专题一 有理数章节复习优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题一 有理数章节复习 优等生讲义2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 梳理有理数概念体系 掌握数轴、相反数、绝对值 熟练有理数四则运算 理解绝对值几何意义 能解决有理数实际应用 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.有理数基本概念 整数和分数统称有理数 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 相反数：a与-a，和为0 绝对值：数轴上点到原点距离 概念辨析例题：概念辨析：最小的有理数是0吗？ 解析：负有理数可以无限小。 ☆ 2.绝对值化简 a>0时|a|=a a=0时|a|=0 a<0时|a|=-a 数轴判断符号后去绝对值 概念辨析例题：概念辨析：|a|=|b|则a=b吗？ 解析：绝对值相等可能互为相反数。 ☆ 3.有理数运算 先乘方，再乘除，最后加减 同级运算从左到右 有括号先算括号内 运算律简化计算 概念辨析例题：概念辨析：(-2)^3=? 解析：负数奇次幂为负。 ☆ 4.绝对值几何意义 |a-b|表示数轴上a与b距离 |x-a|+|x-b|最小值=|a-b| 奇数个点距离和最小在中点 折叠问题列方程 概念辨析例题：概念辨析：|x-1|+|x+2|最小值? 解析：1与-2距离为3。 📋 知识总结表 【考点1】有理数概念与数轴（第1-12题） 概念辨析 数轴判断符号 绝对值化简 等式性质 1．（2024秋•岳阳楼区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 C．绝对值等于本身的数是正数 D．0没有相反数 【分析】根据有理数，数轴、绝对值、相反数的概念进行逐项判断即可． 【解答】解：A：有理数分为正有理数、0和负有理数，负数越来越小，没有最小的有理数，故选项A说法错误，不符合题意； B：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，故选项B说法正确，符合题意； C：绝对值等于本身的数是0和正数，故选项C说法错误，不符合题意； D：0的相反数是0，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数，数轴、绝对值、相反数，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025秋•龙岗区校级期末）已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a|的结果为（　　） A．﹣3a﹣c B．﹣a﹣c C．a﹣2b﹣c D．a+2b﹣c 【分析】根据a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置判断a、b、c的符号，进而得到a+b，c﹣a，b﹣a的符号，由绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：由a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置可知，a＜c＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|， ∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣a＞0， ∴|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a| ＝﹣a﹣b﹣c+a+b﹣a ＝﹣a﹣c． 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 3．（2025秋•北碚区校级期中）下列各式中化简错误的是（　　） A．|﹣a3|＝a3（a＜0） B．﹣|﹣a|＝a（a＜0） C．﹣|﹣a2|＝﹣a2 D．﹣[﹣（+a）]＝a 【分析】若x≥0，则|x|＝x；若x＜0，则|x|＝﹣x，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【解答】解：A、|﹣a3|＝﹣a3（a＜0），﹣a3≠a3，选项化简错误，符合题意； B、﹣|﹣a|＝﹣（﹣a）＝a（a＜0），a＝a，选项化简正确，不符合题意； C、﹣|﹣a2|＝﹣a2，﹣a2＝﹣a2，选项化简正确，不符合题意； D、﹣[﹣（+a）]＝﹣（﹣a）＝a，a＝a，选项化简正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值，有理数的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 4．（2025秋•昌平区校级期中）在数轴上，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或﹣2 【分析】利用数轴知识，有理数的混合运算法则计算． 【解答】解：根据题意可知b＝a+1，c＝a+3， 当a+a+1+a+3＝a时，解得a＝﹣2，b＝﹣2+1＝﹣1，c＝﹣2+3＝1，abc＞0，不符合题意； 当a+a+1+a+3＝a+1时，解得a，b1，c3，abc＞0，不符合题意； 当a+a+1+a+3＝a+3时，解得a，b1，c3，abc＜0，符合题意； ∴a的值为． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴，有理数的加减，有理数的乘除，解题的关键是掌握数轴知识，有理数的运算法则． 5．（2023春•南岗区校级期中）有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（　　） ①m+n＜0；②n﹣m＞0；③2m﹣n＞0；④﹣n﹣m＞0；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据数轴判断m与n与0的大小关系，进而逐一判断即可． 【解答】解：根据数轴可得n＜0＜m且|n|＞|m|， ∴m+n＜0，n﹣m＜0，即①正确，②错误； ∵n＜0＜m， ∴2m＞n， ∴2m﹣n＞0，即③正确； ∵n＜0＜m且|n|＞|m|， ∴﹣n＞m＞0 ∴﹣n﹣m＞0，即④正确； ∵﹣n＞m＞0 ∴，即⑤正确； ∴①③④⑤正确，正确的个数为4个， 故选：D． 【点评】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是将m与n与0的大小关系判断出来． 6．（2020秋•勉县期中）若两个整数的乘积是6，则这两个整数的和的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．﹣5 D．1 【分析】利用有理数的乘法法则，先找出乘积为6的两个整数，再比较它们的和得结论． 【解答】解：﹣1×（﹣6）＝6，﹣1﹣6＝﹣7； ﹣2×（﹣3）＝6，﹣2﹣3＝﹣5； 1×6＝6，1+6＝7； 2×3＝6，2+3＝5． ∵﹣7＜﹣5＜5＜7， ∴这两个整数的和的最小值是﹣7． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的乘法法则、加法法则是解决本题的关键． 7．（2025秋•大同期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a+b|的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置可得a＜0＜b，|b|＞|a|，再化简绝对值即可． 【解答】解：根据有理数a、b在数轴上的位置可得a＜0＜b，|b|＞|a|， ∴a﹣b＜0，a+b＞0， ∴|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣（a﹣b）﹣（a+b）＝﹣a+b﹣a﹣b＝﹣2a， 故选：B． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数、根据数轴判断式子的符号、化简绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的意义以及数轴是解决本题的关键． 8．（2025秋•都江堰市期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 【分析】依题意，根据数轴得到b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数四则运算法则求解即可． 【解答】解：观察数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，b﹣a＜0，ab＜0，|b|＞|a|， ∴四个选项中A选项正确，B，C，D选项错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，做题的关键是仔细运算． 9．（2025秋•思明区校级期末）已知（a，b，c为正数），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【分析】根据题意，可令，据此分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【解答】解：由题知， 不妨令， 解得，，c＝1． 又因为， 所以a，b，c的大小关系是a＞c＞b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较，令是解题的关键． 10．（2025秋•黄岩区期末）某学校为丰富课后服务内容，开设了海岛生态观察（A），台州非遗手作（B），古城数学探秘（C）三门拓展课程，七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门．只选了一门课程的有20人，选了两门课程的有18人．选择课程A的有21人，选择课程B的也是21人，选择课程C的有14人，下列说法中错误的是（　　） A．七（1）班总人数38人 B．同时选了A和B两门课程的人数比只选了C课程的人数少3人 C．同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少3人 D．同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少3人 【分析】计算班级总人数：只选一门（20人）+选两门（18人）＝ 38人，验证A选项． 设选A和B的人数为x，选A和C的人数为y，选B和C的人数为z，则x+y+z＝18． 利用各课程选择人数关系：选C的人数＝ y+z+只选C的人数＝14，结合x+y+z＝18，得只选C的人数＝ x﹣4，验证B选项x﹣（x﹣4）＝4≠3． 只选B的人数＝21﹣（x+z），y＝18﹣（x+z），得只选B的人数﹣y＝3，验证C选项． 只选A的人数＝21﹣（x+y），z＝18﹣（x+y），得只选A的人数﹣z＝3，验证D选项． 逐一判断选项正误． 【解答】解：通过设未知数表示选两门课程的人数，结合总人数和各课程选择人数的关系列方程求解，再逐一分析选项． A．因为七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门； 已知只选一门课程的有20人，选两门课程的有18人， 所以班级总人数为20+18＝38人， 故A选项正确，不符合题意； B．设未知数并根据课程选择人数列方程 设选A和B的有x人，选A和C的有y人，选B和C的有z人． 根据选择课程的人数关系：选A的人数：x+y+只选A的人数＝21； 选B的人数：x+z+只选B的人数＝21；选C的人数：y+z+只选C的人数＝14； 只选一门课程的人数和为20，即只选A+只选B+只选C＝20． 将选两门课程的人数和相加：（x+y）+（x+z）+（y+z）＝21+21+14﹣2×（只选一门课程中对应课程的人数）， 但更简单的是利用总人数关系：（x+y+z）+20＝38，可得x+y+z＝18（与选两门课程的人数一致，合理）． 由选C的人数：y+z+只选C的人数＝14，且x+y+z＝18，可得只选C的人数＝14﹣（y+z）＝14﹣（18﹣x）＝x﹣4． 同时选A和B的人数x与只选C的人数（x﹣4）的差为x﹣（x﹣4）＝4≠3，故B选项错误． 第三步：分析C选项 只选B的人数＝21﹣（x+z），同时选A和C的人数y＝18﹣（x+z）， 则只选B的人数﹣y＝21﹣（x+z）﹣[18﹣（x+z）]＝3，即同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少3人，故C选项正确． 第四步：分析D选项 只选A的人数＝21﹣（x+y），同时选B和C的人数z＝18﹣（x+y）， 则只选A的人数﹣z＝21﹣（x+y）﹣[18﹣（x+y）]＝3， 即同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少3人，故D选项正确． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键通过计算总人数、设选两门课程的人数为未知数，结合各课程选择人数关系推导并验证选项． 11．（2025秋•芝罘区期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简|a+1|﹣|1﹣b|+|b﹣a|的结果是（　　） A．2b B．3a﹣2b﹣2 C．2b﹣2a﹣2 D．﹣2a﹣2 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，先根据数轴得到a＜0＜b＜1，|a|＞1，则a+1＜0，1﹣b＞0，b﹣a＞0，据此化简绝对值，最后根据整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴图可知， ﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a+1＜0，1﹣b＞0，b﹣a＞0， 根据绝对值的定义可知， |a+1|﹣|1﹣b|+|b﹣a| ＝﹣（a+1）﹣（1﹣b）+（b﹣a） ＝﹣a﹣1﹣1+b+b﹣a ＝2b﹣2a﹣2， ∴只有C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 12．（2025秋•大连期末）下列变形中，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a﹣c＝b﹣c，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b 【分析】利用有理数的运算法则，绝对值的定义解答． 【解答】解：若ac＝bc，则a＝b（c≠0），选项A错误，不符合题意； 若a﹣c＝b﹣c，则a＝b，选项B正确，符合题意； 若|a|＝|b|，则a＝±b，选项C错误，不符合题意； 若a2＝b2，则a＝±b，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的运算，绝对值，解题的关键是掌握有理数的运算法则，绝对值的定义． 【考点2】填空与新定义（第13-28题） 新定义按规则 找规律 折叠问题 分类讨论 13．（2025秋•桃源县期末）定义一种新运算∀：对任意有理数a，b都有a∀b＝﹣a﹣b2，如2∀3＝﹣2﹣32＝﹣11，则（2024∀1）∀2＝　2021　 ． 【分析】根据a∀b＝﹣a﹣b2，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a∀b＝﹣a﹣b2， ∴（2024∀1）∀2 ＝（﹣2024﹣12）∀2 ＝（﹣2024﹣1）∀2 ＝（﹣2025）∀2 ＝﹣（﹣2025）﹣22 ＝2025﹣4 ＝2021， 故答案为：2021． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 14．（2025秋•海淀区校级期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若a+b+c＝0，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若abc＞0，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若a+b＝c，则点C一定在线段AB外； ④若a+b＝2c，则点C一定为线段AB的中点． 所有正确结论的序号是　①②④　 ． 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为A，B，C是数轴上三个不重合的点，它们代表的数分别为a，b，c， 则由a+b+c＝0得， a，b，c三个数中最少有1个是负数， 即A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧． 故①正确； 由abc＞0得， a，b，c三个数都是正数或其中有一个是正数，两个是负数， 则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧． 故②正确； 当a＝3，b＝﹣1，c＝2时，满足a+b＝c， 但此时点C在线段AB上， 故③错误； 因为a+b＝2c， 则c， 所以点C一定为线段AB的中点， 故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 15．（2025秋•惠山区期中）2025年江苏省城市足球联赛在江苏省13个城市之间举行，如果13个城市的足球队举行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为　78　 ． 【分析】单循环比赛中，每支球队都要和除自己之外的其他球队比赛一场．对于13个城市的足球队，其中一支球队需要和另外13﹣1＝12（支）球队比赛．但这样计算的话，比如球队A和球队B的比赛，会被球队A计算一次，也会被球队B计算一次，存在重复计算的情况．所以总的比赛场数需要除以2，计算公式为（其中n为球队数量）．将n＝13代入公式，计算即可． 【解答】解：13×（13﹣1）÷2 ＝13×12÷2 ＝78． 答：总的比赛场数为78． 故答案为：78． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解单循环比赛的规则，即每支球队都要和除自己之外的其他球队比赛一场，同时要注意避免重复计算比赛场数． 16．（2025秋•射阳县期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为12，则2025+a﹣b的值为　2037　 ． 【分析】利用有理数的减法法则，绝对值的定义解答． 【解答】解：∵根据题意可知a﹣b＝12， ∴2025+a﹣b ＝2025+12 ＝2037， 故答案为：2037． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，绝对值，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，绝对值的定义． 17．（2025秋•大名县期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折2024次，可以得到 　（22024﹣1）　 条折痕． 【分析】先分别求出对折1次，2次，3次，4次的折痕，从而求出对折n次，折痕为：（2n﹣1）条，按照此规律进行解答即可． 【解答】解：∵对折1次，折痕为1条； 对折2次，折痕为3条，3＝22﹣1； 对折3次，折痕为7条，7＝23﹣1； 对折4次，折痕为15条，15＝24﹣1； … 对折n次，折痕为：（2n﹣1）条， ∴对折2024次，可以得到折痕为：（22024﹣1）条， 故答案为：（22024﹣1）． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是观察已知条件，找出规律． 18．（2025秋•新宾县期末）在数轴上与表示数7的点距离3个单位长度的点表示的数是　4或10　 ． 【分析】本题考查数轴上两点的距离；熟练掌握用数轴上的点表示同意有理数是解题的关键． 7减3或7加3即可求得点可能表示的数． 【解答】解：7+3＝10，7﹣3＝4， ∴在数轴上与表示数7的点距离3个单位长度的点表示的数是4或10． 故答案为：4或10． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 19．（2025秋•澄城县期末）已知整数m同时满足下列两个条件：①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6．写出一个符合条件的m的值：　﹣3　 ． 【分析】首先根据数轴上表示m的数在原点左侧，可知m表示的是一个负数，根据的绝对值大于2且小于6，可知﹣6＜m＜﹣2，从而确定m的值． 【解答】解：由题意可得：m＜0，﹣6＜m＜﹣2， ∴整数m的值可以是﹣5、﹣4、﹣3， ∴这3个数任意写出一个即可． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了有理数的分类、数轴、绝对值，正确记忆相关知识点是解题关键． 20．（2026•浙江模拟）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　8　 ． 【分析】根据定义，得（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，解得即可． 【解答】解：（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了实数新定义计算，正确理解定义是解题的关键． 21．（2025秋•岳塘区期末）若“*”表示一种新运算，它的意义是：a*b＝ab﹣（a+b），例1*2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，计算（﹣4）*3＝ 　﹣11　 ． 【分析】根据a*b＝ab﹣（a+b），可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝ab﹣（a+b）， ∴（﹣4）*3 ＝（﹣4）×3﹣[（﹣4）+3] ＝﹣12﹣（﹣1） ＝﹣12+1 ＝﹣11， 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 22．（2026•长沙竞赛）设x1，x2，x3，x4，x5是正整数，任取其中四个求和后得到的结果是44，45，46，47，则这五个整数的和为　57　 ． 【分析】要解决这个问题，我们可以通过设五个数的和为S，利用“任取四个数的和”与“五个数的和”的关系来推导． 【解答】解：从五个正整数中任取四个求和，共有五种取法，应得到五个和值． 而实际只有四个值， 则一定有两个和值相等． ∵44+44+45+46+47≤4（x+x+x+x，+x3）≤44+45+46+47+47， 即226≤4（x1+x2+x3+x4+x5）≤229， ∵x1，x2，x3，x4，x5为整数， ∴4（x1+x2+x3+x4+x5）＝228． x1+x2+x3+x4+x5＝57． 故答案为：57． 【点评】题目考查了有理数的加法，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 23．（2022秋•酉阳县期末）计算：（﹣2）3＝ 　﹣6　 ． 【分析】先计算乘方，再算乘法． 【解答】解：原式（﹣8）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了有理数的乘法和乘方，掌握运算法则是解题的关键． 24．（2026•资阳模拟）如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是﹣4，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 　0或6　 ． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：∵点A、B表示的数分别是﹣4，10， ∴10+6＝16，10﹣6＝4， ∴点A对折后对应的点为16或4， 设点C表示的数是c， c﹣（﹣4）＝4﹣c，c＝0， c﹣（﹣4）＝16﹣c，c＝6， ∴C点表示的数为0或6． 故答案为：0或6． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 25．（2025秋•郑州期末）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 　﹣11b﹣3a+7　 ． 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵a＞0、b＜0， ∴|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b| ＝6﹣5b+[﹣（8b﹣1）]﹣（3a﹣2b） ＝6﹣5b﹣8b+1﹣3a+2b ＝﹣11b﹣3a+7， 故答案为：﹣11b﹣3a+7． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 26．（2025秋•大庆校级期末）如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从﹣2到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　或或　 ． 【分析】分三种情况进行讨论：如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝11，a，得出AB、BC、CD的值，计算折痕处对应的点所表示的数的值，同理可得出如图2、3折痕处对应的点所表示的数的值． 【解答】解：分三种情况： ①如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时， 设AB＝a，BC＝a，CD＝2a， a+a+2a＝11， a， ∴AB，BC，CD， ∴折痕处对应的点所表示的数是：﹣2； ②如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时， 设AB＝a，BC＝2a，CD＝a， a+a+2a＝11， a， ∴AB，BC，CD， ∴折痕处对应的点所表示的数是：﹣2； ③如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时， 设AB＝2a，BC＝a，CD＝a， a+a+2a＝11， a， ∴AB，BC，CD， ∴折痕处对应的点所表示的数是：﹣2； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，本题有难度，采用了分类讨论的思想． 27．（2020秋•金水区校级月考）下列说法中： ①整数分为正整数和负整数； ②若|a|＝|b|，则a+b＝0； ③绝对值最小的数是0，不存在绝对值最大的数； ④﹣（﹣1）的相反数是﹣1； ⑤a的相反数是﹣a，﹣a一定是负数； ⑥若|﹣x|＝2，则x＝±2． 正确的是 　③④⑥　 ．（只填序号） 【分析】①根据整数分为正整数、0和负整数，对此说法进行判断即可； ②③根据绝对值的性质进行判断即可； ④⑤根据相反数的定义，对各个说法进行判断； ⑥根据绝对值的性质，求出x，进行判断即可． 【解答】解：①∵整数分为正整数、0和负整数，∴①的说法错误； ②∵若|a|＝|b|，则a+b＝0或a＝b，∴②的说法错误； ③∵绝对值最小的数是0，不存在绝对值最大的数，∴③的说法正确； ④∵﹣（﹣1）＝1，1的相反数是﹣1，∴④的说法正确； ⑤∵a的相反数是﹣a，当a是正数时，﹣a是负数，当a是负数时，﹣a是正数，当a＝0时，﹣a＝0，∴⑤的说法错误； ⑥∵|﹣x|＝2，则﹣x＝±2，∴x＝±2，∴⑥的说法是正确的； 综上可知：说法正确的是：③④⑥， 故答案为：③④⑥． 【点评】本题主要考查了有理数的有关概念和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握整数、相反数和绝对值的性质． 28．（2025秋•越秀区期末）已知a•b≠0，则的值为　0，﹣2，2．　 ． 【分析】分当a＞0，b＞0时；当a＞0，b＜0时；当a＜0，b＜0时；当a＜0，b＞0时四种情况作答即可． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＜0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 故答案为：0，﹣2，2． 【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的除法，分情况进行讨论是解题的关键． 【考点3】有理数计算（第29-37题） 运算顺序 运算律简算 乘方运算 混合运算 29．（2025秋•巢湖市期末）计算：． 【分析】先计算乘方运算、化简绝对值和括号里面的部分，再进行有理数乘法运算，然后根据有理数减法法则运算即可． 【解答】解： ＝﹣1|1﹣25| ＝﹣1﹣4 ＝﹣5． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 30．（2025秋•西湖区期末）计算： （1） （2） （3） （4） 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据乘法运算律计算即可； （3）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝18﹣4+15 ＝29； （3）原式 ＝2+3﹣4 ＝1； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查的是有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 31．（2026•福州模拟）综合与实践． 小明家为了给新买的房子装修，需要购置三合板进行裁剪得到适当的基础材料． 如图所示，已知每张三合板的尺寸（单位：dm）都是12×24，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是8×8；乙型尺寸是3×9． 为了充分利用好原料（多余的材料越少越好），小明设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张三合板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张三合板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张三合板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． 请完成下列任务： 任务一：按照方法一进行裁剪，请在图中画出示意图，并计算余料面积； 任务二：按照方法三进行裁剪，求余料面积； 任务三：经过核算，小明需要甲型材料11个，乙型材料18个．按照小明的需求，可以同时采用三种裁剪方法，请你设计一种购买三合板的省钱方案，使得购买三合板的总费用最少并计算出总费用． 【分析】（1）根据长方形的面积减去3个正方形和3个长方形的面积，即可求解； （2）根据长方形的面积减去1个正方形和7个长方形的面积，即可求解； （3）设x张按方案一裁剪，y张按方案二裁剪，z张按方案三裁剪，可满足需求，列出不等式，找到最小整数解，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， 根据长方形的面积减去3个正方形和3个长方形的面积：12×24﹣3×8×8﹣2×3×9＝42（dm2）， 故答案为：42； （2）依题意，12×24﹣1×8×8﹣7×3×9＝35（dm2）， 故答案为：35； （3）设x张按方案一裁剪，y张按方案二裁剪，z张按方案三裁剪，可满足需求， ∴， ∴①×7﹣②19x+10y≥59， ∴当x＝1，y＝4，z＝0时，共购买五张三合板，符合题意，价格为5×200＝1000（元）， x＝3，y＝0，z＝2时，满足不等式①和②，共购买五张三合板，符合题意，价格为5×200＝1000（元）， 当x＝2，y＝2，z＝1时，满足不等式①和②，共购买五张三合板，符合题意，价格为5×200＝1000（元）， 综上所述，1张按方案一裁剪，4张按方案二裁剪，0张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是1000元； 或3张按方案一裁剪，0张按方案二裁剪，2张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是1000元； 或2张按方案一裁剪，2张按方案二裁剪，1张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是1000元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算． 32．（2025秋•浦东新区期末）脱式计算，能简算的要简算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先通分，再加减即可； （2）逆用乘法分配律简便计算即可； （3）利用乘法运算律求解即可； （4）先计算括号内减法，再计算乘除法即可． 【解答】解：（1） ； （2）原式 ； （3）原式 ＝18﹣12+20 ＝26； （4） ． 【点评】此题考查了整数和分数的混合运算，正确计算是解题的关键． 33．（2025秋•竹溪县期中）阅读下面解答过程：计算：4． 解：原式＝4（﹣12）+（）+6（第一步） ＝（4）+（）+（﹣12）（第二步） ＝11+1+（﹣12）（第三步） ＝12+（﹣12）（第四步） ＝0（第五步） （1）上面解题过程存在错误，是从第 　一　 步开始错误的； （2）写出正确的解答过程． 【分析】（1）先观察已知条件的步骤，观察各个步骤，第一步的变成了，变成了，由此进行判断即可； （2）利用加法的交换律，交换加数的位置，进行有理数的简便计算即可． 【解答】解：（1）是从第一步开始错误， 故答案为：一； （2） ． 【点评】本题主要考查了实数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 34．（2025秋•揭东区期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式 ＝﹣3+12﹣3 ＝6． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 35．（2025秋•广东校级月考）已知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且|c|＞|b|＞|d|＞|a| （1）画出数轴，并标出表示数a，b，c，d的点的大致位置； （2）将a，﹣b，﹣|c|，﹣（+d）按照从小到大的顺序排列（直接写答案）； （3）若有理数m满足|b|＜|m|，试比较b，﹣b，m之间的大小关系． 【分析】（1）根据已知条件，分析出a，b，c，d距离原点的远近即可解答； （2）化简可得﹣|c|＝﹣c （负数），﹣（+d）＝﹣d （正数），结合（1）中所画图a，b，c，d的大致位置即可解答； （3）由题意可知b为正数且|b|＞0，但是不知道有理数m的情况，故分三种情况（m＝0，m＞0，m＜0）讨论即可． 【解答】解：（1）知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且|c|＞|b|＞|d|＞|a|如图： （2）∵a，d为负数，b，c为正数，﹣|c|＝﹣c，﹣（+d）＝﹣d， ∴﹣d为正数，a，﹣b，﹣c为负数， ∵|c|＞|b|＞|d|＞|a|，根据正数＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小， ∴﹣c＜﹣b＜a＜﹣d，即﹣|c|＜﹣b＜a＜﹣（+d）； （3）需分情况讨论： ①当m＝0时，因为b＞0，所以|b|＞|m|，与题意矛盾，舍去， ②当m＞0时，因为b＞0，且|b|＜|m|，所以m＞b＞﹣b， ③当m＜0时，因为b＞0，且|b|＜|m|，所以b＞﹣b＞m． 综上所述，当m＞0时，m＞b＞﹣b；当m＜0时，b＞﹣b＞m． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴上的表示，根据题意画出表示数a，b，c，d的点的大致位置是解题的关键． 36．（2026春•谯城区校级月考）计算：． 【分析】先算乘方、绝对值、除法，再算乘法，后算加减即可． 【解答】解：原式 ＝﹣9﹣6+6 ＝﹣9． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 37．（2025秋•沙依巴克区校级期中）计算： （1）14﹣25+12﹣17； （2）6×（﹣3）+25÷（﹣5）； （； （4． 【分析】（1）利用加法交换律和结合律，先把同号相加，再进行减法运算即可得到结果； （2）先计算乘除，最后算加减运算即可得到结果； （3）利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝14+12﹣25﹣17 ＝26﹣42 ＝﹣16； （2）原式＝﹣18﹣5 ＝﹣23； （3）原式 ＝3+2﹣6 ＝﹣1； （4）原式 ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可． 【考点4】化简与简答（第38-46题） 分类讨论绝对值 数轴化简 绝对值方程 规律探究 38．（2025秋•永兴县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求　1　 ； 当a＝﹣2时，求　﹣1　 ； （2）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． 【分析】（1）因为a＝5＞0，根据绝对值的性质|a|＝a，所以，因为a＝﹣2＜0，根据绝对值的性质|a|＝﹣a，所以． （2）因为ab＞0，所以a和b同号，分两种情况讨论：情况一：a＞0，b＞0 此时|a|＝a，|b|＝b，|ab|＝ab，代入化简求值即可；情况二：a＜0，b＜0 此时|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|ab|＝ab（因为ab＞0），代入化简求出结果即可． 【解答】解：（1）当a＝5时， 所以， 当a＝﹣2时， 所以． 故答案为：1，﹣1． （2）当因为ab＞0，所以a和b同号，分两种情况讨论： 情况一：若a＞0，b＞0， 此时|a|＝a，|b|＝b，|ab|＝ab， 则： ＝1+1+1 ＝3， 情况二：若a＜0，b＜0， 此时|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|ab|＝ab（因为ab＞0），则： ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1． 答：的值是3或﹣1． 【点评】本题考查了有理数的乘法、绝对值，解决本题的关键是根据绝对值的性质对字母的正负性进行分类讨论，进而计算表达式的值． 39．（2026春•宝山区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：3|a+b|﹣3|c﹣a|﹣3|b+2|． 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置得：﹣2＜b＜c＜0＜2＜a且|a|＞|b|＞|c|，据此判断各绝对值内的正负号化简绝对值，合并同类项即可． 【解答】解：根据a、b、c在数轴上的位置可得：﹣2＜b＜c＜0＜2＜a且|a|＞|b|＞|c|， ∴a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0， ∴3|a+b|﹣3|c﹣a|﹣3|b+2| ＝3（a+b）﹣3（a﹣c）﹣3（b+2） ＝3a+3b﹣3a+3c﹣3b﹣6 ＝3c﹣6． 【点评】本题考查了利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减计算，正确掌握数轴上数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 40．（2025秋•长沙期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空： a﹣c　＜　 0，c﹣b　＞　 0，a+b　＜　 0． （2）化简：|a﹣c|+|c﹣b|+|a+b|． 【分析】（1）由图可得，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|，即可比较大小； （2）结合（1）去绝对值，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可得，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴a﹣c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0； 故答案为：＜，＞，＜； （2）|a﹣c|+|c﹣b|+|a+b| ＝c﹣a+c﹣b﹣a﹣b ＝﹣2a﹣2b+2c． 【点评】本题考查有理数大小比较，绝对值，解题的关键是数形结合思想的应用． 41．（2025秋•嘉荫县期中）若|a|＝13，|b|＝5，且a+b＞0，求a﹣b的值． 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的可能取值，再结合a+b＞0这一条件确定a、b的具体取值，最后代入a﹣b求值． 【解答】解：若|a|＝13，|b|＝5，且a+b＞0， 则：a＝±13，b＝±5， ①当a＝13，b＝5时，a+b＝13+5＝18＞0，满足条件，a﹣b＝8； ②当a＝13，b＝﹣5时，a+b＝13﹣5＝8＞0，满足条件，a﹣b＝18； ③当a＝﹣13，b＝5时，a+b＝﹣13+5＝﹣8＜0，舍去， ④当a＝﹣13，b＝﹣5时，a+b＝﹣13﹣5＝﹣18＜0，舍去， ∴a﹣b的值为8或18． 【点评】本题考查了绝对值的性质及有理数的加减法，正确进行计算是解题关键． 42．（2026春•武威校级月考）已知x2﹣9＝0，16y2﹣1＝0，求|x+y|的值． 【分析】利用实数相关计算法则进行解题． 【解答】解：∵x2﹣9＝0， ∴x2＝9， ∴x＝±3； ∵16y2﹣1＝0， ∴16y2＝1， ∴， ∴； ∴|x+y|＝|3|； |x+y|＝|（﹣3）+（）|； |x+y|＝|3+（）|； |x+y|＝|﹣3|； ∴|x+y|或． 【点评】本题考查实数相关计算． 43．（2025秋•洪山区月考）|x﹣2020|+2|x﹣2021|+3|x﹣2022|+4|x﹣2023|+5|x﹣2024|的最小值为　15　 ． 【分析】数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【解答】解：原式可以看成数轴上一个表示x的点到1个2020、2个2021、3个2022、4个2023、5个2024的距离之和，共1+2+3+4+5＝15个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当x＝2023时，原式有最小值， 最小值＝|2023﹣2020|+2|2023﹣2021|+3|2023﹣2022|+4|2023﹣2023|+5|2023﹣2024|＝3+2×2+3×1+4×0+5×1＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义． 44．（2024秋•蓝田县月考）在如图所示的数轴上表示下列各数． ﹣（+3），+（﹣1），|﹣3.5|，0，． 【分析】先化简绝对值和多重符号，再在数轴上表示出各数即可． 【解答】解：|﹣3.5|＝3.5， ﹣（+3）＝﹣3， +（﹣1）＝﹣1， 数轴表示如下： 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值和多重符号，有理数在数轴上的表示方法是解题的关键． 45．（2025秋•会东县校级月考）计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）； （2）﹣34+15﹣|﹣10|﹣（﹣6）； （3）． 【分析】（1）根据有理数的加法与减法运算法则计算即可； （2）先去绝对值和括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）有理数的加法运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝12+18﹣7 ＝23． （2）原式＝﹣34+15﹣10+6 ＝﹣23． （3）原式＝241﹣2（13） ＝7﹣1﹣25 ＝1﹣2 ＝﹣1． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算、绝对值，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 46．（2024秋•龙马潭区月考）观察下列各等式，并回答问题：1，，，，… （1）填空： 　　 （n为正整数）； （2）计算：． 【分析】（1）观察已知算式即可得结果； （2）结合（1）的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）根据规律，； 故答案为：； （2）原式＝1 ＝1 ＝ ． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【考点5】实际应用（第47-51题） 正负数表示 里程计费 分段计费 平均问题 47．（2025秋•咸阳校级月考）我市出租车司机王师傅2025年10月2日上午从小寨出发，在南北方向的公路上行驶营运，如表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；╳表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 3 3 4 5 里程 ﹣3 ﹣16 +21 ﹣10 +6 载客 ╳ 3 〇 ╳ 〇 （1）王师傅走完第5次里程后，他在小寨的什么方向？离小寨有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油约0.2升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否可以不加油． （3）已知载客时3千米以内（包括3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2.3元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业额为多少元？ 【分析】（1）将表格中数据求和，根据和的结果可得结论； （2）先求出总里程，然后求得所耗油量，进而可得结论； （3）根据载客所走路程和题意列式求解即可． 【解答】解：（1）将表格中数据求和可得： （﹣3）+（﹣16）+（+21）+（﹣10）+（+6） ＝﹣29+27 ＝﹣2（千米）， 答：王师傅走完第5次里程后，他在小寨的北边，离小寨有2千米； （2）先求出总里程，然后求得所耗油量可得： |﹣3|+|﹣16|+|+21|+|﹣10|+|+6|＝56（千米）， 所耗油量为56×0.2＝11.2（升）， 16﹣11.2＝4.8＜5， 答：王师傅这天上午中途是需要加油． （3）第2次里程载客收费为10+（16﹣3）×2.3＝39.9（元）； 第3次里程载客收费为10+（21﹣3）×2.3＝51.4（元）； 第5次里程载客收费为10+（6﹣3）×2.3＝16.9（元）， ∴39.9+51.4+16.9＝108.2（元）， 答：走完5次里程后的营业额为108.2元． 【点评】本题考查正负数的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． 48．（2023秋•思明区校级月考）某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡200元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费30元． （1）若游泳3次，按方式一付费，则总费用为 　230　 元； （2）若游泳9次，选择哪种付费方式更划算？请通过计算说明； （3）若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明． 【分析】（1）根据方式一的付费方式列出算式计算即可求解； （2）根据两种方式的付费方式列出算式计算即可求解； （3）根据两种方式的付费方式列出算式计算即可求解． 【解答】解：（1）200+10×3 ＝200+30 ＝230（元）． 故总费用为 230元． 故答案为：230； （2）方式一：200+10×9 ＝200+90 ＝290（元）； 方式二：30×9＝270（元）； ∵290元＞270元， ∴若游泳9次，选择方式二付费方式更划算； （3）（600﹣200）÷10 ＝400÷10 ＝40（次）， 600÷30＝20（次）， ∵40次＞20次， ∴若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择方式一付费方式游泳次数比较多． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确地理解题意是解题的关键． 49．（2024秋•杨浦区校级期末）医学上，成年人空腹血糖的正常值范围为3.9～6.1mmol/L．某体检中心在检测报告中将检测到的空腹血糖值高于正常值范围的部分用↑表示，而低于正常值范围的部分用↓表示．例如，测得某人的空腹血糖值为7.2mmol/L，则记作↑1.1．现有甲、乙两人在这个体检中心的检测报告中显示，空腹血糖的检测值分别记为↑1.8和↓0.5． （1）甲、乙两人测得的空腹血糖值相差　4.5　 mmol/L； （2）2024年，医学界对上述标准做了一些调整和细化，对我国不同年龄段人群的空腹血糖正常值范围给出了新的标准： 年龄段 空腹血糖正常值范围（mmol/L）* 18岁以下 4.4～6.1 18至60岁 4.4～7.1 60岁以上 7.0～9.0 *数据出自2024年《中国糖尿病协会CDS》 根据新的标准，甲、乙两人的空腹血糖值是否位于正常值范围？为什么？ 【分析】（1）先求出甲、乙两人的空腹血糖值，再进行计算； （2）逐一进行判断即可． 【解答】解：（1）甲的空腹血糖值为：6.1+1.8＝7.9mmol/L，乙的空腹血糖值为：3.9﹣0.5＝3.4mmol/L， ∴7.9﹣3.4＝4.5mmol/L， 故答案为：4.5； （2）①若甲年龄为18至60岁， ∵甲＝7.9＞7.1， ∴不位于正常值范围； ②若甲年龄为60岁以上， ∵7.0＜甲＝7.9＜9.0， ∴位于正常值范围； ∵乙＝3.4＜4.4， ∴不位于正常值范围， 答：若甲年龄为18至60岁，甲的空腹血糖值不位于正常值范围；若甲年龄为60岁以上，甲的空腹血糖值位于正常值范围；乙的空腹血糖值不位于正常值范围． 【点评】本题考查了有理数的加法，有理数的减法，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 50．（2025秋•潮南区期末）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从A地出发，在东西方向公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：km）：﹣5，+8，﹣4，+7，﹣10，+6． （1）检修小组最终停在距A地多远的地方？ （2）若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到A地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ （3）若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶100km耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为多少元？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义，将各数及（1）中求得的结果的绝对值相加并计算求得总路程，然后将其与0.15相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【解答】解：（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加可得： （﹣5）+（+8）+（﹣4）+（+7）+（﹣10）+（+6） ＝﹣5+8﹣4+7﹣10+6 ＝2（千米）， 答：检修小组最终停在距A地2千米的地方． （2）根据绝对值的实际意义，将各数及（1）中求得的结果的绝对值相加可得： |﹣5|+|+8|+|﹣4|+|+7|+|﹣10|+|+6| ＝5+8+4+7+10+6 ＝40（千米）， 40+2＝42（千米）， 42×0.15＝6.3（升）， 6.3×8＝50.4（元）， 答：当天从出发到收工回到A地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； （3）∵该新能源汽车每行驶100km耗电12度， ∴行驶42km耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用约为5.04×1.5＝7.56（元）， 答：该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为7.56元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 51．（2024秋•鹤山市期末）恩平市倡导学生全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） +9 +10 ﹣10 +13 ﹣2 0 +8 （1）星期五婷婷读了 　28　 分钟； （2）求她这周平均每天读书的时间． 【分析】（1）列出算式，再求出即可； （2）先求出读书的总时间，再除以7即可． 【解答】解：（1）30﹣2＝28（分钟）， 即星期五婷婷读了28分钟． 故答案为：28； （2）9+10﹣10+13﹣2+0+8＝28（分钟）， 28÷7+30＝34（分钟）， 答：她这周平均每天读书的时间为34分钟． 【点评】本题考查了正数与负数，有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 【考点6】阅读材料：绝对值几何意义（第52-57题） 距离转化 最小值问题 动点定值 年龄木棒问题 52．（2024秋•昆都仑区期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是 　7　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 　|x﹣2|　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出x的取舍范围，进而得出结果； （4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出a． 【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是5﹣（﹣2）＝7；数轴上表示x与2的两点之间的距离是|x﹣2|， 故答案为：7；|x﹣2|； （2）|m﹣2|＝3表示m与2的距离为3，则m＝﹣1或5； （3）|n﹣2|+|n+3|＝5，数轴上表示n与2和n与﹣3两点之间的距离之和为5， 则n在数轴上的位置在﹣3与2之间， ∴﹣3≤n≤2， ∵n为整数， ∴n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）∵|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，即当x在1和﹣a之间时，|x﹣1|+|x+a|＝4， ∴﹣a＝5或﹣a＝﹣3， ∴a＝﹣5或a＝3． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 53．（2024秋•台江区期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|，即AB＝|a﹣b|．例如，在数轴上，表示﹣4和﹣2的点的距离为AB＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2． 【问题解决】 （1）|x﹣2|表示数轴上数x与 　2　 （填数字）之间的距离；x与﹣4之间的距离表示为 　|x+4|　 ； （2）若|x﹣2|+|x+3|＝9，则根据绝对值的几何意义可得x＝ 　4或﹣5　 ； （3）点A、B在数轴上分别表示﹣2、5，点P以每秒1个单位长度的速度从原点出发向右运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，3PB﹣2PA的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说理理由；若不会，请求出它的值． 【分析】（1）通过题意，用式子表达点与点的距离，以及明白式子表示的点与点距离； （2）将式子化为数轴上点与点的距离，通过观察数轴得到答案； （3）表示出三点运动后的坐标，将3PB﹣2PA用点与点距离表示出来，通过化简式子得知该值不会随时间变化而变化． 【解答】解：（1）由题意可知，|x﹣2|表示数轴上数x与2之间的距离，而x与﹣4之间的距离应表示为|x﹣（﹣4）|，即|x+4|； 故答案为：2，|x+4|； （2）由题意可知：|x﹣2|+|x+3|＝9表示数轴上x与2之间的距离加上x与﹣3之间的距离等于9， 通过观察数轴可知，数4与数﹣5满足上述要求； 故答案为：4或﹣5； （3）设其运动时间为t，则点P运动到数t，点A运动到数﹣2﹣2t，点B运动到数5+3t， 3PB﹣2PA3倍P、B间距离减去2倍P、A间距离，其中P、B间距离可以表示为：5+3t﹣t＝5+2t； P、A间距离为t﹣（﹣2﹣2t）＝3t+2，即3PB﹣2PA＝3（5+2t）﹣2（3t+2）＝11， 即3PB﹣2PA的值并不会随着时间变化而变化，其值为11． 【点评】通过熟悉问题背景，掌握绝对值与数轴上点与点间距离的表达关系，以及通过化简式子求得该式子的定值． 54．（2025秋•唐河县期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：a⊕b＝a×b﹣a﹣b． （1）计算（﹣2）⊕2的值； （2）填空：5⊕（﹣3）　＝　 （﹣3）⊕5（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）求（﹣3）⊕的值． 【分析】（1）根据新定义，代入计算即可； （2）根据新定义，代入计算即可； （2）先算4⊕，再算（﹣3）⊕（）即可得答案． 【解答】解：（1）（﹣2）⊕2 ＝（﹣2）×2﹣（﹣2）﹣2 ＝﹣4+2﹣2 ＝﹣4； （2）5⊕（﹣3） ＝5×（﹣3）﹣5﹣（﹣3） ＝﹣15﹣5+3 ＝﹣17； （﹣3）⊕5 ＝（﹣3）×5﹣（﹣3）﹣5 ＝﹣15+3﹣5 ＝﹣17， ∴5⊕（﹣3）＝（﹣3）⊕5， 故答案为：＝； （3）∵4⊕442﹣4， ∴（﹣3）⊕（4⊕）＝（﹣3）⊕（）＝﹣3×（）﹣（﹣3）﹣（）313． 【点评】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，掌握有理数运算的顺序及相关运算的法则． 55．（2025秋•扬州期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．例如：数轴上，点A、B表示的数分别是﹣1、2，则A、B两点之间的距离可以表示为|2﹣（﹣1）|． 【问题解决】 （1）如果点A在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为4，点A与点B之间的距离AB为5，那么x＝　9或﹣1　 ； （2）若d＝|﹣1﹣x|+|2﹣x|，则d的最小值为　3　 ，此时正整数x的值为　1，2　 ． 【关联运用】 （3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝20，BC＝10，如图所示．若O是原点，且OB＝8，求a+b﹣c的值． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，|x﹣4|＝5表示“x到4的距离为5”，解出方程即可； （2）式子d＝|﹣1﹣x|+|2﹣x|的几何意义为：“x到﹣1的距离”加“x到2的距离”，这个距离d最小，则当x在﹣1和2之间（包括端点）时，距离d最小，根据题意列出方程，再找到此时﹣1和2之间（包括端点）的正整数即可； （3）根据题意OB＝8，分两种情况讨论，情况1：B在原点右侧（b＝8）；情况2：B在原点左侧（b＝﹣8），然后再分别根据a，b，c在图象上的位置，分别列出式子． 【解答】解：（1）由点A与点B之间的距离AB为5可得： |x﹣4|＝5， x﹣4≤0，x＜4时，x﹣4＝﹣5，x＝﹣1， x﹣4≥0，x≥4时，x﹣4＝5，x＝9， 故x＝9或x＝﹣1． 故答案为：9或﹣1； （2）当x在﹣1和2之间（包括端点）时，距离d最小， d＝|﹣1﹣2|＝3， 故d的最小值为3． 当x在﹣1和2之间（包括端点）时，距离d最小， 故正整数x的取值为1，2． 故答案为：3；1，2； （3）已知AB＝20，BC＝10，且A，B，C从左到右排列（a＜b＜c），OB＝8（B到原点的距离为8），分两种情况： 情况1：B在原点右侧（b＝8）； c＝b+10＝8+10＝18，a＝b﹣20＝8﹣20＝﹣12， ∴a+b﹣c＝﹣12+8﹣18＝﹣22， 情况2：B在原点左侧（b＝﹣8）； a＝b﹣20＝﹣8﹣20＝﹣28，c＝b+10＝﹣8+10＝2， ∴a+b﹣c＝﹣28+（﹣8）﹣2＝﹣38， 故a+b﹣c的值为﹣22或﹣38． 【点评】本题考查了一元一次方程，数轴上点的位置与数的关系，绝对值方程的求解；解题的关键在于绝对值的几何意义转化，根据数轴上点的位置分析进行分类讨论；绝对值方程漏解和数轴上点的位置判断错误是本题易错点． 56．（2025秋•武安市期中）根据数轴，解决下列问题． （1）比较：a﹣b　＞　 0（填写“＞、＝、＜”）； （2）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b+3 　＞　 0，a﹣4 　＜　 0，a+b﹣2 　＜　 0； （3）化简：|b|+|b+3|﹣|a﹣4|+|a+b﹣2|． 【分析】（1）根据数轴得：﹣2＜b＜﹣1，0＜a＜1，即可判断； （2）先判断出a，b的范围，再根据不等式的性质运算进行判断； （3）先判断出b＜0，b+3＞0，a﹣4＜0，a+b﹣2＜0，再进行绝对值化简． 【解答】解：（1）根据数轴得：﹣2＜b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0， 故答案为：＞； （2）∵﹣2＜b＜﹣1， ∴﹣2+3＜b+3＜﹣1+3， ∴1＜b+3＜2， ∴b+3＞0， ∵0＜a＜1， ∴0﹣4＜a﹣4＜1﹣4， ∴﹣4＜a﹣4＜﹣3， ∴a﹣4＜0， ∵﹣2＜b＜﹣1，0＜a＜1， ∴﹣2＜a+b＜0， ∴﹣4＜a+b﹣2＜﹣2， ∴a+b﹣2＜0， 故答案为：＞，＜，＜； （3）∵﹣2＜b＜﹣1＜0＜a＜1， ∴b＜0，b+3＞0，a﹣4＜0，a+b﹣2＜0， ∴|b|+|b+3|﹣|a﹣4|+|a+b﹣2| ＝﹣b+b+3+（a﹣4）﹣（a+b﹣2） ＝3+a﹣4﹣a﹣b+2 ＝1﹣b． 【点评】本题考查数轴比较数的大小，判断不等式的符号，绝对值的化简，合并同类项，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 57．（2025秋•衡东县期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． （1）由此可得，CD＝　21　 cm，a的值为　7　 cm． （2）图中点A所表示的数是　11　 ，点B所表示的数是　18　 ． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求CD，再根据题题意可知3MN＝CD，进而可求出a的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可答案． 【解答】解：（1）∵当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25， ∴CD＝25﹣4＝21， ∵3MN＝CD， ∴3a＝21， 即：a＝7 故答案为：21，7； （2）由（1）可得：点B所表示的数是：4+7+7＝18；点A所表示的数是：4+7＝11； 故答案为：11，18； （3）如图：点B表示奶奶现在的年龄，点A表示孙子现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒MN，奶奶像孙子那么大时看作当点N移动到A处时，点M与点E重合，点E所对应的数为2；孙子像奶奶那么大时看作当点M移动到B处时，点N与点F重合，点F所对应的数为128； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵2+42＝44（岁），128﹣42＝86（岁）， ∴孙子现在44岁，奶奶现在86岁． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，在数轴上表示有理数等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． ❤复习建议 有理数没有最小也没有最大 去绝对值先判断符号 运算顺序先乘方 绝对值几何意义是距离 分类讨论不重不漏 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 有理数章节复习 优等生讲义 2026-2027人教版七年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 梳理有理数概念体系 掌握数轴、相反数、绝对值 熟练有理数四则运算 理解绝对值几何意义 能解决有理数实际应用 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.有理数基本概念 整数和分数统称有理数 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 相反数：a与-a，和为0 绝对值：数轴上点到原点距离 概念辨析例题：概念辨析：最小的有理数是0吗？ 解析：负有理数可以无限小。 ☆ 2.绝对值化简 a>0时|a|=a a=0时|a|=0 a<0时|a|=-a 数轴判断符号后去绝对值 概念辨析例题：概念辨析：|a|=|b|则a=b吗？ 解析：绝对值相等可能互为相反数。 ☆ 3.有理数运算 先乘方，再乘除，最后加减 同级运算从左到右 有括号先算括号内 运算律简化计算 概念辨析例题：概念辨析：(-2)^3=? 解析：负数奇次幂为负。 ☆ 4.绝对值几何意义 |a-b|表示数轴上a与b距离 |x-a|+|x-b|最小值=|a-b| 奇数个点距离和最小在中点 折叠问题列方程 概念辨析例题：概念辨析：|x-1|+|x+2|最小值? 解析：1与-2距离为3。 📋 知识总结表 要点 法则 注意事项 有理数 整数+分数 无限不循环小数不是 数轴 三要素 右边总比左边大 相反数 和为0 0的相反数是0 绝对值 距离 非负性 乘方 n个相同因数积 负数奇次幂负 |a-b| 两点距离 几何意义 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】有理数概念与数轴（第1-12题） 概念辨析 数轴判断符号 绝对值化简 等式性质 1．（2024秋•岳阳楼区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 C．绝对值等于本身的数是正数 D．0没有相反数 2．（2025秋•龙岗区校级期末）已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a|的结果为（　　） A．﹣3a﹣c B．﹣a﹣c C．a﹣2b﹣c D．a+2b﹣c 3．（2025秋•北碚区校级期中）下列各式中化简错误的是（　　） A．|﹣a3|＝a3（a＜0） B．﹣|﹣a|＝a（a＜0） C．﹣|﹣a2|＝﹣a2 D．﹣[﹣（+a）]＝a 4．（2025秋•昌平区校级期中）在数轴上，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或﹣2 5．（2023春•南岗区校级期中）有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（　　） ①m+n＜0；②n﹣m＞0；③2m﹣n＞0；④﹣n﹣m＞0；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2020秋•勉县期中）若两个整数的乘积是6，则这两个整数的和的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．﹣5 D．1 7．（2025秋•大同期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a+b|的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 8．（2025秋•都江堰市期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 9．（2025秋•思明区校级期末）已知（a，b，c为正数），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 10．（2025秋•黄岩区期末）某学校为丰富课后服务内容，开设了海岛生态观察（A），台州非遗手作（B），古城数学探秘（C）三门拓展课程，七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门．只选了一门课程的有20人，选了两门课程的有18人．选择课程A的有21人，选择课程B的也是21人，选择课程C的有14人，下列说法中错误的是（　　） A．七（1）班总人数38人 B．同时选了A和B两门课程的人数比只选了C课程的人数少3人 C．同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少3人 D．同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少3人 11．（2025秋•芝罘区期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简|a+1|﹣|1﹣b|+|b﹣a|的结果是（　　） A．2b B．3a﹣2b﹣2 C．2b﹣2a﹣2 D．﹣2a﹣2 12．（2025秋•大连期末）下列变形中，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a﹣c＝b﹣c，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b 【考点2】填空与新定义（第13-28题） 新定义按规则 找规律 折叠问题 分类讨论 13．（2025秋•桃源县期末）定义一种新运算∀：对任意有理数a，b都有a∀b＝﹣a﹣b2，如2∀3＝﹣2﹣32＝﹣11，则（2024∀1）∀2＝_________ ． 14．（2025秋•海淀区校级期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若a+b+c＝0，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若abc＞0，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若a+b＝c，则点C一定在线段AB外； ④若a+b＝2c，则点C一定为线段AB的中点． 所有正确结论的序号是________ ． 15．（2025秋•惠山区期中）2025年江苏省城市足球联赛在江苏省13个城市之间举行，如果13个城市的足球队举行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为_______ ． 16．（2025秋•射阳县期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为12，则2025+a﹣b的值为_________ ． 17．（2025秋•大名县期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折2024次，可以得到 ______________ 条折痕． 18．（2025秋•新宾县期末）在数轴上与表示数7的点距离3个单位长度的点表示的数是_________ ． 19．（2025秋•澄城县期末）已知整数m同时满足下列两个条件：①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6．写出一个符合条件的m的值：_______ ． 20．（2026•浙江模拟）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ _____ ． 21．（2025秋•岳塘区期末）若“*”表示一种新运算，它的意义是：a*b＝ab﹣（a+b），例1*2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，计算（﹣4）*3＝ ________ ． 22．（2026•长沙竞赛）设x1，x2，x3，x4，x5是正整数，任取其中四个求和后得到的结果是44，45，46，47，则这五个整数的和为_______ ． 23．（2022秋•酉阳县期末）计算：（﹣2）3＝ _______ ． 24．（2026•资阳模拟）如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是﹣4，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ________ ． 25．（2025秋•郑州期末）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 ______________ ． 26．（2025秋•大庆校级期末）如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从﹣2到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ____________________ ． 27．（2020秋•金水区校级月考）下列说法中： ①整数分为正整数和负整数； ②若|a|＝|b|，则a+b＝0； ③绝对值最小的数是0，不存在绝对值最大的数； ④﹣（﹣1）的相反数是﹣1； ⑤a的相反数是﹣a，﹣a一定是负数； ⑥若|﹣x|＝2，则x＝±2． 正确的是 ________ ．（只填序号） 28．（2025秋•越秀区期末）已知a•b≠0，则的值为____________ ． 【考点3】有理数计算（第29-37题） 运算顺序 运算律简算 乘方运算 混合运算 29．（2025秋•巢湖市期末）计算：． 30．（2025秋•西湖区期末）计算： （1） （2） （3） （4） 31．（2026•福州模拟）综合与实践． 小明家为了给新买的房子装修，需要购置三合板进行裁剪得到适当的基础材料． 如图所示，已知每张三合板的尺寸（单位：dm）都是12×24，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是8×8；乙型尺寸是3×9． 为了充分利用好原料（多余的材料越少越好），小明设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张三合板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张三合板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张三合板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． 请完成下列任务： 任务一：按照方法一进行裁剪，请在图中画出示意图，并计算余料面积； 任务二：按照方法三进行裁剪，求余料面积； 任务三：经过核算，小明需要甲型材料11个，乙型材料18个．按照小明的需求，可以同时采用三种裁剪方法，请你设计一种购买三合板的省钱方案，使得购买三合板的总费用最少并计算出总费用． 32．（2025秋•浦东新区期末）脱式计算，能简算的要简算． （1）； （2）； （3）； （4）． 33．（2025秋•竹溪县期中）阅读下面解答过程：计算：4． 解：原式＝4（﹣12）+（）+6（第一步） ＝（4）+（）+（﹣12）（第二步） ＝11+1+（﹣12）（第三步） ＝12+（﹣12）（第四步） ＝0（第五步） （1）上面解题过程存在错误，是从第 _____ 步开始错误的； （2）写出正确的解答过程． 34．（2025秋•揭东区期末）计算：． 35．（2025秋•广东校级月考）已知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且|c|＞|b|＞|d|＞|a| （1）画出数轴，并标出表示数a，b，c，d的点的大致位置； （2）将a，﹣b，﹣|c|，﹣（+d）按照从小到大的顺序排列（直接写答案）； （3）若有理数m满足|b|＜|m|，试比较b，﹣b，m之间的大小关系． 36．（2026春•谯城区校级月考）计算：． 37．（2025秋•沙依巴克区校级期中）计算： （1）14﹣25+12﹣17； （2）6×（﹣3）+25÷（﹣5）； （； （4． 【考点4】化简与简答（第38-46题） 分类讨论绝对值 数轴化简 绝对值方程 规律探究 38．（2025秋•永兴县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求_____ ； 当a＝﹣2时，求_______ ； （2）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． 39．（2026春•宝山区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：3|a+b|﹣3|c﹣a|﹣3|b+2|． 40．（2025秋•长沙期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空： a﹣c _____ 0，c﹣b _____ 0，a+b _____ 0． （2）化简：|a﹣c|+|c﹣b|+|a+b|． 41．（2025秋•嘉荫县期中）若|a|＝13，|b|＝5，且a+b＞0，求a﹣b的值． 42．（2026春•武威校级月考）已知x2﹣9＝0，16y2﹣1＝0，求|x+y|的值． 43．（2025秋•洪山区月考）|x﹣2020|+2|x﹣2021|+3|x﹣2022|+4|x﹣2023|+5|x﹣2024|的最小值为_______ ． 44．（2024秋•蓝田县月考）在如图所示的数轴上表示下列各数． ﹣（+3），+（﹣1），|﹣3.5|，0，． 45．（2025秋•会东县校级月考）计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）； （2）﹣34+15﹣|﹣10|﹣（﹣6）； （3）． 46．（2024秋•龙马潭区月考）观察下列各等式，并回答问题：1，，，，… （1）填空： ____________________ （n为正整数）； （2）计算：． 【考点5】实际应用（第47-51题） 正负数表示 里程计费 分段计费 平均问题 47．（2025秋•咸阳校级月考）我市出租车司机王师傅2025年10月2日上午从小寨出发，在南北方向的公路上行驶营运，如表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；╳表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 3 3 4 5 里程 ﹣3 ﹣16 +21 ﹣10 +6 载客 ╳ 3 〇 ╳ 〇 （1）王师傅走完第5次里程后，他在小寨的什么方向？离小寨有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油约0.2升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否可以不加油． （3）已知载客时3千米以内（包括3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2.3元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业额为多少元？ 48．（2023秋•思明区校级月考）某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡200元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费30元． （1）若游泳3次，按方式一付费，则总费用为 ________ 元； （2）若游泳9次，选择哪种付费方式更划算？请通过计算说明； （3）若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明． 49．（2024秋•杨浦区校级期末）医学上，成年人空腹血糖的正常值范围为3.9～6.1mmol/L．某体检中心在检测报告中将检测到的空腹血糖值高于正常值范围的部分用↑表示，而低于正常值范围的部分用↓表示．例如，测得某人的空腹血糖值为7.2mmol/L，则记作↑1.1．现有甲、乙两人在这个体检中心的检测报告中显示，空腹血糖的检测值分别记为↑1.8和↓0.5． （1）甲、乙两人测得的空腹血糖值相差________ mmol/L； （2）2024年，医学界对上述标准做了一些调整和细化，对我国不同年龄段人群的空腹血糖正常值范围给出了新的标准： 年龄段 空腹血糖正常值范围（mmol/L）* 18岁以下 4.4～6.1 18至60岁 4.4～7.1 60岁以上 7.0～9.0 *数据出自2024年《中国糖尿病协会CDS》 根据新的标准，甲、乙两人的空腹血糖值是否位于正常值范围？为什么？ 50．（2025秋•潮南区期末）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从A地出发，在东西方向公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：km）：﹣5，+8，﹣4，+7，﹣10，+6． （1）检修小组最终停在距A地多远的地方？ （2）若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到A地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ （3）若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶100km耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为多少元？ 51．（2024秋•鹤山市期末）恩平市倡导学生全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） +9 +10 ﹣10 +13 ﹣2 0 +8 （1）星期五婷婷读了 _______ 分钟； （2）求她这周平均每天读书的时间． 【考点6】阅读材料：绝对值几何意义（第52-57题） 距离转化 最小值问题 动点定值 年龄木棒问题 52．（2024秋•昆都仑区期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是 _____ ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 __________ ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 53．（2024秋•台江区期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|，即AB＝|a﹣b|．例如，在数轴上，表示﹣4和﹣2的点的距离为AB＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2． 【问题解决】 （1）|x﹣2|表示数轴上数x与 _____ （填数字）之间的距离；x与﹣4之间的距离表示为 __________ ； （2）若|x﹣2|+|x+3|＝9，则根据绝对值的几何意义可得x＝ _________ ； （3）点A、B在数轴上分别表示﹣2、5，点P以每秒1个单位长度的速度从原点出发向右运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，3PB﹣2PA的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说理理由；若不会，请求出它的值． 54．（2025秋•唐河县期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：a⊕b＝a×b﹣a﹣b． （1）计算（﹣2）⊕2的值； （2）填空：5⊕（﹣3）_____ （﹣3）⊕5（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）求（﹣3）⊕的值． 55．（2025秋•扬州期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．例如：数轴上，点A、B表示的数分别是﹣1、2，则A、B两点之间的距离可以表示为|2﹣（﹣1）|． 【问题解决】 （1）如果点A在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为4，点A与点B之间的距离AB为5，那么x＝_________ ； （2）若d＝|﹣1﹣x|+|2﹣x|，则d的最小值为_____ ，此时正整数x的值为________ ． 【关联运用】 （3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝20，BC＝10，如图所示．若O是原点，且OB＝8，求a+b﹣c的值． 56．（2025秋•武安市期中）根据数轴，解决下列问题． （1）比较：a﹣b _____ 0（填写“＞、＝、＜”）； （2）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b+3 _____ 0，a﹣4 _____ 0，a+b﹣2 _____ 0； （3）化简：|b|+|b+3|﹣|a﹣4|+|a+b﹣2|． 57．（2025秋•衡东县期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． （1）由此可得，CD＝_______ cm，a的值为_____ cm． （2）图中点A所表示的数是_______ ，点B所表示的数是_______ ． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． ❤复习建议 有理数没有最小也没有最大 去绝对值先判断符号 运算顺序先乘方 绝对值几何意义是距离 分类讨论不重不漏 学科网（北京）股份有限公司 $