第4讲 有理数的乘方优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册 解析版

第4讲 有理数的乘方 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念 掌握乘方的符号法则 能进行有理数的乘方运算 理解(-a)^n与-a^n的区别 了解科学记数法与简单规律探究 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.乘方的意义 求n个相同因数积的运算叫乘方 a^n中a叫底数，n叫指数，结果叫幂 正数任何次幂都是正数 负数奇次幂为负，偶次幂为正 概念辨析例题：概念辨析：(-2)^3与-2^3是否相同？ 解析：(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8；-2^3=-(2×2×2)=-8，结果相同但意义不同。 ☆ 2.乘方的符号判断 (-1)偶次幂=1，奇次幂=-1 0的任何正整数次幂都是0 平方等于本身的数是0和1 立方等于本身的数是0和±1 概念辨析例题：概念辨析：(-1)^2026=? 解析：2026是偶数，(-1)偶次幂=1。 ☆ 3.乘方运算规律 同底数幂相乘：a^m·a^n=a^(m+n) 积的乘方：(ab)^n=a^n·b^n 幂的乘方：(a^m)^n=a^(mn) 互为相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 概念辨析例题：概念辨析：(-0.2)^2025×5^2024=? 解析：原式=(-0.2)×[(-0.2)×5]^2024=(-0.2)×1=-0.2。 ☆ 4.科学记数法与规律 把大于10的数记成a×10^n（1≤a<10） n=整数位数-1 对折/截去问题：剩余长度=(1/2)^n 新定义题先读懂规则再转化 概念辨析例题：概念辨析：1米小棒每次截去1/2，第10次剩多长？ 解析：每次剩1/2，第n次剩(1/2)^n。 📋 知识总结表 概念 法则 注意事项 乘方 n个a相乘 a^n，底数a指数n 负数乘方 奇负偶正 (-2)^3=-8，(-2)^2=4 (-a)^n与-a^n 意义不同 偶次幂同，奇次幂同 同底数幂乘法 a^m·a^n=a^(m+n) 底数不变指数相加 积的乘方 (ab)^n=a^n b^n 每个因式分别乘方 平方等于本身 0和1 立方等于本身0和±1 【考点1】有理数的乘方（第1-11题） 先定符号再算绝对值 注意括号对底数的影响 (-1)偶次幂为1 1．（2025秋•绵阳期末）下列各式中，正确的是（　　） A．（﹣3）2＝6 B．（﹣2）2＝﹣4 C．﹣42＝16 D．（﹣2）3＝﹣8 【分析】直接利用有理数的乘方运算法则进而得出答案． 【解答】解：A、（﹣3）2＝9，原式错误，不符合题意； B、（﹣2）2＝4，原式错误，不符合题意； C、﹣42＝﹣16，原式错误，不符合题意； D、（﹣2）3＝﹣8，原式正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，正确化简各数是解答本题的关键． 2．（2026•安定区三模）下列四个数中，是负数的是（　　） A．﹣3 B．|﹣3| C．﹣（﹣3） D．（﹣3）2 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．﹣3＜0，是负数，符合题意； B．|﹣3|＝3＞0，是正数，不符合题意； C．﹣（﹣3）＝3＞0，是正数，不符合题意； D．（﹣3）2＝9＞0，是正数，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 3．（2025秋•兴宁市期末）（﹣1）2026的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 【分析】根据﹣1的偶次幂是1计算即可． 【解答】解：原式＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 4．（2025秋•澄海区期末）下列各组中，两个式子的值相等的是（　　） A．（﹣4）2与﹣42 B．﹣33与（﹣3）3 C．|﹣2|与﹣|﹣2| D．﹣5与﹣（﹣5） 【分析】计算各个选项中的两个数，根据计算结果得结论． 【解答】解：∵（﹣4）2＝16，﹣42＝﹣16，故选项A中两个式子的值不相等； ﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，故选项B中两个式子的值相等； |﹣2|＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，故选项C中两个式子的值不相等； ﹣（﹣5）＝5≠﹣5，故选项D中两个式子的值不相等． 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数的运算，掌握乘方运算、绝对值和相反数的意义是解决本题的关键． 5．（2025秋•福州期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 【分析】根据乘方的定义运算即可． 【解答】解：34＝3×3×3×3． 故选：B． 【点评】本题考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算． 6．（2024•峰峰矿区校级模拟）下列各组数中，是负数的是（　　） A．（﹣22）3 B．（﹣23）2 C．[（﹣2）2]3 D．[（﹣2）3]2 【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则逐项计算，然后判断即可． 【解答】解：A．（﹣22）3＝﹣26＜0，是负数，符合题意； B．（﹣23）2＝26＞0，是正数，不符合题意； C．[（﹣2）2]3＝（﹣2）6＝26＞0，是正数，不符合题意； D．[（﹣2）3]2＝（﹣2）6＝26＞0，是正数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方和幂的乘方的定义是关键． 7．（2025春•永定区期中）若|a|＝2，则a2＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】a2的平方根等于|a|，因此a2＝|a|2，由此可解． 【解答】解：a2＝|a|2＝22＝4， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（2025秋•大庆校级期末）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是　　 米． 【分析】由题意可知，第一次截后剩下的棒的长度是，第二次截后剩下的棒的长度是，据此即可求解． 【解答】解：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是： （1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方运算法则是关键． 9．（2025秋•西丰县期末）计算：|（﹣2）3﹣2|＝　10　 ． 【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的减法和绝对值进行计算即可． 【解答】解：|（﹣2）3﹣2|＝|﹣8﹣2|＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查有理数的乘法，有理数的减法和绝对值，掌握其运算法则是解题关键． 10．（2023秋•东坡区校级月考）当n为自然数是（﹣1）2n+1﹣（﹣1）2n+2＝　﹣2　 ． 【分析】根据n为自然数，得2n+1是奇数，2n+2是偶数，进而根据乘方的定义即可解决问题． 【解答】解：∵n为自然数， ∴2n+1是奇数，2n+2是偶数， ∴（﹣1）2n+1﹣（﹣1）2n+2＝﹣1﹣1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是掌握乘方定义． 11．（2025秋•兴隆县期末）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：第一次剪去铜丝的，剩下是， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下是，⋯⋯ 第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（）2024m． 故答案为：C． 【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律． 【考点2】乘方的符号判断（第12-19题） 先化简每个数再判断正负 x^2=|x|^2，x有两值 互为相反数奇次幂仍相反 12．（2026春•梅县区校级月考）计算：　　 ． 【分析】根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（2025秋•皮山县期末）﹣12025的相反数是　1　 ． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣12025＝﹣1， ﹣1的相反数是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 14．（2022秋•衢江区期中）计算：（﹣1）6＝　1　 ． 【分析】根据乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：（﹣1）6＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算法则，是解题的关键． 15．（2025秋•梓潼县期末）若x2＝（﹣4）2，则x＝　±4　 ． 【分析】先计算出（﹣4）2＝16，再根据有理数的乘方法则即可求得结果． 【解答】解：x2＝（﹣4）2＝16， ∴x＝±4． 故答案为：±4． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握互为相反数的两个数的平方相同． 16．（2025秋•平桥区期末）若代数式a与b互为相反数，则a2n﹣1+b2n﹣1＝　0　 ．（n为正整数） 【分析】根据相反数的定义得出a＝﹣b，再判断出2n﹣1为奇数，然后计算即可． 【解答】解：若a与b互为相反数， 则a＝﹣b， ∵n为正整数， ∴2n﹣1为奇数， ∴a2n﹣1+b2n﹣1 ＝（﹣b）2n﹣1+b2n﹣1 ＝﹣b2n﹣1+b2n﹣1 ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了相反数，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2026•上栗县模拟）计算：﹣12026＝　﹣1　 ． 【分析】根据乘方运算规则计算即可． 【解答】解：﹣12026＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 18．（2025秋•衡阳县期末）在数﹣（﹣3），（﹣1）2，|﹣5|，﹣14中，其中负数有 　1　 个． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：﹣（﹣3）＝3＞0，是正数； （﹣1）2＝1＞0，是正数； |﹣5|＝5＞0，是正数； ﹣14＝﹣1＜0，是负数； ∴负数有﹣14，共1个． 故答案为：1． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 19．（2025秋•普陀区期末）计算： 　　 ． 【分析】先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后进行有理数的乘法运算． 【解答】解：原式（﹣4） （） ． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了有理数的除法运算． 【考点3】有理数乘方提高（第20-25题） 同底数幂相乘指数相加 积的乘方逆用凑整 新定义题转化为乘除 20．（2025秋•泗水县月考）计算：（写成幂的形式） （1）2×22×23； （2）． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据同底数幂的乘法可进行求解． 【解答】解：（1）2×22×23 ＝21+2+3 ＝26； （2） ． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键． 21．（2024秋•杭州期中）若|a|＝3，b2＝25，且ab＞0，求a+b的值． 【分析】根据绝对值、平方根、及乘法法则，先确定a、b的值，再计算a与b的和． 【解答】解：∵|a|＝3，b2＝25， ∴a＝±3，b＝±5． ∵ab＞0， ∴a＝3，b＝5或a＝﹣3，b＝﹣5． 当a＝3，b＝5时， a+b＝3+5＝8； 当a＝﹣3，b＝﹣5时， a+b＝﹣3﹣5＝﹣8． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、平方根的意义及有理数的乘法法则等知识点是解决本题的关键． 22．（2025秋•海陵区校级月考）根据乘方的定义，可得：24×34＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3）＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×3）4＝64＝1296． （1）请你写出一个类似上述特点的式子； （2）猜想并根据乘方的定义证明：am×bm＝　（ab）m （其中m为正整数）； （3）根据上述探索的结论，计算：（﹣0.2）2025×52024． 【分析】（1）举例33×43，结合乘方运算的含义可化为（3×4）×（3×4）×（3×4），即可得到答案； （2）根据题干的提示与（1）的示例总结归纳，再模仿证明即可； （3）把（﹣0.2）2025×52024化为[（﹣0.2）×5]2024×（﹣0.2），再计算即可． 【解答】解：（1）根据乘方的定义，可得：24×34＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3）＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×3）4＝64＝1296． 33×43 ＝（3×3×3）×（4×4×4） ＝（3×4）×（3×4）×（3×4） ＝（3×4）3 ＝123 ＝1728； （2）解：am×bm＝（ab）m（其中m为正整数）； 证明： ＝（ab）m， 故答案为：（ab）m； （3）原式＝（﹣0.2）×（﹣0.2）2024×52024 ＝[（﹣0.2）×5]2024×（﹣0.2） ＝（﹣1）2024×（﹣0.2） ＝﹣0.2． 【点评】本题考查的是乘方运算规律的探究，理解乘方运算的含义是解本题的关键． 23．（2025秋•梁溪区月考）（1）填空：① 　16　 ； 　16　 ； ② 　﹣1　 ； 　﹣1　 ； （2）猜一猜：当n为正整数时，（ab）n＝ anbn ； （3）试一试：求的结果． 【分析】依据题意，根据有理数的乘法的意义及乘法的运算法则逐个进行计算可以得解． 【解答】解：（1）①（）2＝（﹣4）2＝16， （）2×8264＝16． 故答案为：16；16． ②（）3＝（﹣1）3＝﹣1， （）3×238＝﹣1． 故答案为：﹣1；﹣1． （2）由题意得，当n为正整数时，（ab）n＝anbn． 故答案为：anbn． （3）（1）2012×（）2012 ＝[（）]2012 ＝（﹣1）2012 ＝1． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方与有理数的乘法，解题时要熟练掌握并准确计算是关键． 24．（2024秋•通许县期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2；观察上述算式： 23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，可以得到：23×24＝27 类比上述式子，你能够得到： （1）102×105＝　107 ，a3×a5＝a8 ； （2）利用由特殊到一般的思想，可以得到：am×an＝am+n （m、n都是正整数）；我们把类似于a′和a″这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （3）知识运用：x•x2•x2024＝x2027 ，y2n•yn+1＝y3n+1 ； （4）已知xa＝3，xb＝6，求xa+b的值． 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【解答】解：（1）23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，可以得到：23×24＝27， ∴102×105＝107，a3×a5＝a8， 故答案为：107，a8； （2）am×an＝amn（m、n都是正整数）， 故答案为：am+n； （3）x•x2•x2024＝x1+2+2024＝x2027，y2n•yn+1＝y2n+n+1＝y3n+1， 故答案为：x2027，y3n+1； （4）∵xa＝3，xb＝6， ∴xa+b＝xa•xb＝3×6＝18． 【点评】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． 25．（2025秋•新华区月考）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ；　﹣2　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： （﹣3）⑤＝　　 ，　54 ； （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式aⓝ（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【分析】（1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （4）根据新定义计算即可． 【解答】解：（1），； 故答案为：，﹣2； （2）， ； 故答案为：，54； （3）原式 ＝﹣2； （4）根据新定义计算可得：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 【创新及压轴题】新定义与规律（第26题） 除方转化为乘方 找循环周期 进制转换按权展开 26．（2024秋•同步）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a，（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）初步探究：除方乘方 直接写出计算结果：2③＝　　 ，　﹣8　 ； （2）深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝　（）2 ；5⑥＝　（）4 ；（）⑩＝　（﹣2）8 ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　（）n﹣2 ； ③算一算：． 【分析】（1）根据除方的运算法则进行计算即可； （2）①试一试：根据除方的运算法则进行计算即可； ②想一想：由试一试总结归纳得出规律即可； ③算一算：根据想一想得出的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2， （）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）2×2×2×2＝﹣8． 故答案为：，﹣8； （2）①（﹣3）④ ＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3） ＝（﹣3）×（）×（）×（） ＝（）2， 5⑥ ＝5÷5÷5÷5÷5÷5 ＝5 ＝（）4， （）⑩ ＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝（）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） ＝（﹣2）8． 故答案为：（）2，（）4，（﹣2）8； ②aⓝ＝（）n﹣2； 故答案为：（）n﹣2； ③原式＝122÷（﹣3）2×（﹣2）3﹣（﹣3）4÷33 ＝122（﹣8）﹣81 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义除方，总结归纳运算规律是解题关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•庐阳区校级期中）若54×54×54＝5m，45+45+45+45＝4n，则m﹣n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先对已知条件进行变形，求出m、n的值，再代入即可． 【解答】解：∵54×54×54＝5m，45+45+45+45＝4n， ∴512＝5m，4×45＝46＝4n， ∴m＝12，n＝6， ∴m﹣n＝12﹣6＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【练习 2】（2026春•栖霞市期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．（﹣6）2和﹣62 B．（﹣7）5和﹣75 C．﹣|8|和﹣8 D．﹣（﹣9）和|﹣9| 【分析】回顾概念：明确互为相反数的核心是“只有符号不同”，即一正一负，且绝对值相等．分析A项：前者是负数的平方，结果必为正；后者是平方的相反数，结果必为负．二者绝对值相同，符号相反，符合定义．分析B项：前者负数的奇次幂仍为负，后者是奇次幂的相反数也为负，两者都是负数，不符合．分析C项：绝对值的相反数就是负数本身，两者完全相同，不符合．分析D项：负负得正，绝对值也是正数，两者都是正数，不符合．得出答案：只有A项满足条件． 【解答】解：对于A，（﹣6）2＝36，﹣62＝﹣36，36与﹣36互为相反数，所以（﹣6）2和﹣62互为相反数，故A正确； 对于B，（﹣7）5＝﹣75，（﹣7）5和﹣75相等，而不是互为相反数，故B错误； 对于C，﹣|8|＝﹣8，﹣|8|和﹣8相等，而不是互为相反数，故C错误； 对于D，﹣（﹣9）＝9，|﹣9|＝9，﹣（﹣9）和|﹣9|相等，而不是互为相反数，故D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方、相反数、绝对值，解决本题的关键是正确理解相反数的意义． 【练习 3】（2026•舟山模拟）已知四个数：（﹣1）2026，|﹣π|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据正数大于0即可得出答案． 【解答】解：∵（﹣1）2026＝1，1＞0，|﹣π|＝π，π＞0，﹣（﹣1.5）＝1.5，1.5＞0， ∴（﹣1）2026是正数，|﹣π|是正数，﹣（﹣1.5）是正数，符合题意； ∵﹣32＝﹣9，﹣9＜0， ∴﹣32是负数，不符合题意； ∴综上所述，其中正数共有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的乘方，相反数，绝对值，掌握正数和负数，有理数的乘方，相反数，绝对值是解题的关键． 【练习 4】（2026•南岗区四模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【解答】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项分析判断如下： 选项A：（﹣3）2＝9，9和3不互为相反数，A错误； 选项B：﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣32＝﹣9，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C：﹣（+3）＝﹣3，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D：|﹣3|＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，3和﹣3只有符号不同，互为相反数，D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，熟练掌握该知识点是关键． 【练习 5】（2025秋•汕头校级期末）若|a|＝2，b2＝9，且ab＞0，则a+b等于（　　） A．±1 B．±5 C．1 D．﹣1 【分析】根据绝对值，有理数的乘方求出a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|a|＝2，b2＝9， ∴a＝±2，b＝±3， 又∵ab＞0，即a、b同号， ∴a＝2，b＝3或a＝﹣2，b＝﹣3， ∴a+b＝5或a+b＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握绝对值的定义，有理数乘方的计算方法是正确解答的关键． 【练习 6】（2025秋•朔州期末）﹣34表示的意义是（　　） A．4个﹣3相乘 B．3个﹣4相乘 C．4个3相乘的相反数 D．3个4相乘的相反数 【分析】根据有理数乘方的意义，即可解答． 【解答】解：﹣34表示的意义是4个3相乘的相反数， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，正数和负数，相反数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•葫芦岛期末）二进制数其各数位上的数字为0或1，（101）2就是二进制数101的简单写法．二进制数和十进制数是可以相互转化的，例如：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5．小明在数字游戏中得到一个二进制数（1101）2．他不小心将部分数字的顺序写反了，得到了一个新的二进制数（1011）2．他计算了原二进制数的十进制值和新二进制数的十进制值．请问原二进制数的十进制值比新二进制数的十进制值大（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】将二进制数（1101）2，（1011）2化为十进制数即可． 【解答】解：∵（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13，（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝8+0+2+1＝11， ∴原二进制数的十进制值比新二进制数的十进制值大13﹣11＝2， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘方，理解二进制数、十进制数的计数方法是正确解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 乘方是相同因数积的简便运算 负数奇次幂负偶次幂正 注意(-a)^n与-a^n的区别 同底数幂相乘指数相加 新定义题先转化再计算 【作业 1】（2026•烟台模拟）下列说法中正确的是（　　） A．绝对值等于本身的数是0 B．相反数等于本身的数是1 C．平方等于本身的数是0和1 D．立方等于本身的数是0和1 【分析】根据有理数的乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：A、绝对值等于本身的数是非负数，选项说法错误，不符合题意； B、相反数等于本身的数是0，选项说法错误，不符合题意； C、平方等于本身的数是0和1，选项说法正确，符合题意； D、立方等于本身的数是0和±1，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【作业 2】（2023秋•郸城县校级期中）对于数133，规定第一次操作为13+33+33＝55，第二次操作为53+53＝250，如此反复操作，则第2023次操作后得到的数是（　　） A．25 B．250 C．55 D．133 【分析】按照规则，每次操作即是对上一次操作得到的数的每个数字求立方和，求出第三次操作后的得数为133与开始相同，即每三次为一个循环．由于2023能被3除余1，故2023次操作后与第1次操作后得数相同． 【解答】解：第一次操作：13+33+33＝55， 第二次操作：53+53＝250， 第三次操作：23+53+03＝133， ∴三次操作后是一个循环， ∵2023÷3＝674……1， ∴2023次操作后的数与第一次操作后的得数相同，为55． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解题关键是读懂每次操作的具体做法，并准确计算出下一次操作的数，从而发现规律． 【作业 3】（2025秋•澧县期中）下列各式正确的是（　　） A．（﹣2）3＝（﹣3）2 B．﹣32＝（﹣3）2 C．（﹣3）3＝﹣33 D．﹣3×23＝（﹣3×2）3 【分析】根据有理数的乘方和有理数的乘法的运算法则计算，逐项判断即可． 【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9， ∴（﹣2）3≠（﹣3）2， 故A选项不正确，不符合题意； ﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9， ∴﹣32≠（﹣3）2， 故B选项不正确，不符合题意； （﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27， ∴（﹣3）3＝﹣33， 故C选项正确，符合题意； ﹣3×23＝﹣24，（﹣3×2）3＝﹣216， ﹣3×23≠（﹣3×2）3， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业 4】（2025秋•牡丹江期末）在数2023，（﹣2）5，8.14%，0，，0.320中，非负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先计算有理数的乘方、化简绝对值，再根据非负数包括正数和0解答即可得． 【解答】解：2023，8.14%，0.320都是正数，是非负数，符合题意； 0是非负数，符合题意； （﹣2）5＝﹣32，，都是负数，不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数，有理数的乘方，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 【作业 5】（2025秋•遂川县期末）下列计算正确的是（　　） A．34＝3×4 B．﹣52＝﹣10 C． D． 【分析】通过计算每个选项的左右两边值，判断是否相等即可． 【解答】解：A、34＝81，3×4＝12，81≠12，选项计算错误，不符合题意； B、﹣52＝﹣25，﹣25≠﹣10，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【作业 6】（2024秋•龙湖区期末）若|x|＝3，y2＝25，，那么x﹣y的值是（　　） A．2或﹣2 B．﹣8或8 C．﹣2或8 D．﹣8或2 【分析】先根据已知条件、绝对值的性质和平方根的定义，求出x，y，再求出x﹣y的值即可． 【解答】解：∵|x|＝3，y2＝25， ∴x＝±3，y＝±5， ∵， ∴x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝5， ∴当x＝3，y＝﹣5时，x﹣y＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8； 当x＝﹣3，y＝5时，x﹣y＝﹣3﹣5＝﹣8， ∴x﹣y的值是8或﹣8， 故选：B． 【点评】本题主要考查了有关实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、平方根的定义和有理数的加减乘除法则． 【作业 7】（2026春•静安区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．﹣36的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．﹣23与（﹣2）3意义相同 D．﹣36表示6个3相乘的积的相反数 【分析】根据有理数的乘方，相反数的运算法则进行判断． 【解答】解：A、﹣36的底数是3，负号不属于底数部分，选项说法错误，不符合题意； B、23表示3个2相乘，不是相加，选项说法错误，不符合题意； C、﹣23表示3个2相乘的相反数，（﹣2）3表示3个﹣2相乘，二者意义不同，选项说法错误，不符合题意； D、﹣36是36的相反数，36表示6个3相乘的积，故﹣36表示6个3相乘的积的相反数，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，掌握相应的运算法则是关键． 【作业 8】（2025秋•丰满区期末）计算：． 【分析】先进行乘方运算，再进行乘除运算即可求解． 【解答】解： ＝15． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，有理数的除法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 【作业 9】（2025春•单元）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【分析】根据一个数平方后个位数字与原数个位数字之间的关系进行判断即可． 【解答】证明：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121…… ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法以及一个数平方后个位数字与原数个位数字之间的关系是正确解答的关键． 【作业 10】（2024秋•同步）若m是正整数，请求出[1m﹣（﹣1）m]÷2的值． 【分析】利用有理数的乘方法则计算即可求解． 【解答】解：当m为奇数时， [1m﹣（﹣1）m]÷2 ＝[1m+1m]÷2 ＝（1+1）÷2 ＝2÷2 ＝1； 当m为偶数时， [1m﹣（﹣1）m]÷2 ＝（1﹣1）÷2 ＝0÷2 ＝0 【点评】此题主要考查了乘方的运算，解题的关键是熟练利用乘方运算法则解决问题． 【作业 11】（2026•石家庄校级一模）生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在某些领域，还有一种“逢七进一”的计数方式，叫做七进制． 七进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 七进制 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 … 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 观察发现：七进制数10表示十进制中的7，即1×71+0×70；同理，七进制数23表示十进制中的17，即2×71+3×70．根据以上材料，解答下列问题： （1）填空：七进制数35代表十进制中的数是　26　 ； （2）已知一个七进制两位数，各位数字的和为6，试说明该七进制两位数转换成十进制两位数后能被6整除； （3）已知一个七进制两位数，各位数字的和为7，若该七进制两位数转换成十进制数后，是一个小于30且能被5整除的数，求这个七进制数． 【分析】（1）将七进制数35按权展开为3×71+5×70，计算即得十进制值； （2）设七进制两位数为，由各位数字和为6得a+b＝6，将十进制值7a+b利用b＝6﹣a代换，整理为6（a+1）即可证明能被6整除； （3）设七进制两位数为，由a+b＝7得十进制值为6a+7，结合6a+7＜30和能被5整除的条件，逐一检验a＝1，2，3即可确定答案． 【解答】解：（1）， 故答案为：26； （2）设七进制两位数为，其中a，b为整数，且0≤b≤6，1≤a≤6， ∵a+b＝6， ∴该数转十进制为7a+b＝7a+（6﹣a）＝6a+6＝6（a+1）， ∵a为正整数， ∴6（a+1）能被6整除； （3）设七进制两位数为，其中0≤b≤6，1≤a≤6， ∵a+b＝7， ∴该数转十进制为7a+b＝7a+（7﹣a）＝6a+7， ∵6a+7＜30， ∴， ∵a为正整数， ∴a≤3， 当a＝2时，6×2+7＝19，不能被5整除； 当a＝1时，6×1+7＝13，不能被5整除； 当a＝3时，6×3+7＝25，能被5整除， ∴a＝3，b＝4， 即若该七进制两位数转换成十进制数后，是一个小于30且能被5整除的数，则该七进制数为34（7）． 【点评】本题考查有理数的乘方，进制转十进制的方法：将每位数字乘以7的对应幂次（从右往左依次为 70，71，72⋯）再求和；涉及数字和条件时，常用设位数字代入消元的方法转化为代数式进行分析． 【作业 12】（2024秋•泉州月考） LED灯带设计 素材 LED灯带可以通过控制器实现灯光颜色变幻效果，被广泛应用于各类场景装饰．如图1是一段由9颗LED灯（从左到右分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I）组成的灯带，将其拉直后，如图2所示，已知每两颗灯之间的距离相等，且每颗灯都能独立的切换为红光或黄光． 素材 已知9颗灯都亮红光，现每次同时切换m颗灯的颜色（即由红光切换为黄光，或由黄光切换为红光），多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？ 小明探究如下：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9． 问题解决 任务1 如图2，将拉直后的灯带视为数轴，若点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4，则点D表示的数为 　1　 ； 任务2 当m＝4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？若能，最少需要几次操作？若不能，请简要说明理由； 任务3 小明发现，当m＝5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮黄光．请你帮助小明写出完整的操作步骤． 要求： ①注意操作步骤的书写格式，例如“第一次：切换A，B，C，D，E的颜色”； ②无需切换颜色的灯，不要写在操作步骤里； ③本题将考虑“操作次数”给分，次数最少的才能得满分． 【分析】（1）根据每两颗灯之间的距离相等，点A与点G相距6个间距，点A与点D相距3个间距，即可求出答案； （2）先判断出当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光，通过用+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，即可得出问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9，当 m＝4时，每次操作的变化是（﹣1）4，无论操作多少次，结果都是（+1）9×[（﹣1）4]n＝+1≠﹣1，即可判断出结论成立； （3）先判断出当m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光，列出三次切换的步骤，即可得到答案． 【解答】解：（1）每两颗灯之间的距离相等，点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4， ∴点D表示的数为：； 故答案为：1； （2）当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光； 理由：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”， 若这9颗灯都由“亮红光”变为“亮黄光”，则问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9， 当m＝4时，每次操作的变化是（﹣1）4，无论操作多少次，结果都是（+1）9×[（﹣1）4]n＝+1≠﹣1， ∴当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光； （3）当m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光具体步骤为： 第一次：切换A，B，C，D，E的颜色； 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色； 第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方、有理数的乘法等内容，理解题意和推理思维是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 有理数的乘方 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念 掌握乘方的符号法则 能进行有理数的乘方运算 理解(-a)^n与-a^n的区别 了解科学记数法与简单规律探究 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.乘方的意义 求n个相同因数积的运算叫乘方 a^n中a叫底数，n叫指数，结果叫幂 正数任何次幂都是正数 负数奇次幂为负，偶次幂为正 概念辨析例题：概念辨析：(-2)^3与-2^3是否相同？ 解析：(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8；-2^3=-(2×2×2)=-8，结果相同但意义不同。 ☆ 2.乘方的符号判断 (-1)偶次幂=1，奇次幂=-1 0的任何正整数次幂都是0 平方等于本身的数是0和1 立方等于本身的数是0和±1 概念辨析例题：概念辨析：(-1)^2026=? 解析：2026是偶数，(-1)偶次幂=1。 ☆ 3.乘方运算规律 同底数幂相乘：a^m·a^n=a^(m+n) 积的乘方：(ab)^n=a^n·b^n 幂的乘方：(a^m)^n=a^(mn) 互为相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 概念辨析例题：概念辨析：(-0.2)^2025×5^2024=? 解析：原式=(-0.2)×[(-0.2)×5]^2024=(-0.2)×1=-0.2。 ☆ 4.科学记数法与规律 把大于10的数记成a×10^n（1≤a<10） n=整数位数-1 对折/截去问题：剩余长度=(1/2)^n 新定义题先读懂规则再转化 概念辨析例题：概念辨析：1米小棒每次截去1/2，第10次剩多长？ 解析：每次剩1/2，第n次剩(1/2)^n。 📋 知识总结表 概念 法则 注意事项 乘方 n个a相乘 a^n，底数a指数n 负数乘方 奇负偶正 (-2)^3=-8，(-2)^2=4 (-a)^n与-a^n 意义不同 偶次幂同，奇次幂同 同底数幂乘法 a^m·a^n=a^(m+n) 底数不变指数相加 积的乘方 (ab)^n=a^n b^n 每个因式分别乘方 平方等于本身 0和1 立方等于本身0和±1 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】有理数的乘方（第1-11题） 先定符号再算绝对值 注意括号对底数的影响 (-1)偶次幂为1 1．（2025秋•绵阳期末）下列各式中，正确的是（　　） A．（﹣3）2＝6 B．（﹣2）2＝﹣4 C．﹣42＝16 D．（﹣2）3＝﹣8 2．（2026•安定区三模）下列四个数中，是负数的是（　　） A．﹣3 B．|﹣3| C．﹣（﹣3） D．（﹣3）2 3．（2025秋•兴宁市期末）（﹣1）2026的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 4．（2025秋•澄海区期末）下列各组中，两个式子的值相等的是（　　） A．（﹣4）2与﹣42 B．﹣33与（﹣3）3 C．|﹣2|与﹣|﹣2| D．﹣5与﹣（﹣5） 5．（2025秋•福州期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 6．（2024•峰峰矿区校级模拟）下列各组数中，是负数的是（　　） A．（﹣22）3 B．（﹣23）2 C．[（﹣2）2]3 D．[（﹣2）3]2 7．（2025春•永定区期中）若|a|＝2，则a2＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 8．（2025秋•大庆校级期末）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是____________________ 米． 9．（2025秋•西丰县期末）计算：|（﹣2）3﹣2|＝_______ ． 10．（2023秋•东坡区校级月考）当n为自然数是（﹣1）2n+1﹣（﹣1）2n+2＝_______ ． 11．（2025秋•兴隆县期末）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 【考点2】乘方的符号判断（第12-19题） 先化简每个数再判断正负 x^2=|x|^2，x有两值 互为相反数奇次幂仍相反 12．（2026春•梅县区校级月考）计算：___________________ ． 13．（2025秋•皮山县期末）﹣12025的相反数是_____ ． 14．（2022秋•衢江区期中）计算：（﹣1）6＝_____ ． 15．（2025秋•梓潼县期末）若x2＝（﹣4）2，则x＝_______ ． 16．（2025秋•平桥区期末）若代数式a与b互为相反数，则a2n﹣1+b2n﹣1＝_____ ．（n为正整数） 17．（2026•上栗县模拟）计算：﹣12026＝_______ ． 18．（2025秋•衡阳县期末）在数﹣（﹣3），（﹣1）2，|﹣5|，﹣14中，其中负数有 _____ 个． 19．（2025秋•普陀区期末）计算： ____________________ ． 【考点3】有理数乘方提高（第20-25题） 同底数幂相乘指数相加 积的乘方逆用凑整 新定义题转化为乘除 20．（2025秋•泗水县月考）计算：（写成幂的形式） （1）2×22×23； （2）． 21．（2024秋•杭州期中）若|a|＝3，b2＝25，且ab＞0，求a+b的值． 22．（2025秋•海陵区校级月考）根据乘方的定义，可得：24×34＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3）＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×3）4＝64＝1296． （1）请你写出一个类似上述特点的式子； （2）猜想并根据乘方的定义证明：am×bm＝__________ （其中m为正整数）； （3）根据上述探索的结论，计算：（﹣0.2）2025×52024． 23．（2025秋•梁溪区月考）（1）填空：① _______ ； _______ ； ② _______ ； _______ ； （2）猜一猜：当n为正整数时，（ab）n＝ _________ ； （3）试一试：求的结果． 24．（2024秋•通许县期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2；观察上述算式： 23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，可以得到：23×24＝27 类比上述式子，你能够得到： （1）102×105＝________ ，a3×a5＝_______ ； （2）利用由特殊到一般的思想，可以得到：am×an＝_________ （m、n都是正整数）；我们把类似于a′和a″这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （3）知识运用：x•x2•x2024＝__________ ，y2n•yn+1＝__________ ； （4）已知xa＝3，xb＝6，求xa+b的值． 25．（2025秋•新华区月考）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝__________________ ；_______ ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： （﹣3）⑤＝____________________ ，_______ ； （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式aⓝ（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【创新及压轴题】新定义与规律（第26题） 除方转化为乘方 找循环周期 进制转换按权展开 26．（2024秋•同步）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a，（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）初步探究：除方乘方 直接写出计算结果：2③＝__________________ ，_______ ； （2）深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝____________________ ；5⑥＝____________________ ；（）⑩＝__________ ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ____________________ ； ③算一算：． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•庐阳区校级期中）若54×54×54＝5m，45+45+45+45＝4n，则m﹣n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【练习 2】（2026春•栖霞市期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．（﹣6）2和﹣62 B．（﹣7）5和﹣75 C．﹣|8|和﹣8 D．﹣（﹣9）和|﹣9| 【练习 3】（2026•舟山模拟）已知四个数：（﹣1）2026，|﹣π|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习 4】（2026•南岗区四模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 【练习 5】（2025秋•汕头校级期末）若|a|＝2，b2＝9，且ab＞0，则a+b等于（　　） A．±1 B．±5 C．1 D．﹣1 【练习 6】（2025秋•朔州期末）﹣34表示的意义是（　　） A．4个﹣3相乘 B．3个﹣4相乘 C．4个3相乘的相反数 D．3个4相乘的相反数 【练习 7】（2025秋•葫芦岛期末）二进制数其各数位上的数字为0或1，（101）2就是二进制数101的简单写法．二进制数和十进制数是可以相互转化的，例如：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5．小明在数字游戏中得到一个二进制数（1101）2．他不小心将部分数字的顺序写反了，得到了一个新的二进制数（1011）2．他计算了原二进制数的十进制值和新二进制数的十进制值．请问原二进制数的十进制值比新二进制数的十进制值大（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•烟台模拟）下列说法中正确的是（　　） A．绝对值等于本身的数是0 B．相反数等于本身的数是1 C．平方等于本身的数是0和1 D．立方等于本身的数是0和1 【作业 2】（2023秋•郸城县校级期中）对于数133，规定第一次操作为13+33+33＝55，第二次操作为53+53＝250，如此反复操作，则第2023次操作后得到的数是（　　） A．25 B．250 C．55 D．133 【作业 3】（2025秋•澧县期中）下列各式正确的是（　　） A．（﹣2）3＝（﹣3）2 B．﹣32＝（﹣3）2 C．（﹣3）3＝﹣33 D．﹣3×23＝（﹣3×2）3 【作业 4】（2025秋•牡丹江期末）在数2023，（﹣2）5，8.14%，0，，0.320中，非负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 5】（2025秋•遂川县期末）下列计算正确的是（　　） A．34＝3×4 B．﹣52＝﹣10 C． D． 【作业 6】（2024秋•龙湖区期末）若|x|＝3，y2＝25，，那么x﹣y的值是（　　） A．2或﹣2 B．﹣8或8 C．﹣2或8 D．﹣8或2 【作业 7】（2026春•静安区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．﹣36的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．﹣23与（﹣2）3意义相同 D．﹣36表示6个3相乘的积的相反数 【作业 8】（2025秋•丰满区期末）计算：． 【作业 9】（2025春•单元）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【作业 10】（2024秋•同步）若m是正整数，请求出[1m﹣（﹣1）m]÷2的值． 【作业 11】（2026•石家庄校级一模）生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在某些领域，还有一种“逢七进一”的计数方式，叫做七进制． 七进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 七进制 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 … 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 观察发现：七进制数10表示十进制中的7，即1×71+0×70；同理，七进制数23表示十进制中的17，即2×71+3×70．根据以上材料，解答下列问题： （1）填空：七进制数35代表十进制中的数是_______ ； （2）已知一个七进制两位数，各位数字的和为6，试说明该七进制两位数转换成十进制两位数后能被6整除； （3）已知一个七进制两位数，各位数字的和为7，若该七进制两位数转换成十进制数后，是一个小于30且能被5整除的数，求这个七进制数． 【作业 12】（2024秋•泉州月考） LED灯带设计 素材 LED灯带可以通过控制器实现灯光颜色变幻效果，被广泛应用于各类场景装饰．如图1是一段由9颗LED灯（从左到右分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I）组成的灯带，将其拉直后，如图2所示，已知每两颗灯之间的距离相等，且每颗灯都能独立的切换为红光或黄光． 素材 已知9颗灯都亮红光，现每次同时切换m颗灯的颜色（即由红光切换为黄光，或由黄光切换为红光），多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？ 小明探究如下：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9． 问题解决 任务1 如图2，将拉直后的灯带视为数轴，若点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4，则点D表示的数为 _____ ； 任务2 当m＝4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？若能，最少需要几次操作？若不能，请简要说明理由； 任务3 小明发现，当m＝5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮黄光．请你帮助小明写出完整的操作步骤． 要求： ①注意操作步骤的书写格式，例如“第一次：切换A，B，C，D，E的颜色”； ②无需切换颜色的灯，不要写在操作步骤里； ③本题将考虑“操作次数”给分，次数最少的才能得满分． 复习建议 乘方是相同因数积的简便运算 负数奇次幂负偶次幂正 注意(-a)^n与-a^n的区别 同底数幂相乘指数相加 新定义题先转化再计算 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $