第26章 二次函数 单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习检测卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面覆盖二次函数定义、图像性质及实际应用，适配单元复习需求，体现数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/20分|二次函数定义（1-2题）、图像性质（3-8题）、实际应用（9-10题）|以滑道滑行（9题）、利润问题（10题）为情境，考查数学建模能力| |填空题|8题/16分|函数解析式（11题）、图像综合（13-15题）、几何应用（17题）|结合对称曲线（15题）、矩形面积最值（17题），体现空间观念| |解答题|7题/64分|定义应用（19题）、图像变换（22题）、综合建模（23-25题）|消防演练（23题）、无人机营销（25题）等真实情境，突出应用意识与推理能力|

第26章二次函数单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 4．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 5．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 6．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 10．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 二、填空题（共16分） 11．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 12．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 14．已知函数和函数的最值互为相反数，则_______0．（填“”或“”） 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 16．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 17．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 18．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则他将铅球推出的水平距离为______． 三、解答题（共64分） 19．若是关于的二次函数，求的值． 20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴有两个公共点，k取满足条件的最小整数． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围． 21．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 22．如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 23．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 24．如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，连接、，若，求点D的坐标； (3)如图3，直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M，作直线，交抛物线于点E、F，且与y轴交点坐标为，连交直线于点G，取中点N，连．若，求点M的坐标． 25．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 参考答案 1．D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3．C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 4．B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 5．A 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 6．A 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，则可判断当时，若抛物线只经过三个象限，抛物线经过第一、二、三象限，由此列不等式组，然后解不等式组即可．当时，则，此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线图象只过三个象限， 当时，则经过第一、二、三象限， 抛物线与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上或x轴上方， ，即 解得； 当时，则， 抛物线与y轴交点在x轴上方， 此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 的取值范围为． 7．A 【分析】反例需满足且二次函数与轴无交点，先排除不符合的选项，再验证剩余选项的判别式． 【详解】解：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与轴无交点， ∵ 命题的条件为， ∴ 、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意． 8．D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 9．C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 10．D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 11． 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 12．1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 13． 【分析】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 14． 【分析】先确定两个二次函数的开口方向和最值类型，利用顶点纵坐标公式得到两个最小值，根据最值互为相反数整理得到，代入待比较式子配方即可判断符号． 【详解】解：，开口向上， 只有最小值，最小值为， ∵ 的二次项系数，开口向上， ∴只有最小值，最小值为， 两个函数的最值互为相反数， ∴， 提取公因式得：， ∵ ， ∴， ∴， 将代入，得 ， ∵， ∴，即． 15． 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 16．1 【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴二次函数的图像与轴的公共点的个数为1． 17．2400 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，证明得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：2400． 18． 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入二次函数解析式求出的值即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得（不合，舍去），， ∴他将铅球推出的水平距离为， 故答案为：． 19． 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 20．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系： （1）根据题意可得关于x的方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出，再由k取满足条件的最小整数，得到，则二次函数解析式为； （2）根据（1）所求得到，进而得到，则或，解两个不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k取满足条件的最小整数， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得，，解不等式组得，， ∴或， ∴时，x的取值范围为或． 21．(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 22．(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 23．(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 24．(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点到抛物线，求出的值即可解答； （2）利用二次函数的性质求出，，作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，作交延长线于点，连接，则，，，利用勾股定理和三角形面积公式求出和的长，设点D的坐标为，其中，通过证明，得到，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）过点作轴交直线于点，连接，设直线的解析式为，其中，则，联立直线和抛物线的解析式，整理得，根据韦达定理得到，进而得到，设点M的坐标为，联立直线和抛物线的解析式，求出，则轴，则，得出，再根据三角形的面积公式列出关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：代入点得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴，， 如图2，作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，作交延长线于点，连接， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 设点D的坐标为，其中， 则，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或， 则， ∴点D的坐标为； （3）解：如图3，过点作轴交直线于点，连接， ∵直线与y轴交点坐标为， ∴设直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 当时，， ∴； 设点M的坐标为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得：， ∵直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M， ∴， 解得， 则， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）或， ∴点M的坐标为或． 25．(1)此月平均增长率为 (2) ①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 学科网（北京）股份有限公司 $