6.1 几何图形 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“几何图形”核心知识点，系统梳理立体图形与平面图形的概念，构建点、线、面、体的关系框架。通过立体图形分类（棱柱、圆柱等）、棱柱相关概念（棱、侧棱及分类），结合“重点”（面围成体、面交线、线交点）、“易错”（柱体与锥体区别）、“方法”（数底面个数形状）提示，搭建从概念理解到应用的学习支架。 资料以典例精析（如识别几何体、组合体表面积计算、多面体点棱面关系）和分层训练（A基础、B提升、C拓展）为特色，例4结合金石文化多面体问题，培养数学眼光（空间观念）与应用意识。通过“易错”警示和“方法”指导，强化数学思维（推理能力），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

初中数学（RJ）七年级上册 6.1 几何图形 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】认识常见的立体图形与平面图形，理解点、线、面、体之间的关系；会识别几何体、判断平面图形旋转所得的立体图形，初步建立几何直观与空间观念。 二、知识梳理 知识点 1 　立体图形的概念 1.定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 2.常见的立体图形有两种分类方法： 3.棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． ★ 重点　几何体（立体图形）由面围成，面有平面和曲面之分；包围体的是面，面与面相交成线，线与线相交成点。 ⚠ 易错　柱体（棱柱、圆柱）上下底面全等且平行，侧面可展成矩形；锥体（棱锥、圆锥）只有一个底面，顶点汇聚于一点。不要把“棱锥”误认成“棱柱”。 ◆ 方法　识别几何体先数底面个数与形状：两底面→柱，一底面→锥；底面多边形边数=侧棱数。 三、典例精析 题型 1 　常见的几何体　 例1　下面几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D解：A．选项A中图形是圆柱，是立体图形，因此选项A不符合题意；B．选项B中图形是四棱柱，是立体图形，因此选项B不符合题意；C．选项C中图形是圆锥，是立体图形，因此选项C不符合题意；D．选项D中图形是圆，是平面图形，因此选项D符合题意 变式1　下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 ⚠ 易错　展开图判断：相对面在展开图中必不相邻；出现“田”字、“凹”字结构一定围不成正方体，动手折或标相对面最稳妥。 【答案】B解：A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意；B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个；∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条，故原说法错误，符合题意；C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意；D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意∴ 不正确的是B 题型 2 　组合几何体的构成 例2　如图，5个边长为1的立方体摆在桌子上，则露在表面（不含底面）的部分的面积为（　　） A．13 B．16 C．20 D．23 【答案】B解：将最上面的小正方体平移到一边，则从正面看到3个面，从左侧看到3个面，从上面看到4个面， ∵立方体的边长为1，∴4+3×2+3×2＝16，∴露在表面的部分的面积为16． 变式1　下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C解：A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意；B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意；C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意；D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意． 题型 3 　立体图形　 例3　如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；D中的图形不是这个几何体的表面展开图． 变式1　如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】B解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形和六个矩形组成，都是平面图形．∴含有曲面的有2个． 题型 4 　几何体中的点、棱、面　 例4　中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数+点数﹣棱数＝2，那么此多面体印信的棱数为 ． 【答案】解：因为经过每一个点都有四条棱，两点确定一条棱， 所以多面体的棱数为点数的2倍，设此多面体印信的棱数为2x，则点数为x， 由面数+点数﹣棱数＝2，得26+x﹣2x＝2，解得：x＝24，故2x＝48， ∴对于任意一个多面体一定存在：面数+点数﹣棱数＝2，那么此多面体印信的棱数为48 变式1　一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个　　B．6个　　C．7个　　D．8个 【答案】C解：设直棱柱的底面边数为n，∵直棱柱的棱总数为3n，∴3n=15，∴n=5， 又∵直棱柱的面数由两个底面和n个侧面组成，∴总面数为2+n=2+5=7；故这个棱柱的面数为7个． 四、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　下面的几何体中，棱柱有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B解：这些几何体的名称为： 所以是棱柱的是长方体，三棱柱，共2个 2.　下面的几何体是圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C解：根据圆锥的定义逐项分析判断如下：A、几何体为正方体，不符合题意；B、几何体为四棱锥，不符合题意；C、几何体为圆锥，符合题意；D、几何体为球，不符合题意． 3.　随着人工智能技术的快速发展，利用AI画图可快速生成多样图象，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产AI软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A解：A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶，符合题意． 4.　将下面平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A解：A、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形；B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形；C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形；D、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形； 5.　如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共10元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（　　） A．190元 B．330元 C．264元 D．340元 【答案】B解：1×3×3+1×1×6×4＝9+24＝33（平方米）， 油漆完工后，应付给漆匠师傅33×10＝330（元）． B 档 　巩固提升 1.　把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B解：棱长为4的正方体的体积为64，如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除； 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），就只能有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体． 则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，解方程：x+8×（29﹣x）＝64，解得：x＝24． 所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个． 2.　下面现象中，能说明“线动成面”的是（　　） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【答案】B解：A、天空划过一道流星，可把流星看作一个点，能说明“点动成线”，不符合题意；B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，可把时针看成一条线，能说明“线动成面”，符合题意；C、抛出一块小石子，可把石子看成一个点，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意；D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，可把硬币看成一个面，能说明“面动成体”，不符合题意 3.　有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过639，则该塔形中正方体的个数至少是　 　 个． 【答案】解：设有n个正方体此正方体塔能看到表面及侧面和正方体裸露在外的上表面，则n个正方体侧面面积之和Sn16×（1），又知正方体裸露在上面的面积为64和最底层的面积64，故裸露在外面的表面积Sn'＝64×（1）+64+64＝64+26﹣n+64+64＝198+26﹣n，由题意知Sn'＞639．解之得n＞10． 4.　将数字﹣2，﹣3，﹣5，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是　 　 ． 【答案】解：由3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体所露出的面上的数字可知， “﹣2”与“8，9，﹣5，﹣3”是邻面，所以“﹣2”与“11”是对面， 所以“﹣5”的邻面有“﹣2，﹣3，9，11”，因此“﹣5”的对面是“8”，所以“﹣3”与“9”是对面， 所以最底层的正方体四个侧面上的数字和为8+11﹣2﹣5＝12，中间正方体的四个侧面上数字和为﹣5+9+8﹣3＝9，上面的正方体的四个侧面上的数字和为8+11﹣2﹣5＝12， 所以该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是12+9+12﹣3＝30． 5.　如图，一个棱长为8cm的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是2cm的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】解：余下部分的体积：8×8×8−2×2×2=512−8=504(cm)； 表面积：8×8×6=384(cm)； 答：余下部分的表面积是384cm，体积是504cm C 档 　提高拓展　 1.　如图所示，若将类似于a、b、c、d四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察图b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答． （1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表： 图 a b c d 顶点数（S） 7 边数（M） 9 区域数（N） 3 （2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系； （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有 　30　 条边． 【答案】解：（1） 图 a b c d 顶点数（S） 4 7 8 10 边数（M） 6 9 12 15 区域数（N） 3 3 5 6 （2）观察表中数据可得；4+3﹣6＝1，7+3﹣9＝1，8+5﹣12＝1，10+6﹣15＝1 ∴S+N﹣M＝1；（或顶点数+区域数一边数＝1） （3）由（2）得：边数＝顶点数+区域数﹣1＝20+11﹣1＝30． 2.　如图，已知长方形的长为20cm，宽为10cm，以10cm边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________．(2)求此立体图形的体积．（结果保留π） 【答案】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． （2）解：由题意可知，如图旋转的圆柱底面半径为20cm，高为10cm，∴圆柱的体积为20π×10=4000π，所以旋转之后的立体图形体积为4000π． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 6.1 几何图形 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】认识常见的立体图形与平面图形，理解点、线、面、体之间的关系；会识别几何体、判断平面图形旋转所得的立体图形，初步建立几何直观与空间观念。 二、知识梳理 知识点 1 　立体图形的概念 1.定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 2.常见的立体图形有两种分类方法： 3.棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． ★ 重点　几何体（立体图形）由面围成，面有平面和曲面之分；包围体的是面，面与面相交成线，线与线相交成点。 ⚠ 易错　柱体（棱柱、圆柱）上下底面全等且平行，侧面可展成矩形；锥体（棱锥、圆锥）只有一个底面，顶点汇聚于一点。不要把“棱锥”误认成“棱柱”。 ◆ 方法　识别几何体先数底面个数与形状：两底面→柱，一底面→锥；底面多边形边数=侧棱数。 三、典例精析 题型 1 　常见的几何体　 例1　下面几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D解：A．选项A中图形是圆柱，是立体图形，因此选项A不符合题意；B．选项B中图形是四棱柱，是立体图形，因此选项B不符合题意；C．选项C中图形是圆锥，是立体图形，因此选项C不符合题意；D．选项D中图形是圆，是平面图形，因此选项D符合题意 变式1　下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 ⚠ 易错　展开图判断：相对面在展开图中必不相邻；出现“田”字、“凹”字结构一定围不成正方体，动手折或标相对面最稳妥。 【答案】B解：A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意；B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个；∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条，故原说法错误，符合题意；C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意；D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意∴ 不正确的是B 题型 2 　组合几何体的构成 例2　如图，5个边长为1的立方体摆在桌子上，则露在表面（不含底面）的部分的面积为（　　） A．13 B．16 C．20 D．23 【答案】B解：将最上面的小正方体平移到一边，则从正面看到3个面，从左侧看到3个面，从上面看到4个面， ∵立方体的边长为1，∴4+3×2+3×2＝16，∴露在表面的部分的面积为16． 变式1　下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C解：A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意；B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意；C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意；D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意． 题型 3 　立体图形　 例3　如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；D中的图形不是这个几何体的表面展开图． 变式1　如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】B解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形和六个矩形组成，都是平面图形．∴含有曲面的有2个． 题型 4 　几何体中的点、棱、面　 例4　中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数+点数﹣棱数＝2，那么此多面体印信的棱数为 ． 【答案】解：因为经过每一个点都有四条棱，两点确定一条棱， 所以多面体的棱数为点数的2倍，设此多面体印信的棱数为2x，则点数为x， 由面数+点数﹣棱数＝2，得26+x﹣2x＝2，解得：x＝24，故2x＝48， ∴对于任意一个多面体一定存在：面数+点数﹣棱数＝2，那么此多面体印信的棱数为48 变式1　一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个　　B．6个　　C．7个　　D．8个 【答案】C解：设直棱柱的底面边数为n，∵直棱柱的棱总数为3n，∴3n=15，∴n=5， 又∵直棱柱的面数由两个底面和n个侧面组成，∴总面数为2+n=2+5=7；故这个棱柱的面数为7个． 四、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　下面的几何体中，棱柱有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.　下面的几何体是圆锥的是（　　） A． B． C． D． 3.　随着人工智能技术的快速发展，利用AI画图可快速生成多样图象，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产AI软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（　　） A． B． C． D． 4.　将下面平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 5.　如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共10元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（　　） A．190元 B．330元 C．264元 D．340元 B 档 　巩固提升 1.　把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 2.　下面现象中，能说明“线动成面”的是（　　） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 3.　有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过639，则该塔形中正方体的个数至少是　 　 个． 4.　将数字﹣2，﹣3，﹣5，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是　 　 ． 5.　如图，一个棱长为8cm的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是2cm的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． C 档 　提高拓展　 1.　如图所示，若将类似于a、b、c、d四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察图b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答． （1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表： 图 a b c d 顶点数（S） 7 边数（M） 9 区域数（N） 3 （2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系； （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有 　30　 条边． 2.　如图，已知长方形的长为20cm，宽为10cm，以10cm边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________．(2)求此立体图形的体积．（结果保留π） 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $