； D．原式==，所以D选项错误． 故选B． 5. 直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ） A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，得出两直角边为3x，4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得结果． ∵一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4， ∴设两条直角边长的长是 3x，4x， ∴（3x）2+（4x）2=202， 解得：x=4或-4（不合题意舍去） ∴3x=12，4x=16， ∴这个三角形的周长是：12+16+20=48cm． 故选D. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键． 6. 对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】A．不能再计算了，是无理数，不符合题意； B．，是无理数，不符合题意； C．，是无理数，不符合题意； D．，是有理数，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键． 7. 估计的值应在 （ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小. 【详解】 = =2+， ∵4<6<9， ∵2<<3， ∴4<2+<5， 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键. 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 9. 如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. 8cm 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：设AF=xcm，则DF=（8-x）cm， ∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合， ∴DF=D′F， 在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2， ∴x2=62+（8-x）2， 解得：x=（cm）． 故选B． 考点：翻折变换（折叠问题）． 10. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（ ） A. 35 B. 43 C. 89 D. 97 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（3分×8=24分） 11. 计算：×﹣（π﹣1）0＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】首先计算零指数幂、开方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：×﹣（π﹣1）0 ＝6﹣1 ＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了零指数幂、开方、二次根式的乘法，解题的关键是熟练运用所学知识． 12. 在中，，若，则的长是________． 【答案】17 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8， ∴AC2+BC2=AB2， 即（AB-2）2+82=AB2， 解得AB=17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式． 13. 已知两条线段的长分别为cm、cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是_____． 【答案】cm或1cm 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况． 【详解】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况． 当第三边是斜边时，第三边=（cm）； 当第三边是直角边时，第三边==1（cm）， 综上所述，第三条线段的长是cm或1cm， 故答案为cm或1cm． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14. 已知、为两个连续的整数，且，则=________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵a＜＜b，a、b为两个连续的整数， ∴， ∴a＝5，b＝6， ∴a＋b＝11. 故答案为：11. 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键. 15. 若m是64的平方根，则m的立方根是______；若的立方根为4，则的平方根为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据平方根的定义得到的值，再计算的立方根；再根据立方根的定义求出的值，代入计算得到的结果，最后求它的平方根． 【详解】解：∵是的平方根， ∴； 当时，， 当时，， ∴的立方根是； ∵ 的立方根为， ∴， 解得， 将代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 16. 如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为_____． 【答案】10cm 【解析】 【分析】将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，从而求出解题中的AC，连接AB，根据两点之间线段最短可得小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长，然后根据勾股定理即可求出结论． 【详解】解：将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，如下图所示：AC=1．5×4=6cm，连接AB，根据两点之间线段最短， ∴小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长 ∵圆柱体的高为8cm， ∴BC=8cm 在Rt△ABC中，AB=cm 故答案为：10cm． 【点睛】此题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，将圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短即可找出最短路径，然后利用勾股定理求值是解决此题的关键． 17. 如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 【答案】 7.5 【解析】 【分析】利用勾股定理求出斜边  的长，计算三角形周长得到总路程，再除以速度得到时间． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， （分钟）， 故需要分钟． 18. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线、、上，且,，之间的距离为2 , ,之间的距离为3 ,则AC2= _______. 【答案】68 【解析】 【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2. 【详解】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∠DAB+∠ ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE (AAS)， ,∴BE=AD=3， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .故答案是68. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算. 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 小明想用一块面积为的正方形纸片，沿边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他能裁出吗？ 【答案】不能裁出这样的长方形． 【解析】 【分析】设长方形的边长分别为3x与2x，根据已知面积求出x的值，比较即可做出判断． 【详解】解：设长方形的长为3xcm，宽为2xcm， 根据题意得：， 解得：， 正方形的面积为， 正方形的边长为4cm， 长方形的长为， 则不能裁出这样的长方形． 故答案为不能． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 21. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）12；（2）84． 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可得； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和即可得． 【详解】（1）， 是直角三角形， ， ； （2）， ， 是直角三角形， 则四边形ABCD的面积为， ， ， 即四边形ABCD的面积为84． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 23. 阅读例题，然后回答问题． 例题：已知是有理数，且满足求的值． 解：由题意，得 ∵都是有理数，∴也是有理数 ∵是无理数，∴ ∴，∴ 问题：已知都是有理数，且满足，求的值． 【答案】64或 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，有理数的乘方运算，根据题意，易得，进而求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∵都是有理数， ∴，也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴或． 24. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； （2）推算出的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； 【小问3详解】 解： ． 25. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． （2）利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． （3）若，且均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）4，2，1，1（答案不唯一） （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得解； （2）令，，则，，由此即可得解； （3）由（1）可得：，，从而得出，且，为正整数，计算可得，或，，再分情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：令，，则，， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）可得：，， ∵， ∴，且，为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期素养评价（一）八年级数学 （内容：第一章~第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10=30分） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 2. 关于的叙述不正确的是（ ） A. B. 面积是的正方形的边长是 C. 是有理数 D. 在数轴上可以找到表示的点 3. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是(　 　) A. ＋＝ B. ÷＝2 C. ()－1＝ D. (－1)2＝2 5. 直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ） A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 6. 对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）． A. B. C. D. 7. 估计的值应在 （ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 9. 如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. 8cm 10. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（ ） A. 35 B. 43 C. 89 D. 97 二、填空题（3分×8=24分） 11. 计算：×﹣（π﹣1）0＝_____． 12. 在中，，若，则的长是________． 13. 已知两条线段的长分别为cm、cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是_____． 14. 已知、为两个连续的整数，且，则=________． 15. 若m是64的平方根，则m的立方根是______；若的立方根为4，则的平方根为______． 16. 如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为_____． 17. 如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 18. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线、、上，且,，之间的距离为2 , ,之间的距离为3 ,则AC2= _______. 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 小明想用一块面积为的正方形纸片，沿边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他能裁出吗？ 21. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 22. 如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 23. 阅读例题，然后回答问题． 例题：已知是有理数，且满足求的值． 解：由题意，得 ∵都是有理数，∴也是有理数 ∵是无理数，∴ ∴，∴ 问题：已知都是有理数，且满足，求的值． 24. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； （2）推算出的长； （3）求的值． 25. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． （2）利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． （3）若，且均为正整数，求a的值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $