第6讲 列代数式表示数量关系 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第6讲 列代数式表示数量关系 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解代数式的概念，会判断代数式 2. 掌握代数式书写规范 3. 能说出代数式的实际意义 4. 会用字母表示数量关系 5. 理解代数式的几何背景 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.代数式的概念 1. 用运算符号把数和字母连接而成的式子 1. 单独一个数或字母也是代数式 1. 不含=、>、<、≠等关系符号 1. 等式、不等式都不是代数式 概念辨析例题：概念辨析：x<2是不是代数式？ 解析：代数式不含关系符号。 ☆ 2.代数式书写规范 1. 数字与字母相乘，数字写前面 1. 乘号省略或用· 1. 除法写成分数形式 1. 带分数化为假分数，多项式带单位要加括号 概念辨析例题：概念辨析：a4应如何规范书写？ 解析：数字写在字母前面。 ☆ 3.代数式的意义 1. 用文字语言叙述 1. 注意运算顺序：(a-b)²与a²-b²不同 1. 折扣问题：0.8(x-15)是先减后打八折 1. 3x表示3个x相加，不是相乘 概念辨析例题：概念辨析：2(a-3)与2a-3意义相同吗？ 解析：2(a-3)是a与3差的2倍；2a-3是a的2倍与3的差。 ☆ 4.列代数式与几何背景 1. 和差倍分关系 1. 面积、周长、体积公式 1. 完全平方公式几何意义 1. 新定义题按规则代入 概念辨析例题：概念辨析：(10n+5)²的规律？ 解析：个位为5的平方末两位为25。 📋 知识总结表 要点 规则 注意事项 代数式 运算符号连接数与字母 不含=、>、< 书写 数前字母后 省略乘号，除法写分数 代数式意义 按运算顺序读 括号影响顺序 折扣 打几折=乘零点几 括号决定先后 平方规律 (10n+5)²=100n(n+1)+25 末两位是25 完全平方 (a+b)²=a²2ab+b² 几何面积验证 【考点1】代数式的概念（第1-5题） 1. 不含关系符号 1. 单独数或字母也是 1. 等式不等式不是 1．（2026•沧州二模）下列各式中，不是代数式的是（　　） A．2x B．x＜2 C． D．x2+2x 【分析】根据代数式的定义判断各式即可得到答案，代数式不含表示相等或不等关系的符号． 【解答】解：A、2x是单项式，属于代数式，不符合题意； B、x＜2含有不等号，是不等式，不是代数式，符合题意； C、是分式，属于代数式，不符合题意； D、x2+2x是多项式，属于代数式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的计算方法是关键． 2．（2025秋•启东市期末）商店销售某种商品，第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m﹣3”表示的意义是（　　） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【分析】先根据题意表示出第二天售出的件数，再由代数式“3m﹣3”可得出其意义是两天一共售出的该商品数量． 【解答】解：∵第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出（2m﹣3）件， ∴两天一共售出（m+2m﹣3）件，即（3m﹣3）件， 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，代数式的意义，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 3．（2025秋•普陀区期末）下列代数式符合书写规范的是（　　） A． B． C．﹣5÷m D．a4 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确，故此选项符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确的书写格式是4a，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 4．（2025秋•仪征市期末）下列式子中：2，2（x+y），，，x+3＞x，1+y＝0，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子2，2（x+y），，，符合代数式的定义，是代数式； 式子x+3＞x是不等式，不是代数式； 式子1+y＝0是等式，不是代数式． 故代数式有4个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 5．（2025秋•林芝市期末）下列各式中是代数式的是（　　） A．S＝πr2 B．2a＞b C．3x+y D．π≈3.14 【分析】运用代数式、等式和不等式的定义进行逐一辨别． 【解答】解：∵S＝πr2，2a＞b，π≈3.14中含有非运算符号， 3x+y是用简单的运算符号把数字和表示数字的字母连接而成的式子， ∴S＝πr2，2a＞b，π≈3.14不是代数式，3x+y是代数式， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了代数式的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识． 【考点2】代数式的意义（第6-11题） 1. 按运算顺序叙述 1. 括号影响意义 1. 折扣问题看括号 6．（2025秋•南通期末）用文字叙述代数式的意义，下列文字叙述错误的是（　　） A．比x的倒数大3的数 B．比x的倒数小3的数 C．x的倒数与3的差 D．1除以x的商与3的差 【分析】根据代数式的含义即可解决问题． 【解答】解：A、比x倒数大3的数表示为，不正确，符合题意； B、比x倒数小3的数，正确，不符合题意； C、x的倒数与3的差，正确，不符合题意； D、1除以x的商与3的差，正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查代数式的语言叙述，正确进行计算是解题关键． 7．（2025秋•任丘市期末）某商店举办促销活动，促销的方式是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述，正确的是（　　） A．原价打七折后再减去9元 B．原价减去9元后再打七折 C．原价减去9元后再打三折 D．原价打三折后再减9元 【分析】根据代数式的意义进行选择． 【解答】解：将原价为x元的衣服以元出售，表示原价打七折后再减去9元． 故选：A． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的意义是关键． 8．（2026•竞秀区模拟）代数式3x的意义可以是（　　） A．3与x的和 B．3与x的差 C．3个x相加 D．3个x相乘 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与3x对比即可得到答案． 【解答】解：A：∵3与x的和对应代数式为3+x，故错误； B：∵3与x的差对应代数式为3﹣x，故错误； C：∵3个x相加对应代数式为x+x+x＝3x，故正确； D：∵3个x相乘对应代数式为x•x•x＝x3，故错误． 故选：C． 【点评】本题考查代数式，正确进行计算是解题关键． 9．（2025秋•普陀区期末）下列代数式中，不是一次式的是（　　） A．﹣25a B． C．m+1 D．﹣9 【分析】选项A、B、C中字母的次数均为1，是一次式；选项D是常数，次数为0，不是一次式． 【解答】解：∵一次式要求字母的最高次数为1， 选项A：﹣25a，字母a的次数为1，不符合题意； 选项B：，字母m和n的次数均为1，不符合题意； 选项C：m+1，字母m的次数为1，不符合题意； 选项D：﹣9，是常数，没有字母，次数为0． ∴不是一次式的是选项D，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次式的定义．一次式是指字母的最高次数为1的代数式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2025秋•龙江县期末）下列式子，符合代数式书写格式的是（　　） A． B． C．m×7 D．x+y人 【分析】代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或﹣1时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括号；由此判断即可． 【解答】解：A、符合代数式书写格式，故此选项符合题意； B、b的系数应该为假分数，故此选项不符合题意； C、数字7应该在字母m的前面，乘号省略，故此选项不符合题意； D、x+y应该加上括号，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了代数式，熟知代数式的书写要求是解题的关键． 11．（2024秋•同步）用文字语言表示下列代数式： （1）4x﹣3y； （2）a2﹣ab； （3）（a﹣b）2； （4）a2﹣b2． 【分析】（1）根据代数式4x﹣3y的特点求解即可； （2）根据代数式a2﹣ab的特点求解即可； （3）根据代数式（a﹣b）2的特点求解即可 （4）根据代数式a2﹣b2的特点求解即可 【解答】解：（1）4x﹣3y表示x的4倍与y的3倍的差； （2）a的平方与a和b的积的差； （3）（a﹣b）2表示a与b的差的平方； （4）a2﹣b2表示a的平方与b的平方的差． 【点评】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是观察代数式的特点． 【考点3】列代数式表示数量关系（第12-19题） 1. 和差倍分 1. 实际问题列式 1. 新定义按规则 12．（2025秋•阿城区期末）如图所示，以下数量中能用2a+6表示的是（　　） A．线段EF的长度 B．线段MN的长度 C．长方形EFGH的周长 D．长方形MNPQ的面积 【分析】分别写出各选项中的代数式即可． 【解答】解：线段EF的长度为2+a+6＝a+8， ∴线段EF的长度用a+8表示， ∴A不符合题意； 线段MN的长度为a+3+3＝a+6， ∴线段MN的长度用a+6表示， ∴B不符合题意； 长方形EFGH的周长为2（a+3）＝2a+6， ∴长方形EFGH的周长用2a+6表示， ∴C符合题意； 长方形MNPQ的面积为（2+6）a＝8a， ∴长方形MNPQ的面积用8a表示， ∴D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查代数式，分别写出各选项中的代数式是解题的关键． 13．（2025秋•玉溪期末）某商场开展促销活动，促销方法是将原价为m元的商品以0.8（m﹣8）元的价格出售，其中m大于9．则下列说法中，能正确表达这次促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打二折后，再降价8元 B．在原价的基础上降价8元后，再打二折 C．在原价的基础上打八折后，再降价8元 D．在原价的基础上降价8元后，再打八折 【分析】理解代数式中运算的先后顺序，以及折扣的数学表达（打几折即为乘以零点几）． 【解答】解：理解代数式中运算的先后顺序，以及折扣的数学表达可知： 先计算括号内的m﹣8，即原价m元先降价8元；再计算乘法0.8×（m﹣8），即对降价后的价格打八折； ∴该促销方法为“在原价的基础上降价8元后，再打八折”； 故选：D． 【点评】本题考查代数式的实际意义，关键是理解代数式中运算的先后顺序，以及折扣的数学表达（打几折即为乘以零点几）． 14．（2025秋•大祥区校级期末）下列式子中，①；②；③xy÷6；④2x×y符合代数式书写的是　①　 ． 【分析】代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；（4）带分数要写成假分数的形式． 【解答】解：根据代数式书写要求逐项分析判断如下： ①符合代数式书写，符合题意； ②原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； ③原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； ④原表达式不符合代数式书写，应写成2xy，不符合题意； 故答案为：①． 【点评】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求． 15．（2024秋•海州区期中）钢笔每支m元，笔记本每本n元，则100﹣4m﹣8n的实际意义可以是 　小明带着100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，请问小明还剩了多少钱？　 ． 【分析】根据所给的数据，编写一个实际例子，4m可以理解为4支钢笔，8n可以理解为8本笔记本． 【解答】解：小明带着100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，请问小明还剩了多少钱？ 故答案为：小明带着100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，请问小明还剩了多少钱？ 【点评】此题主要考查学生对二元一次方程的现实意义的理解． 16．（2025秋•宝安区期末）请举一个实例，说说代数式2x可以表示什么：　设每本书的价格为x元，则购买2本书所需支付的总价格即为2x元（答案不唯一）　 ． 【分析】可以表示实际生活中与倍数相关的量，如总价、距离等，合理即可． 【解答】解：根据题意，可以表示实际生活中与倍数相关的量例如： 设每本书的价格为x元，则购买2本书所需支付的总价格即为2x元， 故答案为：设每本书的价格为x元，则购买2本书所需支付的总价格即为2x元（答案不唯一）． 【点评】此题考查了用代数式表示实际问题的能力，关键是能准确根据代数式描述出对应的实际问题． 17．（2022•拱墅区开学）仓库里存有货物180吨，运走了12车，每车x吨．12x表示　12车运走货物的吨数　 ，180﹣12x表示　运走12车仓库剩余货物的吨数　 ，这里x的最大值是　15　 ． 【分析】12x表示12车运走货物的吨数，180﹣12x表示运走12车仓库剩余货物的吨数，12x≤180，解得x的取值，可得x的最大值． 【解答】解：12x表示12车运走货物的吨数， 180﹣12x表示运走12车仓库剩余货物的吨数， 12x≤180， 解得：x≤15， ∴x的最大值是15吨， 故答案为：12车运走货物的吨数，运走12车仓库剩余货物的吨数，15． 【点评】本题考查了代数式的概念，关键是正确表述代数式的表示． 18．（2024秋•工业园区期末）某超市的水果价格如图所示． （1）代数式50﹣6a表示的实际意义是 　用50元买了a斤梨，还剩多少元钱　 ； （2）小明用43元买了2斤葡萄，最多还能买多少斤苹果？ 【分析】（1）每斤梨6元，a斤梨总价是6a元，50﹣6a表示：用50元买了a斤梨，还剩多少元钱； （2）小明用43元买了2斤葡萄，每斤葡萄8元，所以2斤葡萄2×8＝16（元），还剩下43﹣16＝27（元），每斤苹果9元，所以最多还能买27÷9＝3（斤），据此解答． 【解答】解：（1）每斤梨6元，a斤梨总价是6a元， 50﹣6a表示的实际意义是：用50元买了a斤梨，还剩多少元钱； 故答案为：用50元买了a斤梨，还剩多少元钱． （2）（43﹣2×8）÷9 ＝27÷9 ＝3（斤） 答：最多还能买3斤苹果． 【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是：总价＝单价×数量． 19．（2026春•沭阳县期中）阅读下面材料：本学期，我们在第9章图形的变换中学习了轴对称的相关知识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，像m+n、mnp、m+n+p等代数式，当字母的取值均不相等，且都不为0时，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．我们称这样的代数式为神奇代数式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）下列代数式中是神奇代数式的有　②④　 （填序号）． ①2m﹣2n；②[（﹣3）m]n；③（m﹣n）3；④（m﹣n）2． （2）若关于x、y的代数式7x﹣（3﹣a）y为神奇代数式，求a﹣2的值． （3）已知关于a，b的神奇代数式（k﹣2）a2﹣（4k﹣3）b2的值为﹣10，且满足a﹣b＝2，求ab的值． 【分析】（1）判断神奇代数式 对每个代数式交换字母位置，比较与原式是否相等：①交换m与n得2n﹣2m，与2m﹣2n不相等；②根据幂的乘方，[（﹣3）m]n＝（﹣3）mn，交换后仍为（﹣3）mn，相等；③交换m与n得（n﹣m）3＝﹣（m﹣n）3，与原式不相等；④交换m与n得（n﹣m）2＝（m﹣n）2，与原式相等； （2）因为代数式是神奇代数式，交换x与y后式子不变，即7y﹣（3﹣a）x＝7x﹣（3﹣a）y，所以7＝﹣（3﹣a），求出a，然后求出a﹣2； （3）因为代数式是神奇代数式，二次项系数相等，即k﹣2＝﹣（4k﹣3），将k代入求出ab． 【解答】解：（1）①交换m与n：2n﹣2m≠2m﹣2n，不是神奇代数式； ②[（﹣3）m]n＝（﹣3）mn，交换m与n：[（﹣3）n]m＝（﹣3）nm＝（﹣3）mn，是神奇代数式； ③交换m与n：（n﹣m）3＝﹣（m﹣n）3≠（m﹣n）3，不是神奇代数式； ④交换m与n：（n﹣m）2＝（m﹣n）2，是神奇代数式． 故答案为：②④； （2）因为代数式是神奇代数式，交换x与y后式子不变， 所以7y﹣（3﹣a）x＝7x﹣（3﹣a）y， 解方程7＝﹣3+a， 得a＝10， ； （3）（k﹣2）a2﹣（4k﹣3）b2是神奇代数式， 所以k﹣2＝﹣（4k﹣3）， 得k＝1， （k﹣2）a2﹣（4k﹣3）b2 ＝（1﹣2）a2﹣（4﹣3）b2 ＝﹣a2﹣b2 ＝﹣10， 即a2+b2＝10， 由a﹣b＝2， 所以（a﹣b）2＝4， a2﹣2ab+b2＝4， 代入a2+b2＝10， 得10﹣2ab＝4， 解得ab＝3． 【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是根据“神奇代数式”的定义解决问题． 【创新及压轴题】规律与综合（第20-24题） 1. 个位5平方规律 1. 奇偶代数式 1. 几何面积恒等式 20．（2024春•金水区期末）观察下列各式：152＝225，252＝625，352＝1225，… （1）个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？ （2）如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律． （3）如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算5952，要求写清计算过程及结果． 【分析】（1）通过实例计算结果归纳出个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数的规律； （2）先根据题意列出算式，再进行计算、推理； （3）运用前面所发现的计算规律进行求解． 【解答】解：（1）∵152＝225， 252＝625， 352＝1225， …， 可得个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数是25； （2）如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数）， 则（10n+5）2 ＝100n2+100n+25 ＝100n（n+1）+25， 即（10n+5）2＝100n（n+1）+25； （3）由（2）题结果可得， 5952＝（10×59+5）2 ＝100×59×（59+1）+25 ＝354025． 【点评】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 21．（2025秋•德化县期末）阅读材料，完成下列任务． 素材一 在学习代数式求值时，发现了一类有趣的现象：当x＝2与x＝﹣2时，代数式x2的值都等于4；当x＝2与x＝﹣2时，代数式x3的值分别为8和﹣8，它们互为相反数．定义如下：“若关于x的代数式，当x取任意一对互为相反数的数a与﹣a时，若代数式的值相等，则称之为偶代数式；若代数式的值互为相反数，则称之为奇代数式．” 素材二 观察发现得到以下结论： 结论1：当一个关于x的代数式是偶代数式时，它只含x的偶次幂的项和常数项； 结论2：当一个关于x的代数式是奇代数式时，它只含x的奇次幂的项； 结论3：任意一个多项式可以表示为偶代数式与奇代数式的和． 任务一 根据以上素材，在多项式x3+x和2x2+4中，判断哪个是“奇代数式”？（请直接写出答案） 任务二 对于多项式A＝3x5﹣2x3+x2+5x+1，设A＝M+N，其中M为偶代数式，N为奇代数式． ①求M和N（用含x的代数式表示）； ②当x＝t时，多项式A的值可记为A（t）；当x＝﹣t时，多项式A的值可记为A（﹣t）．请通过计算说明“A（t）+A（﹣t）＝2M（t）”是否成立； ③利用上述规律，当x分别取﹣15，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，15时，求这9个多项式A值的和． 【分析】任务一：直接运用偶代数式和奇代数式的定义进行解答即可； 任务二：①根据结论偶代数式只含偶次项和常数项，奇代数式只含奇次项进行判断即可； ②把 x＝t和 x＝﹣t代入A＝3x5﹣2x3+x2+5x+1计算即可； ③根据A（t）+A（﹣t）＝2M（t）代入计算即可． 【解答】解：任务一：对于代数式x3+x，当x＝a时，x3+x＝a3+a， 当x＝﹣a时，x3+x＝（﹣a）3+（﹣a）＝﹣（a3+a）， ∵a3+a与﹣（a3+a）互为相反数， ∴多项式x3+x是“奇代数式”， 对于代数式2x2+4，当x＝a时，2x2+4＝2a2+4， 当x＝﹣a时，2x2+4＝2（﹣a）2+4＝2a2+4， ∴多项式2x2+4是“偶代数式”， 故答案为：x3+x； 任务二：①根据题意得偶代数式只含偶次项和常数项，奇代数式只含奇次项， 在A＝3x5﹣2x3+x2+5x+1中， ∴M＝x2+1；N＝3x5﹣2x3+5x； ②∵A＝3x5﹣2x3+x2+5x+1，M＝x2+1， ∴A（t）＝3t5﹣2t3+t2+5t+1， A（﹣t）＝3（﹣t）5﹣2（﹣t）3+（﹣t）2+5（﹣t）+1＝﹣3t5+2t3+t2﹣5t+1， 2M（t）＝2（t2+1）＝2t2+2 ∴A（t）+A（﹣t）＝（3t5﹣3t5）+（﹣2t3+2t3）+（t2+t2）+（5t﹣5t）+（1+1）＝2t2+2 ∴A（t）+A（﹣t）＝2M（t）； ③∵A（t）+A（﹣t）＝2M（t） 当t＝15与t＝﹣15时，2M（15）＝2（152+1）＝2（225+1）＝452； $当t＝3与t＝﹣3时，2M（3）＝2×（9+1）＝2×10＝20； 当t＝2与t＝﹣2时，2M（2）＝2×（4+1）＝2×5＝10； 当t＝1与t＝﹣1时，2M（1）＝2（1+1）＝2×2＝4； 当t＝0时，A（0）＝1； ∴452+20+10+4+1＝487． 【点评】本题主要考查偶代数式和奇代数式，理解偶代数式和奇代数式的定义是解答本题的关键． 22．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离s（km）与甲行驶的时间t（h）之间的关系如图所示． （1）以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上． ①甲到达终点：P ； ②甲、乙两人相遇：M ； ③乙到达终点：N ． （2）A，B两地之间的路程为　240　 km． （3）求甲、乙各自的速度． （4）甲出发多长时间后，甲、乙两人相距180km？ 【分析】（1）由图可知，甲到达终点时S应最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时S为0；乙到达终点时S不算最大，因为此时甲还没有到达终点，据此可得到答案； （2）由（2）可知S的最大值即为AB两地之间的距离； （3）由（2）可得甲、乙得行驶时间，再根据公式计算即可； （4）根据路程差÷速度＝时间差可以解得． 【解答】解：（1）甲、乙两人间的距离s（km）与甲行驶的时间t（h）之间的关系如图所示． 由图象可知，P为甲到达了终点，M为甲、乙两人相遇时，N为乙到达终点． 故答案为：①P ②M ③N． （2）根据图象和图象中的数据可知甲、乙两人之间的最大距离是240km，则两地间的距离为240km． 故答案为：240； （3）甲的速度是240÷6＝40（km/h）， 乙的速度是240÷3＝80（km/h）． （4）分以下两种情况讨论： ①甲、乙相遇前，根据题意，得（240﹣180）÷（40+80）＝0.5（h）； ②甲、乙相遇后，根据题意，得3+（180﹣120）÷40＝4.5（h）． 故甲出发0.5h或4.5h后，甲、乙两人相距180km． 【点评】本题考查了函数图象在实际问题中的应用，正确理解图象各点的意义、熟练把握行程问题各量之间的关系是解题的关键． 23．（2024秋•中牟县期中）做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示： 类型 长/cm 宽/cm 高/cm 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）代数式abc表示的含义是 　小纸盒的体积　 ； （2）小纸盒的表面积是 　（2ab+2bc+2ac）　 cm2，大纸盒的表面积是 　（6ab+8bc+6ac）　 cm2； （3）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少cm2？ 【分析】（1）根据长方体的体积公式填空即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可； （3）根据“大纸盒的表面积﹣小纸盒的表面积”计算即可． 【解答】解：（1）代数式abc表示的含义是小纸盒的体积． 故答案为：小纸盒的体积． （2）小纸盒的表面积是2（ab+bc+ac）＝（2ab+2bc+2ac）（cm2），大纸盒的表面积是2（1.5a×2b+2b×2c+1.5a×2c）＝2（3ab+4bc+3ac）＝（6ab+8bc+6ac）（cm2）． 故答案为：（2ab+2bc+2ac），（6ab+8bc+6ac）． （3）（6ab+8bc+6ac）﹣（2ab+2bc+2ac） ＝6ab+8bc+6ac﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝（6ab﹣2ab）+（8bc﹣2bc）+（6ac﹣2ac） ＝（4ab+6bc+4ac）（cm2）． 答：做大纸盒比做小纸盒多用纸（4ab+6bc+4ac）cm2． 【点评】本题考查代数式，掌握长方形体的体积和表面积计算公式是解题的关键． 24．（2026秋•同步）在数字的书写中，“”“1：2”和“”都有1÷2的含义．现有两个多项式：Ax2+6x+1﹣（2x﹣3），B＝﹣16（多项式B为最简形式，且它的一部分被墨水污染）． （1）嘉淇说：“多项式A中，x的取值范围是x≠0．”老师说：“多项式A的书写不规范，x的取值范围为全体有理数．”请你规范地写出多项式A并化简． （2）若，则□中应填的运算符号是什么？并求出当x＝3时多项式B的值．（运算符号从“+”“﹣”中选择） 【分析】（1）根据整式的加减运算计算多项式A即可得出答案； （2）假设□内填“+”，则A+Bx2﹣4x﹣20，由此得B＝3x2﹣8x﹣24，不符合题意，假设设□内填“+”，则A﹣Bx2﹣4x﹣20，由此得B＝4x2﹣16，符合题意，再将x＝3代入多项式B中进行计算即可． 【解答】解：（1）Ax2+6x+1﹣（2x﹣3） x2+6x+1﹣2x+3 x2+4x+4； （2）假设□内填“+”，则A+Bx2﹣4x﹣20， 则Bx2﹣4x﹣20﹣A x2﹣4x﹣20﹣（x2+4x+4） x2﹣4x﹣20x2﹣4x﹣4 ＝3x2﹣8x﹣24 ＝（3x2﹣8x﹣8）﹣16， ∵多项式为最简形式， ∴□内填“+”时不符合题意； 假设设□内填“+”，则A﹣Bx2﹣4x﹣20， 则B＝A﹣（x2﹣4x﹣20） x2+4x+4+（x2﹣4x﹣20） x2+4x+4x2﹣4x﹣20 ＝4x2﹣16，符合题意， 综上所述：□中应填的运算符号是“﹣”，代数式B＝4x2﹣16， ∴当x＝3时，B＝4×32﹣16＝20． 【点评】此题主要考查了代数式的运算，熟练掌握整式的加减运算是解决问题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•鼓楼区校级模拟）下列说法中，不能表示代数式“5x”意义的是（　　） A．x的5倍 B．5与x的积 C．5个x相加 D．5个x相乘 【分析】根据各个选项中的说法可以用代数式表示，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：x的5倍可以表示为5x，故选项A不符合题意； 5与x的积可以表示为5x，故选项B不符合题意； 5个x相加可以表示为5x，故选项C不符合题意； 5个x相乘可以表示为x5，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【练习 2】（2025秋•玉田县期末）关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（　　） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【分析】根据代数式的意义对各选项分析即可． 【解答】解：A．代数式a2﹣9表示比a的平方少9的数，说法正确，不符合题意； B．代数式a2﹣9表示a的平方与9的差，说法正确，不符合题意； C．代数式a2﹣9表示a的平方减去9，说法正确，不符合题意； D．代数式a2﹣9表示a与3的平方差，说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的意义是关键． 【练习 3】（2026秋•同步）对于代数式﹣3x2﹣6x+1，当x＝　﹣1　 时，代数式有最　大　 （填“大”或“小”）值，其值为　4　 ． 【分析】把﹣3x2﹣6x+1化为﹣3（x+1）2+4，由平方的非负性得，3（x+1）2≥0，从而﹣3（x+1）2≤0，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即﹣3（x+1）2+4≤4，即可得出答案． 【解答】解：﹣3x2﹣6x+1＝﹣3（x2+2x）+1＝﹣3（x+1）2+4， ∵3（x+1）2≥0， ∴﹣3（x+1）2≤0， ∴﹣3（x+1）2+4≤4， ∴当x＝﹣1时，﹣3x2﹣6x+1有最大值为4． 故答案为：﹣1；大；4． 【点评】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【练习 4】（2023秋•信都区月考）写出下列各代数式的意义： （1）2a﹣3； （2）2（a﹣3）； （3）x2+y2． 【分析】根据代数式的实际意义可直接进行求解． 【解答】解：（1）2a﹣3表示的意义为：a的2倍与3的差； （2）2（a﹣3）表示的意义为：a与3的差的2倍； （3）x2+y2表示的意义为：x，y两数的平方和． 【点评】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式的概念是解题的关键． 【练习 5】（2023秋•宁德期末）为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，俗称“白改黑”．甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的6%，第二天铺的比第一天的2倍少60米，此村还剩下全长的87%没铺． （1）若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中x所表示的实际意义，并求出它的值； （2）为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺．两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答． 【分析】（1）根据题意用含x表示式，再列方程即可求得； （2）根据题意提出问题（不唯一），计算总长后再列式即可． 【解答】解：（1）∵第一天铺了全长的6%，第二天铺的比第一天的2倍少60米， ∴第二天铺：2×6%x﹣60，整理得：0.12x﹣60，即：①：0.12x﹣60， ∴x表示道路的全长， ∴根据题意列式：6%x+2×6%x﹣60+87%x＝x， 【练习 6】06x+2×0.06x﹣60+0.87x＝x， 【练习 7】06x+0.12x﹣60+0.87x＝x， 解得：x＝1200； （2）提出的问题：①加速后，甲工程队每天铺多少米？ 6%×1200+2×6%×1200﹣60＝156（米）， 156+（6﹣2）y+（6﹣2）（y+75）＝1200， 156+4y+4y+300＝1200， 8y＝744， y＝93， 答：加速后甲工程队每天铺93米． 【点评】本题考查一元一次方程实际应用，能列出方程是解题的关键． 💯 课后巩固 ❤复习建议 代数式不含关系符号 数字写在字母前 括号决定运算顺序 折扣问题看括号位置 几何面积验证代数恒等式 【作业 1】（2024秋•甘肃校级期中）实践与探究 【实践】 求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离： （1）2.25与4.75；（2）﹣4与﹣4.5；（3）与． 【探索】 结论：数轴上两点之间的距离等于这两个点对应数的差的绝对值． （1）数轴上表示数x与1的两点之间的距离可用符号语言记作 　|x﹣1|　 ； （2）|x+2|的含义是数轴上表示数x与 　﹣2　 的两点之间的距离； （3）若|x+2|＝3，则x＝　1或﹣5　 ． 【应用】 如图，长方形ACEF和BDGH各有一条边在数轴上，长方形ACEF的一条边AF长为2，长方形BDGH的一条边BH长为1，A，B，C，D四个点对应的数分别为2a，a，b，2b．用SACEF和SBDGH分别表示两个长方形的面积，求这两个长方形的面积（用含a，b的代数式表示）并比较它们的大小． 【分析】【实践】 （1）根据数轴上两点见的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点见的距离公式计算即可； （3）根据数轴上两点见的距离公式计算即可； 【探索】 （1）根据数轴上两点见的距离公式表示即可； （2）根据数轴上两点见的距离公式即可解决； （3）根据绝对值的意义解方程即可； 【应用】 分别表示SACEF和SBDGH后两个代数式相减即可． 【解答】解：【实践】 （1）|4.75﹣2.25|＝2.5； （2）|﹣4﹣（﹣4.5）|＝0.5； （3）|与|＝6； 【探索】 （1）数轴上表示数x与1的两点之间的距离可用符号语言记作：|x﹣1|， 故答案为：|x﹣1| （2）|x+2|的含义是数轴上表示数x与﹣2的两点之间的距离， 故答案为：﹣2； （3）∵|x+2|＝3， ∴x+2＝±3， 解得：x＝1或﹣5， 故答案为：1或﹣5； 【应用】 由数轴可知，a＞2a， ∴a＜0， ∵A，C两点对应的数分别为2a，b， ∴AC＝b﹣2a， ∵长方形ACEF的一条边AF长为2， ∴S长方形ACEF＝AC×AF＝2（b﹣2a）； ∵B，D两点对应的数分别为a，2b， ∴BD＝2b﹣a， ∵长方形BDGH的一条边BH＝1， ∴S长方形BDGH＝BH×DB＝1×（2b﹣a）＝2b﹣a， 则S长方形BDGH﹣S长方形ACEF＝2b﹣a﹣[2（b﹣2a）] ＝2b﹣a﹣2b+4a ＝3a＜0， ∴S长方形BDGH＜S长方形ACEF， 【点评】本题考查数轴上两点间的距离公式以及绝对值的意义的应用，理解题意是关键． 【作业 2】（2025秋•滨城区期末）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为﹣4； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（　　） A．x2+4x2y2+5 B．4x5﹣4x2y2+5 C．3x3﹣4xy3﹣5 D．﹣2x3﹣4xy3+5 【分析】根据多项式的相关概念逐项判断即可得解． 【解答】解：A、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为4，常数项是5，故不符合题意； B、选项式子是一个五次三项式，故不符合题意； C、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为﹣4，常数项是﹣5，故不符合题意； D、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为﹣4，常数项是5，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的运算法则是关键． 【作业 3】（2025秋•大理州期末）“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8（x﹣15）元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去15元 B．在原价的基础上打2折后再减去12元 C．在原价的基础上减去15元后再打8折 D．在原价的基础上减去12元后再打8折 【分析】根据打折销售的含义即可得出答案． 【解答】解：由题意得，0.8（x﹣15）是原价减去15元后再打折， 故选：C． 【点评】本题考查了代数式，理解代数式的含义和书写要求是解答本题的关键． 【作业 4】（2026春•单县期末）【教材原题】青岛版教材七年级下册第109页思考与交流（3），对两数和的完全平方公式做出几何解释： 当a、b均为正整数时，图①中的面积关系可以解释公式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若a+b＝7，ab＝4，求a2+b2的值． 【拓展】 （3）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和． 【分析】（1）由图②可知阴影部分的面积即为大正方形面积减去两个小的长方形面积，再由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2移项即可； （2）由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2移项即可； （3）先设AE＝DE＝a米，BE＝CE＝b米，再根据花区域的面积和为102平方米，得出a2+b2的值，再由AC＝18米，AC＝AE+EC＝a+b，得出（a+b）2的值，再由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2求出ab的值，最后得出种草区域的面积为ab． 【解答】解：（1）由材料（a+b）2＝a2+2ab+b2，可知 图中阴影部分图形的面积和为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）∵a+b＝7，ab＝4， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×4＝49﹣8＝41； （3）设AE＝DE＝a米，BE＝CE＝b米， ∵，种花区域的面积和为102平方米， ∴，整理得：a2+b2＝204， ∵AC＝18米，AC＝AE+EC＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴ab60， ∵， ∴60（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景及其变形应用，解题的关键在于理解图形面积与代数式恒等式之间的对应关系，以及灵活运用完全平方公式的变形解决代数式求值和几何面积问题． 【作业 5】（2021春•庐阳区校级期中）【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的代数恒等式 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画出图形，并标出字母a，b所表示的线段． （4）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个棱长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： 【分析】（1）如图，边长为（a+b+c）的正方形由1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、1个边长为c的正方形、2个长为b，宽为a的长方形、2个长为c，宽为a的长方形、2个长为c，宽为b的长方形组成，可得其代数恒等式； （2）将a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26代入（1）中的结论可得； （3）画出长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形即可； （4）分别计算一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体的体积、重新拼成的新长方体的体积，因为体积相等，可得一个代数恒等式． 【解答】解：（1）如图，边长为（a+b+c）的正方形由1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、1个边长为c的正方形、2个长为b，宽为a的长方形、2个长为c，宽为a的长方形、2个长为c，宽为b的长方形组成， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）将a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26代入（1）中的结论， 得，82＝26+2ab+2ac+2bc， ∴ab+bc+ac＝19； （3）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，如图， ； （4）如图，一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体，其体积为x3﹣4x， 重新拼成的新长方体，其体积为（x+2）（x﹣2）x， ∴（x+2）（x﹣2）x＝x3﹣4x． 【点评】本题考查了代数式，关键是掌握正方形、长方形的面积公式，正方体、长方体的体积公式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $第6讲列代数式表示数量关系优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)20262027人教版七年级数学上册 才思维导图·课程内容总览 代数式概念 书写规范 课程目标 代数式意义 列代数式 几何背景 女1.代数式的概念 ★2.代数式书写规范 知识梳理 ★3.代数式的意义 ☆4.列代数式与几何背景 第6讲列代数式表示数量关系 【考点1】代数式的概念 【考点2】代数式的意义 核心考点 【考点3】列代数式表示数量关系 【创新及压轴题】规律与综合 概念判断 书写规范 复习建议 运算顺序 折扣顺序 几何验证 © 课程目标·精准把握学习方向 1.理解代数式的概念，会判断代数式 2.掌握代数式书写规范 3.能说出代数式的实际意义 4.会用字母表示数量关系 5.理解代数式的几何背景 第1页（共12页） 写知识梳理·核心知识点 ☆1.代数式的概念 1.用运算符号把数和字母连接而成的式子 2.单独一个数或字母也是代数式 3.不含=、>、<、≠等关系符号 4.等式、不等式都不是代数式 概念辨析例题：概念辨析：x<2是不是代数式？ 解析：代数式不含关系符号。 ☆2.代数式书写规范 1.数字与字母相乘，数字写前面 2.乘号省略或用· 3.除法写成分数形式 4.带分数化为假分数，多项式带单位要加括号 概念辨析例题：概念辨析：a4应如何规范书写？ 解析：数字写在字母前面。 ☆3.代数式的意义 1.用文字语言叙述 2.注意运算顺序：(a-b)2与a2-b2不同 3.折扣问题：0.8(x-15)是先减后打八折 4.3x表示3个x相加，不是相乘 概念辨析例题：概念辨析：2(a-3)与2a-3意义相同吗？ 解析：2(a-3)是a与3差的2倍；2a-3是a的2倍与3的差。 ☆4.列代数式与几何背景 1.和差倍分关系 2.面积、周长、体积公式 3.完全平方公式几何意义 4.新定义题按规则代入 概念辨析例题：概念辨析：(10n+5)2的规律？ 解析：个位为5的平方末两位为25。 第2页（共12页） 自知识总结表 要点 规则 注意事项 代数式 运算符号连接数与字母 不含=、>、< 书写 数前字母后 省略乘号，除法写分数 代数式意义 按运算顺序读 括号影响顺序 折扣 打几折=乘零点几 括号决定先后 平方规律 (10n+5)2=100n(n+1)+25 末两位是25 完全平方 (a+b)2=a22ab+b2 几何面积验证 A核心考点·典型例题精讲 【考点1】代数式的概念（第1-5题） 1.不含关系符号 2.单独数或字母也是 3.等式不等式不是 1.(2026·沧州二模)下列各式中，不是代数式的是() A.2x B.x<2 D.x2+2x 2.(2025秋·启东市期末)商店销售某种商品，第一天售出m件.第二天的销售量比第一天的两倍少3 件，则代数式“3-3”表示的意义是() A.第二天售出的该商品数量 B.第二天比第一天多售出该商品数量 C.两天一共售出的该商品数量 D.第二天比第一天少售出的该商品数量 3.(2025秋·普陀区期末)下列代数式符合书写规范的是() A.33x B.、4 C.-5÷m D.a4 4 y 第3页（共12页） 2025秋·仪征市期末)下列式子中：2,2(y),号Qb,,+3>x,1y=0,代 m () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.(2025秋•林芝市期末)下列各式中是代数式的是() A.S=T B.2a>b C.3x+y D.π≈3.14 【考点2】代数式的意义（第6-11题） 1.按运算顺序叙述 2.括号影响意义 3.折扣问题看括号 6。(2025秋~南通期末)用文字叙述代数式 ·-3的意义，下列文字叙述错误的是() A.比x的倒数大3的数 B.比x的倒数小3的数 C.x的倒数与3的差 D.1除以x的商与3的差 7。(2025秋·任丘市期未)某商店举办促销活动，促销的方式是将原价为x元的衣服以（乙X一9）元出售， 10 7 则下列关于代数式(0X-9)的含义的描述，正确的是（） A.原价打七折后再减去9元 B.原价减去9元后再打七折 C.原价减去9元后再打三折 D.原价打三折后再减9元 8.(2026竞秀区模拟)代数式3x的意义可以是() A.3与x的和 B.3与x的差 C.3个x相加 D.3个x相乘 9.(2025秋•普陀区期末)下列代数式中，不是一次式的是( A.-25a B.m-n C.+1 D.-9 8 10.(2025秋·龙江县期末)下列式子，符合代数式书写格式的是（) 第4页（共12页） A号 82号 C.m×7 D.x+y人 11.（2024秋·同步)用文字语言表示下列代数式： (1)4x-3y: (2)a2-ab: (3)(a-b)2: (4)a2-b2. 【考点3】列代数式表示数量关系（第12-19题） 1.和差倍分 2.实际问题列式 3.新定义按规则 12.(2025秋•阿城区期末)如图所示，以下数量中能用2+6表示的是() 2a 6 L a133 A.线段EF的长度E F B.线段MN的长度M N E F C.长方形EFGH的周长HaG D.长方形MNPO的面积Q2 6 13.(2025秋•玉溪期末)某商场开展促销活动，促销方法是将原价为元的商品以0.8(m-8)元的价 格出售，其中大于9.则下列说法中，能正确表达这次促销方法的是() A.在原价的基础上打二折后，再降价8元 B.在原价的基础上降价8元后，再打二折 C.在原价的基础上打八折后，再降价8元 D.在原价的基础上降价8元后，再打八折 14,（2025秋大样区校级期末)下列式子中，@4x3y@1子：®6：④2y符合代数式 5 书写的是 15.(2024秋·海州区期中)钢笔每支m元，笔记本每本n元，则100-4-8n的实际意义可以是 16.(2025秋·宝安区期末)请举一个实例，说说代数式2x可以表示什么： 第5页（共12页） 17.(2022拱墅区开学)仓库里存有货物180吨，运走了12车，每车x吨.12x表示 180-12x表示 ,这里x的最大值是 18.(2024秋·工业园区期末)某超市的水果价格如图所示. (1)代数式50-6a表示的实际意义是 (2)小明用43元买了2斤葡萄，最多还能买多少斤苹果？ 梨 西瓜 葡萄苹果橘子 6元/斤2.5元/斤8元/斤9元/斤4.2元/斤 19.(2026春·沭阳县期中)阅读下面材料：本学期，我们在第9章图形的变换中学习了轴对称的相关知 识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，像叶、p、 +什p等代数式，当字母的取值均不相等，且都不为0时，如果任意交换两个字母的位置，式子的值 都不变.我们称这样的代数式为神奇代数式 请根据以上材料解决下列问题： (1)下列代数式中是神奇代数式的有 (填序号). ①2m-2:②[(-3)M:③(m-)3:④(m-)2 (2)若关于x、y的代数式7x-(3-a)y为神奇代数式，求a2的值. (3)已知关于4，b的神奇代数式(k-2)-(4k-3)b2的值为-10，且满足a-b=2,求ab的值. 【创新及压轴题】规律与综合（第20-24题） 1.个位5平方规律 2. 奇偶代数式 3.几何面积恒等式 第6页（共12页） 20.(2024春金水区期末)观察下列各式：152=225,252=625,352=1225，… (1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？ (2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n(1≤n≤9且n为整数)，请你借助代数式解释 (1)中的规律 (3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计 算5952，要求写清计算过程及结果。 21.(2025秋德化县期末)阅读材料，完成下列任务 素材一 在学习代数式求值时，发现了一类有趣的现象：当x=2与x=-2时，代数式x的值都等于 4 当x=2与x=-2时，代数式x3的值分别为8和-8，它们互为相反数.定义如下：“若 关于x的代数式，当x取任意一对互为相反数的数a与-α时，若代数式的值相等，则称之 为偶代数式；若代数式的值互为相反数，则称之为奇代数式.” 素材二 观察发现得到以下结论： 结论1：当一个关于x的代数式是偶代数式时，它只含x的偶次幂的项和常数项； 结论2：当一个关于x的代数式是奇代数式时，它只含x的奇次幂的项； 结论3：任意一个多项式可以表示为偶代数式与奇代数式的和， 任务一 根据以上素材，在多项式x3+x和2x+4中，判断哪个是“奇代数式”？（请直接写出答案） 任务二 对于多项式A=3x-2x3+x+5x+1,设A=M什N,其中M为偶代数式，N为奇代数式. ①求M和N(用含x的代数式表示)； ②当x=t时，多项式A的值可记为A(t);当x=-t时，多项式A的值可记为A(-t). 请通过计算说明“A(t)+A（-t)=2M(t)”是否成立； ③利用上述规律，当x分别取-15，-3，-2，-1,0,1,2,3,15时，求这9个多项式 A值的和 22.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停 止，甲、乙两人间的距离s()与甲行驶的时间t()之间的关系如图所示. (1)以下是点M,N,P所代表的实际意义，请将M,N,P填入对应的横线上 ①甲到达终点： ； ②甲、乙两人相遇： ③乙到达终点： (2)A,B两地之间的路程为 第7页（共12页） (3)求甲、乙各自的速度. (4)甲出发多长时间后，甲、乙两人相距180？ s(km) 240 N 120 M O 2 3 6t(h) 23. (2024秋中牟县期中)做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示： 类型 长cm 宽cm 高lcu 小纸盒 a b 大纸盒 1.5a 2b 2c (1)代数式abc表示的含义是 (2)小纸盒的表面积是 cr,大纸盒的表面积是 cm: (3)做大纸盒比做小纸盒多用纸多少cm? 24.(2026秋同步)在数字的书写中，“”“1：2”和“号”都有1÷2的含义.现有两个多项式：A 共6+1·2r3),B二-16（多项式B为最简形式，且它的一部分被墨水污 (1)嘉淇说：“多项式A中，x的取值范围是x≠0.”老师说：“多项式A的书写不规范，x的取值 范围为全体有理数.”请你规范地写出多项式A并化简 (2)若B口A=乙X-4X-20,则□中应填的运算符号是什么？并求出当=3时多项式B的值. (运算符号从“+”“-”中选择) 口随堂检测 【练习1】(2026·鼓楼区校级模拟)下列说法中，不能表示代数式“5x”意义的是() A.x的5倍 B.5与x的积 C.5个x相加 D.5个x相乘 【练习2】(2025秋玉田县期末)关于代数式-9的意义，下列说法中不正确的是() A.比a的平方少9的数 B.a的平方与9的差 第8页（共12页） C.a的平方减去9 D.a与9的差的平方 【练习3】(2026秋·同步)对于代数式-3x2-6x+1,当x= 时，代数式有最（填“大” 或“小”)值，其值为一· 【练习4】(2023秋•信都区月考)写出下列各代数式的意义： (1)2a-3: (2)2(a-3): (3)x2y2. 【练习5】(2023秋·宁德期末)为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成 柏油路，俗称“白改黑”，甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成.第 一天铺了全长的%，第二天铺的比第一天的2倍少60米，此村还剩下全长的87%没铺， (1)若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中x所表示的实际意 义，并求出它的值： 6%x① 剩下87%x 甲工程队 乙工程队 道路总长 图1 (2)为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始 铺.两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答 前2天铺的6-2)y (6-2)(y+75) 人 甲工程队 乙工程队 道路总长 图2 型课后巩固 【作业1】(2024秋·甘肃校级期中)实践与探究 【实践】 求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离： (1)225与475：(2)-4与-45；(3)-32与2 3 3 【探索】 结论：数轴上两点之间的距离等于这两个点对应数的差的绝对值。 第9页（共12页） (1)数轴上表示数x与1的两点之间的距离可用符号语言记作 (2)x+2的含义是数轴上表示数x与 的两点之间的距离： (3)若x+2=3,则x= 【应用】 如图，长方形ACEF和BDGH各有一条边在数轴上，长方形ACEF的一条边AF长为2，长方形BDGH 的一条边BH长为1，A,B,C,D四个点对应的数分别为2a,a,b,2b.用S4cBr和SDcH分别表示两 个长方形的面积，求这两个长方形的面积（用含α，b的代数式表示）并比较它们的大小. E H G C D 2a a b 2b 【作业2】(2025秋·滨城区期末)李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述， 小明：这个代数式是一个四次三项式： 小红：这个代数式的最高次项系数为-4： 小华：这个代数式的常数项是5. 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是() A.x2+4x2y2+5 B.4x5-4x2y2+5 C.3x3-4y3-5 D.-2x3-4y3+5 【作业3】(2025秋•大理州期末)“腹有诗书气自华，最是书香能放远.”为鼓励和推广全民阅读活动， 某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8(x-15)元的价格出售，则下列说 法中，能正确表达这批图书的促销方法的是() A.在原价的基础上打8折后再减去15元 B.在原价的基础上打2折后再减去12元 C.在原价的基础上减去15元后再打8折 D.在原价的基础上减去12元后再打8折 【作业4】(2026春·单县期末)【教材原题】青岛版教材七年级下册第109页思考与交流(3)，对两 数和的完全平方公式做出几何解释： 当a、b均为正整数时，图①中的面积关系可以解释公式(a+b)2=d+2b+b2. 第10页（共12页） a y ab a +☑ b ab b下 图① 图② D 花 草 E A 草 花 B 图③ 【类比探究】 (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若a+b=7,b=4,求a+b°的值. 【拓展】 (3)如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在 △AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方 米，AC=18米，求种草区域的面积和. 【作业5】(2021春·庐阳区校级期中)【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形 的面积，可以得到一些代数恒等式.例如图1可以得到(tb)2=a+2b+b2,请解答下列问题： 第11页（共12页） b a b a 6 图1 图2 2 图3 (1)写出图2中所表示的代数恒等式 (2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=8,2+b2+c2=26,求ab+bc+ac的值， (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a+b)(a+2b)=a2+3b+2b2,画出图形，并标出字母 a,b所表示的线段 (4)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式，图3 表示的是一个边长为x的正方体挖去一个棱长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3 中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： 复习建议 代数式不含关系符号 数字写在字母前 括号决定运算顺序 折扣问题看括号位置 几何面积验证代数恒等式 第12页（共12页）