第3章 勾股定理 单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 勾股定理单元检测卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三梯度设计，覆盖定理应用、实际建模、文化传承等，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/20分|勾股定理直接应用（1）、勾股数判断（3）、折叠问题（9）|结合网格构图（7）、动物打洞情境（4），体现空间观念| |填空题|8题/16分|赵爽弦图（14）、新定义“和美三角形”（12）、《九章算术》竹折问题（17）|融合文化传承与创新定义，培养抽象能力| |解答题|7题/64分|台风防护距离计算（21）、越野车后备箱高度（22）、动点与等腰三角形（23）、构图法求最值（24）|综合实际应用与逻辑推理，发展模型意识与推理能力|

第3章勾股定理单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 2．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 4．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（    ） A． B． C． D． 5．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 6．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 7．如图，在网格中，且，，都在格点处，现要找一格点，使得平分，甲乙两位同学给出了各自的作法，则下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 8．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 10．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____． 12．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 13．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 15．在中，，，上的中线，则________． 16．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 17．《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为_______． 18．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 三、解答题（共64分） 19．已知实数a，b，c满足．若以，，为边长，能否构成三角形？若能，请求出该三角形的面积；若不能，请说明理由． 20．在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 21．今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 22．如图1是某越野车侧面示意图，折线表示车后盖，已知，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，点和到直线的距离和分别为和．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点B到地面l的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请通过计算说明理由． 23．如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线－－－运动，设运动时间为． (1)在上是否存在点P，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若点P恰好在的角平分线上，于点M，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形且？求出此时的长． 24．（1）的最小值为________； （2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段； ②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使； ③在线段上任取一点O，设； ④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________． （3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________． 25．在长方形中，，点为边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点为的中点，延长交边于点． ①求证：； ②连接，求的长度． (2)如图2，若点为边上的一动点，连接能否为直角三角形？若能，直接写出的值__________；若不能，请说明理由． 参考答案 1．A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 2．A 【解答】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 3．C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【解答】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 4．B 【分析】本题考查勾股定理的应用． 根据题意，可得小鼹鼠朝前挖的距离和朝左挖的距离，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：， ， ， ∴10分钟之后两只小鼹鼠相距． 故选：B． 5．D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【解答】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 6．B 【分析】根据点P到各边的距离相等，结合勾股定理，三角形的面积求解即可； 【解答】解：连接， 设， ， ． 再根据直角三角形的面积，， ， ， 解得． 7．C 【分析】图甲中可证明，则由三线合一定理可得平分；图乙中可证明，则，再由平行线的性质得到，则可证明，即平分． 【解答】解：如图甲所示， 设小方格的边长为1， ∴，， ∴， 由网格的特点可知， ∴平分； 如图乙所示， 同理可得，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 综上所述，甲乙都对． 8．B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 9．D 【分析】利用折叠性质推导角度，得出，同时得到垂直关系与线段相等，先求出，最后在中借助勾股定理求出． 【解答】解：由折叠性质：， ， 即， ∴， 沿折叠，落在处， ， 即，． 在中：，， 是等腰直角三角形，． 由第二次折叠得：， ， 在中，，，， ∴． 10．D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【解答】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 11．25 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理建立等量关系求解． 【解答】解：∵分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得． 12．或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【解答】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【解答】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 14．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的面积为， ． 15．17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【解答】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 16．4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 17． 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，则尺，在利用勾股定理列方程即可． 【解答】解：设折断处离地面的高度是x尺，则尺， 在中，利用勾股定理可得：． 18．/厘米 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 19．能构成三角形，三角形面积为 【分析】本题考查的是三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，能根据题意判断出三角形是直角三角形是解题的关键． 直接根据非负数的性质求出，，的值即可；根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：、、满足， ，，， ，，； 三边能构成三角形，理由如下： ，，， ，，， ， 、、为边能构成三角形，此三角形是直角三角形， 三角形的面积． 20．(1) (2)11 【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解答的关键． （1）根据求解即可； （2）根据求解即可． 【解答】（1）解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由得， ∴． 21．(1)． (2) 海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， 海港会受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，从而可求得． （2）利用三角形面积得出长，即可得出结论． 【解答】（1），， ， 是直角三角形，． （2）略 【点睛】本题考查三角形面积，勾股定理应用，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股逆定理是解题的关键． 22．(1) (2) 如图所示，过点作于点D，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由（1）得车后盖最高点 B到地面l的距离为， ∴点的高度为， ∴没有碰头的危险． 【分析】题目主要考查勾股定理的应用， （1）结合图形，直接利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点D，结合图形得出，，再由勾股定理求解即可； 结合图形，找出相应的直角三角形，利用勾股定理是解题关键． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴车后盖最高点B到地面l的距离为； （2）略． 23．(1)存在，s (2) (3)①，；②， 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理即可计算； （2）证明≌，在中运用勾股定理即可； （3）分两种情况讨论，当在上时和当在上时，结合等腰三角形的性质进行解题． 【解答】（1）解：由题意知，， 设存在点P，使得，此时，， 在中，， 即， 解得：， 故当时，； （2）解：∵平分， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， 即， 解得：； （3）解：①当P在上时，， 即，解得：， 此时； ②当P在上时，过C作于F，如图： 若，则有， ， ∴， 解得：，， 此时， ； 综上所述，或时，； 当时，； 当时，． 24．（1）9；（2）④，；（3）10． 【分析】（1）利用的算术平方根的非负性即可求解； （2）④利用勾股定理建立等式即可；⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值，延长于，使得，再利用勾股定理求解； （3）直接仿照（2）中得解题思路画图，利用数形结合的思想求解． 【解答】解：（1）解：当时，取的最小值为9， 故答案为：9； （2）解：④，， 故答案为：，； ⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值， 延长于，使得，如下图：   ， 为最小值， 故答案为：； （3）解：结合第（2）的解题方法， 如下图：    设点表示，，则表示为的值，由（2）中得方法知的最小值为：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是读懂第（2）问中得解题方法，再利用方法求解． 25．(1) ①证明：如图1中，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵将沿翻折后得到． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，． (2)3或6 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①如图：连接，证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； ②连接，设，则，在中利用勾股定理求解；先求得，再说明，，再根据面积公式求解即可； （2）分和两种情况，分别根据矩形的性质、勾股定理、折叠的性质求解即可． 【解答】（1）解：①略 ②如图1，连接，设，则，， 在中，， ∴，解得：． ∴． ∴， ∴，，， ∴． ∵将沿翻折后得到， ∴， ， ∵， ∴，解得：． （2）解：存在．如图2，当时，B，F，D共线，设，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 如图3中，当时，． 综上所述，满足条件的的值为3或6． 学科网（北京）股份有限公司 $