暑期预习讲义（第9讲）——一元一次方程的应用 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

暑期预习讲义（第9讲）——一元一次方程的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 1 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 2 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 3 【题型 2】 工程问题（高频基础） 3 【题型 3】 行程问题（核心必考） 4 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 5 三.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 5 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 6 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 7 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 8 四.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心知识点： 1. 列一元一次方程解应用题的六大基本步骤：审、______、列、______、______、答。 2. 审题的核心是找准题目中的________，这是列方程的依据。 3. 设未知数分为直接设元和间接设元，优先选择______设元，复杂题型选择______设元。 4. 行程问题核心公式：路程 =______；顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 =______。 5. 工程问题核心公式：工作总量 =_____ × _____，通常将整体工程总量看作_______。 6. 利润问题核心公式：利润=售价 - ________；利润率= ；售价=原价×折扣。 7. 和差倍比问题：大数=小数 ± ________；总量 = 各部分量________。 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 1：审（审题）读懂题意，区分已知量、未知量，梳理题目数量关系，找准不变量、等量关系，这是解题关键。 2：设（设未知数）直接设元：求什么设什么，适用于简单题型；间接设元：不直接设所求量，设中间变量，简化方程，适用于复杂倍数、行程题型。 3：列（列方程）根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元一次方程。 4：解（解方程）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤规范解方程。 5：验（检验）双重检验：①检验方程解是否正确；②检验结果是否符合实际意义（人数、长度、时间不能为负数、小数不合理值）。 6：答（作答）规范书写答案，对应题目问题，完整作答。 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 （1）和差倍比问题（基础必考） 和=大数+小数；差=大数-小数； 几倍量=一倍量×倍数；根据“多、少、倍、共、剩余”找等量。 （2）行程问题 基础公式： 相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 追及问题：路程差=速度差×追及时间 （3）工程问题 默认工作总量为1，单人效率=； 合作效率=各单人效率之和；合作总量=合作效率×合作时间。 （4）销售利润问题 利润=售价-进价（成本）；售价=标价×；利润率=；售价=进价×(1+利润率)。 （5）分段计费问题 总费用=基础费用+超出部分费用；分段计算、整体相加，找准分界点是核心。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 【例题1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）艺术节就要到了，学校为锣鼓队表演的学生们统一购买了小号，中号，大号的演出服装共260套，中号服装比小号多70套，大号服装比小号少50套，大号、中号、小号演出服装各多少套？ 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【题型 2】 工程问题（高频基础） 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解答下列问题： （1）师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ （2）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 【变式1】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【变式3】（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【题型 3】 行程问题（核心必考） 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． （1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． （2）第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期中）育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． （1）后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ （2）联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 【例题4】（25-26八年级下·河南周口·期中）某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1元，数量少了5本．设第一批单价为x元． （1）用含x的代数式表示两批进货数量； （2）若第一批单价为4元，求两次一共购进笔记本多少本． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 【变式3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． （1）应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ （2）某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 【例题5】（25-26七年级下·山西临汾·期末）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东淄博·期末）某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，1个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要多少名工人生产茶壶？设有名工人生产茶壶，则可列方程____________． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 【例题6】（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． （1）小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式1】（25-26七年级上·全国·周测）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 （1）根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． （2）根据上表数据，求A型节能灯的单价． （3）若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 【例题7】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 （1）李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ （2）赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． （1）表格中a的值为________． （2）若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ （3）若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 【例题8】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点表示数，点在点左侧，两点相距个单位长度． （1）点表示的数是_____； （2）动点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点与点相距个单位长度？ （3）在（2）的基础上，出发同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点到点的距离是点到点距离的倍？ 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【变式2】（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，，两点在数轴上，点表示的数为6，，点以每秒1个单位长度的速度从点向左运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点，同时出发），点在数轴上表示的数是___________，经过__________秒，点，到原点的距离相等． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 （1）补全表格； （2）判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； （3）运动时间为，若，直接写出的值． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）甲数为80，求乙数．如果设乙数为，可以用方程“”来表示两数之间等量关系．横线上需要补充的信息是（    ）． A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 2．（25-26七年级上·江西南昌·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，则完成该工程还需要（    ） A．3天 B．5天 C．8天 D．10天 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为（    ） 9 6 A．18 B． C．2 D． 5．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期中）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 8．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·广东肇庆·三模）如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）张欣和李明相约到图书城去买书． 张欣：“听说花20元办张会员卡，买书可以享受8折优惠？” 李明：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了12元．” 李明上次所买书籍的原价是______元． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 14．（25-26七年级上·全国·期末）根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 15．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，数轴上每一格表示1个单位长度．若两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________ 16．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 17．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 18．（25-26七年级下·重庆万州·期末）2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·山西阳泉·二模）为保障中国空间站的常态化运行，天舟系列货运飞船需为空间站（或空间实验室）运输补给物资和载荷、补加推进剂等．在一次补给任务中，运送物资中包含饮用水和食品．若每箱饮用水质量为20千克，每箱食品质量为30千克，此部分物资总质量为480千克．运送的饮用水箱数比食品箱数多4箱，则饮用水和食品各有多少箱？ 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）七年级3个班为希望小学捐赠图书．七年1班捐了120册，七年2班捐书数是3个班捐书数的平均数，七年3班捐书数是3个班捐书总数的．3个班共捐了多少册？ 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河南·期末）初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南南阳·期末）某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． （1）填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； （2）在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·云南·阶段检测）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． （1）请你在数轴上表示出，，三点的位置； （2）把点到点的距离记为，则 ； （3）若点以每秒的速度匀速向右移动，同时点以每秒的速度匀速向左移动．设移动时间为秒，问几秒后，两点相距？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——一元一次方程的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 1 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 2 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 3 【题型 2】 工程问题（高频基础） 5 【题型 3】 行程问题（核心必考） 7 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 9 三.经典题型精析（巩固提升） 11 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 11 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 13 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 17 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 20 四.同步自测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心知识点： 1. 列一元一次方程解应用题的六大基本步骤：审、______、列、______、______、答。 2. 审题的核心是找准题目中的________，这是列方程的依据。 3. 设未知数分为直接设元和间接设元，优先选择______设元，复杂题型选择______设元。 4. 行程问题核心公式：路程 =______；顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 =______。 5. 工程问题核心公式：工作总量 =_____ × _____，通常将整体工程总量看作_______。 6. 利润问题核心公式：利润=售价 - ________；利润率= ；售价=原价×折扣。 7. 和差倍比问题：大数=小数 ± ________；总量 = 各部分量________。 答案：1. 设；解；验 2. 等量关系 3. 直接；间接 4. 速度×时间；船速-水速 5. 工作效率；工作时间；1 6. 成本；利润 7. 差量；之和 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 1：审（审题）读懂题意，区分已知量、未知量，梳理题目数量关系，找准不变量、等量关系，这是解题关键。 2：设（设未知数）直接设元：求什么设什么，适用于简单题型；间接设元：不直接设所求量，设中间变量，简化方程，适用于复杂倍数、行程题型。 3：列（列方程）根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元一次方程。 4：解（解方程）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤规范解方程。 5：验（检验）双重检验：①检验方程解是否正确；②检验结果是否符合实际意义（人数、长度、时间不能为负数、小数不合理值）。 6：答（作答）规范书写答案，对应题目问题，完整作答。 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 （1）和差倍比问题（基础必考） 和=大数+小数；差=大数-小数； 几倍量=一倍量×倍数；根据“多、少、倍、共、剩余”找等量。 （2）行程问题 基础公式： 相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 追及问题：路程差=速度差×追及时间 （3）工程问题 默认工作总量为1，单人效率=； 合作效率=各单人效率之和；合作总量=合作效率×合作时间。 （4）销售利润问题 利润=售价-进价（成本）；售价=标价×；利润率=；售价=进价×(1+利润率)。 （5）分段计费问题 总费用=基础费用+超出部分费用；分段计算、整体相加，找准分界点是核心。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 【例题1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）艺术节就要到了，学校为锣鼓队表演的学生们统一购买了小号，中号，大号的演出服装共260套，中号服装比小号多70套，大号服装比小号少50套，大号、中号、小号演出服装各多少套？ 【答案】大号30套；中号150套；小号80套 【分析】设小号演出服有x套，则中号有套，大号有套，小号，中号，大号的演出服装共260套，据此列出方程并解方程即可． 解：设小号演出服有x套，则中号有套，大号有套． 根据题意可得， 解得：， 中号：（套）， 大号：（套）， 答：大号演出服有30套，中号演出服有150套，小号演出服装有80套． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【分析】设塔的顶层共有x盏灯，则其他6层的灯数分别为盏，盏，盏，盏，盏，盏，根据一共有381盏灯建立方程求解即可． 解：设塔的顶层共有x盏灯， 由题意得，， 解得：， 所以塔的顶层共有3盏灯． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱． 【答案】86 【分析】由“保温杯比玻璃杯贵10元”可知：保温杯的单价玻璃杯的单价，根据“总价单价数量”可知：买10个玻璃杯还剩6元总钱数是：玻璃杯单价，5个保温杯还缺4元总钱数是：保温杯单价（玻璃杯的单价），再根据妈妈带的总钱数不变有“玻璃杯单价（玻璃杯的单价）”的等量关系，据此设“玻璃杯单价为x”，解出玻璃杯单价，再求总钱数． 解：设玻璃杯单价为x元，则保温杯单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 总钱数：玻璃杯单价（元）． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁，根据马丁一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可． 解：设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以（岁）， 答：马丁30岁． 【题型 2】 工程问题（高频基础） 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解答下列问题： （1）师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ （2）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 【答案】（1）小时；（2）小时 【分析】（1）已知管道具体总长度和两人每小时检修长度，直接列方程计算； （2）把总工作量看作单位1，先得到两人的工作效率，再列方程求解． 解：（1）解：设两人合作小时可以完成整条管道的检修． 根据题意，师傅小时检修（），徒弟小时检修（），总管道长， 列方程得 解得 答：两人合作（小时）可以完成整条管道的检修． （2）设两人合作需要小时完成，根据题意得 解得 答：两人合作需要6（小时）完成． 【变式1】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 【变式3】（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【答案】2小时 【分析】设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，列出一元一次方程，求出x的值即可． 解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得 ， 解得， 答：小辰参与标注的时间是2小时． 【题型 3】 行程问题（核心必考） 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． （1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． （2）第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】（1）小亮速度为，叔叔速度为；（2）． 【分析】（1）设小亮的速度为，则叔叔的速度为，根据题意，两人反向出发后第一次相遇，两人路程和为，进而列方程求解即可； （2）设同向出发后，经过两人第一次相遇，根据同向跑首次相遇时，叔叔比小亮多跑1圈跑道长列方程求解即可． 解：（1）解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； （2）解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【答案】A 【分析】A、B两地总路程不变，根据两种情况的速度和关系列方程求解即可． 解：设、两地的距离是千米， ∵ 原来两人小时相遇， ∴ 原来两人的速度和为千米/小时， ∵ 每人各自都比原计划每小时少走千米， ∴ 减速后两人的速度和比原来少千米/小时，即减速后速度和为 千米/小时， 又∵ 减速后两人小时相遇，减速后速度和也可表示为千米/小时， ∴ 列方程得 ， 解得 ， 即、两地距离为千米． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【答案】 【分析】设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米，而后一半路程需要的时间为小时，据此根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 解：设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以，即， 所以 千米， 所以A、B两城相距千米． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期中）育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． （1）后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ （2）联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 【答案】（1）后队出发后，经过2小时可以追上前队；（2）联络员出发后追上前队时，距离后队有 【分析】（1）设后队出发后，经过小时追上前队，以路程为等量关系列方程求解； （2）设联络员出发小时后追上前队，根据路程为等量关系列方程求解． 解：（1）解：设后队出发后，经过小时追上前队，根据题意，得 解得 答：后队出发后，经过2小时可以追上前队； （2）解：设联络员出发小时后追上前队，根据题意，得 解得 所以 答：联络员出发后追上前队时，距离后队有． 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 【例题4】（25-26八年级下·河南周口·期中）某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1元，数量少了5本．设第一批单价为x元． （1）用含x的代数式表示两批进货数量； （2）若第一批单价为4元，求两次一共购进笔记本多少本． 【答案】（1）第一批：本；第二批：本；（2）一共45本 【分析】（1）设第一批单价为x元，则第二批单价为元，设第一批购进了本，则第二批购进了本，进一步即可得到答案； （2）设第一批购进了本，则第二批购进了本，可得，再进一步求解即可. 解：（1）解：设第一批单价为x元，则第二批单价为元，设第一批购进了本，则第二批购进了本， ∴， 解得：， ∴， ∴第一批进货数量为（本），则第二批进货数量为（本）. （2）解：∵第一批单价为4元， ∴第二批单价为5元， 设第一批购进了本，则第二批购进了本， ∴， 解得：， ∴， ∴两次一共购进笔记本本. 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】D 【分析】设出原售价，利用成本不变找到等量关系，列方程求解后即可得到成本． 解：设该服装的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该服装的成本为（元）． 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 【答案】50 【分析】设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 解：设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元， 由题意得， 解得， ∴（元）， 故《中华上下五千年》的标价是元． 【变式3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． （1）应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ （2）某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】（1）安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿；（2）剩余的镜架应打九折出售 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 解：（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 【例题5】（25-26七年级下·山西临汾·期末）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设做斗身的人数为，用总人数表示出做斗耳的人数，再根据配套要求列方程即可． 解：∵设人做斗身，总工匠共人， ∴做斗耳的人数为人，可得每日斗身总产量为个，每日斗耳总产量为个， ∵个斗身配个斗耳，刚好配套时斗耳总数量是斗身总数量的倍， ∴列方程得：． 【变式2】（25-26六年级下·山东淄博·期末）某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，1个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要多少名工人生产茶壶？设有名工人生产茶壶，则可列方程____________． 【答案】 【分析】根据配套关系找出等量关系，设名工人生产茶壶，则名工人生产茶杯，根据茶杯总数量是茶壶总数量的倍列出方程即可． 解：设有名工人生产茶壶，则有名工人生产茶杯， 根据题意可得，生产茶壶的总数量为个，生产茶杯的总数量为只， 由个茶壶与只茶杯配套，可得茶杯总数量是茶壶总数量的倍， 因此列方程得， ． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件． 则 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件的数量：（个），做B部件的数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件的数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 【例题6】（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． （1）小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】（1）一共去了成人8人，学生12人；（2）购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 解：（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【变式1】（25-26七年级上·全国·周测）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【答案】A 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，正确计算出降价最多的方案是解题的关键． 根据题意分别表示出降价后的售价，再用原售价-降价后的售价，再比较大小即可得到降价最多的方案，再根据降价最多的方案降了37元，列出方程求解即可． 解：方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案一降价最多． 由题意得：， 解得：． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 （1）根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． （2）根据上表数据，求A型节能灯的单价． （3）若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】（1）50元/个；（2）A型节能灯的单价为100元/个；（3）售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 解：（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 【例题7】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 （1）李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ （2）赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】（1）1133.20元；（2）500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 解：（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设停车时间为x小时，根据题意，求出x的值，进行判断即可． 解：设停车时间为小时，由题意得，， 解得：， ∵不足1小时按1小时计算， ∴停车时间大于4小时，不超过5小时， A、，时间为3小时40分； B、，时间为5小时25分； C、，时间为3小时10分钟； D、，时间为4小时10分钟， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设实际用水量为x吨，根据收费标准列出方程求解． 解：∵， ∴该居民这个月实际用水超过15吨， 设实际用水量为x吨， 依题意，得， 即， 整理得， 解得， 因此． 故答案为：22． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． （1）表格中a的值为________． （2）若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ （3）若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】（1）3；（2）39；（3）该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 解：（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯（大于且小于或等于），需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 【例题8】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点表示数，点在点左侧，两点相距个单位长度． （1）点表示的数是_____； （2）动点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点与点相距个单位长度？ （3）在（2）的基础上，出发同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点到点的距离是点到点距离的倍？ 【答案】（1）；（2）秒或秒；（3）秒或秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离列式即可求解； （2）设经过秒，根据题意分两种情况列方程求解； （3）设经过秒，得到点到点距离为，点到点距离为，然后根据题意列方程求解． 解：（1）解：点表示的数是； （2）解：设经过秒， ①当在左侧相距3个单位时， 根据题意得，， 解得； ②当在右侧相距3个单位时， 根据题意得，， 解得， 答：经过秒或秒，点与点相距个单位长度． （3）解：设经过秒，点到点距离为，点到点距离为， 由题意得，， 解得：或， 答：经过秒或秒，点到点的距离是点到点距离的倍． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】先由题意得出，，点表示的数为，设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，此时点表示的数为，点表示的数为，根据题意得出，分情况求解即可． 解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，，两点在数轴上，点表示的数为6，，点以每秒1个单位长度的速度从点向左运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点，同时出发），点在数轴上表示的数是___________，经过__________秒，点，到原点的距离相等． 【答案】 8或12 【分析】先求出，即可得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当或时，点，到原点的距离相等．据此即可求解； 解：由题意得：， ∵， ∴， 点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∴点表示的数为，点表示的数为； 当或时，点，到原点的距离相等． 解得：或， 即经过8秒或12秒，点，到原点的距离相等． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 （1）补全表格； （2）判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； （3）运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】（1）；；（2）相遇，相遇点表示的数为；（3）或5 【分析】（1）根据表格求出点和点的运动方向和速度，即可得解； （2）设运动时间为，则点对应数为，点对应数为，根据两点相遇时对应数相等列方程求出的值，再求出相遇点表示的数即可； （3）设运动时间为，则，，再根据列方程求解即可． 解：（1）解：由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向左运动，每秒移动3个单位长度， 点在的对应数为； 由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向右运动，每秒移动2个单位长度， 点在的对应数为； （2）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， 若两点运动过程中相遇，则， 解得：， 即两点运动时相遇，相遇点表示的数为； （3）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， ，， ， ， 解得：或5， 即若，的值为或5． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）甲数为80，求乙数．如果设乙数为，可以用方程“”来表示两数之间等量关系．横线上需要补充的信息是（    ）． A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 【答案】C 解：A．甲数比乙数的3倍多7，列方程为：．不符合题意． B．乙数比甲数的3倍多7，列方程为：．不符合题意． C．甲数比乙数的3倍少7，列方程为：．符合题意． 所以，横线上需要补充的信息是甲数比乙数的3倍少7． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，则完成该工程还需要（    ） A．3天 B．5天 C．8天 D．10天 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设还需要x天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×时间+甲队先做5天的工作量，由此可列出方程求解． 解：设还需要x天完成，依题意得： ， 解得：， ∴还需要3天完成， 故选：A． 3．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】C 【分析】解题关键是找准总得分的等量关系，即胜场得分平场得分负场得分总得分，设未知数后列方程求解即可． 解：设这个足球队胜了场， ∵该队共打8场比赛，只输了1场， ∴平的场数为， 根据总得分列方程得： 整理得 ， 解得 ， 因此这个足球队胜了5场． 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为（    ） 9 6 A．18 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例关系的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．根据成反比例的两个量的乘积为定值这一性质，建立方程计算即可得． 解：∵表中的和两个量成反比例关系， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系． 解：∵锯成段需锯：（次），用时分钟， ∵锯成段需锯（次），用时分钟， 由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系： ， 故选：B． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期中）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 7．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 8．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【答案】C 【分析】设最小的数为：x，则最大的数为：，根据最大数与最小数的和为40列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 解：设最小的数为：x，则最大的数为：， 根据题意可得出：， 解得， 则最大的数为：． 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 10．（2026·广东肇庆·三模）如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别得出各自的时间，结合题意列式即可． 解：设王家庄距青山，青山距绿水，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为， ∴A车从王家庄到青山的时间为，B车从王家庄到绿水的时间为， ∵两车同时到达目的地， ∴ ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）张欣和李明相约到图书城去买书． 张欣：“听说花20元办张会员卡，买书可以享受8折优惠？” 李明：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了12元．” 李明上次所买书籍的原价是______元． 【答案】160 【分析】设李明上次所买书籍的原价为x元，根据题意可得方程，再解方程即可． 解：设李明上次所买书籍的原价为x元， 所以李明上次所买书籍的原价是160元． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 【答案】4500 【分析】设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克，根据总收购费用为元列出一元一次方程，求解即可得到结果． 解：设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克， 根据题意得，， 解得：， 答：这次收购了千克梨． 14．（25-26七年级上·全国·期末）根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，根据买2把暖瓶3个水杯共需94元列一元一次方程求解即可． 解：设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，由题意可得： ， 解得： 故答案为：35． 15．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，数轴上每一格表示1个单位长度．若两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________ 【答案】 【分析】设点A表示的数为a，根据相反数的定义可得点C表示的数为，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求出a的值，再根据点A和点B的距离即可求出点B表示的数． 解：设点A表示的数为a， ∵两点表示的两个数互为相反数， ∴点C表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∵，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是． 16．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 17．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 【答案】95 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先设出“乡村民宿”的投资金额为未知数，再根据总投资额的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果; 解：设该村的“乡村民宿”投资金额是万元，则“生态养殖”的投资金额为万元， 根据题意列方程得： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 18．（25-26七年级下·重庆万州·期末）2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【分析】设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个，再根据总进球数的等量关系列出方程，求解方程后即可得到小组赛的进球个数． 解：解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·山西阳泉·二模）为保障中国空间站的常态化运行，天舟系列货运飞船需为空间站（或空间实验室）运输补给物资和载荷、补加推进剂等．在一次补给任务中，运送物资中包含饮用水和食品．若每箱饮用水质量为20千克，每箱食品质量为30千克，此部分物资总质量为480千克．运送的饮用水箱数比食品箱数多4箱，则饮用水和食品各有多少箱？ 【答案】饮用水有12箱，食品有8箱 【分析】设食品有箱，则饮用水有箱，根据物资总质量为480千克列方程并解方程即可． 解：设食品有箱，则饮用水有箱， 由题可列， 整理得， 解得， ∴（箱）， 答：饮用水有12箱，食品有8箱． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）七年级3个班为希望小学捐赠图书．七年1班捐了120册，七年2班捐书数是3个班捐书数的平均数，七年3班捐书数是3个班捐书总数的．3个班共捐了多少册？ 【答案】450册 【分析】设3个班级共捐了册，根据题意建立方程，解方程即可． 解：设3个班级共捐了册， 由题意得：， 解得， 答：3个班级共捐了450册． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河南·期末）初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 【答案】第一次购买12千克，第二次购买36千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先根据题意说明（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克，再设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意列出方程，并求出解即可． 解：∵，且第二次购买数量多于第一次， ∴（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克， 设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意，得 ， 解得，． 所以（1）班学生第一次购买12千克，第二次购买36千克． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南南阳·期末）某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． （1）填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； （2）在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 【答案】（1），；（2）该产品每件的成本应降低元 【分析】（1）用原销售价乘以即可得到第二季度每件销售价；用原销售量m乘以即可得到第二季度销售量； （2）设该产品每件的成本应降低x元，利用两个季度的总销售利润相等，建立关于x的方程，求解方程即可得到结果． 解：（1）解：第二季度这种产品每件销售价为元， 销售量为； （2）解：设该产品每件的成本应降低x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该产品每件的成本应降低元． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天；（2）甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 解：（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·云南·阶段检测）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． （1）请你在数轴上表示出，，三点的位置； （2）把点到点的距离记为，则 ； （3）若点以每秒的速度匀速向右移动，同时点以每秒的速度匀速向左移动．设移动时间为秒，问几秒后，两点相距？ 【答案】（1）见分析；（2）；（3）秒或秒后，两点相距． 【分析】（1）根据题意可得，，三点对应的数，在数轴上表示即可； （2）用点对应的数减去点对应的数，即可得； （3）按照，两点相遇前和相遇后进行分类讨论，分别计算对应的移动时间即可． 解：（1）解：点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， ，，三点的位置在数轴上表示如下： （2）解：． （3）解：，两点相遇前， 解得， ，两点相遇后， 解得， ∴秒或秒后，两点相距． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $