专题复习二次函数性质及图像2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题复习——二次函数的图像及性质 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知二次函数，下列说法中正确的个数是（   ） （1）当时，此抛物线图象关于轴对称； （2）若点，点在此函数图象上，则； （3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则； （4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于． A．1 B．2 C．3 D．4 2．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 3．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，．其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．对于二次函数y=x2﹣2mx+3m﹣3，以下说法：①图象过定点（），②函数图象与x轴一定有两个交点，③若x=1时与x=2017时函数值相等，则当x=2018时的函数值为﹣3，④当m=﹣1时，直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，其中正确命题是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 5．已知抛物线是常数且经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④若，此抛物线与x轴交于两点，当时，有．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 6．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（m，0），点B，下列4个结论：①；②；③有两个不相等的实数根；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 8．二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，y的值随x值的增大而增大；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．已知二次函数的图象如图，则下列说法中：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④；⑤当时，．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①④ C．②④ D．①③ 11．在平面直角坐标系中，已知二次函数（对称轴为）的图象如图所示，有下列结论：；；；．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，其中正确的是（      ） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 13．已知一次函数的图象，那么的大致图象是（　　） A． B．C． D． 14．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 15．二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 16．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B．C． D． 17．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（     ） A．B． C． D． 18．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 19．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 20．函数与y＝ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图象是图中的（    ） A．B．C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C B C C B D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A C C C D B D D C B 1．B 【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得 m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④． 【详解】解：（1）当时，， ∴抛物线的对称轴为y轴， 此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确； （2）∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，点在此函数图象上，且， ∴，故该项错误； （3）若此抛物线与直线有且只有一个交点， 则令， 整理得， ∴ 解得，故该项错误； （4）∵ ∴顶点为， ∴抛物线的顶点在直线上， ∵直线与直线平行， ∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．    设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为， 则， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴两直线间的距离为，故该项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键． 2．C 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 3．B 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，即可判断①；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对③选项进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1， ∴b＝-2a＜0， ∴ab＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，故②正确； 把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m， 而b＝﹣2a， ∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，故③正确； ∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上， ∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1； 当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1， ∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，故④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 4．C 【分析】把x=代入即可验证①的对错；令y=0，求出∆的值即可判断②的对错；由函数的对称性可知，当x=0和x=2018时的函数值相等，据此求解，即可判断③的对错；先求出抛物线的对称轴，然后验证即可判断④的对错. 【详解】①当x=时，y=﹣2m×+3m﹣3=，所以图象过定点（，﹣），命题①正确； ②当y=0时，x2﹣2mx+3m﹣3=0， △=（﹣2m）2﹣4×1×（3m﹣3）=4m2﹣12m+12=4（m﹣）2+3＞0， ∴函数图象与x轴一定有两个交点， 命题②正确； ③∵当x=1时的函数值与x=2017时的函数值相等， ∴当x=0和x=2018时的函数值相等， ∵当x=0时， y=x2﹣2mx+3m﹣3=3m﹣3， ∴当x=2018时，y=x2﹣2mx﹣3的函数值为﹣3， 命题③正确； ④当m=﹣1时，抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣6， 对称轴是：x=﹣1， 设y1=﹣x+1，y2=x+3， 当x=﹣1时，y1=1+1=2，y2=﹣1+3=2， 当y=0时，x1=1，x2=﹣3， ∴直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称， 命题④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识，熟练掌握二次函数的相关知识点是解答本题的关键. 5．C 【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，把点代入解析式得出，再根据抛物线顶点在第四象限得出；根据抛物线经过，，得出对称轴；根据函数的图象与x轴只有一个公共点可得，再根据得出；根据二次函数的对称性，即可判断． 【详解】解：①把点代入，得， ∴， ∵此抛物线顶点在第四象限， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， 故②正确； ③当时， ∵函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故③错误； ④∵， ∴， ∴二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，且， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 故选：C． 6．B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 7．C 【分析】由抛物线的开口向下和对称轴可判断①正确；根据函数图象的对称轴和点B的横坐标位置，可判断②错误；由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知b2-4ac＞0，在求出b2-4ac-4a＞0，可判断③正确；根据-3＜m＜-2，可得9a-3b+c＜0，再求出9a-6a+c＜0，可判断④正确． 【详解】解：∵由抛物线的开口向下知a ＜ 0，对称轴为， ∴ b=2a，b＜0， ∴①正确； ∵该函数图象的对称轴是直线x =-1， 与x轴的交点为A（m，0）、点B， 其中点B的横坐标再0和1之间， ∴-3＜m＜-2， ∴②错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象有两个实数根， ∴b2-4ac＞0， ∵ax2+bx+c=−1即ax2+bx+c+1=0， b2-4a（c+1）=b2-4ac-4a， ∵b2-4ac＞0，a < 0， ∴b2-4ac-4a＞0， ∴ax2+bx+c=−1有两个不相等的实数根， ∴③正确； ∵-3＜m＜-2， ∴当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0， ∵b=2a， ∴9a-6a+c＜0， 解得>−3， ∴④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并灵活运用． 8．C 【分析】根据图象信息首先确定出，，即可变形判断①⑤；结合增减性以及的函数值，即可判断②；根据增减性直接判断③，根据时的函数值，以及，用含的式子表示出和，即可判断④，从而得出结论即可． 【详解】解：由图象信息可知，，，，，， ∴，，，故①⑤正确； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当或时，， ∵当时，， ∴，，故②错误； 由图象知，当时，y的值随x值的增大而增大，故③正确； 当时，， ∴， ∵，， ∴，即，故④错误， ∴正确的结论有：①③⑤，有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质、抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 9．B 【分析】①根据函数图象得出，，，即可判断得出①错误； ②根据函数增减性判断②错误； ③根据时，，可以判断③错误； ④根据抛物线的对称轴为直线，得出，判断④正确； ⑤先求出抛物线与x轴的另外一个交点，然后根据函数图象得出⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴，故①错误； 根据函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小，故②错误； ∵时，， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴另外一个交点为， ∴当时，，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式等知识点的应用，注意：根据抛物线的开口方向即可得到a的正负，根据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值，根据顶点的横坐标得出和b的关系式，把或代入即可求出和的值，题型较好，但有一定的难度． 10．D 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解∶由图象可知，当时，， ，故选项①正确； 当时，， ，故选项②不正确； 抛物线有两个交点， ，故选项③正确； 对称轴为位于轴左侧， 同号，即， 图象与坐标相交于轴正半轴， ， ∴，故选项④不正确； ∴正确结论的序号为①③． 故选：D． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 11．A 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故错误； ∵抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点在和之间， 则当时，，故正确； 由图象可知抛物线与轴有两个交点，则故正确； 综上可知正确， 故选：． 12．C 【分析】由图象的开口向下可知a<0，另由图象的对称轴得b=-2a>0；进而可判断①错误；由图象的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标的横坐标为2<x<3，知另一交点的横坐标x的取值范围为-1<x<0 ，从而得当x=-1时，y=，于是可判断②③④． 【详解】解：由图象的开口向下可知a<0； ∵图象的对称轴是直线； ∴，即b=-2a>0； ∵函数图象与y轴交与正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故①错误； ∵图象的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标的横坐标为2<x<3， ∴另一交点的横坐标x的取值范围为-1<x<0 ， ∴当x=-1时，y=，故②③正确，④错误 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质时解题的关键． 13．C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质．根据一次函数图象可得，，可排除A选项；再由二次函数与x轴的交点坐标为，可排除D选项；然后根据二次函数的顶点纵坐标为，可排除B选项． 【详解】解：观察一次函数图象得：一次函数的图象经过第一，三，四象限， ∴，， ∴二次函数的图象开口向上，且对称轴，故A选项不符合题意； 对于， 当时，， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，故D选项不符合题意； ∵， ∴二次函数的顶点纵坐标为， ∵， ∴二次函数的顶点在x轴的下方，且到x轴的距离小于，故B选项不符合题意； 故选：C 14．C 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，，则，而二次函数图象的对称轴位于轴右侧，故此选项错误； B、由一次函数图象知，，则，而二次函数图象的对称轴位于轴左侧，故此选项错误； C、由一次函数图象知，，则，二次函数的对称轴位于轴左侧，此选项正确； D、由一次函数图象知，，则，而二次函数图象的对称轴位于轴左侧，故此选项错误． 故选：C． 15．D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A不正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故B不正确； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故C不正确； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D正确； 故选：D． 16．B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图形确定a、b的符号，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：由二次函数图象，得出，对称轴为，则， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B正确； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D错误． 故选：B． 17．D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 18．D 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的图象，能根据函数图象所在的象限判断出，的符号是解题的关键．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； D、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项正确，符合题意． 故选：D． 19．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．先求出二次函数图象与x轴的交点，一次函数图象与x轴的交点，得出一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点，然后进行判断得出即可． 【详解】解：令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为或， 令， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点， 四个选项中，只有C选项中符合一次函数图象与二次函数图象有一个交点在x轴上， ∴二次函数与一次函数的图像可能C选项中的图象． 故选：C． 20．B 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以一次函数的图象与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、抛物线开口朝上，，当时，一次函数的图象是上升趋势，选项错误，不符合题意； B、抛物线开口朝下，，与 轴交于正半轴，，抛物线过点 当时，一次函数的图象过一、二、四象限，直线过点：，抛物线与直线交与点，选项正确，符合题意； C、抛物线开口朝上，，当时，一次函数的图象是下降趋势，选项错误，不符合题意； D、抛物线开口朝下，，与 轴交于负半轴，，抛物线过点 当时，一次函数的图象过二、三、四象限，直线过点：，抛物线与直线交与点，选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $