专题1.5 全称量词与存在量词-重难点题型讲义【知识清单+6大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦全称量词与存在量词命题、命题的否定核心知识点，从量词定义、符号表示到命题形式、真假判断，再到否定规则，构建递进式学习支架，夯实逻辑推理基础。 资料通过表格系统梳理概念，分题型精讲命题判断、真假辨析、参数求解等，结合即学即练与综合练习，培养数学思维的逻辑推理和数学语言的符号表达能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题1.5 全称量词与存在量词-重难点题型精讲 知识点01：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【注意】(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 全称量词命题的真假判断 (1)判定全称量词命题“”是真命题，须对M中的每个元素x验证p (x)成立; (2)判定全称量词命题是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找一个元素，使得不成立即可． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 知识点02：存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ∃ 命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 【注意】存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 存在量词命题的真假判断 (1)判断存在量词命题是真命题，只需找M中一个元素使成立即可． (2)判断存在量词命题是假命题，须对M中任一个元素验证都不成立． 【即学即练】 1．（25-26高二下·江苏无锡·期末）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 知识点03：命题的否定 1.命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的否定”． 2.命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然． 3.全称量词命题的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。 4.存在量词命题的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。 5.结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 6.常见的词语的否定形式有： 原语句 = > ＜ 是 都是 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定形式 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 至少有（n+1）个 注：在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 【即学即练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型01 全称量词命题与存在量词命题的判断 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 2．（26-27高一上·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 4．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 题型02 全称量词命题与存在量词命题的真假 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 6．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为______． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 8．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型03 根据命题的真假求参数 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 10．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 11．（25-26高一上·四川成都·期中）设集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 12．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 14．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 题型04 全称量词命题与存在量词命题的否定 15．（26-27高三上·辽宁·开学考试）命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 16．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）命题“，”的否定是___________． 17．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·江苏南京·期末）命题“”的否定是________. 题型05 命题否定及其真假判断 19．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断否定后的命题真假： (1)，； (2)，使得； (3)，有； (4)，. 21．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 22．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等． 题型06 根据命题否定的真假求参数 23．（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 24．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 25．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 26．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 27．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 3．（26-27高二上·浙江·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一上·江苏南京·专题练习）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 9．（25-26高一上·江苏盐城·期中）（多选）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 11．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）命题“，”的否定为__________. 12．（2026高一上·广东深圳·专题练习）已知存在实数，使，则实数的取值范围为______． 13．（2026高一上·全国·专题练习）若命题，使是真命题，则的取值范围为______． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 15．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 16．（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 全称量词与存在量词-重难点题型精讲 知识点01：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【注意】(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 全称量词命题的真假判断 (1)判定全称量词命题“”是真命题，须对M中的每个元素x验证p (x)成立; (2)判定全称量词命题是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找一个元素，使得不成立即可． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 知识点02：存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ∃ 命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 【注意】存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 存在量词命题的真假判断 (1)判断存在量词命题是真命题，只需找M中一个元素使成立即可． (2)判断存在量词命题是假命题，须对M中任一个元素验证都不成立． 【即学即练】 1．（25-26高二下·江苏无锡·期末）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定形式为：“，”. 知识点03：命题的否定 1.命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的否定”． 2.命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然． 3.全称量词命题的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。 4.存在量词命题的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。 5.结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 6.常见的词语的否定形式有： 原语句 = > ＜ 是 都是 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定形式 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 至少有（n+1）个 注：在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 【即学即练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 题型01 全称量词命题与存在量词命题的判断 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】直接根据是否含有全称量词判断可得. 【详解】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是全称量词命题． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)存在量词命题 (4)全称量词命题 【分析】依据全称量词与存在量词的概念判断． 【详解】（1）由题意可知说的是所有凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题； （2）因为原命题中含有“有的”，故为存在量词命题； （3）因为原命题中含有“有一个”，故为存在量词命题； （4）由题意可知说的是所有菱形的对角线相互垂直， 故为全称量词命题； 4．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 题型02 全称量词命题与存在量词命题的真假 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)存在量词命题，该命题是真命题； (2)全称量词命题，该命题是假命题； (3)存在量词命题．该命题是真命题； (4)全称量词命题，该命题是真命题. 【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假. 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题. 因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为______． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【分析】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 【答案】ABD 【分析】结合实数、空集定义直接判断命题的真假即可. 【详解】对于A，该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； 对于B，显然为真命题； 对于C，显然不成立，为假命题； 对于D，取，能使是整数，为真命题． 8．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【详解】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 题型03 根据命题的真假求参数 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 11．（25-26高一上·四川成都·期中）设集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围. （2）根据存在量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）若，则， 当时，，满足， 当时，，要使， 则需，解得， 综上所述，的取值范围是. （2）若，， 先求时的取值范围： 当当时，，满足. 当当时，，要使， 则需或，解得. 综上所述，时，或， 所以当时，. 12．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【详解】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由题意，分和两种情况讨论 【详解】由题意得，关于x的方程有实数根， 当时，方程为，显然有实数根，满足题意； 当时，，解得，且. 综上知，实数a的取值范围是． 14．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 题型04 全称量词命题与存在量词命题的否定 15．（26-27高三上·辽宁·开学考试）命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可. 【详解】由题意得命题的否定是，. 16．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）命题“，”的否定是___________． 【答案】 【详解】命题“”的否定为：“”． 17．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是. 18．（25-26高二下·江苏南京·期末）命题“”的否定是________. 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定形式求解即可. 【详解】命题“”的否定形式为“”. 题型05 命题否定及其真假判断 19．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1) 否定为：正方形不都是菱形.正方形都是菱形，故为假命题； (2) 否定为：.当时，，故为假命题； (3) 否定为：.当时，，故为真命题. (4) 否定为：存在能被2整除的数不是偶数.能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【详解】（1）略； （2）略； （3）略. （4）略. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断否定后的命题真假： (1)，； (2)，使得； (3)，有； (4)，. 【答案】(1)否定为，假命题； (2)否定为，有，假命题； (3)否定为，使得，真命题； (4)否定为，假命题. 【分析】（1）利用全称量词命题的否定的定义可求否定命题，再分类讨论与两种情况证得恒成立，从而可判断真假； （2）（3）（4）利用存在量词命题的否定的定义可求否定命题，再利用特殊值法可判断真假. 【详解】（1），的否定为， 当时，，当时，， 综上，不存在，所以“”为假命题； （2），使得的否定为，有， 因为当时，，所以“，有”是假命题； （3），有的否定为，使得， 因为当时，，所以“，使得”是真命题； （4），的否定为， 因为当时，，所以“”为假命题. 21．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 【答案】(1)，假命题 (2)存在一个三角形的三个内角不都为，真命题 (3)，，假命题 【分析】（1）（2）由全称命题的否定为特称命题即可写出其否定，并直接判断真假； （3）由特称命题的否定为全称命题即可写出其否定，并直接判断真假. 【详解】（1），假命题. （2）存在一个三角形的三个内角不都为，真命题. （3），，假命题. 22．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等． 【答案】(1) 因为，所以命题的否定：， 显然当时，，命题的否定为真命题； (2) 因为：不论取何实数值，关于的方程必有实数根； 所以命题的否定：存在实数，关于的方程没有实数根． 当时，方程有实根，当时，方程的判别式， 故命题为真命题，命题的否定为假命题； (3) ：有的平行四边形的对角线相等，命题的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等， 则命题是真命题，命题的否定是假命题. 【分析】（1）写出命题的否定，再根据可判断命题的否定的真假； （2）写出命题的否定，分、讨论可得方程的根可得命题的否定的真假； （3）写出命题的否定，根据命题的真假可判断其否定的真假. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型06 根据命题否定的真假求参数 23．（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】先分别求出命题、为真时，实数的范围，再求两个范围的公共部分可得答案. 【详解】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. ． 24．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 25．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 26．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 27．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 28．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中两个命题的真假求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得结论. 【详解】当时，；当时，. 若“，”为真命题，则； 若“，”为假命题，即命题“，”为真命题，所以，， 所以，，由题意可知，且， 故符合条件集合可为. 故选：B. 1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 3．（26-27高二上·浙江·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意性和存在性的定义逐一判断即可. 【详解】A．例如，满足且，故选项A正确； B．因为集合中的元素都在集合中，所以不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； C．属于集合，也属于集合，故选项C错误； D．属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【详解】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B 7．（2026高一上·江苏南京·专题练习）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 8．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 9．（25-26高一上·江苏盐城·期中）（多选）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误； 对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确. 故选：AD 10．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【分析】利用命题的否定知识，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，其命题的否定为，， 因为显然成立，故A正确； 对于选项B，命题的否定为存在一个正方形，它不是矩形. 该命题含有存在性量词，不符合题意，所以不正确. 对于选项C，命题的否定为，， 因为，故该命题正确； 对于选项D，命题的否定为，，显然当时，， 故该命题是假命题，所以D不正确. 11．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）命题“，”的否定为__________. 【答案】， 【分析】根据命题的否定的定义直接可得. 【详解】由已知命题“，”的否定为“，”， 故答案为：，. 12．（2026高一上·广东深圳·专题练习）已知存在实数，使，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题中条件结合能成立问题直接求解即可. 【详解】由于存在实数，使，则只需大于或等于x的最小值，即. 故答案为：. 13．（2026高一上·全国·专题练习）若命题，使是真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用判别式求参数范围. 【详解】若是真命题，则，解得．所以的取值范围为． 故答案为：  . 【点睛】考查利用判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系. 14．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 15．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 16．（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先化简命题和命题得到实数的取值范围，再依据是真命题，是假命题，列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围． 【详解】由，可得，即； 由，可得， 解之得； 由是真命题，是假命题，可得，解之得 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $