1.5.1全称量词与存在量词 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“全称量词与存在量词”，通过回顾命题定义，以“含变量陈述句如何成为命题”为问题导入，引导学生发现添加量词的必要性，建立从非命题到命题的知识支架。 特色在于分层目标设计与核心素养融合，通过实例分析（如“x>3”添加量词变命题）培养数学抽象，用反例判断真假（如“所有素数是奇数”为假）发展逻辑推理，符号化表示与表格梳理提升数学表达。助力教师高效教学，帮助学生夯实逻辑基础，提升数学思维。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 1.5.1全称量词与存在量词 设计时间 授课时间 课标要求 1.理解全称量词与存在量词的意义． 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教材分析 逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，全称量词与存在量词也是常见的逻辑用语.教材从对陈述句是否为命题入手，让学生意识到对于一些不是命题的陈述句，如果加入一个短语对变量的取值范围进行限定的话，就能够变成命题，这样自然地引入量词，再以丰富的实例，得出全称量词和存在量词的概念、符号表示以及全称量词命题和存在量词命题的概念，进而得出判断含有量词命题真假的方法. 学情分析 在本单元，学生学习的符号较多、形式化程度高，学生容易产生困惑，因此教师需要讲清形式化的作用，形式化可以克服很多逻辑上的错误，如命题“所有的志愿者都是男生”的否定并不是“所有的志愿者都不是男生”，而是“存在一个志愿者不是男生”，教师应借助文字语言或者集合语言帮助学生体会使用逻辑用语的意义.在教学过程中，教师和学生都应多举一些例子，加深逻辑用语在今后数学交流上的使用，逐步提升数学抽象和逻辑推理素养. 单元教学目标 1.通过已知的数学实例，能够使用数学符号写出全称量词命题或存在量词命题，并能够判断它们的真假. 2.能够准确写出全称量词命题的否定和存在量词命题的否定；体会运用逻辑用语表述数学知识的简洁性和严谨性. 单元教学重点 难点 1.教学重点：全称量词与存在量词的意义和表示；全称量词命题和存在量词命题的否定. 2.教学难点：含有一个量词的命题否定形式化的理解. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时， 全称量词与存在量词； 第2课时，全称量词命题和存在量词命题的否定． 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能够说出全称量词与全称命题的定义，使用数学符号写出全称量词命题，并判断简单的全称量词命题的真假. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能够说出存在量词与存在命题的定义，能够使用数学符号写出存在量词命题，并判断简单的存在量词命题的真假. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，能熟练判断全称量词命题与存在量词命题的真假，提升逻辑推理素养． 课时学习重难点 教学重点：全称量词命题、存在量词命题的书写． 教学难点：全称量词命题、存在量词命题真假的判断． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，我们有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.我们可以怎样增加条件，可以使它们变为命题吗？ 2、 预习课本：(通过阅读课本26~27页，回答问题，能说例子中的量词) 问题:下列陈述句是命题吗？如果是，它们的真假如何？它们之间有什么联系和区别？ (1)x>3; (2)对所有的x∈R,x>3; (3)存在一个x∈R,x>3. 答：(1)不是命题，(2)和(3)是命题，(2)为假命题，(3)为真命题， 联系：(2),(3)是(1)的基础上增加量词，量词：所有的，存在一个 区别：(1)不可以判断真假，(2)和(3)可以判断真假。 预习评估：（学生能回答思考1与思考2，找到其中的量词). 思考1：下列语句是命题吗?比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系? (1) x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R，x>3; (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 思考2：下列语句是命题吗?比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系?: (1) 2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R，使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 答：思考1中，(1)(2)不是命题，(3)，(4)是命题，语句(3)在(1)的基础上，用量词“存在一个”对变量进行限定;语句(4)在(2)的基础上，用量词“任意一个”对变量x进行限定； 思考2中，(1)(2)不是命题，(3)，(4)是命题，语句(3)在(1)的基础上，用量词“所有的”对变量进行限定;语句(4)在(2)的基础上，用量词“至少有一个”对变量x进行限定。 三、目标一： 能够说出全称量词与全称命题的定义，使用数学符号写出全称量词命题，并判断简单的全称量词命题的真假. 任务一：学生能够说出全称量词与全称命题的定义，使用数学符号写出全称量词命题 1. 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 2. 全称量词命题：含有全称量词的命题. 3. 全称量词命题的符号形式：. 可以总结为表格： 评估一：（学生能判断简单的全称量词命题的真假). 例1. 判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R,|x|+1≥1; (3)对任意一个无理数x，也是无理数. 解: (1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R，总有|x|≥0,因而|x|+1≥1.所以，全称量词命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是真命题. (3) 是无理数，但()2=2是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题. 四、目标二： 能够说出存在量词与存在命题的定义，能够使用数学符号写出存在量词命题，并判断简单的存在量词命题的真假. 任务二：学生能够说出存在量词与存在命题的定义，使用数学符号写出存在量词命题 4. 存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 5. 存在量词命题：含有存在量词的命题. 6. 存在量词命题的符号形式：. 可以总结为表格： 评估二：（学生能判断简单的存在量词命题的真假). （小组讨论）例2. 判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使 (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有一些平行四边形是菱形． 解: (1) 由于△=22一4×3=-8<0，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题. (2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题。 (3) 由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题 五、目标三： 能熟练判断全称量词命题与存在量词命题的真假，提升逻辑推理素养． 任务三：通过习题的练习，能熟练判断全称量词命题与存在量词命题的真假 练习： 1．判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）∀x∈{ y | y是无理数 },x3是无理数. 2．判断下列存在量词命题的真假： （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数 ，使得为奇数； （3）∃x∈{ y | y是无理数 },，是无理数. 答：１.（1）真.（2）假.（3）假. ２.（1）真.（2）假.（3）真. 评估三： 带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）全称量词命题和存在量词命题的符号表示分别是什么？ （2）你能举一些全称量词命题和存在量词命题的例子吗？ 答 ： （1）利用学习过的判定定理和性质定理是判断命题为真最直接的方法；举反例则是判断命题为假最简便的方法； （2）由学生举例(在学生举例的基础上还可追问命题的真假). 教师和学生一起回顾命题的相关知识：可以判断真假的陈述句才能叫做命题. 学生判断四个陈述句是否为命题，与添加的量词。教师根据学生回答情况进行点评． 学生独立思考后回答。 教师根据学生回答情况进行点评，建议学生梳理成表格形式 学生独立思考作答，教师核对总结。 教师根据学生回答情况进行点评，建议学生梳理成表格形式 类比全称量词命题判断真假的过程，学生独立思考,后小组讨论并展示，教师结合学生作答补充完善 学生独立思考作答，教师核对总结。 学生独立思考后回答，教师带领学生归纳总结. 复习初中学过的相关概念，通过对比，学生初步体会量词的意义，教师提出本单元的学习内容. 在问题的引导下，让学生根据一些熟知的数学事实，体会逻辑用语在表述中的作用. 以熟悉的知识为载体，巩固基础知识，检测全称量词命题、存在量词命题真假的判断. 在问题的引导下，让学生根据一些熟知的数学事实，体会逻辑用语在表述中的作用. 课堂小结 1.全称量词和存在量词的一般形式； 2.全称量词命题和存在量词命题的定义与符号表示； 3.判断全称量词命题和存在量词命题的真假。 学生作业 1.基础性作业：教科书第31页习题1.5第1、2题． 答案：１.(１)真.(２)真.(３)真.(４)假. 2.(１)真.(２)真.(３)真. (４)若ｎ＝２ｋ,ｋ∈Ｚ，则ｎ２＋１＝４ｋ２＋１不是４的倍数,若ｎ ＝２ｋ－１,ｋ∈Ｚ，则ｎ２＋１＝４ｋ２－４ｋ＋２不是４的倍数，故命题为假命题. 2.提升性作业：教科书第35页复习参考题第6，10题． 答案：6.(１)∀ｘ∈Ｒ，ｘ２≥０.是真命题. (２)∀∈Ｒ，二次函数y＝ｘ２＋的图象关于y轴对称.是真命题. (３)∃ｘ,ｙ∈Ｚ,２x＋４y＝3.是假命题. (４)∃ｘ∈{无理数},ｘ３∈Ｑ.是真命题. 10.(１)任意一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. (２)任意一个三角形的内角和都等于180°. 3.拓展性作业:梳理以往知识定理,尝试写成含有量词的命题. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $