第10讲 一元一次方程应用 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第10讲 一元一次方程应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握倍数年龄问题列方程 掌握工程问题 掌握行程问题 掌握销售盈亏问题 掌握配套分配问题 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.列方程解应用题步骤 审题设未知数 找等量关系列方程 解方程 检验作答 概念辨析例题：概念辨析：列方程关键是？ 解析：用两种方式表示同一量。 ☆ 2.工程问题 总工作量设为1 效率=1/单独完成天数 工作量=效率×时间 配套问题：部件数成比例 概念辨析例题：概念辨析：甲独做a天，效率=? 解析：总工作量1除以时间。 ☆ 3.行程问题 路程=速度×时间 相遇：路程和=总距离 追及：路程差=距离 顺流=静水+水速，逆流=静水-水速 概念辨析例题：概念辨析：顺水速度=? 解析：水流助力。 ☆ 4.销售与配套 利润=售价-进价 利润率=利润/进价 打几折=乘零点几 配套：按比例列方程 概念辨析例题：概念辨析：打八折=? 解析：折扣换算。 📋 知识总结表 题型 等量关系 注意事项 年龄问题 年龄差不变 几年前/后加减 工程问题 工作量和=1 效率=1/天数 相遇问题 路程和=总距离 同时出发 追及问题 路程差=距离 快追慢 顺逆流 路程相等 速度加减水速 销售问题 利润=售价-进价 打折乘零点几 配套问题 部件数成比例 1套配几 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】倍数大小关系列方程（第1-5题） 年龄差不变 日历问题中间数x 古代趣题列方程 1．（2026春•张家川县校级期末）若代数式3x比代数式小1，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 2．（2026秋•同步）现在姐姐年龄是妹妹年龄的2倍，而三年前妹妹年龄只有姐姐年龄的，则姐姐现在的年龄是（　　） A．4岁 B．6岁 C．8岁 D．10岁 3．（2026•福田区校级开学）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟年龄只是哥哥年龄的，今年哥哥（　　）岁． A．21 B．22 C．23 D．24 4．（2026秋•同步）请引入适当的未知数，并列出方程． 我国著名的珠算家程大位的名著《直指算法统宪》有一道数学趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几个？” 5．（2025秋•襄城区期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（　　） A．75 B．100 C．115 D．120 【考点2】工程问题（第6-10题） 总工作量设1 效率=1/天数 配套部件成比例 6．（2025秋•永年区期末）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1立方米钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用x立方米钢材制作A部件，则可列式为（　　） A．40x＝240（6﹣x）×3 B．3×40x＝240（6﹣x） C．240x＝40（6﹣x）×3 D．3×240x＝40（6﹣x） 7．（2025秋•北流市期末）我国古代的数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其大意为：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，五天共织布五尺，问每天各织多少布？根据此问题中的已知条件，设第一天织布x尺，根据题意可列方程（　　） A．x+2x+4x+6x+8x＝5 B．x+2x+4x+8x+16x＝5 C．x+2x+3x+4x+5x＝5 D．x+x2+x3+x4+x5＝5 8．（2026春•河口区期末）重庆市为迎接渝超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要30天完成，乙队独做需要45天完成． （1）列方程解下列问题：若甲、乙两队同时施工12天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ （2）在（1）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用2万元，乙队单独施工每天需费用1.2万元．问：完成该项工程总共需要花费多少万元？ 9．（2025秋•寿阳县期末）某工厂有技术人员20人，平均每人每天可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，每天生产的甲、乙两种零件刚好配套．若设安排生产甲种零件的技术人员x人，则可列方程为____________________ ． 10．（2026春•同步）一份工作，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成．现在甲先单独做1天，接着乙又单独做4天，剩下的工作由甲、乙两人合做，求合做多少天可以完成全部工作任务．设合做x天可以完成全部工作任务，请列出方程． 【考点3】路程问题（第11-15题） 相遇路程和 追及路程差 顺逆流速度加减 11．（2025秋•徐闻县期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人．多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（　　） A．4（x﹣1）＝2x+8 B．4（x+1）＝2x﹣8 C．1 D．1 12．（2025秋•高州市期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C．240（x﹣12）＝160x D．240x＝160（x+12） 13．（2024秋•平阴县校级月考）一题多变 （1）改为根据古代数学问题列方程 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为____________________ ． （2）改为不同时的相遇问题 学校组织七年级学生举行了一场“百米击掌”活动，比赛规则为：每班派两位同学分别站在相距300米的A点和B点，一人听到哨声后出发，另一人在第一个人出发3秒后出发，两人相向而行，相遇后立即击掌代表完成比赛，用时最短的班级获胜．小明听到哨声后以4米/秒的平均速度出发，3秒后小晨出发，最终用时35s完成比赛，则小晨的平均速度为_____ 米/秒． （3）改为追及问题 小明和爸爸准备步行去附近的公园，小明先以4千米/时的速度步行前往，20分钟后，爸爸骑共享单车以8千米/时的速度追赶小明，则爸爸追上小明需要多长时间？ 14．（2025秋•杨浦区期末）一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少0.5小时，已知该轮船在静水中的速度为27千米/小时，水流的速度是3千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是x千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 x 逆流 x 所列方程 15．（2025秋•丰满区期末）某轮船沿着松花江先从A港顺水行驶到B港，再从B港沿同一路线逆水行驶返回A港，已知轮船逆水行驶的时间比顺水行驶的时间多用了1h，轮船在静水中的速度为22km/h，水流速度为2km/h．求A港和B港之间的距离． （提示：顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度） （1）轮船顺水行驶的速度为_______ km/h，逆水行驶的速度为_______ km/h． （2）请将以下解题过程补充完整． 解法一：设轮船从A港顺水行驶到B港所需时间为xh，则从B港逆水行驶返回A港所需时间为（x+1）h．根据题意可列方程，得… 解法二：设A港和B港之间的距离为ykm．根据题意可列方程，得… 【考点4】图形问题（第16-19题） 边长关系列方程 角转动问题 水位变化 16．（2025秋•城阳区校级月考）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为________ 平方厘米． 17．（2025秋•商河县期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，摩托车、电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20个，乙种头盔30个，共花费2700元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）在进价不变的条件下，今年4月初该商场购进100个甲头盔，200个乙头盔，计划以甲头盔每个90元、乙头盔每个80元的售价售出．为了响应济南公安交警部门的号召，决定两种头盔一律八折促销，鼓励大家购买佩戴，在“五一”黄金周之前，火速售完．商家4月份销售两种头盔的总利润为多少元？ 18．（2025秋•峡江县期末）如图1，∠AOB＝120°，过点O在∠AOB的内部作射线OC，使得，射线OD从射线OB开始以每秒3°的速度绕着点O顺时针转动，当∠COD为平角时OD停止转动，设转动的时间为t秒． （1）当射线OD位于射线OC的左侧时，∠COD＝____________ °（用含t的式子表示）； （2）当射线OD平分∠AOC时，求t的值； （3）如图2，射线OE从射线OC开始以每秒1°的速度与射线OD同时开始绕着点O顺时针转动，同时停止，当时，求t的值． 19．（2026秋•单元）我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （温馨提示：仔细看图，玻璃桶高65cm，桶内液面原来高度为26cm） （1）放入一个小球水面升高 _____ cm，放入一个大球水面升高 _____ cm． （2）如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61cm，应放入大球、小球各多少个？ （3）若放入一个钢珠可以使水面上升kcm，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41cm，则k的整数值为 _________ ．（小球和钢珠都完全在水面以下） 【考点5】盈亏问题（第20-24题） 利润=售价-进价 利润率=利润/进价 打折分类讨论 20．（2025秋•肇源县期末）综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来．春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1500元购进甲、乙两种水果共150千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 甲 8 12 乙 14 20 问题解决： （1）该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ （2）若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利580元，求按原售价售出乙种水果多少千克． 21．（2025秋•海城市期末）一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按标价的八折出售，可盈利50元；若每件服装按标价的六折出售，则亏损50元． （1）求每件服装的标价； （2）若这种服装一共库存80件．按标价八折出售一部分后，将余下服装按标价的五折全部出售，结算时发现共获利1600元，求按八折出售服装的件数． 22．（2026•皇姑区校级开学）乘坐飞机的每位旅客，携带的行李超过20千克的部分，每千克要按飞机原票价的1.5%购买行李票． （1）李明从沈阳到广州的机票打八折后是808元，这张机票的原价是多少元？ （2）他带了25千克行李，应付行李费多少元？ 23．（2026•花垣县校级开学）商店从农业园进化肥，一袋化肥的售价比进价多50%，售价减去进价就是利润．现在化肥八折优惠，一袋化肥的利润减少至30元．这一袋化肥的进价是多少元？ 24．（2025秋•赣榆区期末）苏州市某商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价80元，售价100元；B种商品每件的售价为60元，利润率为50%（利润率100%）． （1）每件A种商品的利润率为 ________ ；B种商品每件的进价为 _______ 元； （2）若该商场同时购进A、B两种商品共40件，总进价恰好为2200元，求购进A种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小华一次性购买商品实际付款1044元，求小华所购商品优惠前的总金额为多少元？ 【考点6】分配与配套问题（第25-30题） 总人数不变 配套比例列方程 调人支援问题 25．（2026•铁东区三模）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为（　　） A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x+9 C．2（x﹣3）＝2x+9 D．2（x+3）＝2x﹣9 26．（2026•红河州模拟）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用x千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A．3x＝6（9﹣x） B．3x＝4×6（9﹣x） C．6×3x＝4（9﹣x） D．4×3x＝6（9﹣x） 27．（2025秋•安定区期末）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 28．（2025秋•康平县期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． （1）求调整后车间共有多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产600个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 29．（2025秋•庐江县期末）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个． （1）七年级四班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 30．（2025秋•崂山区校级月考）七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【考点7】数字问题（第31-35题） 两位数=10a+b 竞赛得分问题 美好方程新定义 31．（2025秋•德阳期末）如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30，则由此可知图1中小长方形较长的边为_____ ． 32．（2026春•同步）根据下列数量关系列方程： （1）x的2倍与3的和是11； （2）12减去x的平方的差是8； （3）x的立方与4的和是12； （4）x比它的相反数大4； （5）12减去x的差等于8； （6）x与2的和的3倍等于6； （7）x与﹣9的和的平方等于25； （8）x比它的相反数小6； （9）x的倒数等于x的4倍； （10）x与﹣3的差的等于． 33．（2025秋•霸州市期末）学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）由表格知，答对1题得_____ 分，答错1题扣_____ 分； （2）同学F得了76分，他答对了几道题？请通过计算说明； （3）同学G说他得了80分．你认为可能吗？为什么？ 34．（2025秋•寿阳县期末）已知关于x的方程与方程3x+1＝﹣5的解互为相反数，求m的值． 35．（2025秋•淮南期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x＝﹣4和x﹣3＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程4x+m＝0与方程3x﹣6＝x+8是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【考点8】销售问题（第36-42题） 标价折扣 分段计费 商品利润综合 36．（2026春•香坊区校级期中）一件标价500元的商品，打八折出售，售价是（　　）元． A．100 B．200 C．300 D．400 37．（2026•扬州二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为______________ ． 38．（2025秋•兴庆区校级期末）2024年，银川全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长0～4小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． （1）若小石在该充电桩充电2.5小时，需支付费用多少元？ （2）若小石在该充电桩充电x（x＞4）小时，需支付费用___________ 元（用含有x的代数式表示）． （3）小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 39．（2026秋•苏家屯区月考）商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？ 40．（2025秋•苏州月考）华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 41．（2025秋•成华区期末）某地物产丰富，其中茶叶尤为著名，现有A、B两名农户种植茶叶，A农户种植了10亩茶叶，B农户种植了16亩茶叶，A农户平均每亩制成的茶叶重量是B农户每亩制成茶叶重量的60%（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．A农户制成茶叶A，B农户制成茶叶B，2025年他们制成茶叶A和茶叶B两种产品共计440千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（千克） 每盒售价（元） 茶叶A 0.2 200 茶叶B 0.4 120 根据以上信息，回答下列问题： （1）求制成的茶叶A和茶叶B各多少千克？ （2）若销售这两种茶叶共500盒，销售额为84000元，求销售茶叶A的盒数； （3）若小明第一次销售这两种茶叶共700盒，第二次销售时对所有剩下的茶叶A打八折促销．全部销售后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多12000元．求第一次销售茶叶A多少盒？ 42．（2025秋•铁岭县期末）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【考点9】创新压轴（第43-48题） 数轴动点 分段水费 跑道周长 43．（2023秋•香洲区校级期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为9．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 _______ ，点P表示的数是 ___________ （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 44．（2026秋•香洲区校级月考）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为15000米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持200米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到240米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多5分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在20分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 45．（2025秋•汝南县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝_______ ，线段AB的中点C表示的数为 _____ ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 __________ ；点Q表示的数为 _________ ； （2）求当t为何值时，PQAB； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 46．（2025秋•德阳期末）综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时•辆） 8元/（小时•辆） （参考公式：冷柜使用费＝冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用＝路费+冷柜使用费） （1）请求出A型车从某县到甲地的时间； （2）问这批砂糖桔共有多少吨？ （3）本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 47．（2025秋•宿城区期末）某地居民用水收费标准如表： 家庭每月用水量 收费 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3但不超过12m3的部分 4元/m3 超过12m3的部分 6元/m3 （1）已知小亮家去年10月份共用水13m3，则他家去年10月份应缴水费是多少？ （2）若小亮家去年11、12月份共用水24m3（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过6m3），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 48．（2026秋•单元）综合与实践：七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材：如图①是学校操场实物图，图②是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为400m.400m标准跑道一般设置8条跑道，300m跑道设置6条跑道，直道长均为84.5m，每道宽1.22m．在一个标准的400m跑道内，100m，200m，400m，800m等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：π取3，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务：某校操场是400m跑道： （1）①求第一跑道弯道的半径； ②小明、小勇参加学校运动会200m比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是5.4m/s，小勇的速度是4.8m/s，他们同时跑向同一终点，小明几秒能追上小勇？ （2）小丽、小红参加学校运动会200m比赛，若小丽在第三跑道，小红在第n跑道（n＞3），并且第n跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸10.98m，求操场第n跑道的周长． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•庆云县期末）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下： 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过1000元 全部打八折 超过1000元 全部打七五折 若王老师在此次促销活动中付款780元，问他购买的商品原价是_____________ 元． 【作业 2】（2026•贵州模拟）今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？（选自《九章算术》）题目大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和琎价各多少？设有x人，可列方程为（　　） A． B． C．2（x+4）＝3（x﹣3） D．2（x﹣4）＝3（x+3） 【作业 3】（2025秋•故城县期末）如图，在大长方形ABCD（CD是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽AE．解决这个问题时可设AE＝x．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程6+2x﹣x＝14﹣3x；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程6+2x＝14﹣3x，则下列判断正确的是（　　） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉、淇淇都不正确 C．嘉嘉正确，淇淇不正确 D．嘉嘉不正确，淇淇正确 【作业 4】（2026•榆阳区校级开学）某服装店搞促销活动，全场服装都打八五折出售，活动期间李华买了一条裙子，比原价便宜了18元．这条裙子的原价是（　　）元． A．117 B．120 C．140 D．187 【作业 5】（2026•龙岗区校级开学）某商店出售两件商品，售价都为100元，其中一件赚25%，而另一件亏25%，则商店盈亏情况是（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．无法判断 【作业 6】（2025秋•如皋市期末）如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（　　） A．32 B．52 C．56 D．60 【作业 7】（2025秋•西安期末）整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【作业 8】（2025秋•昌都市期末）一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． （1）若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【作业 9】（2025秋•安化县期末）为了更好地锻炼自己，适应社会生活，大学生小张参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1600元现金．当他工作满21天后，因故结束实习，结算工资时公司给了他一台M型平板电脑和520元现金． （1）这台M型平板电脑价值多少元？ （2）若小张工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 【作业 10】（2025秋•越秀区校级月考）在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分．承载着无数人的日常出行需求，某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） （1）甲、乙两车队共同合作了多少天？ （2）已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【作业 11】（2025秋•南湖区月考）元旦期间，小明、小华等同学跟随家长一同到某公园研学游玩，票价说明如下，小明与他爸爸的对话如图所示，试根据图中的信息解答下列问题： 成人票：60元/人． 学生票：按成人票价打5折． 团体票（人数≥10）：团队内成员一律按成人票价打7折． （1）本次游玩一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算更省钱的购票方案，并求出最少的购票费用． 【作业 12】（2025秋•三亚期末）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t＝2时，AP＝_____ ，此时点P表示的数为_______ ； （2）当PB＝2AP时，求t的值； （3）若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 复习建议 列方程关键是找等量关系 工程问题总工作量设1 行程问题画线段图 销售问题利润=售价-进价 配套问题按比例列方程 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元一次方程应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握倍数年龄问题列方程 掌握工程问题 掌握行程问题 掌握销售盈亏问题 掌握配套分配问题 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.列方程解应用题步骤 审题设未知数 找等量关系列方程 解方程 检验作答 概念辨析例题：概念辨析：列方程关键是？ 解析：用两种方式表示同一量。 ☆ 2.工程问题 总工作量设为1 效率=1/单独完成天数 工作量=效率×时间 配套问题：部件数成比例 概念辨析例题：概念辨析：甲独做a天，效率=? 解析：总工作量1除以时间。 ☆ 3.行程问题 路程=速度×时间 相遇：路程和=总距离 追及：路程差=距离 顺流=静水+水速，逆流=静水-水速 概念辨析例题：概念辨析：顺水速度=? 解析：水流助力。 ☆ 4.销售与配套 利润=售价-进价 利润率=利润/进价 打几折=乘零点几 配套：按比例列方程 概念辨析例题：概念辨析：打八折=? 解析：折扣换算。 📋 知识总结表 题型 等量关系 注意事项 年龄问题 年龄差不变 几年前/后加减 工程问题 工作量和=1 效率=1/天数 相遇问题 路程和=总距离 同时出发 追及问题 路程差=距离 快追慢 顺逆流 路程相等 速度加减水速 销售问题 利润=售价-进价 打折乘零点几 配套问题 部件数成比例 1套配几 【考点1】倍数大小关系列方程（第1-5题） 年龄差不变 日历问题中间数x 古代趣题列方程 1．（2026春•张家川县校级期末）若代数式3x比代数式小1，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】根据题意列出方程，再解一元一次方程，即可解题． 【解答】解：∵代数式3x比小1， ∴， ∴6x＝x﹣3﹣2， 解得x＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于根据题意列出方程． 2．（2026秋•同步）现在姐姐年龄是妹妹年龄的2倍，而三年前妹妹年龄只有姐姐年龄的，则姐姐现在的年龄是（　　） A．4岁 B．6岁 C．8岁 D．10岁 【分析】设姐姐现在的年龄是x岁，则妹妹现在的年龄是x岁，根据三年前妹妹年龄只有姐姐年龄的，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设姐姐现在的年龄是x岁，则妹妹现在的年龄是x岁， 根据题意得：x﹣3（x﹣3）， 解得：x＝8， ∴姐姐现在的年龄是8岁． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2026•福田区校级开学）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟年龄只是哥哥年龄的，今年哥哥（　　）岁． A．21 B．22 C．23 D．24 【分析】设今年哥哥x岁，则今年弟弟x岁，根据九年前弟弟年龄只是哥哥年龄的，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设今年哥哥x岁，则今年弟弟x岁， 根据题意得：x﹣9（x﹣9）， 解得：x＝24， ∴今年哥哥24岁． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2026秋•同步）请引入适当的未知数，并列出方程． 我国著名的珠算家程大位的名著《直指算法统宪》有一道数学趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几个？” 【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可． 【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人， 根据题意得：3x（100﹣x）＝100． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据和尚数和馒头数为等量关系列出方程． 5．（2025秋•襄城区期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（　　） A．75 B．100 C．115 D．120 【分析】设框住五个数的中间的数为x另外，则四个数分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8，将五个数相加，可得出五个数之和为5x，代入各选项中的数，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合x+8不超过31，即可确定结论． 【解答】解：设框住五个数的中间的数为x另外，则四个数分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8， ∴五个数的和为x﹣8+x﹣6+x+x+6+x+8＝5x． A．根据题意得：5x＝75， 解得：x＝15， ∴小明的计算结果可能是75，选项A不符合题意； B．根据题意得：5x＝100， 解得：x＝20， ∴小明的计算结果可能是100，选项B不符合题意； C．根据题意得：5x＝115， 解得：x＝23， ∴小明的计算结果可能是115，选项C不符合题意； D．根据题意得：5x＝120， 解得：x＝24， ∴x+8＝24+8＝32， ∵32＞31， ∴小明的计算结果不可能是120，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【考点2】工程问题（第6-10题） 总工作量设1 效率=1/天数 配套部件成比例 6．（2025秋•永年区期末）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1立方米钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用x立方米钢材制作A部件，则可列式为（　　） A．40x＝240（6﹣x）×3 B．3×40x＝240（6﹣x） C．240x＝40（6﹣x）×3 D．3×240x＝40（6﹣x） 【分析】设用x立方米钢材做A部件，则做B部件的钢材为（6﹣x）立方米，根据仪器配套要求（1个A部件配3个B部件），B部件数量应等于A部件数量的3倍，由此列方程即可． 【解答】解：由题意可得，3×40x＝240（6﹣x）． 故选：B． 【点评】本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器． 7．（2025秋•北流市期末）我国古代的数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其大意为：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，五天共织布五尺，问每天各织多少布？根据此问题中的已知条件，设第一天织布x尺，根据题意可列方程（　　） A．x+2x+4x+6x+8x＝5 B．x+2x+4x+8x+16x＝5 C．x+2x+3x+4x+5x＝5 D．x+x2+x3+x4+x5＝5 【分析】设第一天织布x尺，根据题意“每天织布量为前一天的2倍”可得，第二天的织布为2x尺，第三天织布为4x尺，第四天织布为8x尺，第五天织布为16x尺，再根据“五天共织布五尺”列式即可． 【解答】解：根据题意可列方程为： x+2x+4x+8x+16x＝5． 故选：B． 【点评】本题考查列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 8．（2026春•河口区期末）重庆市为迎接渝超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要30天完成，乙队独做需要45天完成． （1）列方程解下列问题：若甲、乙两队同时施工12天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ （2）在（1）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用2万元，乙队单独施工每天需费用1.2万元．问：完成该项工程总共需要花费多少万元？ 【分析】（1）设乙队还需要x天完成任务，结合题意建立一元一次方程后求解即可； （2）结合题意，利用有理数的混合运算法则计算即可得解． 【解答】解：（1）设乙队还需要x天完成任务， 则依题意得， 1， 解得x＝15， 故乙队还需要15天完成任务； （2）完成该项工程总共需要花费12×（2+1.2）+15×1.2＝56.4（万元）， 故完成该项工程总共需要花费56.4万元． 【点评】本题考查的知识点是工程问题（一元一次方程的应用）、有理数的混合运算法则，解题关键是结合题意建立一元一次方程． 9．（2025秋•寿阳县期末）某工厂有技术人员20人，平均每人每天可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，每天生产的甲、乙两种零件刚好配套．若设安排生产甲种零件的技术人员x人，则可列方程为　5×12x＝2×10（20﹣x）　 ． 【分析】设安排生产甲种零件的技术人员为x人，则生产乙种零件的技术人员为20﹣x人；根据配套比例（2个甲种零件与5个乙种零件配成一套）和零件总产量，列出方程使甲种零件与乙种零件的套数相等． 【解答】解：根据题意可得：5×12x＝2×10（20﹣x）， 故答案为：5×12x＝2×10（20﹣x）． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意是解题关键． 10．（2026春•同步）一份工作，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成．现在甲先单独做1天，接着乙又单独做4天，剩下的工作由甲、乙两人合做，求合做多少天可以完成全部工作任务．设合做x天可以完成全部工作任务，请列出方程． 【分析】仔细阅读题意，找到等量关系，列出方程即可． 【解答】解：设合做x天可以完成全部工作任务， 根据题意得：（x+1）（x+4）＝1． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系，难度不大． 【考点3】路程问题（第11-15题） 相遇路程和 追及路程差 顺逆流速度加减 11．（2025秋•徐闻县期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人．多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（　　） A．4（x﹣1）＝2x+8 B．4（x+1）＝2x﹣8 C．1 D．1 【分析】由每4人乘一车，最终剩余1辆车，求总人数为4（x﹣1）；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为2x+8，依此列出方程即可求解． 【解答】解：根据题意可列出方程：4（x﹣1）＝2x+8． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 12．（2025秋•高州市期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C．240（x﹣12）＝160x D．240x＝160（x+12） 【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马， ∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天． 根据题意得：240x＝160（x+12）． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．（2024秋•平阴县校级月考）一题多变 （1）改为根据古代数学问题列方程 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为　　 ． （2）改为不同时的相遇问题 学校组织七年级学生举行了一场“百米击掌”活动，比赛规则为：每班派两位同学分别站在相距300米的A点和B点，一人听到哨声后出发，另一人在第一个人出发3秒后出发，两人相向而行，相遇后立即击掌代表完成比赛，用时最短的班级获胜．小明听到哨声后以4米/秒的平均速度出发，3秒后小晨出发，最终用时35s完成比赛，则小晨的平均速度为　5　 米/秒． （3）改为追及问题 小明和爸爸准备步行去附近的公园，小明先以4千米/时的速度步行前往，20分钟后，爸爸骑共享单车以8千米/时的速度追赶小明，则爸爸追上小明需要多长时间？ 【分析】（1）设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，根据题意列出方程即可； （2）设小晨的平均速度为x米/秒，列出方程4×35+（35﹣3）x＝300，然后求解即可； （3）设爸爸追上小明所用的时间为x小时，则小明走的路程为米，爸爸走的路程为8x米，列出方程，然后求解即可． 【解答】解：（1）设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日， 可列方程为， 故答案为：； （2）设小晨的平均速度为x米/秒，根据题意得4×35+（35﹣3）x＝300， 解得x＝5， ∴小晨的平均速度为5米/秒． 故答案为：5； （3）设爸爸追上小明的时间为x小时，爸爸走的路程为8x米， 由题意得， 解得， 答：爸爸追上小明需要小时． 【点评】此题考查了一元一次方程和实际应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 14．（2025秋•杨浦区期末）一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少0.5小时，已知该轮船在静水中的速度为27千米/小时，水流的速度是3千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是x千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 x 逆流 x 所列方程 【分析】根据等量关系：一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少0.5小时，列方程即可． 【解答】解：设甲乙两地的距离是x千米， 顺流速度为27+3＝30（千米/小时），逆流速度为27﹣3＝24（千米/小时）， 根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 30 x 逆流 24 x 所列方程 0.5 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 15．（2025秋•丰满区期末）某轮船沿着松花江先从A港顺水行驶到B港，再从B港沿同一路线逆水行驶返回A港，已知轮船逆水行驶的时间比顺水行驶的时间多用了1h，轮船在静水中的速度为22km/h，水流速度为2km/h．求A港和B港之间的距离． （提示：顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度） （1）轮船顺水行驶的速度为　24　 km/h，逆水行驶的速度为　20　 km/h． （2）请将以下解题过程补充完整． 解法一：设轮船从A港顺水行驶到B港所需时间为xh，则从B港逆水行驶返回A港所需时间为（x+1）h．根据题意可列方程，得… 解法二：设A港和B港之间的距离为ykm．根据题意可列方程，得… 【分析】（1）根据顺流速度＝静水速度+水速，逆流速度＝静水速度﹣水速解答即可； （2）根据题意列出方程解答即可求解． 【解答】解：（1）根据顺流速度＝静水速度+水速，逆流速度＝静水速度﹣水速解答可得： 轮船顺水行驶的速度为22+2＝24km/h，逆水行驶的速度为22﹣2＝20km/h， 故答案为：24，20； （2）解法一：设轮船从A港顺水行驶到B港所需时间为xh，则从B港逆水行驶返回A港所需时间为（x+1）h， 根据题意得，24x＝20（x+1）， 解得x＝5， ∴24x＝24×5＝120， 答：A港和B港之间的距离为120km； 解法二：设A港和B港之间的距离为ykm， 根据题意得，， 解得y＝120， 答：A港和B港之间的距离为120km． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【考点4】图形问题（第16-19题） 边长关系列方程 角转动问题 水位变化 16．（2025秋•城阳区校级月考）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为　143　 平方厘米． 【分析】设这6个正方形中最大的一个边长为x厘米，根据图形中的数量关系，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x厘米， ∵中间的最小的正方形的面积为1平方厘米， ∴中间的最小的正方形的边长为1厘米， ∴其余的正方形边长分别为（x﹣1）厘米，（x﹣2）厘米，（x﹣3）厘米，（x﹣3）厘米， 根据题意得：x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2， 解得：x＝7， ∴长方形的长为x+x﹣1＝13（厘米），宽为x+x﹣3＝11（厘米）， ∴长方形的面积为13×11＝143（平方厘米）． 故答案为：143． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 17．（2025秋•商河县期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，摩托车、电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20个，乙种头盔30个，共花费2700元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）在进价不变的条件下，今年4月初该商场购进100个甲头盔，200个乙头盔，计划以甲头盔每个90元、乙头盔每个80元的售价售出．为了响应济南公安交警部门的号召，决定两种头盔一律八折促销，鼓励大家购买佩戴，在“五一”黄金周之前，火速售完．商家4月份销售两种头盔的总利润为多少元？ 【分析】（1）设乙种头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是（x+10）元，根据“购买甲种头盔20个，乙种头盔30个，共花费2700元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即乙种头盔的单价），再将其代入（x+10）中，即可求出甲种头盔的单价； （2）利用总利润＝每个甲种头盔的销售利润×购进甲种头盔的数量+每个乙种头盔的销售利润×购进乙种头盔的数量，即可求出结论． 【解答】解：（1）设乙种头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是（x+10）元， 根据题意得：20（x+10）+30x＝2700， 解得：x＝50， ∴x+10＝50+10＝60（元）． 答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是50元； （2）根据题意得：（90×0.8﹣60）×100+（80×0.8﹣50）×200 ＝（72﹣60）×100+（64﹣50）×200 ＝12×100+14×200 ＝1200+2800 ＝4000（元）． 答：商家4月份销售两种头盔的总利润为4000元． 【点评】本题主要考点了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18．（2025秋•峡江县期末）如图1，∠AOB＝120°，过点O在∠AOB的内部作射线OC，使得，射线OD从射线OB开始以每秒3°的速度绕着点O顺时针转动，当∠COD为平角时OD停止转动，设转动的时间为t秒． （1）当射线OD位于射线OC的左侧时，∠COD＝　（90﹣3t）　 °（用含t的式子表示）； （2）当射线OD平分∠AOC时，求t的值； （3）如图2，射线OE从射线OC开始以每秒1°的速度与射线OD同时开始绕着点O顺时针转动，同时停止，当时，求t的值． 【分析】（1）先求出∠BOC度数，再根据∠BOD＝（3t）°，列出方程，即可； （2）根据角平分线的定义可得，列出方程，即可； （3）分三种情况解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC ＝ ∠BOC，∠AOB ＝ 120°， ∴， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣30°＝90°， ∵射线OD从射线OB开始以每秒3°的速度绕着点O顺时针转动， ∴∠BOD＝（3t）°， ∴当射线OD位于射线OC的左侧时，∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝（90﹣3t）°， 故答案为：（90﹣3t）； （2）∵射线OD平分∠AOC， ∴， ∴， 解得t＝35； （3）由题意得∠COE＝t°， 当OD与OC重合时，则∠COD＝0°，∠COE＝t°， ∴t＝0，不符合题意，应舍去； 当OD越过OC时，∠COD＝（3t﹣90）°， ∵， ∴， 解得t＝90； 当OD未转动到OC时，∠COD＝（90﹣3t）°， ∵， ∴， 解得t＝18； 综上所述，当时，t＝18或90． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． 19．（2026秋•单元）我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （温馨提示：仔细看图，玻璃桶高65cm，桶内液面原来高度为26cm） （1）放入一个小球水面升高 　3　 cm，放入一个大球水面升高 　4　 cm． （2）如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61cm，应放入大球、小球各多少个？ （3）若放入一个钢珠可以使水面上升kcm，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41cm，则k的整数值为 　2或12　 ．（小球和钢珠都完全在水面以下） 【分析】（1）利用放入一个小球（大球）水面上升的高度＝（放入小球（大球）后水面的高度﹣水面的初始高度）÷放入小球（大球）的个数，即可求出结论； （2）设应放入大球x个，小球y个，根据“放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61cm”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据水面上升到41cm，可列出关于k，m的方程，变形后可用含k的代数式表示出m，再结合m，k均为正整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：放入一个小球水面升高（35﹣26）÷3＝3（cm）； 放入一个大球水面升高（34﹣26）÷2＝4（cm）． 故答案为：3，4； （2）设应放入大球x个，小球y个， 根据题意得：， 解得：． 答：应放入大球5个、小球5个； （3）设放入m个小球，则放入m个钢珠， 根据题意得：3m+km＝41﹣26， ∴m． 又∵m，k均为正整数， ∴或， ∴k的值为2或12． 故答案为：2或12． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，用含k的代数式表示出放入钢珠的个数． 【考点5】盈亏问题（第20-24题） 利润=售价-进价 利润率=利润/进价 打折分类讨论 20．（2025秋•肇源县期末）综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来．春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1500元购进甲、乙两种水果共150千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 甲 8 12 乙 14 20 问题解决： （1）该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ （2）若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利580元，求按原售价售出乙种水果多少千克． 【分析】（1）设该水果店这一天购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（150﹣x）千克，利用购进甲、乙两种水果共150千克列式求解即可； （2）设按原售价售出乙种水果y千克，利用卖出后共获利580元列式求解即可． 【解答】解：（1）设该水果店这一天购进甲种水果x千克， 根据题意得8x+14（150﹣x）＝1500， 解得x＝100， ∴150﹣x＝50， 答：该水果店这一天购进甲种水果100千克，乙种水果50千克； （2）设按原售价售出乙种水果y千克， 根据题意得（12﹣8）×100+（20﹣14）y+（2014）（50﹣y）＝580， 解得y＝35． 答：按原售价售出乙种水果35千克． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键． 21．（2025秋•海城市期末）一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按标价的八折出售，可盈利50元；若每件服装按标价的六折出售，则亏损50元． （1）求每件服装的标价； （2）若这种服装一共库存80件．按标价八折出售一部分后，将余下服装按标价的五折全部出售，结算时发现共获利1600元，求按八折出售服装的件数． 【分析】（1）首先假设出每件服装的标价为x元，根据如果每件服装按标价的8折出售，可盈利50元．若每件服装按标价的6折出售，则亏损50元，可以表示出进价，从而得出等式方程，进而求出； （2）可设按8折出售的服装有y件，根据等量关系：共获利1600元，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设每件服装的标价为x元，则： 0.8x﹣50＝0.6x+50， 解得x＝500， 答：每件服装的标价为500元； （2）若这种服装一共库存80件．按标价八折出售一部分后，将余下服装按标价的五折全部出售，结算时发现共获利1600元， 设按8折出售的服装有y件， 50y+（500×0.5﹣500×0.8+50）（80﹣y）＝1600， ∴y＝64， 答：按8折出售的服装有64件． 【点评】本题主要考查了一元一次方程中打折问题，解题的关键是根据题意列出等式，假设出标价得出等式方程． 22．（2026•皇姑区校级开学）乘坐飞机的每位旅客，携带的行李超过20千克的部分，每千克要按飞机原票价的1.5%购买行李票． （1）李明从沈阳到广州的机票打八折后是808元，这张机票的原价是多少元？ （2）他带了25千克行李，应付行李费多少元？ 【分析】（1）设机票的原价是x元，机票打八折即现价是原价的80%，由此列方程即可； （2）先算出行李超重的质量，再用机票原价乘1.5%得到每千克行李的收费标准，最后乘超重质量就能算出应付行李费． 【解答】解；（1）设机票的原价是x元， 根据题意，得80%x＝808， 解得x＝1010， 故这张机票的原价是1010元； （2）1010×1.5%×（25﹣20）＝15.15×5＝75.75（元）， 答：应付行李费75.75元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列方程求解． 23．（2026•花垣县校级开学）商店从农业园进化肥，一袋化肥的售价比进价多50%，售价减去进价就是利润．现在化肥八折优惠，一袋化肥的利润减少至30元．这一袋化肥的进价是多少元？ 【分析】以打折后单袋化肥利润为30元为等量关系，设未知数列一元一次方程求解． 【解答】解：设这一袋化肥的进价是x元， 根据题意可得（1+50%）x×80%﹣x＝30， 去括号，得1.2x﹣x＝30． 化系数为1，得x＝150， 答：这一袋化肥的进价是150元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 24．（2025秋•赣榆区期末）苏州市某商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价80元，售价100元；B种商品每件的售价为60元，利润率为50%（利润率100%）． （1）每件A种商品的利润率为 　25%　 ；B种商品每件的进价为 　40　 元； （2）若该商场同时购进A、B两种商品共40件，总进价恰好为2200元，求购进A种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小华一次性购买商品实际付款1044元，求小华所购商品优惠前的总金额为多少元？ 【分析】（1）根据利润率的概念列出算式计算可得答案； （2）设购进A种商品m件，根据总进价恰好为2200元得：80m+40（40﹣m）＝2200，即可解得答案； （3）设小华所购商品优惠前的总金额为x元；分两种情况：①当900＜x≤1200时，0.9x＝1044；②当x＞1200时，1200×0.8+0.7（x﹣1200）＝1044，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵100%＝25%， ∴每件A种商品的利润率为25%； ∵60÷（1+50%）＝40（元）， ∴B种商品每件的进价为40元； 故答案为：25%，40； （2）设购进A种商品m件， 根据题意得：80m+40（40﹣m）＝2200， 解得m＝15， ∴购进A种商品15件； （3）设小华所购商品优惠前的总金额为x元； ①当900＜x≤1200时， 0.9x＝1044， 解得x＝1160； ②当x＞1200时， 1200×0.8+0.7（x﹣1200）＝1044， 解得x＝1320； ∴小华所购商品优惠前的总金额为1160元或1320元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和分类思想的应用． 【考点6】分配与配套问题（第25-30题） 总人数不变 配套比例列方程 调人支援问题 25．（2026•铁东区三模）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为（　　） A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x+9 C．2（x﹣3）＝2x+9 D．2（x+3）＝2x﹣9 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是抓住总人数不变的等量关系，分别用两种乘车情况表示总人数，即可列出对应方程 【解答】解：根据题意可得： 3（x﹣2）＝2x+9， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 26．（2026•红河州模拟）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用x千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A．3x＝6（9﹣x） B．3x＝4×6（9﹣x） C．6×3x＝4（9﹣x） D．4×3x＝6（9﹣x） 【分析】根据每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，可以列出方程4×3x＝6（9﹣x），然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 4×3x＝6（9﹣x）， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 27．（2025秋•安定区期末）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【分析】设安排x人生产桌面，则安排（85﹣x）人生产桌腿，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设安排x人生产桌面， 3×8x＝10（85﹣x） 24x＝850﹣10x， 解得x＝25， 85﹣x＝60， 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能够理解题意列出方程是解题关键． 28．（2025秋•康平县期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． （1）求调整后车间共有多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产600个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【分析】（1）根据“调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人”列方程求解； （2）根据“1个螺栓需要2个螺母”列方程求解． 【解答】解：（1）设调整后车间共有x名工人， 则：x＝3（x﹣16）+4， 解得：x＝22， 答：调整后车间共有22名工人； （2）设安排a名工人生产螺母， 则：1000a＝2×600（22﹣a）， 解得：a＝12， ∴22﹣a＝10， 答：安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺栓． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 29．（2025秋•庐江县期末）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个． （1）七年级四班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，根据男生人数比女生人数多2人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即男生的人数），再将其代入（48﹣x）中，即可求出女生人数； （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据这节课制作的盒底的总数量是制作的盒身总数量的2倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人， 根据题意得：x﹣（48﹣x）＝2， 解得：x＝25， ∴48﹣x＝48﹣25＝23． 答：七年级四班有男生25人，女生23人； （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得：26（25﹣y）＝2×11（23+y）， 解得：y＝3． 答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 30．（2025秋•崂山区校级月考）七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】（1）根据总人数和男生与女生的数量关系列方程求解即可； （2）根据配套关系，盒底数量是盒身数量的2倍，列方程求解即可． 【解答】解：（1）设女生人数为x人，则男生人数为（2x﹣16）人， 根据题意，得x+（2x﹣16）＝50， 3x﹣16＝50， 3x＝66， x＝22， 2x﹣16＝2×22﹣16＝44﹣16＝28， 答：七年级一班有男生28人，女生22人； （2）设需要m名男生去支援女生， 支援后，做盒身的人数为（22+m）人，做盒底的人数为（28﹣m）人， 盒身总数为12（22+m）个，盒底总数为26（28﹣m）个， 根据配套关系，得， 26（28﹣m）＝24（22+m）， 728﹣26m＝528+24m， 728﹣528＝24m+26m， 200＝50m， m＝4， 答：需要4名男生去支援女生． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【考点7】数字问题（第31-35题） 两位数=10a+b 竞赛得分问题 美好方程新定义 31．（2025秋•德阳期末）如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30，则由此可知图1中小长方形较长的边为　5　 ． 【分析】设图1中小长方形较长的边为x，另一边为y，根据题意列得方程，解方程即可． 【解答】解：设图1中小长方形较长的边为x，另一边为y， 由题意得2（x+y+x+x﹣y）＝30， 整理得：6x＝30， 解得：x＝5， 即图1中小长方形较长的边为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 32．（2026春•同步）根据下列数量关系列方程： （1）x的2倍与3的和是11； （2）12减去x的平方的差是8； （3）x的立方与4的和是12； （4）x比它的相反数大4； （5）12减去x的差等于8； （6）x与2的和的3倍等于6； （7）x与﹣9的和的平方等于25； （8）x比它的相反数小6； （9）x的倒数等于x的4倍； （10）x与﹣3的差的等于． 【分析】（1）根据x的2倍与3的和是11得到方程2x+3＝11； （2）根据12减去x的平方的差是8得到方程即可； （3）根据x的立方与4的和是12即可得到方程； （4）根据x比它的相反数大4即可得到方程； （5）根据12减去x的差等于8即可得到结论； （6）根据x与2的和的3倍等于6即可得到方程； （7）根据x与﹣9的和的平方等于25即可得到结论； （8）根据x比它的相反数小6即可得到结论； （9）根据x的倒数等于x的4倍即可得到方程； （10）根据x与﹣3的差的等于即可得到方程． 【解答】解：（1）根据题意得，2x+3＝11； （2）根据题意得，12﹣x2＝8； （3）根据题意得，x3+4＝12； （4）根据题意得，x4； （5）根据题意得，12﹣x＝8； （6）根据题意得，3（x+2）＝6； （7）根据题意得，（x﹣9）2＝25； （8）根据题意得，（﹣x）﹣x＝6； （9）根据题意得，4x； （10）根据题意得，[x﹣（﹣3）]． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 33．（2025秋•霸州市期末）学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）由表格知，答对1题得　5　 分，答错1题扣　1　 分； （2）同学F得了76分，他答对了几道题？请通过计算说明； （3）同学G说他得了80分．你认为可能吗？为什么？ 【分析】（1）利用答对1题的得分＝同学A的总得分÷同学A答对题目数，可求出答对1题的得分；利用答错1题扣的分＝5×同学B答对的题目数﹣同学B的总得分，可求出答错1题扣的分； （2）设同学F答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，根据同学F得了76分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）假设同学G能得80分，设同学G答对了y道题，则答错了（20﹣y）道题，根据同学G得了80分，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，结合y为非负整数，可得出y不符合题意，进而可得出假设不成立，即同学G不可能得80分． 【解答】解：（1）根据题意得：答对1题得100÷20＝5（分）； 答错1题扣5×19﹣94＝1（分）． 故答案为：5，1； （2）设同学F答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣（20﹣x）＝76， 解得：x＝16． 答：同学F答对了16道题； （3）同学G不可能得80分，理由如下： 假设同学G能得80分，设同学G答对了y道题，则答错了（20﹣y）道题， 根据题意得：5y﹣（20﹣y）＝80， 解得：y， 又∵y为非负整数， ∴y不符合题意， ∴假设不成立，即同学G不可能得80分． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 34．（2025秋•寿阳县期末）已知关于x的方程与方程3x+1＝﹣5的解互为相反数，求m的值． 【分析】分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于m的方程，即可求解． 【解答】解：解方程， x+m+6＝6x， 6x﹣x＝m+6， 5x＝m+6， 解得， 解方程3x+1＝﹣5， 3x＝﹣5﹣1， 3x＝﹣6， 解得x＝﹣2， ∵关于x的方程与方程3x+1＝﹣5的解互为相反数， ∴， 解得m＝4， ∴m的值为4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键． 35．（2025秋•淮南期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x＝﹣4和x﹣3＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程4x+m＝0与方程3x﹣6＝x+8是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”求出的解为x＝﹣2026，再把变形为，即可得到y+1＝2027． 【解答】解：（1）解方程4x+m＝0得：， 解方程3x﹣6＝x+8得：x＝7， 由题意可得：， ∴m＝24． （2）∵“美好方程”其中一个解为n， ∴另一个解为1﹣n， ∵“美好方程”的两个解的差为7， ∴1﹣n﹣n＝7或n﹣（1﹣n）＝7， 解得n＝﹣3或n＝4． （3）解方程得：x＝﹣2026， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴的解是x＝1﹣（﹣2026）＝2027， ∵， ∴， ∴y+1＝x＝2027， 解得y＝2027﹣1＝2026． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 【考点8】销售问题（第36-42题） 标价折扣 分段计费 商品利润综合 36．（2026春•香坊区校级期中）一件标价500元的商品，打八折出售，售价是（　　）元． A．100 B．200 C．300 D．400 【分析】先根据一件商品打八折后就是按原价的80%出售，求出这件商品的售价． 【解答】解：500×80%＝400元． 故选：D． 【点评】本题主要考查了折扣问题，根据题意、正确列式计算成为解题的关键． 37．（2026•扬州二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为　5x+3＝7x﹣5　 ． 【分析】根据题意用含x的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程． 【解答】解：根据题意可列方程：5x+3＝7x﹣5． 故答案为：5x+3＝7x﹣5． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 38．（2025秋•兴庆区校级期末）2024年，银川全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长0～4小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． （1）若小石在该充电桩充电2.5小时，需支付费用多少元？ （2）若小石在该充电桩充电x（x＞4）小时，需支付费用　（2x+4）　 元（用含有x的代数式表示）． （3）小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【分析】（1）根据充电时长0～4小时（含4小时）每小时收费3元，列式计算即可解答； （2）根据充电时长0～4小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元，列式计算即可解答； （3）设第一周充电m小时，第二周充电（10﹣m）小时，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）2.5×3＝7.5（元）， 答：需支付费用7.5元． （2）4×3+（x﹣4）×2＝（2x+4）元， 故答案为：（2x+4）． （3）设第一周充电m小时，第二周充电（10﹣m）小时， ∵第一周充电时长超过6小时， ∴第二周充电时长小于4小时， 根据题意得2m+4+3（10﹣m）＝27， 解得m＝7， 则10﹣m＝3； 答：小石第一周充电7小时，第二周充电3小时． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，正确列出方程是解题的关键． 39．（2026秋•苏家屯区月考）商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？ 【分析】设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元，根据“共亏损了60元”列出方程求解即可． 【解答】解：设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元， （2x+x）﹣（2x+x）×（1+20%）×80%＝60， 解得：x＝500， 2x＝1000， 答：商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 40．（2025秋•苏州月考）华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可； （2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：x＝200， ∴， ∴购进甲商品200件，购进乙商品100件； ∴200×（25﹣20）+100×（40﹣30）＝2000（元）， 答：可获利2000元； （2）第二次购进甲商品200件， 第二次购进乙商品100×3＝300（件）， 设第二次乙商品是按原价打y折销售， ， 解得：y＝9， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． 41．（2025秋•成华区期末）某地物产丰富，其中茶叶尤为著名，现有A、B两名农户种植茶叶，A农户种植了10亩茶叶，B农户种植了16亩茶叶，A农户平均每亩制成的茶叶重量是B农户每亩制成茶叶重量的60%（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．A农户制成茶叶A，B农户制成茶叶B，2025年他们制成茶叶A和茶叶B两种产品共计440千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（千克） 每盒售价（元） 茶叶A 0.2 200 茶叶B 0.4 120 根据以上信息，回答下列问题： （1）求制成的茶叶A和茶叶B各多少千克？ （2）若销售这两种茶叶共500盒，销售额为84000元，求销售茶叶A的盒数； （3）若小明第一次销售这两种茶叶共700盒，第二次销售时对所有剩下的茶叶A打八折促销．全部销售后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多12000元．求第一次销售茶叶A多少盒？ 【分析】（1）设B农户每亩产茶重量为x千克，根据“A、B总产量＝440千克”列方程，分别求出A、B的产量； （2）设销售茶叶A的盒数为m，根据“总盒数＝500、总销售额＝84000元”列方程求解； （3）先确定A、B的总存量，设第一次销售A的盒数为n，分别表示出第一次、第二次的销售额，根据“第二次销售额﹣第一次销售额＝12000元”列方程． 【解答】解：（1）设B农户每亩制成茶叶的重量为x千克，则A农户每亩制成茶叶的重量为0.6x千克． 根据总产量可列方程：10×0.6x+16x＝440， 解得x＝20， 故茶叶A的重量为：10×0.6×20＝120（千克）， 茶叶B的重量为：16×20＝320（千克）． 答：“绿杨春”茶叶A有120千克，“绿杨春”茶叶B有320千克． （2）设销售茶叶A的盒数为m，则销售茶叶B的盒数为500﹣m， 根据销售额列方程：200m+120（500﹣m）＝84000， 解得m＝300． 答：销售茶叶A的盒数有300盒． （3）根据题意，两种茶叶总盒数为： 茶叶A总盒数为120÷0.2＝600（盒）， 茶叶B总盒数为320÷0.4＝800（盒）， 设第一次销售茶叶A的盒数为n， 则第一次销售茶叶B的盒数为700﹣n， 剩余的茶叶A的盒数为600﹣n， 剩余的茶叶B的盒数为800﹣（700﹣n）＝100+n， 可得第一次的销售额为：200n+120（700﹣n）， 第二次的销售额为：160（600﹣n）+120×（100+n）， 根据题意可列方程： 160（600﹣m）+120（100+m）﹣[200m+120（700﹣m）]＝12000， 化简可得：24000﹣120m＝12000 解得n＝100． 答：第一次销售茶叶A100盒． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，寻找题目中的等量关系列方程求解是解题关键． 42．（2025秋•铁岭县期末）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【分析】（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进A商品的数量），再将其代入（500﹣x）中，即可求出购进B商品的数量； （2）利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品， 根据题意得：40x+10（500﹣x）＝11000， 解得：x＝200， ∴500﹣x＝500﹣200＝300． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）根据题意得：40×（1+50%）×200+30×30030300×（1）﹣11000＝9400， 解得：m＝9． 答：m的值为9． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【考点9】创新压轴（第43-48题） 数轴动点 分段水费 跑道周长 43．（2023秋•香洲区校级期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为9．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣3　 ，点P表示的数是 　（6﹣3t）　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为9．即可得点B表示的数；再由P的运动速度为每秒3个单位，用6减去P运动的距离即可得到它所表示的数； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为9， ∴得B点表示的数为6﹣9＝﹣3， 当点P表示的数为（6﹣3t）． 故答案为：﹣3，（6﹣3t）． （2）①根据题意，得， 3t﹣2t＝9， 解得t＝9， 答：当P运动9秒时，点P追上点Q． ②根据题意，得， 当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度： 2t+（9﹣3t）＝8， 解得t＝1； 当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度： （3t﹣9）﹣2t＝8， 解得t＝17． 答：当点P运动1秒或17秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． 44．（2026秋•香洲区校级月考）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为15000米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持200米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到240米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多5分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在20分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【分析】先设起点到第一个补给站的时间为x分钟，表示出两段路程，利用第一个补给站到第二个补给站路程为6000米列方程求出x，再算出第二个补给站到终点的距离，最后根据求出最小平均速度． 【解答】解：设小杰从起点跑到第一个补给站用时x分钟，则起点到第一个补给站路程为200x米， 从第一个补给站到第二个补给站用时（x+5）分钟，这段路程为240（x+5）米． 小杰从起点出发保持200米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到240米/分，按照这个速度到达了第二个补给站． 由图可知第一个补给站到第二个补给站总路程为6000米： 240（x+5）＝6000， 解得：x＝20， 起点到第一个补给站路程：20×200＝4000（米）， 总路线长15000米，所以第二个补给站到终点路程：15000﹣6000﹣4000＝5000（米）， 要求20分钟内跑完，则这段路程的最低平均速度为（米/分）． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 45．（2025秋•汝南县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　 ，线段AB的中点C表示的数为 　3　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t ；点Q表示的数为 　8﹣2t ； （2）求当t为何值时，PQAB； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，则PQ＝|5t﹣10|，再由，可得|5t﹣10|＝5，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度． 【解答】（1）解：①由题意得：AB＝|﹣2﹣8|＝10， 线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②由题意得：t秒后，点P表示的数为：﹣2+3t， 点Q表示的数为：8﹣2t； 故答案为：﹣2+3t，8﹣2t； （2）解：∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又∵， ∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3， ∴当t＝1或3时，； （3）解：不发生变化， 理由如下：∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴点M表示的数为 ，点N表示的数为 ， ∴． 【点评】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 46．（2025秋•德阳期末）综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时•辆） 8元/（小时•辆） （参考公式：冷柜使用费＝冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用＝路费+冷柜使用费） （1）请求出A型车从某县到甲地的时间； （2）问这批砂糖桔共有多少吨？ （3）本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【分析】（1）设A型车从某县到甲地的时间为x小时，则B型车从某县到甲地的时间为（x﹣2）小时，根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有y吨，根据单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【解答】解：（1）设A型车从某县到甲地的时间为x小时，则B型车从某县到甲地的时间为（x﹣2）小时， 由题意得，60x＝75（x﹣2）， 解得：x＝10． 答：A型车从某县到甲地的时间为10小时； （2）设这批砂糖橘共有y吨， 由题意得，， 解得：y＝32． 答：这批砂糖桔共有32吨； （3）∵A型车为32÷8＝4（辆）； B型车为32÷7＝4（辆）...4（吨），即：4+1＝5（辆）； ∴运输32吨砂糖橘，A型车需要4辆，B型车需要5辆， 某县到甲地的距离为：60×10＝600（千米）． 安排A型车的总费用：1.5×600×4+10×10×4＝4000（元）， 安排B型车的总费用：1.5×600×5+8×8×5＝4820（元）， 因为4000＜4820，所以单独安排A运输能使总费用较少，是4000元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 47．（2025秋•宿城区期末）某地居民用水收费标准如表： 家庭每月用水量 收费 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3但不超过12m3的部分 4元/m3 超过12m3的部分 6元/m3 （1）已知小亮家去年10月份共用水13m3，则他家去年10月份应缴水费是多少？ （2）若小亮家去年11、12月份共用水24m3（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过6m3），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 【分析】（1）根据题意列式计算即可解答． （2）设小亮家11月份用水量是xm3，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）6×2+（12﹣6）×4+（13﹣12）×6＝42（元）， 答：他家去年10月份实际应缴水费是42元． （2）设小亮家11月份用水量是xm3， 由题意可得6×2+4（x﹣6+6×2+（12﹣6）×4+6（24﹣x﹣12）＝76； 解得x＝10． 则24﹣x＝14． 答：他家去年11月实际用水量是10m3，12月实际用水量是14m3． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 48．（2026秋•单元）综合与实践：七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材：如图①是学校操场实物图，图②是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为400m.400m标准跑道一般设置8条跑道，300m跑道设置6条跑道，直道长均为84.5m，每道宽1.22m．在一个标准的400m跑道内，100m，200m，400m，800m等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：π取3，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务：某校操场是400m跑道： （1）①求第一跑道弯道的半径； ②小明、小勇参加学校运动会200m比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是5.4m/s，小勇的速度是4.8m/s，他们同时跑向同一终点，小明几秒能追上小勇？ （2）小丽、小红参加学校运动会200m比赛，若小丽在第三跑道，小红在第n跑道（n＞3），并且第n跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸10.98m，求操场第n跑道的周长． 【分析】（1）①用总长度400减去两个直跑道，得到两个半圆的长，即为圆的周长，除以2π得到半径即可； ②求出小勇比小明多跑的路程，根据时间＝路程÷速度差，即可求出小明追上小勇的时间； （2）根据第三跑道弯道半径求出最外圈跑道弯道半径，进而求出操场最外圈跑道的周长即可． 【解答】解：（1）①根据题意得：（400﹣2×84.5）÷2÷3＝（400﹣169）÷2÷3≈231÷6≈38.5（m）， 则第一跑道弯道的半径38.5m； ②设第二跑道半径为R，第一跑道半径为r， 根据题意得：第一跑道弯道半径为38.5m，第二跑道弯道半径为38.5+1.22＝39.72（m）， 小勇比小明多跑πR﹣πr＝3×39.72﹣3×38.5＝3.66（m）， 则小明追上小勇的时间为3.66÷（5.4﹣4.8）＝6.1（s）； （2）第三跑道弯道半径为38.5+2×1.22＝40.94（m）， 最外圈跑道弯道半径为（3×40.94+10.98）÷3＝133.8÷3＝44.6（m）， 则操场第n跑道的周长为84.5×2+2×3×44.6＝436.6（m）． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弧长的计算，圆的周长，弄清题意是解本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 列方程关键是找等量关系 工程问题总工作量设1 行程问题画线段图 销售问题利润=售价-进价 配套问题按比例列方程 【作业 1】（2025秋•庆云县期末）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下： 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过1000元 全部打八折 超过1000元 全部打七五折 若王老师在此次促销活动中付款780元，问他购买的商品原价是　975或1040　 元． 【分析】分两种情况求解，当王老师购买的商品原价在500～1000之间时和原价在1000元以上时，设他购买的商品原价是x元，根据打折的不同情况分别列出一元一次方程求解即可得出答案． 【解答】解：分两种情况求解： 当王老师购买的商品原价在500～1000之间时，设他购买的商品原价是x元， 依题意得：0.8x＝780， 解得x＝975； 当王老师购买的商品原价在1000元以上时，设他购买的商品原价是x元， 依题意得：0.75x＝780， 解得x＝1040， 综上所述，他购买的商品原价是975元或1040元， 故答案为：975或1040． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据题意列出关系式． 【作业 2】（2026•贵州模拟）今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？（选自《九章算术》）题目大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和琎价各多少？设有x人，可列方程为（　　） A． B． C．2（x+4）＝3（x﹣3） D．2（x﹣4）＝3（x+3） 【分析】根据琎价不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：由题意，可列方程为x﹣4x+3． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•故城县期末）如图，在大长方形ABCD（CD是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽AE．解决这个问题时可设AE＝x．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程6+2x﹣x＝14﹣3x；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程6+2x＝14﹣3x，则下列判断正确的是（　　） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉、淇淇都不正确 C．嘉嘉正确，淇淇不正确 D．嘉嘉不正确，淇淇正确 【分析】根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【解答】解：根据题意得：6+2x﹣x＝14﹣3x或6+2x＝x+（14﹣3x）． ∴嘉嘉正确，淇淇不正确． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 4】（2026•榆阳区校级开学）某服装店搞促销活动，全场服装都打八五折出售，活动期间李华买了一条裙子，比原价便宜了18元．这条裙子的原价是（　　）元． A．117 B．120 C．140 D．187 【分析】将原价看作单位1，便宜的18元对应原价的15%，据此列方程可解得答案． 【解答】解：设这条裙子的原价是x元， ∵现价比原价便宜18元， ∴（1﹣85%）x＝18， 解得x＝120， ∴这条裙子的原价是120元； 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 【作业 5】（2026•龙岗区校级开学）某商店出售两件商品，售价都为100元，其中一件赚25%，而另一件亏25%，则商店盈亏情况是（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．无法判断 【分析】设盈利的那件商品的进价为x元，亏损的那件商品的进价为y元，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x（y）的一元一次方程，解之可得出x，y的值，再将其代入（100﹣x）+（100﹣y）中，即可得出结论． 【解答】解：设盈利的那件商品的进价为x元，亏损的那件商品的进价为y元， 根据题意得：100﹣x＝25%x，100﹣y＝﹣25%y， 解得：x＝80，y， ∴（100﹣x）+（100﹣y）＝（100﹣80）+（100）（元）， ∵0， ∴商店出售两件商品亏损了． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•如皋市期末）如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（　　） A．32 B．52 C．56 D．60 【分析】设正方形A的边长为x，则正方形C的边长为x+1，正方形B的边长为2x+1，正方形D的边长为x+2，正方形G的边长为x+7，正方形H的边长为x+11，根据大长方形的对边相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入4（2x+1）中，即可求出结论． 【解答】解：设正方形A的边长为x，则正方形C的边长为x+1，正方形B的边长为x+x+1＝2x+1，正方形D的边长为x+1+1＝x+2，正方形E的边长为x+2+1＝x+3，正方形F的边长为x+2+x+3﹣（x+x+1）＝4，正方形G的边长为x+3+4＝x+7，正方形H的边长为x+7+4＝x+11， 根据题意得：2x+1+x+1+x+2＝x+7+x+11， 解得：x＝7， ∴4（2x+1）＝4×（2×7+1）＝60． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•西安期末）整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人2小时的工作+增加3人后4小时的工作＝全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程． 【解答】解：假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则：一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，工作量为x，再增加3人和他们一起做4小时的工作量为（x+3），故可列式， 故选：D． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•昌都市期末）一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． （1）若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【分析】（1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用＝甲队每天的施工费用×甲队工作的时间+乙队每天的施工费用×乙队工作的时间，即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：x＝10． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成； （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元， 5000×（10+2）+4000×10＝100000（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． 【点评】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•安化县期末）为了更好地锻炼自己，适应社会生活，大学生小张参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1600元现金．当他工作满21天后，因故结束实习，结算工资时公司给了他一台M型平板电脑和520元现金． （1）这台M型平板电脑价值多少元？ （2）若小张工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为x元，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可． 【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元． 根据题意，得， x+520， 解得x＝2000． 答：这台M型平板电脑价值2000元． （2）由（1）知一台M型平板电脑价值2000元， 所以工作一个月（30天），他应获得的报酬为2000+1600＝3600（元）， 所以工作m天，他应获得的报酬为（元）． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•越秀区校级月考）在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分．承载着无数人的日常出行需求，某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） （1）甲、乙两车队共同合作了多少天？ （2）已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【分析】（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为（y+80）元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设甲、乙两车队共同合作了x天， 由题意可得， 解得x＝3， 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）设乙车队每天的租金是y元，则甲车队每天的租金是（y+80）元， 由题意可得3×（y+80）+（5+3）×y＝5740， 解得y＝500， 答：乙车队每天的租金是500元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键． 【作业 11】（2025秋•南湖区月考）元旦期间，小明、小华等同学跟随家长一同到某公园研学游玩，票价说明如下，小明与他爸爸的对话如图所示，试根据图中的信息解答下列问题： 成人票：60元/人． 学生票：按成人票价打5折． 团体票（人数≥10）：团队内成员一律按成人票价打7折． （1）本次游玩一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算更省钱的购票方案，并求出最少的购票费用． 【分析】（1）设本次游玩一共去了x个成人，则学生（12﹣x）个，根据单独购票总费用列一元一次方程，求解得成人和学生人数． （2）列出“全部买团体票”和“部分买团体票+部分买学生票”的方案，分别计算费用后对比，选出最省钱的方案． 【解答】解：（1）成人票：60元/人． 学生票：按成人票价打5折． 团体票（人数≥10）：团队内成员一律按成人票价打7折． 设本次游玩一共去了x个成人， 60x+60×0.5（12﹣x）＝600 解得x＝8， 则12﹣x＝12﹣8＝4， 答：本次游玩一共去了8个成人，4个学生． （2）∵一共有12人， ∴①全部买团体票：12×60×0.7＝504元． ②10人买团体票+2人买学生票：10×60×0.7+2×30＝420+60＝480元． 综上，最省钱的方案是“10人买团体票+2人买学生票”，最少购票费用为480元． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用及购票方案的最优选择，解题关键是通过方程确定人数，再结合票价规则分析不同购票组合的费用． 【作业 12】（2025秋•三亚期末）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t＝2时，AP＝　4　 ，此时点P表示的数为　﹣6　 ； （2）当PB＝2AP时，求t的值； （3）若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 【分析】（1）根据数轴上有理数的表示及两点距离可进行求解； （2）由题意易得点P表示的数为﹣10+2t，AB＝14﹣（﹣10）＝24，然后可分当P在A、B之间时，当P在B的右侧时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为14﹣t，则有|﹣10+2t﹣（14﹣t）|＝6，进而求解即可． 【解答】解：（1）在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 由题意得：AP＝2×2＝4，点P所表示的数为﹣10+4＝﹣6； 故答案为：4；﹣6； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t， ∵PB＝2AP，AB＝14﹣（﹣10）＝24， ∴分两种情况： ①当P在A、B之间时，即0＜t＜12，AP＝2t，PB＝24﹣2t， 则24﹣2t＝2×2t， 解得t＝4； ②当P在B的右侧时，AP＝2t，PB＝2t﹣24， 则2t﹣24＝2×2t， 解得t＝﹣12（舍去）， 综上，t的值为4； （3）设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度， 此时点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为14﹣t， 则|﹣10+2t﹣（14﹣t）|＝6， 即|3t﹣24|＝6， 解得3t﹣24＝6或3t﹣24＝﹣6， 即t＝10或t＝6； 答：经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度． 【点评】本题主要考查数轴上两点距离，整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $