第05讲 有理数与有理数的运算综合培优（核心知识+4易错辨析+4典例精讲） 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义以“核心知识+易错辨析+典例精讲”为框架，通过结构化知识梳理图呈现有理数运算四大模块，包括绝对值化简的定义法则与分类讨论步骤，有理数混合运算的顺序与符号规则，数轴动点的“右加左减”公式与距离模型，新定义运算的规则解读与代入方法，并用对比表格归纳易错点如绝对值非负性误区、混合运算顺序错误等，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“问题情境化+方法程序化”的练习设计，如数轴动点题通过“设t→表数→列方程→检验”四步流程培养模型意识，新定义运算通过“圈画公式→带括号代入”规范步骤提升运算能力。典例涵盖基础题（如绝对值化简求值）、综合题（如多动点相遇问题），分层适配不同学生，易错辨析与解题口诀（如“顺序优先，符号先行”）帮助学生规避错误，教师可据此实施精准复习，提升课堂效率。

第05讲 有理数与有理数的运算综合培优 （核心知识+4易错辨析+4典例精讲） 【知识点01】绝对值化简 1. 绝对值定义 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。距离恒为非负数，因此绝对值具有非负性，即 。 2. 代数化简法则 口诀：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。 3. 核心基础性质 （1）互为相反数的两个数绝对值相等：； （2） 表示数轴上数a、数b两点之间的距离； （3）若，则或； （4）非负数和为0模型：若，则。 4.标准化简步骤 第一步：判断绝对值内部代数式的正负性；第二步：依据法则去掉绝对值符号；第三步：去括号、合并同类项，化简结果。 【知识点02】有理数混合运算（易错专项） 1. 严格运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左至右依次计算；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 2. 常用运算律（简便运算核心） 加法交换律、加法结合律；乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，可简化复杂计算。 3. 符号判定规则 负负得正；多个非零有理数相乘除，奇数个负数结果为负，偶数个负数结果为正；乘方运算重点区分底数符号，有无括号结果完全不同。 【知识点03】数轴动点入门 1. 动点核心公式（右加左减） 设动点起点表示的数为，运动速度为，运动时间为： 向右运动（数值变大）： 向左运动（数值变小）： 2. 数轴两点距离公式 若数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则两点距离：（通用公式，无需比较大小）。 3. 常考题型等量关系 （1）相遇问题：运动后两点表示的数相等； （2）定距离问题：两点距离为定值，即常数； （3）中点问题：两点中点表示的数为。 4. 标准解题步骤 设运动时间t→用含t的代数式表示所有动点对应的数→根据题意列绝对值方程→解方程并检验取值合理性。 【知识点04】新定义运算 1. 题型特征 题干临时定义全新运算符号（★、⊕、※、△等），给出专属运算法则，区别于常规加减乘除运算。 2. 核心解题原则 一切以题干定义为准，严禁自创运算规则、混用常规运算定律。多数新定义运算不满足交换律，前后数字顺序不可颠倒。 3. 运算顺序规则 有括号先算括号内；多层嵌套新定义运算，由内向外逐步代入计算；结合乘方、绝对值、混合运算时，遵循原有运算优先级。 4. 常见考查形式 数字代入求值、含字母式子化简、根据新定义列方程求解。 示例：规定，则。 一、易错绝对值化简 1. ❌ 误区：任意数都满足 ✅ 正解：仅当时成立；若，则，此时为正数。 2. ❌ 误区：若，则 ✅ 正解：绝对值相等的两个数，相等或互为相反数，即或，例：，但。 3. ❌ 误区：一定是负数 ✅ 正解：a的符号不确定，结果也不确定：时，（正数）；时，（非负非正）。 4. ❌ 误区：直接化简 ✅ 正解：含字母的绝对值必须分类讨论：时为，时为0，时为。 5. ❌ 误区：多个绝对值相加，不判断内部符号直接去绝对值 二、易错有理数混合运算 1. ❌ 运算顺序错误： ✅ 正解：先算除法再算加减， 2. ❌ 乘方概念混淆： ✅ 正解：（底数为3）；（底数为-3），有无括号是关键。 3. ❌ 乘法分配律漏乘： ✅ 正解：括号内每一项都要与括号外数字相乘， 4. ❌ 同级运算乱序： ✅ 正解：同级运算从左往右， 5. ❌ 去括号不变号： ✅ 正解：括号前是负号，去括号全变号， 6. ❌ 小数、分数混合运算，未统一形式直接约分计算 三、易错数轴动点入门 1. ❌ 运动方向公式混淆：点2向左以速度3运动，写成 ✅ 正解：左减右加，正确式子： 2. ❌ 求两点距离直接大数减小数，不写绝对值，遗漏分类讨论情况 3. ❌ 解方程后不检验：时间t为负数、动点超出题干范围等无效解未舍去 4. ❌ 多个动点题型，忽略起点不同、出发时间不同的条件 5. ❌ 混淆相向运动、同向运动的相遇、追及等量关系 四、易错新定义运算 1. ❌ 误区：凭经验默认新运算满足交换律，颠倒前后数字计算 ✅ 正解：无特殊说明时，，必须严格对应题干中a、b的位置代入。 2. ❌ 误区：代入负数、分数时不添加括号，导致符号、计算错误 3. ❌ 误区：多层新运算，先算外层再算内层，运算顺序颠倒 4. ❌ 误区：忽略新定义中包含的乘方、绝对值运算，沿用简单加减计算 【题型一】绝对值化简 【例1】．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）化简与求值： 已知、互为相反数，的绝对值为2，求 的值． 【答案】2 或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的意义，代数式求值，根据相反数的定义和绝对值的意义得出，或，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴  ， ∴  ， 又， ∴或． ∴ 原式 或． 答：的值为2或 【例2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将，，，，这个自然数，任意分成组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到个值． （1）当时，化简得____． （2）上述个值的和的最大值为____． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，化简绝对值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此化简绝对值求解即可； （2）根据题意可推出若将每组中的两个数记为，，则的结果为较大的数的一半，那么要使个值的和最大，那么每组中的两个数一个要大于50，一个要小于等于50，据此求出51到100这50个整数的和即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，则， ， ∴若将每组中的两个数记为，，则的结果为较大的数的一半， ∴要使个值的和最大，那么每组中的两个数一个要大于50，一个要小于等于50， ∴上述个值的和的最大值为， 故答案为：． 【变式1】．（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【答案】(1)和的零点值为，4 (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目意思，以及进行分类讨论的思想． （1）根据零点值的定义进行计算即可； （2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；，分这三种情况化简求值即可． 【详解】（1）解：令， 解得：，， ∴和的零点值为，4； （2）解：令， 解得：，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式． 【变式2】．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7； （2）7； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【知识点】数轴上两点之间的距离、两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 【变式3】．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 【题型二】混合运算易错 【例3】．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2)2 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可； （2）根据有理数的四则运算法则可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例4】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，绝对值是解题的关键． （1）先计算乘方，先计算乘除，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘方，先计算乘除，再计算加减，即可求解； （3）先计算乘方，先计算乘除，再计算加减，即可求解； （4）先计算乘方和绝对值里的减法，再计算绝对值和乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【例5】．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【例6】．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)(用简便方法计算)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例7】．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】倒数、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． （9）解：原式 ． （10）解：原式 ． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算： ①； ②． 【答案】(1)一 (2)①；② 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律的运用； （1）根据除法没有分配律，可知解法一是错误的； （2）①可选择解法二的思路来计算；②可选择解法三的思路来计算． 【详解】（1）解：观察计算过程可知，解法一是错误的，因为除法没有分配律． 故答案为：一 （2）解：① ． ②先计算的倒数 ， ∴， ∴原式． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】倒数、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了分数的除法，解题的关键是掌握倒数法． （1）根据分数的除法法则进行判断即可； （2）利用倒数法进行求解即可． 【详解】（1）解：解法一错误， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 【变式4】．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【答案】（1）；（2） 【知识点】有理数乘法运算律、倒数、有理数加减中的简便运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先拆项，再利用加法结合律进行简便计算即可； （2）表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式的倒数 ． ∴原式． 【变式6】．（23-24七年级上·广东东莞·阶段检测）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 【题型三】数轴动点入门 【例8】．（2024七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 【例9】．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为__________． 【答案】 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数． 动点Q的移动步骤依次进行，每次移动的长度为n单位，方向为奇数次向右、偶数次向左，每次移动所需时间为秒，计算前4次移动的累计时间恰好为5秒，因此5秒时Q点刚好完成前4次移动，根据移动序列计算最终位置即可． 【详解】解：第1次移动：向右移动1单位，位置变为 ； 第2次移动：向左移动2单位，位置变为 ； 第3次移动：向右移动3单位，位置变为 ； 第4次移动：向左移动4单位，位置变为 。 累计时间：秒，恰好完成4次移动， 故5秒后动点Q表示的数为， 故答案为：． 【例10】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为_____． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为_____． 【答案】 0 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、有理数加法中的符号问题、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的加法与乘法，数轴上的平移； ①根据这三个数的和与其中的一个数相等可得另外两个数的和为0，即可求解； ②由平移表示出、，再结合必有俩数和为0和三个数乘积为负数求解即可． 【详解】解：①∵这三个数的和与其中的一个数相等， ∴另外两个数的和为0，即必有俩数和为0； 故答案为：0； ②将点向左移动2个单位得到点，则， 点向左移动4个单位得到点，则， ∵、、三个数的乘积为负数， ∴、、三个数中有一个负数或者3个负数， ∵必有俩数和为0， ∴只能一个负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 【例11】．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶情况记录如下(规定向南为正，向北为负)： 第1批 第 2 批 第 3批 第 4 批 第 5 批 (1)利用数轴，请判断接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米； (2)如果该出租车每千米耗油，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)数轴见解析，该驾驶员在公司向南方向10千米处 (2)在这个过程中共耗油升 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，熟练掌握正数和负数的意义并理清题中的数量关系是解题的关键． （1）根据题意，画出数轴，并将各记录逐个相加减，即可求出答案． （2）求出各记录绝对值之和，再乘以即可求出答案． 【详解】（1）解：如数轴所示， 接送完第一批客人后在数轴上的位置为5， 接送完第二批客人后在数轴上的位置为， 接送完第三批客人后在数轴上的位置为， 接送完第四批客人后在数轴上的位置为， 接送完第五批客人后在数轴上的位置为， ∴ 接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司向南方向10千米处． （2）解： ． 答：在这个过程中共耗油升． 【变式2】．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； 【变式3】．（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【答案】（1）点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3；； （2）①；；②；； （3）点E表示的数是2 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上点的表示，利用数轴比较大小，两点间距离，数轴上点的平移问题等． （1）根据题意利用数轴知识即可得到本题答案； （2）①利用数轴上两点间距离求出本题答案；②利用相反数的几何意义结合数轴上两点间距离即可求解； （3）通过动点的移动列出算式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3； 由数轴得； （2）①∵若以点C为原点，点A在点C的左边，且与点C相距5个单位长度， ∴点A表示的数为：， ∵点在点的左边，且与点相距3个单位长度， ∴点表示的数为：， 故答案为：；； ②∵若点B，C表示的两个数互为相反数， ∴原点在中点， ∵点，相距三个单位长度， ∴点表示的数为：， ∴点A表示的数是：， 故答案为：；； （3）由题意得：， ∴原来点E表示的数为：． 【变式4】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 【题型四】新定义运算 【例12】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）进位制是一种记数方式，我国于公元前1600年左右采用了十进制计数法．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．随着电子技术和计算机科学的发展，二进制成了现代技术的基础，八进制、十六进制在计算机编程和数据存储领域也有深入的应用．其中，十六进制就是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例如：十进制数，它对应的十六进制数是，则十进制数368对应的十六进制数是_____． 【答案】170 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，将十进制数368转换为十六进制数，需通过连续除以16并取余数的方式得到各位系数，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：余0，余7，余1， 将余数从下往上排列为170， 故答案为：170． 【例13】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等． 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； 【例14】．（25-26七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算的运算规则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算． （1）直接将、代入新运算的表达式中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数运算顺序依次计算，即可求出结果； （2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将、代入新运算表达式求出的结果，再将此结果作为新的值，保持不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 将，代入得： ； （2）解：先计算括号内的， 将，代入得：， 再计算，将，代入得：． 【例15】．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 【变式3】．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 【答案】(1) (2)44 (3)见解析，和的运算结果相同 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算 【分析】（1）根据题中新运算法则计算即可； （2）先根据题中新运算法则计算，再根据新运算法则计算即可； （3）任意选符合条件的两个数计算，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设〇为2，◇为， ∴，， ∴和的运算结果相同． 【变式4】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义了一种非零实数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． 【归纳法则】 (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 已知实数和，其中，． 当时，_________；当时，_________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ． ． ． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【答案】(1)； (2)，运算“”满足交换律（或，为非零实数）． (3)等式成立；等式成立；等式成立，发现的规律：（为非零实数） 【知识点】有理数四则混合运算、归纳与类比 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据所给算式，归纳出“”运算的运算法则即可； （2）根据新定义运算计算可以发现，即可得出结论； （3）根据新定义运算计算可以发现结合律在“”运算中还适用，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察运算发现当时，； 当时，； 故填：； ． （2），， ， 发现的规律：（为非零实数）． （3），． ，， ． ，． ，， ，． ，， ． 发现的规律：（为非零实数）． 绝对值的本质是数轴上的距离，核心属性为非负性。所有绝对值化简题的关键：先判内部正负，再去绝对值符号。含字母绝对值必须分类讨论，遇到“多个绝对值相加为0”的题型，直接判定每个绝对值内的式子均为0，这是考试高频考点。 有理数混合运算核心原则：顺序优先，符号先行。解题规范流程：先标注运算顺序、区分乘方底数、谨慎去括号、合理运用运算律简化计算。严禁跳步计算，符号错误是考试最主要失分点，需重点规避。 数轴动点问题本质是数形结合+代数式建模，核心思路是用含时间t的代数式表示动点数值，借助绝对值距离公式建立方程解题。牢记“右加左减、距离绝对值”两大核心规则，所有解出的时间必须满足，无效解必须舍去。本专题是初一数学难点入门，为后续一元一次方程综合大题铺垫基础。 新定义运算核心是阅读理解、精准代入、规范计算。标准化解题三步法：圈画题干运算公式→精准区分前后对应数→带括号完整代入计算。重点规避顺序颠倒、负数漏括号、主观自创规则三大错误，细心审题是拿分关键。 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先将二进制数转化为十进制数，再把十进制数转化为三进制数，依据进位制的转化规则计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴二进制数化为三进制数为 故选：A． 2．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．定义一种新运算，则的值为（     ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 5．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【详解】解：依题意可得： = ． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 7．（25-26七年级上·全国·周测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键． 原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故选：C． 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位长度，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬行3个单位长度，…，按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫的起始位置A点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的规律探究、数字类规律探索 【分析】本题考查数轴及计算的规律，能根据小虫的爬行方式得出第2025次爬行后点所对应数的表达式是解题的关键． 【详解】解：设点所表示的数为， 则第1次爬行后，点所表示的数为：； 第2次爬行后，点所表示的数为：； 第3次爬行后，点所表示的数为：； 第4次爬行后，点所表示的数为：； ， 所以第(为奇数)次爬行后，点所表示的数为：； 当时，， 解得． 所以小虫爬行的起始位置点所表示的数是． 故选：B． 9．下列说法正确的是（　　） ①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值化简，代数式求值，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．根据题意讨论当时，时，的值，即可判断①；根据分情况当时，当时，当时，结合绝对值性质化简分析，即可判断②；根据条件推出，，，再代入代数式计算求解，即可判断③． 【详解】解：①已知a，b，c是非零有理数，， 则当时，； 当时，； 综上的值为0或， 故①正确； ②已知， 当时，； 当时，， 则， 当时，， 综上，时，那么的最大值为8，最小值为， 故②正确； ③因为且， 所以，，， 则，整理得， 则代数式， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③； 故选：D． 二、填空题 10．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、乘方的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 11．若定义一种新运算，规定，则______． 【答案】0 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 12．定义运算，则_______． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：根据定义 ． 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为_______． 【答案】5或 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键．先由点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称得出点A表示的数为，点C表示的数为，，再根据得出，进而即可得解． 【详解】解：∵将点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称， ∴点A表示的数为，点C表示的数为，， 设点B表示的数为b， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：5或 ． 14．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 【答案】6或 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 15．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将，，，，这个自然数，任意分成组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到个值． （1）当时，化简得____． （2）上述个值的和的最大值为____． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，化简绝对值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此化简绝对值求解即可； （2）根据题意可推出若将每组中的两个数记为，，则的结果为较大的数的一半，那么要使个值的和最大，那么每组中的两个数一个要大于50，一个要小于等于50，据此求出51到100这50个整数的和即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，则， ， ∴若将每组中的两个数记为，，则的结果为较大的数的一半， ∴要使个值的和最大，那么每组中的两个数一个要大于50，一个要小于等于50， ∴上述个值的和的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 16．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，写成省略加号的形式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据乘方的定义，把乘方计算出来，再根据运算法则进行计算； （3）根据除以一个不为的数等于乘以它的倒数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘方的定义、绝对值的性质算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）计算（能简便运算的要简算）： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）先除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先去括号，再进一步计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值内的运算，再把除法转化为乘法，然后乘除，最后计算加减即可； （4）利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可； （5）先化带分数为假分数，再把除法转化为乘法，最后相乘即可； （6）先将原式化为，利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 18．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 19．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、列代数式 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为：秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为：秒， ∴， ∴P表示的数为：． 21．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 22．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 23．（25-26七年级上·吉林松原·期中）阅读理解： 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 解决问题： (1)有理数与对应两点之间的距离可以表示为，化简得______； (2)若有理数与对应两点之间距离为，那么______； (3)若有理数满足，那么______； (4)若有理数满足，那么______； (5)若有理数满足，那么______． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)或 (5)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了有理数的运算和绝对值： （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列式即可； （3）先去掉绝对值再计算； （4）根据两个绝对值的正负情况分析出的范围，将的范围分情况讨论再计算； （5）先去掉绝对值再计算； 【详解】（1）根据题意，有理数与对应两点之间的距离可以表示为， ， ； （2）根据题意，有理数与对应两点之间距离为， ， 即， 即或， 解得：或； （3）有理数满足， 或， 解得：； （4）有理数满足， 当时，，解得： 当时，，此时无解； 当时，，解得：； （5）有理数满足， 或 解得：或． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）观察下列等式：；；； 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①＝______； ②＝______． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】(1)利用题中的等式写出结果； (2)①利用(1)中的结论得到原式，然后合并即可； ②利用(1)中的结论得到原式，然后合并即可； （3）每个分数提，然后利用中的结论计算． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）①原式 ； ②原式= ； （3）原式= ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 25．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【概念】求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”， 一般地， 把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【探究】（1）直接写出计算结果： ______，=_______； 【思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：． （3）算一算． 【答案】（1）；；（2）；；（3）． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数混合计算等． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）先将每一项化简，再从左到右先计算除法再计算减法即可． 【详解】解：（1）；， 故答案为：；； （2）； （n次）（）， （3）， ， ， ， ． 26．（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 【答案】(1)①正，负，相加；② (2)或1 (3)当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是通过已知算式归纳运算规则，并结合规则进行计算． （1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值； （2）根据※运算结果为0的条件，求解的值并计算； （3）用绝对值表示※运算的一般形式． 【详解】（1）解：①，同号得正，绝对值相加 ※，同号得正，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加 故答案为：正；负；相加 ② ； （2）解：因为， 根据题意归纳的运算法则可知，当且仅当参与运算的两个数都为0时，运算结果为0， 所以且， 解得． 当时，， 当时，， 故的值为或1； （3）解：分情况讨论： 当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数与有理数的运算综合培优 （核心知识+4易错辨析+4典例精讲） 【知识点01】绝对值化简 1. 绝对值定义 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。距离恒为非负数，因此绝对值具有非负性，即 。 2. 代数化简法则 口诀：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。 3. 核心基础性质 （1）互为相反数的两个数绝对值相等：； （2） 表示数轴上数a、数b两点之间的距离； （3）若，则或； （4）非负数和为0模型：若，则。 4.标准化简步骤 第一步：判断绝对值内部代数式的正负性；第二步：依据法则去掉绝对值符号；第三步：去括号、合并同类项，化简结果。 【知识点02】有理数混合运算（易错专项） 1. 严格运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左至右依次计算；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 2. 常用运算律（简便运算核心） 加法交换律、加法结合律；乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，可简化复杂计算。 3. 符号判定规则 负负得正；多个非零有理数相乘除，奇数个负数结果为负，偶数个负数结果为正；乘方运算重点区分底数符号，有无括号结果完全不同。 【知识点03】数轴动点入门 1. 动点核心公式（右加左减） 设动点起点表示的数为，运动速度为，运动时间为： 向右运动（数值变大）： 向左运动（数值变小）： 2. 数轴两点距离公式 若数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则两点距离：（通用公式，无需比较大小）。 3. 常考题型等量关系 （1）相遇问题：运动后两点表示的数相等； （2）定距离问题：两点距离为定值，即常数； （3）中点问题：两点中点表示的数为。 4. 标准解题步骤 设运动时间t→用含t的代数式表示所有动点对应的数→根据题意列绝对值方程→解方程并检验取值合理性。 【知识点04】新定义运算 1. 题型特征 题干临时定义全新运算符号（★、⊕、※、△等），给出专属运算法则，区别于常规加减乘除运算。 2. 核心解题原则 一切以题干定义为准，严禁自创运算规则、混用常规运算定律。多数新定义运算不满足交换律，前后数字顺序不可颠倒。 3. 运算顺序规则 有括号先算括号内；多层嵌套新定义运算，由内向外逐步代入计算；结合乘方、绝对值、混合运算时，遵循原有运算优先级。 4. 常见考查形式 数字代入求值、含字母式子化简、根据新定义列方程求解。 示例：规定，则。 一、易错绝对值化简 1. ❌ 误区：任意数都满足 ✅ 正解：仅当时成立；若，则，此时为正数。 2. ❌ 误区：若，则 ✅ 正解：绝对值相等的两个数，相等或互为相反数，即或，例：，但。 3. ❌ 误区：一定是负数 ✅ 正解：a的符号不确定，结果也不确定：时，（正数）；时，（非负非正）。 4. ❌ 误区：直接化简 ✅ 正解：含字母的绝对值必须分类讨论：时为，时为0，时为。 5. ❌ 误区：多个绝对值相加，不判断内部符号直接去绝对值 二、易错有理数混合运算 1. ❌ 运算顺序错误： ✅ 正解：先算除法再算加减， 2. ❌ 乘方概念混淆： ✅ 正解：（底数为3）；（底数为-3），有无括号是关键。 3. ❌ 乘法分配律漏乘： ✅ 正解：括号内每一项都要与括号外数字相乘， 4. ❌ 同级运算乱序： ✅ 正解：同级运算从左往右， 5. ❌ 去括号不变号： ✅ 正解：括号前是负号，去括号全变号， 6. ❌ 小数、分数混合运算，未统一形式直接约分计算 三、易错数轴动点入门 1. ❌ 运动方向公式混淆：点2向左以速度3运动，写成 ✅ 正解：左减右加，正确式子： 2. ❌ 求两点距离直接大数减小数，不写绝对值，遗漏分类讨论情况 3. ❌ 解方程后不检验：时间t为负数、动点超出题干范围等无效解未舍去 4. ❌ 多个动点题型，忽略起点不同、出发时间不同的条件 5. ❌ 混淆相向运动、同向运动的相遇、追及等量关系 四、易错新定义运算 1. ❌ 误区：凭经验默认新运算满足交换律，颠倒前后数字计算 ✅ 正解：无特殊说明时，，必须严格对应题干中a、b的位置代入。 2. ❌ 误区：代入负数、分数时不添加括号，导致符号、计算错误 3. ❌ 误区：多层新运算，先算外层再算内层，运算顺序颠倒 4. ❌ 误区：忽略新定义中包含的乘方、绝对值运算，沿用简单加减计算 【题型一】绝对值化简 【例1】．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）化简与求值： 已知、互为相反数，的绝对值为2，求 的值． 【例2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将，，，，这个自然数，任意分成组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到个值． （1）当时，化简得____． （2）上述个值的和的最大值为____． 【变式1】．（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【变式2】．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【变式3】．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【题型二】混合运算易错 【例3】．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【例4】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3)． (4) 【例5】．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【例6】．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)(用简便方法计算)． 【例7】．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算： ①； ②． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【变式4】．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【变式6】．（23-24七年级上·广东东莞·阶段检测）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【题型三】数轴动点入门 【例8】．（2024七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例9】．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为__________． 【例10】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为_____． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为_____． 【例11】．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶情况记录如下(规定向南为正，向北为负)： 第1批 第 2 批 第 3批 第 4 批 第 5 批 (1)利用数轴，请判断接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米； (2)如果该出租车每千米耗油，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【变式2】．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【变式3】．（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【变式4】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【题型四】新定义运算 【例12】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）进位制是一种记数方式，我国于公元前1600年左右采用了十进制计数法．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．随着电子技术和计算机科学的发展，二进制成了现代技术的基础，八进制、十六进制在计算机编程和数据存储领域也有深入的应用．其中，十六进制就是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例如：十进制数，它对应的十六进制数是，则十进制数368对应的十六进制数是_____． 【例13】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【例14】．（25-26七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【例15】．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 【变式4】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义了一种非零实数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． 【归纳法则】 (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 已知实数和，其中，． 当时，_________；当时，_________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ． ． ． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 绝对值的本质是数轴上的距离，核心属性为非负性。所有绝对值化简题的关键：先判内部正负，再去绝对值符号。含字母绝对值必须分类讨论，遇到“多个绝对值相加为0”的题型，直接判定每个绝对值内的式子均为0，这是考试高频考点。 有理数混合运算核心原则：顺序优先，符号先行。解题规范流程：先标注运算顺序、区分乘方底数、谨慎去括号、合理运用运算律简化计算。严禁跳步计算，符号错误是考试最主要失分点，需重点规避。 数轴动点问题本质是数形结合+代数式建模，核心思路是用含时间t的代数式表示动点数值，借助绝对值距离公式建立方程解题。牢记“右加左减、距离绝对值”两大核心规则，所有解出的时间必须满足，无效解必须舍去。本专题是初一数学难点入门，为后续一元一次方程综合大题铺垫基础。 新定义运算核心是阅读理解、精准代入、规范计算。标准化解题三步法：圈画题干运算公式→精准区分前后对应数→带括号完整代入计算。重点规避顺序颠倒、负数漏括号、主观自创规则三大错误，细心审题是拿分关键。 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 3．定义一种新运算，则的值为（     ） A．40 B．45 C．50 D．55 4．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 5．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·周测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位长度，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬行3个单位长度，…，按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫的起始位置A点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（　　） ①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 10．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 11．若定义一种新运算，规定，则______． 12．定义运算，则_______． 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为_______． 14．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 15．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将，，，，这个自然数，任意分成组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到个值． （1）当时，化简得____． （2）上述个值的和的最大值为____． 三、解答题 16．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）计算（能简便运算的要简算）： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 18．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 19．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 21．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 22．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 23．（25-26七年级上·吉林松原·期中）阅读理解： 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 解决问题： (1)有理数与对应两点之间的距离可以表示为，化简得______； (2)若有理数与对应两点之间距离为，那么______； (3)若有理数满足，那么______； (4)若有理数满足，那么______； (5)若有理数满足，那么______． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）观察下列等式：；；； 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①＝______； ②＝______． (3)探究并计算：． 25．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【概念】求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”， 一般地， 把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【探究】（1）直接写出计算结果： ______，=_______； 【思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：． （3）算一算． 26．（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $