2026-2027学年浙教版八年级数学上册期中考前满分冲刺之优质压轴题 -过关专练

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论与个数问题(选、填) 1．如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③ 【答案】B 【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ，故②正确； 根据题意无法确定与的大小关系，故③错误； ∵， ∴ ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④． 2．如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；由②得，延长至点K，使，连接，可得是等边三角形，得到，，证明得到，根据线段的和差即可判断④． 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 3．如图，和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点与交于点与交于点，连接，下列结论：；②；③；④，⑤为等边三角形，⑥若，则．⑦，其中正确结论个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出②正确，利用全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得到，判断出④正确；判断出为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得，得到，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断出③正确；求出，即为，再根据计算即可得解，从而判断出⑥正确；在上截取，连接，证明，得出，证明是等边三角形，即可证明． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 则，故②错误； ∵， ∴为等边三角形，故⑤正确； ∴， ∴， ∴，故③正确； 过作于于， ∵， ∴， ， ， ， ∴是的角平分线， ，故④正确； ， ， ， ，故⑥错误； 在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故⑦正确； 综上所述，结论正确的共5 个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定，平行线的判定等知识点，熟练掌握各性质与判定方法是解题的关键． 4．如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有___________． 【答案】3 【分析】过点作，垂足为点．证明、，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为点． ∵为的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴ 故①错误， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确， ∵， ∴ ，故③正确， 对于④，现有条件不足以证明，故④错误； ∵， ∴， ∴．故⑤正确． ∴正确的有3个． 5．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 【答案】2个 【分析】首先利用三角形内角和及角平分线性质计算的度数判断①；其次通过证明得出判断②；再次通过延长构造全等三角形，结合三角形边角关系判断③；最后利用全等三角形面积相等及中线性质进行面积转化判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，平分， ∴是的中线， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的结论有②④，一共2个． 6．如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) ①；                        ②当E为中点时，﹔ ③若，则；            ④若，则面积的最大值为2． 【答案】①②③④ 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可判断①正确；证得△ACD是等边三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判断②正确；证得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判断③正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得，则，则面积的最大值为2，即可判断④正确． 【详解】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=BD=AD， ∴∠DCB=∠DBC， ∴∠ADC=2∠DCB， ∵AE⊥CD于点E， ∴∠ACE+∠CAE=90°， ∵∠ACE+∠DCB=90°， ∴∠CAE=∠DCB， ∴∠ADC=2∠CAE，故①正确； 当E为CD中点时，∵AE⊥CD， ∴AC=AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴BC=AC，故②正确； 作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM， ∴∠DAE=∠DBM， ∵∠ADE=∠BDM，AD=BD， ∴△ADE≌△BDM（AAS）， ∴DE=DM， 若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确； ∵△ADE≌△BDM， ∴AE=BM，DE=DM， ∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE， 若AB=4，则AD=2， 在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2， 即的最大值值为1， ∴△ABE面积的最大值为2，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形，三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题的关键． 类型二、勾股树、半圆问题(选、填) 1．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 2．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 3．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理和半圆面积公式化简，再结合的条件，通过代数变形推导出两直角边相等即可． 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ， ， ∴，，即，则， ∴，则，即， ∴． 4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积、半圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，，即可得到的值． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：10． 5．如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为__________． 【答案】25 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，三角形的面积，圆的面积，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积再加上的面积减去以为直径的半圆的面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 以为直径半圆的面积； 以为直径半圆的面积； 以为直径半圆的面积； 的面积， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 【答案】511 【分析】通过观察图形，分析每一代勾股树中正方形个数的构成，归纳出第代正方形个数的规律，代入利用有理数的乘方运算进行计算． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第n代勾股树中正方形有（个）， 第八代勾股树中正方形有（个）． 类型三、不等式(组)有、无解、整数解问题(选、填、解) 1．已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式仅有两个负整数解，确定的边界范围，列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有两个负整数解， ∴负整数解为和， ∴， 解得． 2．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解不等式组的方法，解出题目所给的不等式组的解，再根据不等式组恰有2个整数解即可求出a的取值范围. 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为， ∴a的取值范围是. 3．已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式 ，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组无解 ∴根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则，可得： 解得：． 4．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组有且只有五个整数解，得出，最后解出k的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式，得：， ∵不等式组有且只有5个整数解， 即， ∴， 解得． 5．已知关于x的不等式． (1)当a＝2022时，求此不等式解集． (2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集． 【答案】(1) (2)当时，原不等式有解，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可； （2）同（1）将原不等式化为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得原不等式可以化成， ∴当，即时，原不等式有解， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 6．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 类型四、二元一次方程组与不等式(组)结合(选、填、解) 1．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两式相加构造的表达式，代入不等式求解． 【详解】解：， 得：， ∴ ∴， ∴ ∴ ． 2．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 3．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，关于的表达式，根据，得到的初步范围，再结合和确定的最终范围，将变形后即可求出其取值范围． 【详解】解：， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵， ， ∵， ， 解得， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． 4．已知关于的二元一次方程组，若，则___________；若该方程组的解满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由得：，再由，可求出a的值；由得：，再由该方程组的解满足，可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴； 由得：， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：；． 5．已知关于x、y的方程组 (1)当时，求的值； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入原方程组，根据加减消元法计算即可； （2）根据加减消元法得到，根据，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程组为， 得：， ； （2）解：， 得：， ， ， 又， ， 解得： 解得：， 的取值范围为． 6．阅读下面材料并完成解答过程中的填空． 问题：已知关于，的二元一次方程组的解满足，，求的取值范围． 分析：解方程组，即用含有的代数式分别表示出，，然后根据，列出关于的不等式组，解这个不等式组即可求得的取值范围． 解：解方程组，得， 又因为，， 所以， (1)解这个不等式组，得 ． (2)请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； ②已知，且，，求代数式的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可确定不等式组的解集； （2）①解方程组得，继而得到，求出这个不等式的解集即可； ②设，得到方程组，解得，继而得到，求出这个不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴这个不等式组的解集为； （2）解：①解得：， ∵， ∴， 解得：； ②设， 构成方程组， 解得：， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 类型五、阴影部分问题(选、填、解) 1．如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中线将三角形面积平分，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，，，分别为五边形各边中点， ,，，， 图中阴影部分的总面积是15， ， 五边形的面积是． 2．如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为（    ） A．30 B．50 C．66 D．80 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，求不规则图形的阴影面积，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 利用可得，因而可得，，同理可得，，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ， 又∵， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质；分别交、于、；设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，分别交、于、 、、均是等腰直角三角形 ，，， 设，，，，   ，， ∴ ∴ 故答案为：． 4．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 5．问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中， (1)请根据图①写出一个等式：__________； (2)如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，，请求出阴影部分的面积； 拓展应用： (3)如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点，过点作交的延长线于点，记与的面积之和为，与的面积之和为，请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值 【分析】（1）由大正方形面积等于两个小正方形和两个矩形的面积之和，写出等式； （2）设，，则，，通过完全平方公式变形求出．利用割补法，将阴影面积转化为和正方形的面积之和减去的面积，代入求值即可； （3）先证明图中的三角形均为等腰直角三角形，设，，用、的代数式表示出和，求比值即可． 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形的面积等于两个小正方形和两个矩形的面积之和， ∴等式为：； （2）解：设，， 由题意可知，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵在等腰直角三角形中，，为的中点， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴，， ∴为定值． 【点睛】本题考查完全平方公式的在几何图形中的应用，利用完全平方公式的变形求值，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 6．【探究发现】按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（）的面积．（单位：厘米，阴影部分的面积依次用、、表示） (1)___________；___________；___________． (2)上题中，按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是b，大正方形的边长是a，求：阴影部分（）的面积___________． (3)如图，C是线段上任意一点，分别以、为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形，若的面积是1，则图中阴影三角形的面积是___________ 【答案】(1)50，50，50 (2) (3)1 【分析】（1）根据题意，计算即可，其余两个类似解答． （2）仿照（1），用字母表示即可得解． （3）根据等边三角形的性质，判定，根据平行线间的距离处处相等，得到解得即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ， 故答案为：50,50,50． （2）解：根据题意，得 ． 故答案为：． （3）解：根据等边三角形的性质，得到， 故，根据平行线间的距离处处相等，得到， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，分割法求面积，等边三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 类型六、最值问题(选、填、解) 1．在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】 作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出，的长，故，据此即可求解． 【详解】解：作，使得，连接交于点，连接，如图所示， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 的最小值为10． 2．如图，在中，，为的中点，分别以点，为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，为直线上任意一点，连接，．若，．则的最小值为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点，，， ∴，，， ∴ ∴的最小值为． 3．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________． 【答案】 【分析】通过轴对称的性质，分别作点关于、的对称点，将转化为两点之间的线段，结合已知最小值与的长度，利用等边三角形的判定与性质求出的度数． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交于，交于，此时取得最小值． ∵点关于、的对称点为、， ∴，，，，． ∵的最小值为， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 4．如图，在中，，D为中点，E为上一点，，P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，三线合一结合中垂线的性质，得到，进而得到，勾股定理求出的长，根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，D为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 5．数学模型学习与应用： 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    【答案】 （1）①如图所示点为所求的点：    ②8；（2） 【分析】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题， （1）①根据轴对称的性质点，关于对称，进而连接交于点即可； ②根据轴对称的性质，进而解答即可； （2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于，利用轴对称的性质解答即可． 解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答． 【详解】（1）①略 ②，关于对称， ， ， 的最小值， 故答案为：8； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于．    由轴对称性质可得，，，， ， 则为等边三角形， 即． 即周长的最小值等于． 6．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． (2)类比迁移：已知均为正数，且，求的最小值_____． (3)方法应用：已知均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（晒出构造图形，用含的代数式表示）． 【答案】(1)13 (2)17 (3) 【分析】（）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （）同（）理即可求解； （）构造图形，当，，，，，由勾股定理得到，， ，，则可得的面积即为所求，利用分割法求出三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）解：（）如图，，，，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴要使的值最小，则的值最小， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为 过点作，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要使的值最小，则的值最小， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：构造图形如图，，，，，， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 类型七、无刻度尺作图(解) 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中，以为边画一个三角形，使； (3)在图③中，画的高线． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接，根据网格的特点可得，则； （3）如图所示，取格点F，连接并延长交于D，可证明得到，则可证明，即． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规． 活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺． 活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺． 活动任务：如图3，、、三点共线．在和中，．，是中点．作出的角平分线，简要说明作图依据． (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里．”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则． 【答案】(1)如图：射线即为所求 (2)如图：射线即为所求， 用直尺量出，量出的长，取的中点P． 依据：等腰三角形三线合一（，为等腰三角形，底边中线即为顶角角平分线）． (3)解：如图所示：即为所求． 依据： ， ，， ， 连接， 在与中 ， ， ， ， 是中点 ，， ， ， ， ， ， 平分． (4)方法名称：折纸作图法 核心工具：无需额外作图工具，仅以纸为载体，可徒手完成折叠操作 作图规则：将纸作为作图载体，利用图形轴对称性质，通过有限次对齐、折叠，使目标图形部分重合，得到的折痕就是所求的直线． 示例：作角平分线时，将角的两边对齐重合折叠，得到的折痕就是该角的角平分线，原理是角平分线是角的对称轴； 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、；分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点；画射线，即为所求角平分线． （2）在、上分别量取，连接，构造等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一，量出长度取中点，即可解答； （3）连接，延长交于点，连接，射线即为的角平分线．即为所求． （4）先选定折纸作图法，说明仅用纸作载体、依靠折叠操作，再点明作图核心规则是利用轴对称，通过折叠让角两边重合产生折痕，最后举例折叠角使两边重合得到角平分线，结合角平分线为角对称轴的原理解释即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 3．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点；连接，与直线的交点即为所求的点；此时，根据“两点之间线段最短”，取得最小值． （2）将点沿垂直河流的方向向下平移2个单位，得到点，连接与，与河流下沿的交点即为天桥的一端；将点沿垂直河流的方向向上平移2个单位，得到点；连接与，与河流上沿的交点即为天桥的一端；则即为天桥位置． 【详解】（1）解：如图，点为所求．（作法不唯一） （2）解：如图，线段为所求． 4．如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点、均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，使点在格点上． (2)在图2中作出等腰直角三角形，使点在格点上． (3)在图3中作出一个面积为5的正方形，使点、在格点上． 【答案】(1) 如图1，即为所求（答案不唯一） (2) 如图2，即为所求； (3) 如图3，正方形即为所求； 【分析】本题考查了使用无刻度的直尺作图，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）由可得，故，故即为所求； （2）根据勾股定理可得，，则，，故为等腰直角三角形； （3）由勾股定理可得，若连接，则，那么，则，此时正方形的面积等于． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． (1)在图中，作的高线； (2)在图中． 在边上画一点，使平分的面积； 点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由． (3)在图中，在边上画一点F，使． 【答案】(1) 线段即为所求； (2) 如图中，线段即为所求； 如图中，点即为所求； (3) 点即为所求， 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，理解题意，正确作出图形是解题的关键． （）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求； （）取的中点，连接即可； 作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于点，连接即可； （）取格点，构造等腰直角三角形，取格点，，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，点即为所求， 理由：由网格可知：， ∴， ∴点即为所求． 6．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 【答案】(1)①②是 (2) (3) 【分析】（1）①连接交于点，连接并延长交于点；②根据等腰三角形的性质可得关于成轴对称； （2）根据正方形的对称性，所在的直线是正方形的对称轴，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则； （3）构造等腰三角形，以所在的直线为对称轴，根据（1）的方法画图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 类型八、半角模型与倍长中线法(解) 1．（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，则可证明，得到；进一步证明，得到，则可证明，再根据三角形周长计算公式求解即可； （2）延长到H，使得，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明； （3）延长到G，使得，连接，证明，得到；再证明，得到；根据周角的定义可推出，即． 【详解】解：（1）如图所示，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：；； （2）如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 3．【特例感知】 如图1，点，分别在正方形的边，上，．连接，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【类比探究】 如图2，四边形中，，，点，分别在边，上，且．若，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】特例感知：， 证明如下： 四边形是正方形， ，． 如图，将绕点逆时针旋转至，使与重合． ， ，， ， ，即． ， ， ，即点，，共线， 在和中， ， ， 即． 类比探究：，证明如下： ，， 如图，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，， ， ，即． ， ， ，即点，，共线， 在和中， ， ， ， 即． 拓展延伸：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， ， ，，，， ，， ， ， 即， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【分析】特例感知：在正方形中，利用旋转变换将绕点逆时针旋转至，使与重合，构造出与全等，从而将转化为，再结合线段和差关系得出结论。 类比探究：在四边形中，同样采用旋转变换，将绕点逆时针旋转至，利用的条件证明、、三点共线，再通过证明与全等，推导出线段关系。 拓展延伸：在等腰直角中，将绕点逆时针旋转至，构造出，先利用全等三角形将转化为，再通过勾股定理建立、、之间的平方关系． 【详解】特例感知：略 类比探究：略 拓展延伸：略 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握通过旋转变换构造全等三角形，将分散线段集中的方法是解题的关键． 4．（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，∠ABD=∠ACE．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）略 （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 【答案】(1) 证明：如图，延长到G，使得，连接， ∵D点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）延长到G，使得， 再连接，由可证明，则，从而有，再由线段垂直平分线的性质得，即可证明结论成立； （2）与（1）同理得，得，，从而有，得，由勾股定理即可得线段之间的等量关系； （3）连接，过点C作交的延长线于点H，连接，先证明，得；在中由勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，与（1）同理得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即线段之间的等量关系为：， 故答案为：； （3）解：如图，连接，过点C作交的延长线于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点D为边的中点，点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 6．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型九、等腰三角形与勾股定理的新定义(解) 1．在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 【答案】(1)， (2) 点，，即为满足条件的点P的位置； (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，分类讨论等知识和方法，灵活运用相关知识及方法是解答本题的关键． （1）根据关联点的定义，首先可判断， 两点是的关联点； （2）根据线段垂直平分线的性质可知，的关联点在三边的垂直平分线上，根据，关联点可以在以点A为圆心，长为半径的圆上，根据，关联点也可以在以点C为圆心，长为半径的圆上，在内处于3条垂直平分线和2个圆弧上，又是格点的点即为所求作的关联点； （3）作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，分当点K与点E重合时，当点F与点M重合时，当点F与点B重合时，当时，当时，讨论即可． 【详解】（1）与中的相等， 点为的关联点， 与中的边均不相等， 点不是的关联点， 与中的相等， 点为的关联点， 故答案为：，． （2）略 （3）如图，作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，    当点F与点M重合时，此时，与交于点H， ， ∴点M，点H是的关联点，此时上有2个的关联点， ， ， ， ； 当时，此时上有1个的关联点，为与的交点，不符合题意； 当点F与点B重合时，此时，与交于点Q， ， ∴点Q，点是的关联点，此时上有2个的关联点， ； 当时，此时上有2个的关联点，为与的交点，和圆弧与的交点，符合题意； 综上所述，结合图形可知，或，线段上存在的两个关联点， 的取值范围是：． 2．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1) 如图所示即为所求作的三角形，    (2) (3) 证明：分别延长、交于点，如图所示：   ， ， ，， ， ， ，又， ， 平分． 【分析】（1）根据题干概念，按要求画图即可． （2）本题取的中点，连接、，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，建立等腰三角形，得出，再结合勾股定理求得，最后利用等面积法求得，即可解题． （3）本题考查等腰三角形的性质和判定，、交于点，利用题干的条件证明，再结合题干的条件与等腰三角形底边上“三线合一”，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接、，如图所示：   ，，， 由勾股定理得，， ∵，点为的中点， ∴，， ，又， ， ，， ∴，即，解得， ； （3）略 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于结合性质作出恰当的辅助线，构造等腰三角形． 3．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)线段的长为或 (3) 证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点． 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 　 　（填“真”或“假”）命题． （2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数． （3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明△ABC为“类勾股三角形”． 【答案】（1）假；（2）；（3）①两个等腰三角形的顶角的度数分别为和． ②如图，在边上取点，连接，使，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出，再由勾股定理得，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形； （2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论； ②先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，假设是类勾股三角形， ， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 等腰直角三角形是类勾股三角形， 即：原命题是假命题， 故答案为：假； （2），， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （3）①在中，，， ， 根据三角形的内角和定理得，， 把这个三角形分成两个等腰三角形， Ⅰ、分割线分， （Ⅰ）、当时， ， ， ， 不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）、当时， ， ， 是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）、当时， ． 是等腰三角形， 图形如图2所示：两个等腰三角形的顶角的度数分别为和． Ⅱ、分割线分，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； Ⅲ、分割线分，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，“类勾股三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． (1)请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． (2)请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； (3)画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 【答案】(1) ①如图1所示： ； ②如图2所示： (2) 如图3所示： (3) 设， ①当时，如图， ② 当时，如图， ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不存在，应舍去． 综合上述，的度数为或． 【分析】本题考查三角形的综合应用，结合材料和所学知识进行分析解题． （1）根据“双等腰线”的定义，作图即可； （2）根据“三等腰线”的定义，作图即可； （3）由题意设，分情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用三角形内角和定理，列式求解即． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）略 6．【综合探究】 【学习新知】定义：过三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则称这个三角形为“双等腰三角形”，这条直线称为该三角形的“双等腰分割线”．如图1，直线将分割成两个三角形和都是等腰三角形（，），所以是“双等腰三角形”，直线是的“双等腰分割线”． (1)【理解应用】学习了上面新定义后，小明说等边三角形是“双等腰三角形”，小华说等腰直角三角形是“双等腰三角形”；下列说法正确的是（     ） A．小明的说法正确        B．小华的说法正确 C．小明和小华的说法都正确    D．小明和小华的说法都不正确． (2)【问题解决】老师提问：直角三角形是不是“双等腰三角形”？ 小芳同学是这样思考的：如图2，在中，，作边的垂直平分线交斜边于点，交于，连，……所以，是“双等腰三角形”，是的“双等腰分割线”． ①小芳的结论正确吗？请说明理由． ②若，，，由上面的推理可知，的周长等于________． (3)【拓展提升】已知，中，，若是“双等腰三角形”，且是的“双等腰分割线”．请直接写出的度数________． 【答案】(1)B (2)① 结论正确， 理由： 是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，则，， ∵， ∴， ∴， ∴也是等腰三角形，符合“双等腰三角形”的定义， ∴小芳结论正确； ② ； (3) 或 或 【分析】（1）根据“双等腰三角形”的定义，分别验证等边三角形、等腰直角三角形是否存在过顶点的直线将其分为两个等腰三角形，判断两人说法的正误即可； （2）①先依据垂直平分线的性质得到边相等，判定其中一个三角形为等腰三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质，判定另一个三角形为等腰三角形，验证是否符合定义； ②利用等腰三角形的边相等的性质，将的周长转化为已知的与的和，代入数值计算； （3）结合，分情况讨论分割后两个等腰三角形的腰的对应关系，结合三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】（1）等边三角形每个内角都是，过任意顶点作直线截对边，都无法得到两个都为等腰三角形的三角形，因此小明说法错误； 等腰直角三角形斜边上的中线可以将它分为两个小等腰直角三角形，两个都是等腰三角形，因此小华说法正确； （2）①略； ②的周长， ∵， ∴， ∴周长； （3）∵是分割线，在上，，为等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，如图所示， ∴ ， ∴， ∵为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∴； ②当时，如图所示， ， ∴， ∵ 为等腰三角形， ∴只有成立， ∴； ③当时，如图所示， ∴ ， ∴， ∵ 为等腰三角形， ∴只有成立， ∴ 综上所述，的度数为、或． 类型十、勾股定理中的动点求t问题(解) 1．已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） (2)如图，为等腰三角形时，求的值． (3)如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 【答案】(1) (2)的值为，， (3)或 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． （2）解：在中，， 根据勾股定理，得， 若，则 ，解得； 若，则， 解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，，． （3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 2．如图1，已知中，，，，，分别是边上的两动点，点是由点开始沿方向以的速度移动，到达点后停止；点是由开始沿的方向以的速度移动，到达点后停止；它们同时出发，设出发时间为． (1)______；当点在边上移动时，______（用含的代数式表示）； (2)如图2，当为何值时，恰好平分？并求出此时的长度； (3)当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】(1)； (2)，． (3)4或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的定义、角平分线的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． （1）根据勾股定理可求出，根据当点在边上移动时，的长为点Q运动过的路程减去的长即可列出代数式； （2）过点P作于点D，根据角平分线的性质可得，证明，可得，在中，利用勾股定理求出t的值即可； （3）根据等腰三角形的定义，分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， 当点Q在边上运动时，． 故答案为：； （2）解：如图，过点P作于点D， ∵平分，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 根据题意得：点Q运动到点C所用时间为， 此时点Q在边上运动， ∴； （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时； 如图，当时， 此时， 此时； 综上所述，为等腰三角形时的值为4或． 3．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接． (1)当时，求的长度； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)t的值为或5 (3)t的值为5或11 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，得，当时，，进而勾股定理即可求解； （2）在中，，，勾股定理求得，若，则．若，则，在中，由勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论，①点在线段上时，如图，过点作于．②点P在线段的延长线上时，如图2，过点D作于E，结合图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 当时，， 在中，， 由勾股定理，得； （2）在中，，， 由勾股定理，得． 若，则． 在中，由勾股定理，得， 解得， 若，则，解得， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或； （3）①点在线段上时，如图，过点作于． 则． ． 平分，，， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得， 解得； ②点在线段的延长线上时，如图，过点作于． 同①得，， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， 解得， 综上所述，在点的运动过程中，当平分时，的值为或． 4．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)边的长为______； (2)当t为时，是什么三角形，请给出证明； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)直角三角形， 证明：t为时，， ， ， ， ， 是直角三角形； (3)5或8或 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）t为时，，根据勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形； （3）分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）略 （3）解：分三种情况： 当时，如图： ； 当时，如图： ， ； 当时，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 综上可知，当为等腰三角形时， t的值为5或8或． 5．中，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)求出的长． (2)如图1，在点P运动的过程中，以为折痕折叠，求出点C恰好落在边上处时t的值． (3)如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点P与点C重合，此时是直角三角形，点P继续运动，直接写出______秒时，再次成为直角三角形． (4)继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点P运动的时间t是_______秒． 【答案】(1)的长为 (2)C恰好落在边上处时t的值为秒 (3) (4)或5或8 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合折叠的性质得，则在中，，代入数值计算，即可作答． （3）当时，则是直角三角形，再根据，，故，代入数值进行计算，即可作答． （4）理解题意，根据为等腰三角形进行分类讨论，再逐个情况作图，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵在点P运动的过程中，以为折痕折叠，点C恰好落在边上处 ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； （3）解：∵小丽在探究过程中发现当秒时，点P与点C重合，此时是直角三角形，点P继续运动， ∴当时，则是直角三角形， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∴点P继续运动，直接写出秒时，再次成为直角三角形； （4）解：∵在点P运动的过程中， ∵为等腰三角形 ∴依题意，当时，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示： 则， 即， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即． 综上：当为等腰三角形时，点P运动的时间t是或5或8秒． 6．如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为5或8 (4)15． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，从而可得的度数； （2）依题意得， ， ，再根据得当时，是等边三角形，则，由此解出t即可得出答案； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，进而得，则，由此解得；②当时，则，进而得，则，由此解得，综上所述即可得出答案； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，则，，进而得是等腰三角形，，证明得是等边三角形，再由勾股定理求出，继而根据“两点之间线段最短”得，则的最小值为15，由此即可得出的最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）依题意得：， ， ∴， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时，t的值为； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：当是直角三角形时，t的值为5或8； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，如图3所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形是等边三角形， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴， ∴的最小值为15， ∵， ∴的最小值为15． 【点睛】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论与个数问题(选、填) 1．如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③ 2．如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 3．如图，和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点与交于点与交于点，连接，下列结论：；②；③；④，⑤为等边三角形，⑥若，则．⑦，其中正确结论个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有___________． 5．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 6．如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) ①；                        ②当E为中点时，﹔ ③若，则；            ④若，则面积的最大值为2． 类型二、勾股树、半圆问题(选、填) 1．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 3．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则___________． 5．如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为__________． 6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 类型三、不等式(组)有、无解、整数解问题(选、填、解) 1．已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知不等式组无解，则的取值范围是________． 4．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 5．已知关于x的不等式． (1)当a＝2022时，求此不等式解集． (2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集． 6．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 类型四、二元一次方程组与不等式(组)结合(选、填、解) 1．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是_______． 4．已知关于的二元一次方程组，若，则___________；若该方程组的解满足，则的取值范围是___________． 5．已知关于x、y的方程组 (1)当时，求的值； (2)若，求a的取值范围． 6．阅读下面材料并完成解答过程中的填空． 问题：已知关于，的二元一次方程组的解满足，，求的取值范围． 分析：解方程组，即用含有的代数式分别表示出，，然后根据，列出关于的不等式组，解这个不等式组即可求得的取值范围． 解：解方程组，得， 又因为，， 所以， (1)解这个不等式组，得 ． (2)请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； ②已知，且，，求代数式的取值范围． 类型五、阴影部分问题(选、填、解) 1．如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 2．如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为（    ） A．30 B．50 C．66 D．80 3．如图，在中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______． 4．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 5．问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中， (1)请根据图①写出一个等式：__________； (2)如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，，请求出阴影部分的面积； 拓展应用： (3)如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点，过点作交的延长线于点，记与的面积之和为，与的面积之和为，请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 6．【探究发现】按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（）的面积．（单位：厘米，阴影部分的面积依次用、、表示） (1)___________；___________；___________． (2)上题中，按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是b，大正方形的边长是a，求：阴影部分（）的面积___________． (3)如图，C是线段上任意一点，分别以、为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形，若的面积是1，则图中阴影三角形的面积是___________ 类型六、最值问题(选、填、解) 1．在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在中，，为的中点，分别以点，为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，为直线上任意一点，连接，．若，．则的最小值为（    ）． A．5 B． C． D．10 3．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________． 4．如图，在中，，D为中点，E为上一点，，P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 5．数学模型学习与应用： 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    6．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． (2)类比迁移：已知均为正数，且，求的最小值_____． (3)方法应用：已知均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（晒出构造图形，用含的代数式表示）． 类型七、无刻度尺作图(解) 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中，以为边画一个三角形，使； (3)在图③中，画的高线． 2．几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规． 活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺． 活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺． 活动任务：如图3，、、三点共线．在和中，．，是中点．作出的角平分线，简要说明作图依据． (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里．”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则． 3．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 4．如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点、均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，使点在格点上． (2)在图2中作出等腰直角三角形，使点在格点上． (3)在图3中作出一个面积为5的正方形，使点、在格点上． 5．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． (1)在图中，作的高线； (2)在图中． 在边上画一点，使平分的面积； 点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由． (3)在图中，在边上画一点F，使． 6．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 类型八、半角模型与倍长中线法(解) 1．（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 2．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      3．【特例感知】 如图1，点，分别在正方形的边，上，．连接，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【类比探究】 如图2，四边形中，，，点，分别在边，上，且．若，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程． 4．（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，∠ABD=∠ACE．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 5．【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 6．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 类型九、等腰三角形与勾股定理的新定义(解) 1．在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 2．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分． 3．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 4．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 　 　（填“真”或“假”）命题． （2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数． （3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明△ABC为“类勾股三角形”． 5．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． (1)请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． (2)请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； (3)画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 6．【综合探究】 【学习新知】定义：过三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则称这个三角形为“双等腰三角形”，这条直线称为该三角形的“双等腰分割线”．如图1，直线将分割成两个三角形和都是等腰三角形（，），所以是“双等腰三角形”，直线是的“双等腰分割线”． (1)【理解应用】学习了上面新定义后，小明说等边三角形是“双等腰三角形”，小华说等腰直角三角形是“双等腰三角形”；下列说法正确的是（     ） A．小明的说法正确        B．小华的说法正确 C．小明和小华的说法都正确    D．小明和小华的说法都不正确． (2)【问题解决】老师提问：直角三角形是不是“双等腰三角形”？ 小芳同学是这样思考的：如图2，在中，，作边的垂直平分线交斜边于点，交于，连，……所以，是“双等腰三角形”，是的“双等腰分割线”． ①小芳的结论正确吗？请说明理由． ②若，，，由上面的推理可知，的周长等于________． (3)【拓展提升】已知，中，，若是“双等腰三角形”，且是的“双等腰分割线”．请直接写出的度数________． 类型十、勾股定理中的动点求t问题(解) 1．已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） (2)如图，为等腰三角形时，求的值． (3)如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 2．如图1，已知中，，，，，分别是边上的两动点，点是由点开始沿方向以的速度移动，到达点后停止；点是由开始沿的方向以的速度移动，到达点后停止；它们同时出发，设出发时间为． (1)______；当点在边上移动时，______（用含的代数式表示）； (2)如图2，当为何值时，恰好平分？并求出此时的长度； (3)当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 3．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接． (1)当时，求的长度； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 4．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)边的长为______； (2)当t为时，是什么三角形，请给出证明； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 5．中，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)求出的长． (2)如图1，在点P运动的过程中，以为折痕折叠，求出点C恰好落在边上处时t的值． (3)如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点P与点C重合，此时是直角三角形，点P继续运动，直接写出______秒时，再次成为直角三角形． (4)继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点P运动的时间t是_______秒． 6．如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $