7.1相交线 知识点梳理、典例精讲、同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

7、1相交线 知识点梳理 一、相交线 相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。 邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，互为领补角。 邻补角与补角的区别与联系 · 1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180° · 2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。 领补角与对顶角的比较 二、垂线 垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。b a O 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线， b也叫a的垂线。则记为：a⊥b或b⊥a； 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O. 垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。 书写形式： ∵∠AOD=90°（已知）D A O ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。 书写形式：C ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）B 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° 垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线. B A l 工具：直尺、三角板 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 垂线的性质： 1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形）F E D C B A 8 7 6 5 4 3 2 1 同位角：一边都在截线上而且同向，另一边 在截线同侧的两个角。 如∠1和∠5，∠4和∠8。 内错角：一边都在截线上而且反向， 另一边在截线两侧的两个角。 （两个角在两条截线内） 如∠3和∠5，∠4和∠6。 同旁内角：一边都在截线上而且反向， 另一边在截线同旁的两个角。 （两个角在两条截线内） 如∠3和∠6，∠4和∠5。 同位角、内错角、同旁内角的比较 典例精讲 例1．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，直线、相交于点，，．则 ． 例3．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 例4．如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 例5．如图，O是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数.（用含的式子表示） 例6．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 例7．作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 例8．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 例9．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 例10．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 课后练习 11．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 13．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 14．如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 15．如图，，直线经过点O，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 16．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 17．如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 18．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 19．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 20．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 21．如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 22．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 23．如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，使得，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7、1相交线》参考答案 题号 1 3 6 11 13 19 答案 D C D A D B 1．D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 2． 【分析】本题主要考查了对顶角的性质．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 3．C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 4．(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角的意义，邻补角的意义求解； （2）先利用对顶角相等求得，再利用求解，然后利用邻补角的意义求得的度数． 【详解】（1）解：图中的对顶角为，的补角为， 故答案为：，． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，找邻补角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点． 5．(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、角之间和差关系是解题的关键． （1）根据题意得到，再利用角平分线的性质得到； （2）根据题意得到，进而得到,根据角平分线的性质得到，再利用计算即可； （3）根据题意得到，根据角平分线的性质得，利用计算即可． 【详解】（1）解：、， 平分 ； （2）解：、， ， ， 平分， ， ； （3）解：、 平分， ， ． 6．D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．(1)见详解 (2)见详解 (3)>，垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，射线，网格作图，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）结合网格的特征，以及两点确定一条直线，进行作图即可； （3）运用垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：直线，射线如图所示： （2）解：直线的垂线，的平行线，如图所示． （3）解：依题意，由（2）得， ∴，理由是垂线段最短． 8．垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 9． 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 10． AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 11．A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 12．(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，补角的概念，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 13．D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 14．(1) (2)， 【分析】本题考查对顶角和邻补角的概念． （1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． （2）两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角． 【详解】（1）根据对顶角的概念可得：的对顶角是， （2）根据邻补角的概念可得：的邻补角是，． 15．(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的计算，角的数量关系，以及利用邻补角的定义求角的度数． （1）首先计算出的度数，再根据邻补角的定义计算的度数； （2）设，则，根据列方程求出求出，结合（1）的结论求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 的度数为． （2）解：， ∴设，则， ， ， 解得， ． 平分， ， ． 16．①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 17．(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 18．(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 19．B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 20．(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 21．(1) (2)平分，理由见详解； 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 22．(1)或 (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角定义，理解“割补线”的定义是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． （2）解：∵恰好平分， ∴， ∴． （3）解：或， 理由：①如图，当时， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴， ∴， （即与重合）， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 23．(1) (2)或 (3)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和与差、邻补角，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平分得到，利用周角的性质求出的即可； （2）在（1）的条件下，分别讨论在下方和上方时的情况，分别求出的度数即可； （3）由，设，用x表示，设，则，由，用x表示，再分别用x表示，求出比值即可． 【详解】（1）解：由已知，平分，， ∴， ∴ ； （2）当在下方时，， ∴， 当在上方时，， ∴， 的度数是或． （3）由， ∴设， ∴ ， 若， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $