第五章 二元一次方程组 单元检测（A／B双卷）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

八年级上册 第五章 二元一次方程组 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第五章 二元一次方程组 单元检测（A／B双卷） 北师大版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第五章 二元一次方程组） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：北师大版（2024）八年级上册第五章 二元一次方程组（5.1～5.5）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：二元一次方程（组）的概念、二元一次方程（组）的解、代入消元法、加减消元法、整体思想与非负数、含参数的方程组、列方程组解决实际问题（和差倍分）、列方程组解决实际问题（百分率、配套）等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 本表按“概念—解法—应用—与函数的联系—三元”的顺序排出第五章的考点，并注明两卷分别由哪些题号考查。A卷多为直接求解和常规建模，B卷增加了参数讨论、同解与无解、购物方案等综合题。教师批改后把每道错题记到对应行里，错得最集中的那一行，就是下一节复习课的重点。 本章考点 A卷题号 B卷题号 二元一次方程（组）的概念 2 12 二元一次方程（组）的解 1，5，9，10，15，23 1，22，23 代入消元法 3，16 2 加减消元法 4，8，14，17 3，16，17 整体思想与非负数 10，11 6，11 含参数的方程组 15 9，10，14，15，22 列方程组解决实际问题（和差倍分） 7，9，14，22，23 7，20，23 列方程组解决实际问题（百分率、配套） 8，21 8，18，23 列方程组解决实际问题（行程、数字、效率） 13，18 21 二元一次方程与一次函数 5，19，20 4，9，13，14，19，22 用待定系数法确定一次函数表达式 6，19，20 5 三元一次方程组 12 6，17，20 本章知识要点速览 下表把第五章浓缩为九条：定义与解、两种消元法、列方程组的步骤、常见数量关系、方程与直线、待定系数法和三元方程组。考前可遮住右栏逐条口述，再揭开核对，漏说的要点用红笔补在课本空白处。 序号 知识要点 掌握要求 1 二元一次方程（组） 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程；共含两个未知数的两个一次方程组成二元一次方程组。 2 方程（组）的解 使方程左右两边相等的一组未知数的值叫作方程的解，二元一次方程有无数个解；方程组中各方程的公共解叫作方程组的解。 3 代入消元法 把一个方程写成“y＝…”（或“x＝…”），代入另一个方程消去一个未知数，化二元为一元；代入时整体加括号。 4 加减消元法 同一未知数的系数相同就相减、互为相反数就相加；系数不同时先两边同乘适当的数，右边也要乘。 5 列方程组解决实际问题 审题找出两个相等关系→设两个未知数→列方程组→解→检验→作答；可用表格或线段图梳理数量关系。 6 常见数量关系 总数与总量（鸡兔同笼型）、增长a%乘(1＋a%)、顺风逆风、两位数10x＋y、配套时按部件总数列方程。 7 二元一次方程与一次函数 以二元一次方程的解为坐标的点组成一条直线；方程组的解就是两条直线交点的坐标，两直线平行时方程组无解。 8 待定系数法 设y＝kx＋b，把两组对应值代入得到关于k，b的方程组，求出k，b就确定了一次函数的表达式。 9 三元一次方程组 三个方程中各方程的公共解叫作三元一次方程组的解；解法仍是消元：三元→二元→一元。 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）若x＝5，y＝－2是关于x，y的二元一次方程2x＋ky＝16的一个解，则k的值为(____)。 A．3 B．－3 C．4 D．－13 2．（本题3分）若－＝7是关于x，y的二元一次方程，则a＋b的值为(____)。 A．－1 B．5 C．2 D．1 3．（本题3分）把y＝2x－3代入4x＋3y＝41消去y，所得一元一次方程的解是(____)。 A．5 B．4.4 C．3.2 D．7 4．（本题3分）解方程组3x＋5y＝42 ①，3x－2y＝21 ②时，由①－②消去x，求得y的值为(____)。 A．7 B．9 C．3 D．21 5．（本题3分）如图，画出了函数y＝2x－7和y＝－x＋2的图象，它们的公共点为P(3，－1)。若方程组2x－y＝7，x＋y＝2的解为x＝a，y＝b，则a－b等于(____)。 A．－4 B．4 C．2 D．7 6．（本题3分）直线y＝kx＋b过(－1，5)，(3，－7)两点，求得的k与b之和是(____)。 A．－1 B．11 C．2 D．5 7．（本题3分）一盒积木里只有三角形和四边形两种木块，一共20块；数一数所有木块的边，一共有72条。其中三角形木块有(____)块。 A．12 B．10 C．4 D．8 8．（本题3分）某社区水果店上个月卖出苹果和橙子共800箱；这个月苹果的销量比上个月增加15%，橙子的销量比上个月减少5%，两种水果一共卖出860箱。这个月卖出苹果(____)箱。 A．500 B．300 C．575 D．285 9．（本题3分）体育委员用576元为班级购买羽毛球拍和乒乓球拍，两种球拍都要买且钱恰好用完。羽毛球拍每副36元，乒乓球拍每副48元，购买方案一共有(____)种。 A．5 B．3 C．4 D．13 10．（本题3分）已知关于x，y的方程组ax＋by＝c，mx＋ny＝p的解是x＝3，y＝4，那么关于x，y的方程组a(x－1)＋b(y＋2)＝c，m(x－1)＋n(y＋2)＝p的解中，x＋y的值为(____)。 A．6 B．8 C．7 D．4 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若实数x，y满足|3x－y－1|＋＝0，则2x＋y＝________。 12．（本题3分）三元一次方程组x－y＝1，y－z＝2，x＋z＝11的解中，x＝________。 13．（本题3分）某两位数两个数位上的数字之和为11；交换这两个数字的位置（对调）后，所得的两位数比原数大27，则原两位数为________。 14．（本题3分）学校两次为足球社团购买器材的记录如下表，同一种球两次的单价相同。足球每个________元，排球每个________元。 购买次数 足球／个 排球／个 总价／元 第一次 3 2 330 第二次 2 5 440 15．（本题3分）对于有理数a，b，规定新运算a⊕b＝ma＋nb（m，n为常数）。已知1⊕2＝8，(－1)⊕3＝7，则(－2)⊕5＝________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）解下列方程组： (1)x＝2y＋1，3x－4y＝7； (2)5x＋4y＝6，3x－4y＝－22。 17．（本题9分）解下列方程组： (1)2(x＋1)－3y＝5，3x－2(y－1)＝9； (2)-＝1，+＝2。 18．（本题9分）一架无人机在风速不变的情况下往返飞行：顺风飞行2400m用了4min，逆风飞行同样的2400m用了6min。 (1)求无人机在无风时的飞行速度和风速； (2)若无人机从出发点顺风飞行3min后立即沿原路逆风返回，返回出发点需要多少分钟？ 19．（本题9分）一根蜡烛点燃后匀速燃烧，剩余长度y cm是燃烧时间x min的一次函数，测得的部分数据如下表。 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这根蜡烛点燃前有多长？ (3)蜡烛剩余5cm时，已经燃烧了多少分钟？ 燃烧时间x／min 6 16 剩余长度y／cm 21 13 20．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1经过点A(－3，0)和B(1，4)，直线l2：y＝－2x＋9与直线l1交于点P，与x轴交于点D。 (1)直线l1是哪个一次函数的图象？ (2)求点P的坐标，并指出同时满足x－y＝－3和2x＋y＝9的x，y的值； (3)求△PAD的面积。 21．（本题10分）小区居民通过社区团购拼单买菜，鸡蛋和牛奶的拼单折扣如下表。按原价买2箱鸡蛋和3箱牛奶共需196元；按拼单价买5箱鸡蛋和4箱牛奶共需291.2元。 (1)求每箱鸡蛋、每箱牛奶的原价； (2)按拼单价买5箱鸡蛋和4箱牛奶，比按原价购买节省了多少元？ 商品 鸡蛋 牛奶 拼单折扣 八折 九折 22．（本题10分）研学营地有一个容积为36m³的蓄水池，用甲、乙两根进水管注水。从空池开始，先开甲管4h，再关甲管开乙管3h，恰好注满；若从空池开始先开甲管2h，再关甲管开乙管6h，也恰好注满（每根管每小时的进水量不变）。 (1)甲、乙两管每小时各进水多少立方米？ (2)两管同时打开，从空池开始注满需要多少小时？ (3)若从空池开始先单开乙管1.5h，再两管同时打开，还需要多少小时才能注满？ 23．（本题13分）学校组织八年级330名师生去研学基地，准备租用大、小两种客车，每种客车的载客量如下表。已知租2辆大客车和3辆小客车共需租金3100元，租3辆大客车和1辆小客车共需租金2900元。 (1)每辆大客车、小客车的租金各是多少元？ (2)若两种客车都租，并且每辆车都恰好坐满，有哪几种租车方案？ (3)比较(2)中各方案的总租金，指出最省钱的方案并求出这笔租金。 车型 大客车 小客车 每辆载客量／人 45 30 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）已知x＝3，y＝m是方程4x－3y＝3的一个解，则m的值为(____)。 A．－3 B．9 C．3 D．－5 2．（本题3分）方程组x＝2y－3 ①，4x－3y＝18 ②中，①已经用y表示出x。消去x后，y等于(____)。 A．6 B．4.2 C．1.2 D．9 3．（本题3分）对于3x＋2y＝4 ①和4x－4y＝12 ②，小丽先把①的两边都乘2，再与②相加消去了y，她得到的x应为(____)。 A．1.6 B．－0.4 C．－1 D．2 4．（本题3分）如图，y＝－3x＋1与y＝x＋5的图象在点P(－1，4)处相交。若x＝a，y＝b是方程组3x＋y＝1，x－y＝－5的解，则2a＋b＝(____)。 A．7 B．2 C．6 D．5 5．（本题3分）下表列出了某个一次函数y＝kx＋b的三组对应值，其中m的值为(____)。 x －2 1 4 y 12 3 m A．12 B．－9 C．－24 D．－6 6．（本题3分）已知x＋2y＋3z＝26，3x＋2y＋z＝18，则x＋y＋z的值为(____)。 A．44 B．22 C．11 D．4 7．（本题3分）某户家庭屋顶安装了甲、乙两种规格的光伏板共12块，其中甲种4块、乙种8块。已知甲种光伏板每块的功率比乙种每块多150 W，这12块光伏板的总功率为5400 W。乙种光伏板每块的功率为(____)W。 A．450 B．400 C．550 D．375 8．（本题3分）学校图书角今年科普书和文学书共被借阅680册次，其中科普书比文学书多借阅320册次。已知今年科普书的借阅量比去年增加25%，文学书的借阅量比去年减少10%。去年科普书的借阅量是(____)册次。 A．500 B．400 C．180 D．200 9．（本题3分）已知n≠－3。要使方程组mx＋2y＝6，3x－y＝n没有解，字母m必须取(____)。 A．－6 B．－1.5 C．6 D．－3 10．（本题3分）关于x，y的方程组x＋y＝3k，x－y＝k的解恰好使2x＋3y＝14成立，则k＝(____)。 A．1.75 B．2.8 C．14 D．2 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若x＝2y＋3，则代数式3x－6y＋1的值为________。 12．（本题3分）若＋＝5是关于x，y的二元一次方程，则mn＝________。 13．（本题3分）如图，直线y＝kx＋2与直线y＝－x＋b交于点Q(3，－4)，则k＋b＝________。 14．（本题3分）直线y＝－x＋4与x轴的交点也在直线y＝2x＋m上，那么m＝________。 15．（本题3分）关于x，y的方程组x＋y＝5，kx－y＝1的解都是正整数，则所有正整数k的值为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）解下列方程组： (1)x＝5－3y，2x＋5y＝8； (2)2x－6y＝9，5x＋2y＝14。 17．（本题9分）解下列方程组： (1)x＋y－z＝1，2x－y＋z＝8，2x＋y＋z＝12； (2)-＝1，x－3y＝－3。 18．（本题9分）某新能源公司把光伏板和储能电池组装成A，B两种家用套装，每套所需部件如下表。仓库现有光伏板76块、储能电池44台，恰好全部组装成A，B两种套装。 (1)两种套装分别组装了多少套？ (2)若每套A型套装获利600元，每套B型套装获利900元，全部售出共获利多少元？ 套装 光伏板／块 储能电池／台 A型（每套） 3 1 B型（每套） 2 2 19．（本题9分）如图，在同一坐标系中画出了直线l1：y＝0.5x＋4和直线l2：y＝－2x－2，点A，B是它们与y轴的交点，P是两条直线的公共点。 (1)算出点P的坐标； (2)写出方程组x－2y＝－8，2x＋y＝－2的解； (3)求△PAB的面积。 20．（本题9分）研学营为学员订购徽章、书签、明信片三种纪念品，三次订购的数量和总价如下表，同一种纪念品三次的单价相同。 (1)求徽章、书签、明信片的单价； (2)若徽章打八折，书签和明信片不打折，三种纪念品各买2个共需多少元？ 订购次数 徽章／个 书签／个 明信片／张 总价／元 第一次 1 2 4 42 第二次 2 1 2 39 第三次 3 3 1 51 21．（本题10分）某小区充电站有快充桩和慢充桩，每种充电桩每小时充入的电量固定不变。一辆电动汽车先用快充桩充电0.5 h、再用慢充桩充电2 h，共充入40千瓦时；另一辆先用快充桩充电1 h、再用慢充桩充电0.5 h，共充入45千瓦时。 (1)快充桩、慢充桩每小时各充入多少千瓦时？ (2)一辆电动汽车需要充入60千瓦时，先用快充桩、再换慢充桩，一共充了3 h，两种充电桩各用了多少小时？ 22．（本题10分）k为常数，x，y满足方程组x－y＝2k－1 ①，2x＋y＝k＋4 ②。 (1)当k＝2时，求x，y的值； (2)用含k的式子表示x，y，并求出：无论k取何值，以x，y的值为坐标的点(x，y)都在其上的那条直线的表达式； (3)若x与y的绝对值相等，求k的值及此时x，y的值。 23．（本题13分）某直播间销售A款保温杯和B款台灯。按原价计算：买2个保温杯和1盏台灯共需260元，买1个保温杯和3盏台灯共需380元。 (1)求保温杯和台灯的原价； (2)某班按原价计算恰好花1000元购买这两种商品（两种都要买），有哪几种购买方案？ (3)直播间当天的优惠方式如下表：先按单品优惠计价，再对订单总额计算满减。(2)中哪种方案实际付款最少？最少付多少元？ 优惠项目 优惠方式 A款保温杯 每个直降10元 B款台灯 打九折 订单总额 每满300元减40元 附：A卷命题双向细目表 A卷覆盖第五章五节：概念与解、代入法和加减法、列方程组解应用题、方程与一次函数、三元一次方程组。压轴的第23题围绕研学租车，先求租金，再找正整数解列方案，最后比费用。难度分三档由易到难排列，基础、中档、较难依次占11，7，5道；取材于生活的题共9道，如积木、水果店、无人机、蜡烛、蓄水池。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 由方程的解求字母系数 基础 运算能力 2 选择题 3 二元一次方程的定义（指数） 基础 抽象能力 3 选择题 3 代入消元法（代入后的一元方程） 基础 运算能力 4 选择题 3 加减消元法（系数相同时相减） 基础 运算能力 5 选择题 3 两直线的交点与方程组的解 基础 几何直观 6 选择题 3 待定系数法求k，b 基础 模型观念 7 选择题 3 积木块数问题（鸡兔同笼型） 中档 模型观念 8 选择题 3 增长率问题（水果销量） 中档 模型观念 9 选择题 3 二元一次方程的正整数解（购买方案） 难 运算能力 10 选择题 3 换元法（整体代换） 难 推理能力 11 填空题 3 非负数之和为0列方程组 基础 推理能力 12 填空题 3 三元一次方程组（逐步消元） 基础 运算能力 13 填空题 3 数字问题（对调数位） 基础 模型观念 14 填空题 3 表格信息列方程组（器材单价） 中档 模型观念 15 填空题 3 新定义运算与二元一次方程组 难 推理能力 16 解答题 6 解二元一次方程组（代入与加减） 基础 运算能力 17 解答题 9 含括号、分母的方程组 基础 运算能力 18 解答题 9 顺风逆风问题（无人机往返） 中档 模型观念 19 解答题 9 待定系数法（蜡烛燃烧） 中档 模型观念 20 解答题 9 图象法解方程组与面积 中档 几何直观 21 解答题 10 折扣问题（社区团购拼单） 中档 模型观念 22 解答题 10 注水问题（蓄水池） 难 模型观念 23 解答题 13 租车方案问题（研学车队） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷与A卷考点一致，区别在于思考步数：三元方程组要选定一个未知数两次消元，无解要想到两条直线平行，含参数的方程组要用参数表示解、找出解所在的直线并分类讨论绝对值；第23题以直播间购物收尾，依次求单价、列方案、按单品优惠和满减算实付。本卷基础11题、中档7题、较难5题，情境题6道，涉及光伏板、图书借阅、研学纪念品、充电桩等。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 由方程的解求未知数的值 基础 运算能力 2 选择题 3 代入消元法（求y） 基础 运算能力 3 选择题 3 加减消元法（先乘数再相加） 基础 运算能力 4 选择题 3 由交点坐标写方程组的解 基础 几何直观 5 选择题 3 由对应值表确定一次函数 基础 模型观念 6 选择题 3 三元一次方程的整体求值 基础 运算能力 7 选择题 3 光伏板功率问题（由块数与功率差反求每块功率） 中档 模型观念 8 选择题 3 增减百分率问题（由今年总量与差值反求去年借阅量） 中档 模型观念 9 选择题 3 方程组无解与两直线平行 难 推理能力 10 选择题 3 用含参数的式子表示解 难 推理能力 11 填空题 3 整体代入求值 基础 推理能力 12 填空题 3 二元一次方程的定义求字母 基础 抽象能力 13 填空题 3 交点坐标确定直线中的字母 基础 几何直观 14 填空题 3 两直线交点位置求参数 中档 推理能力 15 填空题 3 方程组的正整数解求参数 难 推理能力 16 解答题 6 解二元一次方程组（基本解法） 基础 运算能力 17 解答题 9 三元一次方程组与含分母的方程组 基础 运算能力 18 解答题 9 配套问题（光伏储能套装） 中档 模型观念 19 解答题 9 两直线与y轴围成的三角形 中档 几何直观 20 解答题 9 三元一次方程组的实际应用（研学纪念品） 中档 模型观念 21 解答题 10 充电量问题（效率×时间） 中档 模型观念 22 解答题 10 含参方程组的解与直线、绝对值分类讨论 难 推理能力 23 解答题 13 购物方案与优惠比较（直播间） 难 模型观念 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C B A D C A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B A 9 7 47 70；60 11 B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D C B B B卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 A D 10 －2 －3 －8 1或2或5 　A卷　一、选择题 1．【答案】B 【解析】【分析】方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，把x，y的值代入，得到关于k的一元一次方程。 【详解】把x＝5，y＝－2代入2x＋ky＝16，得2×5＋k×(－2)＝16， 即10－2k＝16，－2k＝6，k＝－3。 所以选B。 A项代入后把k×(－2)写成＋2k，由10＋2k＝16，按此错法真算得3；C项把x，y的值代反，由2×(－2)＋5k＝16，按此错法真算得4；D项移项时没有变号，由－2k＝16＋10，按此错法真算得－13。 【方法点拨】“是方程的解”就是“代入后等式成立”，把解代入方程，未知的系数就满足一个一元一次方程。 2．【答案】D 【解析】【分析】二元一次方程中含未知数的项的次数都是1，所以两个指数都等于1。 【详解】由二元一次方程的定义，a－1＝1，b＋2＝1， 解得a＝2，b＝－1，所以a＋b＝2＋(－1)＝1。 所以选D。 A项把“次数是1”当成“次数是0”，得a＝1，b＝－2，按此错法真算得－1；B项由b＋2＝1解错成b＝3，按此错法真算得5；C项误以为指数里的a，b本身都等于1，按此错法真算得2。 【方法点拨】判断二元一次方程看三点：整式方程、两个未知数、含未知数的项的次数都是1；由“次数是1”列方程求字母。 3．【答案】A 【解析】【分析】①已经是“y＝…”的形式，直接代入②消去y，得到关于x的一元一次方程。 【详解】把①代入②，得4x＋3(2x－3)＝41， 去括号得4x＋6x－9＝41，10x＝50，x＝5。 所以选A。 B项去括号时－3没有乘3，得10x－3＝41，按此错法真算得4.4；C项去括号时把3×(－3)算成＋9，得10x＋9＝41，按此错法真算得3.2；D项求出的是y的值，y＝2×5－3，按此错法真算得7。 【方法点拨】代入消元的关键是“用一个未知数表示另一个”，代入时把整个式子加括号，化二元为一元。 4．【答案】C 【解析】【分析】两个方程中x的系数相同，两式相减就能消去x。 【详解】①－②，得5y－(－2y)＝42－21， 即7y＝21，y＝3。 所以选C。 A项把5y－(－2y)算成3y，得3y＝21，按此错法真算得7；B项右边42－21算成42＋21，得7y＝63，按此错法真算得9；D项左右两边都算错，得3y＝63，按此错法真算得21。 【方法点拨】同一未知数的系数相同就相减、互为相反数就相加，两式相减时每一项都要变号。 5．【答案】B 【解析】【分析】每个二元一次方程对应一条直线，两条直线交点的坐标就是方程组的解。 【详解】方程2x－y＝7即y＝2x－7，x＋y＝2即y＝－x＋2， 两条直线交点P(3，－1)的坐标就是方程组的解，所以a＝3，b＝－1， a－b＝3－(－1)＝4。 所以选B。 A项把交点的横、纵坐标读反，a＝－1，b＝3，按此错法真算得－4；C项把点P的纵坐标看成1，a＝3，b＝1，按此错法真算得2；D项把直线y＝2x－7与y轴的交点(0，－7)当成了方程组的解，按此错法真算得7。 【方法点拨】一个二元一次方程对应一条直线，方程组的解就是两条直线交点的坐标。 6．【答案】A 【解析】【分析】把两个点的坐标分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组。 【详解】由题意，－k＋b＝5 ①，3k＋b＝－7 ②， ②－①，得4k＝－12，k＝－3，把k＝－3代入①，得b＝2， 所以k＋b＝－3＋2＝－1。 所以选A。 B项两式相减时符号出错，得k＝3，再求得b＝8，按此错法真算得11；C项误把点(－1，5)的纵坐标5当成b，k＝－3，按此错法真算得2；D项代入(－1，5)时写成5＝k＋b，与－7＝3k＋b联立得k＝－6，b＝11，按此错法真算得5。 【方法点拨】一次函数有k，b两个待定系数，需要两个点的坐标，代入后解二元一次方程组。 7．【答案】D 【解析】【分析】两个相等关系：三角形块数＋四边形块数＝20，三角形的边数＋四边形的边数＝72。 【详解】设三角形木块x块，四边形木块y块，则x＋y＝20，3x＋4y＝72， 由x＋y＝20得y＝20－x，代入得3x＋4(20－x)＝72， 80－x＝72，x＝8，y＝12。 所以选D。 A项设反了未知数，求成了四边形木块的块数，按此错法真算得12；B项误以为两种木块各占一半，按此错法真算得10；C项按全是三角形算得72÷3＝24块，把多出的块数当作答案，按此错法真算得4。 【方法点拨】“总个数”和“总数量（边数、脚数、座位数）”是这类问题的两个相等关系。 【易错提醒】每块三角形有3条边、每块四边形有4条边，边数方程要乘上每块的边数。 8．【答案】C 【解析】【分析】设上个月苹果、橙子分别卖出x箱、y箱，按“上个月总量”和“这个月总量”列两个方程，求出x后再算这个月的销量。 【详解】设上个月卖出苹果x箱、橙子y箱，则x＋y＝800，(1＋15%)x＋(1－5%)y＝860， 即1.15x＋0.95y＝860，把y＝800－x代入得0.2x＝100，x＝500， 这个月卖出苹果500×1.15＝575（箱）。 所以选C。 A项求成了上个月苹果的销量，按此错法真算得500；B项求成了上个月橙子的销量，按此错法真算得300；D项求成了这个月橙子的销量，按此错法真算得285。 【方法点拨】增长a%就是乘(1＋a%)，减少b%就是乘(1－b%)；设原来的量为未知数更容易列方程。 【易错提醒】设的是上个月的销量，题目问的是这个月，求出x后还要乘1.15。 9．【答案】B 【解析】【分析】设羽毛球拍x副、乒乓球拍y副，得到一个二元一次方程，再找它的正整数解。 【详解】设买羽毛球拍x副、乒乓球拍y副，则36x＋48y＝576，即3x＋4y＝48， y＝，x必须是4的倍数且0＜x＜16， x＝4时y＝9；x＝8时y＝6；x＝12时y＝3，共3种方案。 所以选B。 A项把只买一种球拍的两种情况也算上，按此错法真算得5；C项只排除了不买乒乓球拍的情况，按此错法真算得4；D项把y从0到12的每个整数都算作方案，没有检验x是否为正整数，按此错法真算得13。 【方法点拨】实际问题中“个数”必须是正整数，把方程变形为“y＝…”，再按整除和取值范围逐个检验。 【易错提醒】“两种都要买”说明x，y都是正整数，x＝0或y＝0的情况要排除。 10．【答案】A 【解析】【分析】把x－1和y＋2各看作一个整体，第二个方程组与第一个方程组形式完全相同。 【详解】把x－1看作X，y＋2看作Y，则aX＋bY＝c，mX＋nY＝p， 由已知得X＝3，Y＝4，即x－1＝3，y＋2＝4， 所以x＝4，y＝2，x＋y＝6。 所以选A。 B项由x－1＝3，y＋2＝4解移项时符号出错，得x＝2，y＝6，按此错法真算得8；C项直接照搬原方程组的解x＝3，y＝4，按此错法真算得7；D项只把x－1＝3的移项做错，得x＝2，y＝2，按此错法真算得4。 【方法点拨】两个方程组结构相同时，把对应位置的式子看作一个整体，直接借用已知方程组的解。 【易错提醒】x－1＝3得x＝4，y＋2＝4得y＝2，移项要变号。 　A卷　二、填空题 11．【答案】9 【解析】【分析】绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0，它们都等于0。 【详解】由题意，3x－y－1＝0，x＋y－7＝0， 两式相加得4x＝8，x＝2，代入得y＝5， 所以2x＋y＝4＋5＝9。 所以答案为9。 【方法点拨】几个非负数的和为0，每一个都等于0，由此得到方程组。 12．【答案】7 【解析】【分析】前两个方程相加消去y，得到只含x，z的方程，再与第三个方程组成二元一次方程组。 【详解】x－y＝1 ①，y－z＝2 ②，x＋z＝11 ③，①＋②得x－z＝3 ④， ③＋④得2x＝14，x＝7，再由①得y＝x－1＝6。 所以答案为7。 【方法点拨】解三元一次方程组仍然是消元：先消去一个未知数化为二元，再化为一元。 13．【答案】47 【解析】【分析】设十位数字为x、个位数字为y，原数是10x＋y，新数是10y＋x。 【详解】由题意，x＋y＝11，(10y＋x)－(10x＋y)＝27， 第二个方程化简得y－x＝3，与x＋y＝11相加得2y＝14，y＝7，x＝4， 原两位数是10×4＋7＝47。 所以答案为47。 【方法点拨】两位数＝10×十位数字＋个位数字，对调后十位与个位的数字互换位置。 14．【答案】70；60 【解析】【分析】每一次购买都能列出一个“足球费用＋排球费用＝总价”的方程，两次就组成方程组。 【详解】设足球每个x元、排球每个y元，则3x＋2y＝330 ①，2x＋5y＝440 ②， ①×5－②×2，得11x＝770，x＝70，把x＝70代入①，得y＝60。 所以答案为70；60。 【方法点拨】表格中每一行是一次购买，对应一个“数量×单价之和＝总价”的方程。 【易错提醒】表中每一行对应一个方程；用加减法消y时两个方程都要乘数。 15．【答案】11 【解析】【分析】按规定把新运算写成含m，n的式子，两个已知等式就是关于m，n的二元一次方程组。 【详解】由规定，1⊕2＝m＋2n＝8 ①，(－1)⊕3＝－m＋3n＝7 ②， ①＋②，得5n＝15，n＝3，把n＝3代入①，得m＝2， 所以(－2)⊕5＝－2m＋5n＝－4＋15＝11。 所以答案为11。 【方法点拨】新定义运算先“翻译”成普通算式；已知两个运算结果，就得到关于两个常数的二元一次方程组。 【易错提醒】(－1)⊕3中a＝－1，写成－m＋3n，不要漏掉负号；最后求的是(－2)⊕5，不是m＋n。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）x＝5，y＝2；（2）x＝－2，y＝4 【解析】【分析】(1)第一个方程已用含y的式子表示x，用代入法；(2)y的系数互为相反数，两式相加消去y。 【详解】(1)把x＝2y＋1代入3x－4y＝7，得3(2y＋1)－4y＝7， 2y＝4，y＝2，把y＝2代入x＝2y＋1，得x＝5， 所以方程组的解是x＝5，y＝2。　……3分 【另解】(1)也可用加减法：由x＝2y＋1得x－2y＝1 ③，③×3得3x－6y＝3 ④，用3x－4y＝7减去④，得(3x－4y)－(3x－6y)＝7－3，即2y＝4，y＝2，与代入法结果一致。 【检验】把x＝5，y＝2代入：x＝2y＋1即2×2＋1＝5＝x，3x－4y＝3×5－4×2＝15－8＝7，两个方程都成立。 (2)两式相加，得8x＝－16，x＝－2， 把x＝－2代入5x＋4y＝6，得4y＝16，y＝4， 所以方程组的解是x＝－2，y＝4。　……3分 【另解】(2)也可用代入法：由①得x＝，代入②，得3×－4y＝－22，两边乘5，得3(6－4y)－20y＝－110，18－12y－20y＝－110，－32y＝－128，y＝4，与加减法结果一致。 【检验】把x＝－2，y＝4代入：5x＋4y＝5×(－2)＋4×4＝－10＋16＝6，3x－4y＝3×(－2)－4×4＝－6－16＝－22，两个方程都成立。 【方法点拨】有一个方程已写成“y＝…”或“x＝…”时用代入法，某个未知数系数相同或相反时用加减法。 【评分说明】每小题：消元正确1分，求出一个未知数1分，求出另一个并写出解1分。 17．【答案】（1）x＝3，y＝1；（2）x＝5，y＝4 【解析】【分析】先去括号、去分母把每个方程整理成ax＋by＝c的形式，再用加减法消元。 【详解】(1)整理得2x－3y＝3 ①，3x－2y＝7 ②， ②×3－①×2，得9x－4x＝21－6，即5x＝15，x＝3， 把x＝3代入①，得y＝1，所以方程组的解是x＝3，y＝1。　……4分 【另解】(1)也可用代入法：由②得x＝，代入①，得2×－3y＝3，两边乘3，得2(7＋2y)－9y＝9，14＋4y－9y＝9，－5y＝－5，y＝1，与加减法结果一致。 【检验】把x＝3，y＝1代入原方程：2(x＋1)－3y＝2×4－3×1＝8－3＝5，3x－2(y－1)＝3×3－2×0＝9－0＝9，两个方程都成立。 (2)第一个方程两边乘6，得2(x＋1)－3(y－2)＝6，即2x－3y＝－2 ①； 第二个方程两边乘20，得4x＋5y＝40 ②， ②－①×2，得11y＝44，y＝4， 把y＝4代入①，得x＝5，所以方程组的解是x＝5，y＝4。　……5分 【另解】(2)也可用代入法：由①(2x－3y＝－2)得x＝，代入②(4x＋5y＝40)，得4×＋5y＝40，2(3y－2)＋5y＝40，6y－4＋5y＝40，11y＝44，y＝4，与加减法结果一致。 【检验】把x＝5，y＝4代入原方程：-＝-＝2－1＝1，+＝+＝1＋1＝2，两个方程都成立。 【方法点拨】先去括号、去分母，把每个方程整理成ax＋by＝c的标准形式，再选择消元方法。 【评分说明】(1)整理2分，求出解2分；(2)去分母整理2分，消元求出y 2分，求出x并写出解1分。 18．【答案】（1）无风时速度500m/min，风速100m/min；（2）4.5min 【解析】【分析】顺风速度＝无风速度＋风速，逆风速度＝无风速度－风速，先由路程和时间求出顺风、逆风的速度。 【详解】(1)顺风速度为2400÷4＝600（m/min），逆风速度为2400÷6＝400（m/min）， 设无人机无风时的速度为x m/min，风速为y m/min，则x＋y＝600，x－y＝400，　……3分 两式相加得2x＝1000，x＝500，y＝100， 【检验】把x＝500，y＝100代入：x＋y＝500＋100＝600，x－y＝500－100＝400，两个方程都成立。 答：无人机无风时的飞行速度是500m/min，风速是100m/min。　……3分 (2)顺风飞行3min的路程为600×3＝1800（m）， 逆风返回需要1800÷400＝4.5（min）。　……3分 【方法点拨】顺风速度＝本身速度＋风速，逆风速度＝本身速度－风速，两式相加减即可求出两个速度。 【评分说明】(1)求出两个速度1分，设元列方程组2分，解出并作答3分；(2)求出路程1分，求出时间2分。 【易错提醒】顺风、逆风的速度要先算出来；返回时是逆风，用400m/min。 19．【答案】（1）y＝－0.8x＋25.8；（2）25.8cm；（3）26min 【解析】【分析】设y＝kx＋b，把表中两组对应值代入，得到关于k，b的二元一次方程组；点燃前就是x＝0时的y值。 【详解】(1)设y＝kx＋b，由表得6k＋b＝21，16k＋b＝13， 两式相减得10k＝－8，k＝－0.8，代入得b＝25.8， 【检验】把k＝－0.8，b＝25.8代入：6k＋b＝6×(－0.8)＋25.8＝－4.8＋25.8＝21，16k＋b＝16×(－0.8)＋25.8＝－12.8＋25.8＝13，两个方程都成立。 【另解】也可用代入法：由6k＋b＝21得b＝21－6k，代入16k＋b＝13，得16k＋21－6k＝13，10k＝－8，k＝－0.8，与减法消元的结果一致。 所以y＝－0.8x＋25.8。　……5分 (2)当x＝0时，y＝25.8，这根蜡烛点燃前长25.8cm。　……1分 (3)令－0.8x＋25.8＝5，得0.8x＝20.8，x＝26， 经检验，所求结果符合题意。 答：已经燃烧了26分钟。　……3分 【方法点拨】实际问题中已知“y是x的一次函数”，就设y＝kx＋b，用两组对应值列方程组求k，b。 【评分说明】(1)列方程组2分，求出k，b 2分，写出表达式1分；(2)1分；(3)列方程1分，求出结果并作答2分。 【易错提醒】k是负数，表示每分钟烧掉0.8cm；点燃前的长度就是b。 20．【答案】（1）y＝x＋3；（2）P(2，5)，方程组的解为x＝2，y＝5；（3）18.75 【解析】【分析】(1)用待定系数法；(2)联立两条直线的表达式求交点，交点坐标就是方程组的解；(3)AD在x轴上，高是点P的纵坐标。 【详解】(1)设直线l1：y＝kx＋b，则－3k＋b＝0，k＋b＝4， 两式相减得4k＝4，k＝1，b＝3，所以y＝x＋3。　……3分 (2)由x＋3＝－2x＋9，得3x＝6，x＝2，y＝5，点P(2，5)； 方程x－y＝－3即y＝x＋3，2x＋y＝9即y＝－2x＋9， 所以方程组的解是x＝2，y＝5。　……3分 (3)令－2x＋9＝0，得x＝4.5，D(4.5，0)，AD＝4.5－(－3)＝7.5， S△PAD＝½×7.5×5＝18.75。　……3分 【另解】(3)不用AD在x轴上作底，改用割补法：过A、D作x轴的垂线x＝－3、x＝4.5，过P作y＝5的水平线，三条线与x轴围成一个宽7.5、高5的矩形，面积7.5×5＝37.5；矩形被PA、PD分成三块，其中左上角直角三角形的两条直角边分别是5和(2－(－3))＝5，面积为½×5×5＝12.5；右上角直角三角形的两条直角边分别是5和(4.5－2)＝2.5，面积为½×5×2.5＝6.25；矩形面积减去这两块，就是△PAD的面积：37.5－12.5－6.25＝18.75，与直接用底高公式的结果一致。 【方法点拨】两条直线的交点坐标就是对应方程组的解；在坐标系中求面积，找落在坐标轴上的边作底。 【评分说明】(1)列方程组1分，求出表达式2分；(2)求出P 2分，写出方程组的解1分；(3)求出D与AD 2分，面积1分。 【易错提醒】三角形的底AD在x轴上，高是点P到x轴的距离，就是点P的纵坐标5。 21．【答案】（1）鸡蛋每箱35元，牛奶每箱42元；（2）51.8元 【解析】【分析】设原价分别为x元、y元，拼单价就是0.8x元和0.9y元，按两次购买的总价列方程组。 【详解】(1)设每箱鸡蛋原价x元、每箱牛奶原价y元， 则2x＋3y＝196 ①，5×0.8x＋4×0.9y＝291.2，即4x＋3.6y＝291.2 ②，　……3分 ①×2－②，得6y－3.6y＝392－291.2，即2.4y＝100.8，y＝42，把y＝42代入①，得x＝35， 经检验，所求结果符合题意。 【另解】(1)也可用代入法：由①得y＝，代入②，得4x＋3.6×＝291.2，即4x＋1.2(196－2x)＝291.2，4x＋235.2－2.4x＝291.2，1.6x＝56，x＝35，再代入①得y＝42，与加减法结果一致。 答：每箱鸡蛋原价35元，每箱牛奶原价42元。　……4分 (2)按原价需5×35＋4×42＝343（元）， 节省343－291.2＝51.8（元）。　……3分 【方法点拨】打几折就是乘零点几；原价与折后价的关系要在列方程时体现出来。 【评分说明】(1)设元1分，列出两个方程各1分，消元求出y 2分，求出x并作答2分；(2)原价总额2分，节省金额1分。 【易错提醒】八折是乘0.8，九折是乘0.9；第二个方程用的是拼单价。 22．【答案】（1）甲管6m³，乙管4m³；（2）3.6h；（3）3h 【解析】【分析】进水量＝每小时进水量×时间，两种注水方式各对应一个方程；(3)先算出乙管单开的进水量，剩下的由两管合注。 【详解】(1)设甲管每小时进水x m³，乙管每小时进水y m³， 则4x＋3y＝36 ①，2x＋6y＝36 ②， ①×2－②，得6x＝36，x＝6，代入①得y＝4。 经检验，所求结果符合题意。 答：甲管每小时进水6m³，乙管每小时进水4m³。　……5分 【另解】(1)也可用代入法：由②得x＝＝18－3y，代入①，得4(18－3y)＋3y＝36，72－12y＋3y＝36，－9y＝－36，y＝4，代入②得x＝6，与原来消元法的结果一致。 (2)两管每小时共进水6＋4＝10（m³），36÷10＝3.6（h）。　……2分 【另解】(2)也可以直接设两管同时打开需t小时，由题意得6t＋4t＝36，即10t＝36，t＝3.6，与直接相除的结果一致。 (3)乙管1.5h进水4×1.5＝6（m³），还剩36－6＝30（m³）， 30÷10＝3（h），还需要3小时。　……3分 【另解】(3)也可以不先算乙管单开1.5h的进水量，直接设还需要t小时，由题意得4×1.5＋(6＋4)t＝36，即10t＝30，t＝3，与分步计算的结果一致。 【方法点拨】工作量＝工作效率×工作时间，注满同一个池子时两种方式的总进水量相等。 【评分说明】(1)列方程组2分，求出解2分，作答1分；(2)2分；(3)求出剩余水量2分，求出时间1分。 【易错提醒】两种方式注满的都是同一个池子，所以两个方程的右边都是36。 23．【答案】（1）大客车800元，小客车500元；（2）大2小8、大4小5、大6小2三种；（3）租2辆大客车、8辆小客车，最少租金5600元 【解析】【分析】(1)按两次租车的总租金列方程组；(2)由“恰好坐满”列出一个二元一次方程，求它的正整数解；(3)逐个方案算出租金再比较。 【详解】(1)设每辆大客车租金x元、小客车租金y元， 则2x＋3y＝3100 ①，3x＋y＝2900 ②， 由②得y＝2900－3x，代入①得2x＋8700－9x＝3100，x＝800，y＝500。 经检验，所求结果符合题意。 答：每辆大客车租金800元，每辆小客车租金500元。　……5分 (2)设租大客车a辆、小客车b辆，则45a＋30b＝330，即3a＋2b＝22， b＝，a，b都是正整数，所以a是偶数且a≤6， a＝2时b＝8；a＝4时b＝5；a＝6时b＝2，共三种方案。　……4分 【另解】(2)列表逐一试：由45a＋30b＝330，a最多试到7（45×8＝360＞330），逐一代入求b： a＝1时b＝＝9.5，舍去；a＝2时b＝＝8，成立；a＝3时b＝＝6.5，舍去；a＝4时b＝＝5，成立；a＝5时b＝＝3.5，舍去；a＝6时b＝＝2，成立；a＝7时b＝＝0.5，舍去，与代数解法结果一致。 (3)方案一：800×2＋500×8＝5600（元）；方案二：800×4＋500×5＝5700（元）； 方案三：800×6＋500×2＝5800（元）， 【另解】(3)也可以用差值法：由大2小8到大4小5，大客车增加2辆、小客车减少3辆，费用变化为2×800－3×500＝1600－1500＝100（元），增加了；由大4小5到大6小2，同样是大客车增加2辆、小客车减少3辆，费用变化也是100元，增加了；费用随大客车数量增加而增加，所以大客车最少的方案（大2小8）最省钱，不需要把三种方案的总租金都算出来再比较。 所以租2辆大客车、8辆小客车租金最少，最少租金是5600元。　……4分 【方法点拨】先用方程组求出单价，再用“恰好坐满”列出一个二元一次方程求正整数解，最后逐个比较费用。 【评分说明】(1)列方程组2分，求出解2分，作答1分；(2)列方程1分，每个方案1分；(3)算出三种租金3分，结论1分。 【易错提醒】“恰好坐满”只能列出一个方程，要找正整数解；“两种都租”要排除a＝0的情况。 　B卷　一、选择题 1．【答案】C 【解析】【分析】把x＝3，y＝m代入方程，得到关于m的一元一次方程。 【详解】把x＝3，y＝m代入4x－3y＝3，得12－3m＝3， －3m＝－9，m＝3。 所以选C。 A项代入后把－3m写成＋3m，由12＋3m＝3，按此错法真算得－3；B项代入时漏乘系数3，由12－m＝3，按此错法真算得9；D项移项时没有变号，由－3m＝3＋12，按此错法真算得－5。 【方法点拨】把已知的解代入方程，得到关于所求字母的一元一次方程。 2．【答案】A 【解析】【分析】①是“x＝…”的形式，代入②消去x。 【详解】将①代入②，得4(2y－3)－3y＝18， 8y－12－3y＝18，5y＝30，y＝6。 所以选A。 B项去括号时－3没有乘4，得5y－3＝18，按此错法真算得4.2；C项去括号时把4×(－3)算成＋12，得5y＋12＝18，按此错法真算得1.2；D项求出的是x的值，x＝2×6－3，按此错法真算得9。 【方法点拨】把“x＝…”整体代入另一个方程，消去x后解关于y的一元一次方程。 3．【答案】D 【解析】【分析】①中y的系数是2，乘2后变为4，与②中的－4互为相反数，相加消去y。 【详解】①×2，得6x＋4y＝8 ③， ③＋②，得10x＝20，x＝2。 所以选D。 A项只把①的左边乘2，右边没乘，得10x＝4＋12，按此错法真算得1.6；B项右边算成2×4－12，得10x＝－4，按此错法真算得－0.4；C项求出的是y的值，按此错法真算得－1。 【方法点拨】系数的绝对值不相等时，先让方程两边乘适当的数，使某个未知数的系数互为相反数，再相加。 4．【答案】B 【解析】【分析】3x＋y＝1可化为y＝－3x＋1，x－y＝－5可化为y＝x＋5，方程组的解就是两条直线交点的坐标。 【详解】两个方程分别对应直线y＝－3x＋1和y＝x＋5，交点为P(－1，4)， 所以a＝－1，b＝4，2a＋b＝－2＋4＝2。 所以选B。 A项把交点的横、纵坐标读反，a＝4，b＝－1，按此错法真算得7；C项把点P的横坐标看成1，a＝1，b＝4，按此错法真算得6；D项把直线y＝x＋5与y轴的交点(0，5)当成了方程组的解，按此错法真算得5。 【方法点拨】把每个方程化成y＝kx＋b的形式，确认它对应图中哪条直线，交点坐标就是解。 5．【答案】D 【解析】【分析】用表中前两组对应值确定k，b，再求x＝4时的函数值。 【详解】由表得－2k＋b＝12 ①，k＋b＝3 ②， ①－②，得－3k＝9，k＝－3，代入②得b＝6， 所以y＝－3x＋6，当x＝4时，m＝－12＋6＝－6。 所以选D。 A项两式相减时把左边算成3k、右边算成9，得k＝3，b＝0，按此错法真算得12；B项误把x＝1时的函数值3当成b，k＝－3，按此错法真算得－9；C项两式相减时把－2k－k算成－k，得k＝－9，b＝12，按此错法真算得－24。 【方法点拨】表中任取两组对应值代入y＝kx＋b，求出k，b后再求其他对应值。 6．【答案】C 【解析】【分析】三个未知数、两个方程，求不出每个未知数，但两式相加后各项系数都是4，可以整体求x＋y＋z。 【详解】两式相加，得4x＋4y＋4z＝44， 所以x＋y＋z＝11。 所以选C。 A项两式相加后忘了除以4，按此错法真算得44；B项两式相加后只除以2，按此错法真算得22；D项两式相减得2z－2x＝8，把z－x＝4当成答案，按此错法真算得4。 【方法点拨】方程个数少于未知数个数时，求不出每个未知数，要看能否通过相加、相减整体得到所求式子。 7．【答案】B 【解析】【分析】设甲、乙两种光伏板每块功率分别为x W、y W，按“功率之差”和“总功率”两个相等关系列方程组。 【详解】由题意，x－y＝150 ①，4x＋8y＝5400 ②， 由①得x＝y＋150，代入②，得4(y＋150)＋8y＝5400，12y＝4800，y＝400，x＝550， 经检验，符合题意。 所以选B。 A项：把总功率5400直接除以12块，忽略了两种规格功率不同，按此错法真算得450；C项：求成了甲种光伏板每块的功率，按此错法真算得550；D项：误以为甲、乙两种各占6块，按此错法真算得375。 【方法点拨】两种对象数量已知、单项值不同时，设两个单项值为未知数，由“差”和“总量”两个相等关系列方程组求解。 【易错提醒】甲种功率比乙种多150 W，写成(b＋150)而不是(b－150)；12块不是甲、乙各占一半。 8．【答案】B 【解析】【分析】设去年科普书借阅x册次、文学书借阅y册次，今年科普书借阅1.25x册次、文学书借阅0.9y册次；按“今年共借阅680册次”和“今年科普书比文学书多借阅320册次”列两个方程，用加减法求解。 【详解】设去年科普书借阅x册次、文学书借阅y册次，则1.25x＋0.9y＝680 ①，1.25x－0.9y＝320 ②， ①＋②，得2.5x＝1000，x＝400， ①－②，得1.8y＝360，y＝200， 经检验，符合题意。 所以选B。 A项：求成了今年科普书的借阅量（1.25×400＝500），按此错法真算得500；C项：求成了今年文学书的借阅量（0.9×200＝180），按此错法真算得180；D项：求成了去年文学书的借阅量，按此错法真算得200。 【方法点拨】遇到“今年比去年增加或减少百分之几”的问题，设去年的量为未知数最方便；给出的是“今年总量”与“今年两类之差”时，把两个方程相加、相减就能分别消去x、y，比代入法更快。 【易错提醒】①、②两个方程左边都含1.25x，相加正好消去y、相减正好消去x，别把符号弄反。 9．【答案】A 【解析】【分析】方程组无解，就是两个方程对应的两条直线平行，它们的k相等而b不相等。 【详解】两个方程化为y＝＋3和y＝3x－n， 两直线平行，所以＝3，m＝－6（此时n≠－3）。 所以选A。 B项把两直线平行的条件写成m∶3＝(－1)∶2，按此错法真算得－1.5；C项系数比的符号弄错，由m∶3＝2∶1，按此错法真算得6；D项由＝3解方程时漏乘2，按此错法真算得－3。 【方法点拨】方程组无解⇔对应的两条直线平行（k相等、b不相等）；有无数个解⇔两直线重合。 【易错提醒】化成y＝kx＋b后比较k；mx＋2y＝6化成y＝＋3，k是。 10．【答案】D 【解析】【分析】先用含k的式子表示方程组的解，再代入2x＋3y＝14。 【详解】①＋②，得2x＝4k，x＝2k；①－②，得2y＝2k，y＝k， 代入2x＋3y＝14，得4k＋3k＝14，k＝2。 所以选D。 A项把x，y的值求反了，x＝k，y＝2k，由2k＋6k＝14，按此错法真算得1.75；B项误认为x，y都等于k，由2k＋3k＝14，按此错法真算得2.8；C项由①－②求y时符号出错，得y＝－k，由4k－3k＝14，按此错法真算得14。 【方法点拨】把参数当作已知数解方程组，用参数表示x，y，再代入题目给的条件。 【易错提醒】①－②是(x＋y)－(x－y)＝2y，右边3k－k＝2k，所以y＝k。 　B卷　二、填空题 11．【答案】10 【解析】【分析】由x＝2y＋3得x－2y＝3，而3x－6y＝3(x－2y)，整体代入。 【详解】由x＝2y＋3，得x－2y＝3， 3x－6y＋1＝3(x－2y)＋1＝3×3＋1＝10。 所以答案为10。 【方法点拨】求代数式的值时，若能凑出已知的整体，就把整体直接代入。 12．【答案】－2 【解析】【分析】二元一次方程中含未知数的项的次数都是1。 【详解】由题意，2m－1＝1，n＋3＝1， 解得m＝1，n＝－2，所以mn＝－2。 所以答案为－2。 【方法点拨】由含未知数的项的次数都是1列方程，求出字母的值。 13．【答案】－3 【解析】【分析】交点Q同时在两条直线上，它的坐标满足两条直线的表达式。 【详解】把(3，－4)代入y＝kx＋2，得3k＋2＝－4，k＝－2； 代入y＝－x＋b，得－3＋b＝－4，b＝－1， 所以k＋b＝－3。 所以答案为－3。 【方法点拨】交点同时在两条直线上，它的坐标满足两条直线的表达式，分别代入求字母。 14．【答案】－8 【解析】【分析】交点在x轴上，纵坐标为0；先求直线y＝－x＋4与x轴的交点。 【详解】令－x＋4＝0，得x＝4，交点为(4，0)， 它也在直线y＝2x＋m上，所以8＋m＝0，m＝－8。 所以答案为－8。 【方法点拨】交点在x轴上则纵坐标为0，在y轴上则横坐标为0，先由已知直线求出交点。 【易错提醒】交点在x轴上说明y＝0，别把它当成在y轴上（x＝0）。 15．【答案】1或2或5 【解析】【分析】两式相加消去y，用k表示x，再由x，y都是正整数确定k。 【详解】两式相加，得(k＋1)x＝6，x＝，y＝5－x， x，y都是正整数，所以x＝1，2或3（x＝6时y＜0）， 对应k＋1＝6，3，2，k＝5，2，1。 所以答案为1或2或5。 【方法点拨】用参数表示x（或y），再由“正整数”这一条件，借助整除关系列出参数的所有可能值。 【易错提醒】x是6的正因数，还要保证y＝5－x也是正整数，x＝6要舍去。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）x＝－1，y＝2；（2）x＝3，y＝－0.5 【解析】【分析】(1)用代入法；(2)把第二个方程乘3，使y的系数互为相反数，再相加。 【详解】(1)把x＝5－3y代入2x＋5y＝8，得2(5－3y)＋5y＝8， 10－y＝8，y＝2，x＝5－6＝－1， 所以方程组的解是x＝－1，y＝2。　……3分 【另解】(1)也可用加减法：由x＝5－3y得x＋3y＝5 ③，③×2得2x＋6y＝10 ④，④－②，得(2x＋6y)－(2x＋5y)＝10－8，即y＝2，与代入法结果一致。 【检验】把x＝－1，y＝2代入：x＝5－3y即5－6＝－1＝x，2x＋5y＝2×(－1)＋5×2＝－2＋10＝8，两个方程都成立。 (2)第二个方程乘3，得15x＋6y＝42，与2x－6y＝9相加， 得17x＝51，x＝3，代入5x＋2y＝14，得y＝－0.5， 所以方程组的解是x＝3，y＝－0.5。　……3分 【另解】(2)也可用代入法：由②得y＝，代入①，得2x－6×＝9，2x－3(14－5x)＝9，2x－42＋15x＝9，17x＝51，x＝3，与加减法结果一致。 【检验】把x＝3，y＝－0.5代入：2x－6y＝2×3－6×(－0.5)＝6＋3＝9，5x＋2y＝5×3＋2×(－0.5)＝15－1＝14，两个方程都成立。 【方法点拨】根据系数特点选择代入法或加减法，求出一个未知数后回代求另一个。 【评分说明】每小题：消元正确1分，求出一个未知数1分，求出另一个并写出解1分。 17．【答案】（1）x＝3，y＝2，z＝4；（2）x＝6，y＝3 【解析】【分析】(1)前两个方程相加可同时消去y和z，先求x；(2)先去分母，再用加减法。 【详解】(1)x＋y－z＝1 ①，2x－y＋z＝8 ②，2x＋y＋z＝12 ③， ①＋②，得3x＝9，x＝3， 把x＝3代入①，③，得y－z＝－2，y＋z＝6， 解得y＝2，z＝4，所以方程组的解是x＝3，y＝2，z＝4。　……5分 【另解】(1)也可以先消去x：②＋③，得4x＋2z＝20，即2x＋z＝10；①－③，得－x－2z＝－11，即x＋2z＝11，由2x＋z＝10得z＝10－2x，代入x＋2z＝11，得x＋2(10－2x)＝11，－3x＝－9，x＝3，与先消去y、z的结果一致。 【检验】把x＝3，y＝2，z＝4代入：x＋y－z＝3＋2－4＝1，2x－y＋z＝6－2＋4＝8，2x＋y＋z＝6＋2＋4＝12，三个方程都成立。 (2)第一个方程两边乘12，得4x－3(y＋1)＝12，即4x－3y＝15， 减去x－3y＝－3，得3x＝18，x＝6，代入得y＝3， 所以方程组的解是x＝6，y＝3。　……4分 【另解】(2)也可用代入法：由②得x＝3y－3，代入第一个方程整理出的4x－3y＝15，得4(3y－3)－3y＝15，12y－12－3y＝15，9y＝27，y＝3，代入②得x＝6，与加减法结果一致。 【检验】把x＝6，y＝3代入：4x－3(y＋1)＝4×6－3×4＝24－12＝12，x－3y＝6－9＝－3，两个方程都成立。 【方法点拨】三元方程组先消去同一个未知数得到二元方程组；含分母的方程先去分母。 【评分说明】(1)消元得x 2分，化为二元方程组1分，求出y，z并写出解2分；(2)去分母1分，消元求x 2分，求出y并写出解1分。 18．【答案】（1）A型16套，B型14套；（2）22200元 【解析】【分析】按“光伏板用量”和“储能电池用量”各列一个方程。 【详解】(1)设组装A型套装x套、B型套装y套， 则3x＋2y＝76 ①，x＋2y＝44 ②，　……3分 ①－②，得2x＝32，x＝16，代入②得y＝14， 【检验】把x＝16，y＝14代入：3x＋2y＝3×16＋2×14＝48＋28＝76，x＋2y＝16＋28＝44，两个方程都成立。 【另解】也可用代入法：由②得x＝44－2y，代入①，得3(44－2y)＋2y＝76，132－6y＋2y＝76，－4y＝－56，y＝14，代入②得x＝16，与加减法结果一致。 答：A型套装组装了16套，B型套装组装了14套。　……3分 (2)600×16＋900×14＝9600＋12600＝22200（元）。　……3分 【方法点拨】配套问题按每种部件的总用量列方程：每套用量×套数之和＝部件总数。 【评分说明】(1)设元1分，列方程组2分，求出解2分，作答1分；(2)列式2分，结果1分。 【易错提醒】表中每一列是一种部件，按部件的总数列方程，不要按套装列。 19．【答案】（1）P(－2.4，2.8)；（2）x＝－2.4，y＝2.8；（3）7.2 【解析】【分析】两条直线的交点坐标同时满足两个表达式；△PAB的底AB在y轴上，高是点P到y轴的距离。 【详解】(1)由0.5x＋4＝－2x－2，得2.5x＝－6，x＝－2.4，y＝0.5×(－2.4)＋4＝2.8， 所以P(－2.4，2.8)。　……4分 【检验】把x＝－2.4代入两条直线：0.5×(－2.4)＋4＝－1.2＋4＝2.8，－2×(－2.4)－2＝4.8－2＝2.8，两式的值相等，P的坐标正确。 (2)x－2y＝－8即y＝0.5x＋4，2x＋y＝－2即y＝－2x－2， 所以方程组的解是x＝－2.4，y＝2.8。　……2分 检验：代入原方程组，左右两边都相等。 (3)A(0，4)，B(0，－2)，AB＝6，点P到y轴的距离为2.4， S△PAB＝½×6×2.4＝7.2。　……3分 【另解】(3)不用y轴上的AB作底，改用割补法：以A(0，4)、B(0，－2)所在的y轴为右边界，过P作x＝－2.4的竖线为左边界，围成一个宽2.4、高6的矩形，面积2.4×6＝14.4； 矩形被PA、PB分成三块，其中P所在的左边界与顶边围成的直角三角形两条直角边分别是2.4和(4－2.8)＝1.2，面积为½×2.4×1.2＝1.44；左边界与底边围成的直角三角形两条直角边分别是2.4和(2.8－(－2))＝4.8，面积为½×2.4×4.8＝5.76；矩形面积减去这两块，就是△PAB的面积：14.4－1.44－5.76＝7.2，与直接用底高公式的结果一致。 【方法点拨】底在y轴上的三角形，高是第三个顶点到y轴的距离，即它横坐标的绝对值；用矩形补形、再减去多余的两个直角三角形，是坐标平面内求三角形面积的通用方法。 【评分说明】(1)列方程2分，求出坐标2分；(2)说明对应关系1分，写出解1分；(3)求出AB 1分，高1分，面积1分。 【易错提醒】底在y轴上时，高是点P横坐标的绝对值2.4，不是纵坐标。 20．【答案】（1）徽章12元，书签3元，明信片6元；（2）37.2元 【解析】【分析】每一次订购都能列出一个“数量×单价之和＝总价”的方程，三次就组成三元一次方程组，先消去同一个未知数化为二元一次方程组。 【详解】(1)设徽章、书签、明信片的单价分别为a元、b元、c元，则a＋2b＋4c＝42 ①，2a＋b＋2c＝39 ②，3a＋3b＋c＝51 ③，　……2分 ①×2－②，得3b＋6c＝45，即b＋2c＝15 ④；①×3－③，得3b＋11c＝75 ⑤，　……2分 由④得b＝15－2c，代入⑤，得3(15－2c)＋11c＝75，5c＝30，c＝6，代入④得b＝3，代入①得a＝42－6－24＝12。 答：徽章每个12元，书签每个3元，明信片每张6元。　……3分 (2)2×(12×0.8＋3＋6)＝2×18.6＝37.2（元）。　……2分 【方法点拨】三元一次方程组仍用消元：选定一个未知数（本题选a），用两组方程分别消去它，得到二元一次方程组，再化为一元。 【评分说明】(1)列出方程组2分，消元得二元方程组2分，求出三个单价并作答3分；(2)2分。 【易错提醒】先把不含a，b的两个方程重新组合求公共解，这是本题的关键一步。 21．【答案】（1）快充桩每小时40 kW·h，慢充桩每小时10 kW·h；（2）快充桩1 h，慢充桩2 h 【解析】【分析】充入电量＝每小时充入电量×充电时间，两辆车各对应一个方程；(2)再按“总时间”和“总电量”列方程组。 【详解】(1)设快充桩每小时充入x kW·h，慢充桩每小时充入y kW·h， 则0.5x＋2y＝40 ①，x＋0.5y＝45 ②，　……2分 ①×2－②，得3.5y＝35，y＝10，把y＝10代入②，得x＝40， 经检验，所求结果符合题意。 【另解】(1)也可用代入法：由②得x＝45－0.5y，代入①，得0.5(45－0.5y)＋2y＝40，即22.5－0.25y＋2y＝40，1.75y＝17.5，y＝10，与加减法结果一致。 答：快充桩每小时充入40 kW·h，慢充桩每小时充入10 kW·h。　……4分 (2)设快充桩用了a h，慢充桩用了b h，则a＋b＝3，40a＋10b＝60，　……2分 由a＋b＝3得b＝3－a，代入得40a＋30－10a＝60，a＝1，b＝2。 答：快充桩用了1 h，慢充桩用了2 h。　……2分 【另解】(2)也可以设慢充桩用了b h，则快充桩用了(3－b) h，代入得40(3－b)＋10b＝60，120－40b＋10b＝60，－30b＝－60，b＝2，快充桩用了3－2＝1(h)，与设快充桩为未知数的结果一致。 【方法点拨】“总量＝效率×时间”；求出两种效率后，再按“总时间”和“总量”列一个方程组就能分配时间。 【评分说明】(1)设元列方程组2分，求出x，y 3分，作答1分；(2)列方程组2分，求出并作答2分。 【易错提醒】①×2时右边40也要乘2得80；(2)中总时间3 h与总电量60 kW·h各列一个方程。 22．【答案】（1）x＝3，y＝0；（2）x＝k＋1，y＝2－k，直线y＝－x＋3；（3）k＝，x＝，y＝ 【解析】【分析】(1)代入k值后用加减法；(2)把k当作已知数解方程组，再把x，y的表达式相加消去k；(3)由|x|＝|y|得到含绝对值的方程，分两种情况讨论。 【详解】(1)k＝2时，方程组为x－y＝3，2x＋y＝6，两式相加得3x＝9，x＝3，代入得y＝0， 所以x＝3，y＝0。　……3分 (2)①＋②，得3x＝3k＋3，x＝k＋1，代入①得y＝x－2k＋1＝2－k。　……2分 因为x＋y＝(k＋1)＋(2－k)＝3，即y＝－x＋3，所以无论k取何值，点(x，y)都在直线y＝－x＋3上。　……1分 【另解】(2)也可以由x＝k＋1解出k＝x－1，代入y＝2－k，得y＝2－(x－1)＝3－x，即y＝－x＋3，与两式相加消去k的结果一致。 (3)由|x|＝|y|，得|k＋1|＝|2－k|。 当k＋1＝2－k时，2k＝1，k＝，此时x＝，y＝；当k＋1＝－(2－k)时，得1＝－2，不成立，这种情况无解。 【另解】(3)由|x|＝|y|，两边都是非负数，也可以两边平方：(k＋1)²＝(2－k)²，展开得k²＋2k＋1＝4－4k＋k²，即2k＋1＝4－4k，6k＝3，k＝，与分类讨论的结果一致，且平方法不需要再单独说明另一种情况是否成立。 所以k＝，此时x＝，y＝。　……4分 【方法点拨】含参方程组先把参数当作已知数求解；要找解所在的直线，就把x，y的表达式相加（或相减）消去参数。 【评分说明】(1)3分；(2)用k表示x，y 2分，写出直线1分；(3)列出|k＋1|＝|2－k| 1分，求出k 1分，说明另一种情况无解1分，写出x，y 1分。 【易错提醒】去绝对值要分两种情况，其中一种得出1＝－2这样的矛盾时，要写明这种情况不成立，不能漏写也不能硬算。 23．【答案】（1）保温杯80元，台灯100元；（2）保温杯5个、台灯6盏，或保温杯10个、台灯2盏；（3）买保温杯10个、台灯2盏，实际付款最少，为800元 【解析】【分析】(1)按两种买法的总价列方程组；(2)由“原价恰好1000元”列一个二元一次方程，求正整数解；(3)对每个方案先算单品优惠后的总额，再按满减规则减去。 【详解】(1)设保温杯原价x元、台灯原价y元，则2x＋y＝260，x＋3y＝380， 由第一个方程得y＝260－2x，代入第二个方程得x＋780－6x＝380，x＝80，y＝100。 经检验，所求结果符合题意。 答：保温杯原价80元，台灯原价100元。　……4分 【另解】(1)也可用加减法：由2x＋y＝260 ①、x＋3y＝380 ②，①×3，得6x＋3y＝780，减去②，得5x＝400，x＝80，代入①得y＝100，与代入法结果一致。 (2)设买保温杯a个、台灯b盏，则80a＋100b＝1000，即4a＋5b＝50， a＝，a，b都是正整数，所以b是偶数且b＜10， b＝2时a＝10；b＝6时a＝5，共两种方案。　……4分 【另解】(2)列表比较：由4a＋5b＝50，即a＝，先列出b＝0，2，4，6，8，10时a的值： b＝0时a＝12.5；b＝2时a＝10；b＝4时a＝7.5；b＝6时a＝5；b＝8时a＝2.5；b＝10时a＝0，其中b＝0、b＝4、b＝8使a不是正整数，b＝10时a＝0不满足“两种都要买”，只有b＝2、b＝6时a是正整数，与代数解法的两种方案一致。 (3)方案一（10个保温杯、2盏台灯）：单品优惠后10×70＋2×90＝880（元），每满300元减40元，880里有2个300，实付880－80＝800（元）； 方案二（5个保温杯、6盏台灯）：单品优惠后5×70＋6×90＝890（元），实付890－80＝810（元）。 所以买10个保温杯、2盏台灯实际付款最少，最少付800元。　……5分 【方法点拨】方案题三步走：列方程组求单价→由总价列方程找正整数解→按规则逐个计算比较。 【评分说明】(1)列方程组2分，求出解并作答2分；(2)列方程1分，分析b的取值1分，写出两种方案2分；(3)每个方案优惠后总额1分、实付1分，结论1分。 【易错提醒】满减按“每满300元”计，880元只含2个300元；两个方案原价相同，优惠后却不同。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第五章 二元一次方程组 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第五章 二元一次方程组 单元检测（A／B双卷） 北师大版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第五章 二元一次方程组） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：北师大版（2024）八年级上册第五章 二元一次方程组（5.1～5.5）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：二元一次方程（组）的概念、二元一次方程（组）的解、代入消元法、加减消元法、整体思想与非负数、含参数的方程组、列方程组解决实际问题（和差倍分）、列方程组解决实际问题（百分率、配套）等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 本表按“概念—解法—应用—与函数的联系—三元”的顺序排出第五章的考点，并注明两卷分别由哪些题号考查。A卷多为直接求解和常规建模，B卷增加了参数讨论、同解与无解、购物方案等综合题。教师批改后把每道错题记到对应行里，错得最集中的那一行，就是下一节复习课的重点。 本章考点 A卷题号 B卷题号 二元一次方程（组）的概念 2 12 二元一次方程（组）的解 1，5，9，10，15，23 1，22，23 代入消元法 3，16 2 加减消元法 4，8，14，17 3，16，17 整体思想与非负数 10，11 6，11 含参数的方程组 15 9，10，14，15，22 列方程组解决实际问题（和差倍分） 7，9，14，22，23 7，20，23 列方程组解决实际问题（百分率、配套） 8，21 8，18，23 列方程组解决实际问题（行程、数字、效率） 13，18 21 二元一次方程与一次函数 5，19，20 4，9，13，14，19，22 用待定系数法确定一次函数表达式 6，19，20 5 三元一次方程组 12 6，17，20 本章知识要点速览 下表把第五章浓缩为九条：定义与解、两种消元法、列方程组的步骤、常见数量关系、方程与直线、待定系数法和三元方程组。考前可遮住右栏逐条口述，再揭开核对，漏说的要点用红笔补在课本空白处。 序号 知识要点 掌握要求 1 二元一次方程（组） 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程；共含两个未知数的两个一次方程组成二元一次方程组。 2 方程（组）的解 使方程左右两边相等的一组未知数的值叫作方程的解，二元一次方程有无数个解；方程组中各方程的公共解叫作方程组的解。 3 代入消元法 把一个方程写成“y＝…”（或“x＝…”），代入另一个方程消去一个未知数，化二元为一元；代入时整体加括号。 4 加减消元法 同一未知数的系数相同就相减、互为相反数就相加；系数不同时先两边同乘适当的数，右边也要乘。 5 列方程组解决实际问题 审题找出两个相等关系→设两个未知数→列方程组→解→检验→作答；可用表格或线段图梳理数量关系。 6 常见数量关系 总数与总量（鸡兔同笼型）、增长a%乘(1＋a%)、顺风逆风、两位数10x＋y、配套时按部件总数列方程。 7 二元一次方程与一次函数 以二元一次方程的解为坐标的点组成一条直线；方程组的解就是两条直线交点的坐标，两直线平行时方程组无解。 8 待定系数法 设y＝kx＋b，把两组对应值代入得到关于k，b的方程组，求出k，b就确定了一次函数的表达式。 9 三元一次方程组 三个方程中各方程的公共解叫作三元一次方程组的解；解法仍是消元：三元→二元→一元。 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）若x＝5，y＝－2是关于x，y的二元一次方程2x＋ky＝16的一个解，则k的值为(____)。 A．3 B．－3 C．4 D．－13 2．（本题3分）若－＝7是关于x，y的二元一次方程，则a＋b的值为(____)。 A．－1 B．5 C．2 D．1 3．（本题3分）把y＝2x－3代入4x＋3y＝41消去y，所得一元一次方程的解是(____)。 A．5 B．4.4 C．3.2 D．7 4．（本题3分）解方程组3x＋5y＝42 ①，3x－2y＝21 ②时，由①－②消去x，求得y的值为(____)。 A．7 B．9 C．3 D．21 5．（本题3分）如图，画出了函数y＝2x－7和y＝－x＋2的图象，它们的公共点为P(3，－1)。若方程组2x－y＝7，x＋y＝2的解为x＝a，y＝b，则a－b等于(____)。 A．－4 B．4 C．2 D．7 6．（本题3分）直线y＝kx＋b过(－1，5)，(3，－7)两点，求得的k与b之和是(____)。 A．－1 B．11 C．2 D．5 7．（本题3分）一盒积木里只有三角形和四边形两种木块，一共20块；数一数所有木块的边，一共有72条。其中三角形木块有(____)块。 A．12 B．10 C．4 D．8 8．（本题3分）某社区水果店上个月卖出苹果和橙子共800箱；这个月苹果的销量比上个月增加15%，橙子的销量比上个月减少5%，两种水果一共卖出860箱。这个月卖出苹果(____)箱。 A．500 B．300 C．575 D．285 9．（本题3分）体育委员用576元为班级购买羽毛球拍和乒乓球拍，两种球拍都要买且钱恰好用完。羽毛球拍每副36元，乒乓球拍每副48元，购买方案一共有(____)种。 A．5 B．3 C．4 D．13 10．（本题3分）已知关于x，y的方程组ax＋by＝c，mx＋ny＝p的解是x＝3，y＝4，那么关于x，y的方程组a(x－1)＋b(y＋2)＝c，m(x－1)＋n(y＋2)＝p的解中，x＋y的值为(____)。 A．6 B．8 C．7 D．4 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若实数x，y满足|3x－y－1|＋＝0，则2x＋y＝________。 12．（本题3分）三元一次方程组x－y＝1，y－z＝2，x＋z＝11的解中，x＝________。 13．（本题3分）某两位数两个数位上的数字之和为11；交换这两个数字的位置（对调）后，所得的两位数比原数大27，则原两位数为________。 14．（本题3分）学校两次为足球社团购买器材的记录如下表，同一种球两次的单价相同。足球每个________元，排球每个________元。 购买次数 足球／个 排球／个 总价／元 第一次 3 2 330 第二次 2 5 440 15．（本题3分）对于有理数a，b，规定新运算a⊕b＝ma＋nb（m，n为常数）。已知1⊕2＝8，(－1)⊕3＝7，则(－2)⊕5＝________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）解下列方程组： (1)x＝2y＋1，3x－4y＝7； (2)5x＋4y＝6，3x－4y＝－22。 17．（本题9分）解下列方程组： (1)2(x＋1)－3y＝5，3x－2(y－1)＝9； (2)-＝1，+＝2。 18．（本题9分）一架无人机在风速不变的情况下往返飞行：顺风飞行2400m用了4min，逆风飞行同样的2400m用了6min。 (1)求无人机在无风时的飞行速度和风速； (2)若无人机从出发点顺风飞行3min后立即沿原路逆风返回，返回出发点需要多少分钟？ 19．（本题9分）一根蜡烛点燃后匀速燃烧，剩余长度y cm是燃烧时间x min的一次函数，测得的部分数据如下表。 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这根蜡烛点燃前有多长？ (3)蜡烛剩余5cm时，已经燃烧了多少分钟？ 燃烧时间x／min 6 16 剩余长度y／cm 21 13 20．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1经过点A(－3，0)和B(1，4)，直线l2：y＝－2x＋9与直线l1交于点P，与x轴交于点D。 (1)直线l1是哪个一次函数的图象？ (2)求点P的坐标，并指出同时满足x－y＝－3和2x＋y＝9的x，y的值； (3)求△PAD的面积。 21．（本题10分）小区居民通过社区团购拼单买菜，鸡蛋和牛奶的拼单折扣如下表。按原价买2箱鸡蛋和3箱牛奶共需196元；按拼单价买5箱鸡蛋和4箱牛奶共需291.2元。 (1)求每箱鸡蛋、每箱牛奶的原价； (2)按拼单价买5箱鸡蛋和4箱牛奶，比按原价购买节省了多少元？ 商品 鸡蛋 牛奶 拼单折扣 八折 九折 22．（本题10分）研学营地有一个容积为36m³的蓄水池，用甲、乙两根进水管注水。从空池开始，先开甲管4h，再关甲管开乙管3h，恰好注满；若从空池开始先开甲管2h，再关甲管开乙管6h，也恰好注满（每根管每小时的进水量不变）。 (1)甲、乙两管每小时各进水多少立方米？ (2)两管同时打开，从空池开始注满需要多少小时？ (3)若从空池开始先单开乙管1.5h，再两管同时打开，还需要多少小时才能注满？ 23．（本题13分）学校组织八年级330名师生去研学基地，准备租用大、小两种客车，每种客车的载客量如下表。已知租2辆大客车和3辆小客车共需租金3100元，租3辆大客车和1辆小客车共需租金2900元。 (1)每辆大客车、小客车的租金各是多少元？ (2)若两种客车都租，并且每辆车都恰好坐满，有哪几种租车方案？ (3)比较(2)中各方案的总租金，指出最省钱的方案并求出这笔租金。 车型 大客车 小客车 每辆载客量／人 45 30 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）已知x＝3，y＝m是方程4x－3y＝3的一个解，则m的值为(____)。 A．－3 B．9 C．3 D．－5 2．（本题3分）方程组x＝2y－3 ①，4x－3y＝18 ②中，①已经用y表示出x。消去x后，y等于(____)。 A．6 B．4.2 C．1.2 D．9 3．（本题3分）对于3x＋2y＝4 ①和4x－4y＝12 ②，小丽先把①的两边都乘2，再与②相加消去了y，她得到的x应为(____)。 A．1.6 B．－0.4 C．－1 D．2 4．（本题3分）如图，y＝－3x＋1与y＝x＋5的图象在点P(－1，4)处相交。若x＝a，y＝b是方程组3x＋y＝1，x－y＝－5的解，则2a＋b＝(____)。 A．7 B．2 C．6 D．5 5．（本题3分）下表列出了某个一次函数y＝kx＋b的三组对应值，其中m的值为(____)。 x －2 1 4 y 12 3 m A．12 B．－9 C．－24 D．－6 6．（本题3分）已知x＋2y＋3z＝26，3x＋2y＋z＝18，则x＋y＋z的值为(____)。 A．44 B．22 C．11 D．4 7．（本题3分）某户家庭屋顶安装了甲、乙两种规格的光伏板共12块，其中甲种4块、乙种8块。已知甲种光伏板每块的功率比乙种每块多150 W，这12块光伏板的总功率为5400 W。乙种光伏板每块的功率为(____)W。 A．450 B．400 C．550 D．375 8．（本题3分）学校图书角今年科普书和文学书共被借阅680册次，其中科普书比文学书多借阅320册次。已知今年科普书的借阅量比去年增加25%，文学书的借阅量比去年减少10%。去年科普书的借阅量是(____)册次。 A．500 B．400 C．180 D．200 9．（本题3分）已知n≠－3。要使方程组mx＋2y＝6，3x－y＝n没有解，字母m必须取(____)。 A．－6 B．－1.5 C．6 D．－3 10．（本题3分）关于x，y的方程组x＋y＝3k，x－y＝k的解恰好使2x＋3y＝14成立，则k＝(____)。 A．1.75 B．2.8 C．14 D．2 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若x＝2y＋3，则代数式3x－6y＋1的值为________。 12．（本题3分）若＋＝5是关于x，y的二元一次方程，则mn＝________。 13．（本题3分）如图，直线y＝kx＋2与直线y＝－x＋b交于点Q(3，－4)，则k＋b＝________。 14．（本题3分）直线y＝－x＋4与x轴的交点也在直线y＝2x＋m上，那么m＝________。 15．（本题3分）关于x，y的方程组x＋y＝5，kx－y＝1的解都是正整数，则所有正整数k的值为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）解下列方程组： (1)x＝5－3y，2x＋5y＝8； (2)2x－6y＝9，5x＋2y＝14。 17．（本题9分）解下列方程组： (1)x＋y－z＝1，2x－y＋z＝8，2x＋y＋z＝12； (2)-＝1，x－3y＝－3。 18．（本题9分）某新能源公司把光伏板和储能电池组装成A，B两种家用套装，每套所需部件如下表。仓库现有光伏板76块、储能电池44台，恰好全部组装成A，B两种套装。 (1)两种套装分别组装了多少套？ (2)若每套A型套装获利600元，每套B型套装获利900元，全部售出共获利多少元？ 套装 光伏板／块 储能电池／台 A型（每套） 3 1 B型（每套） 2 2 19．（本题9分）如图，在同一坐标系中画出了直线l1：y＝0.5x＋4和直线l2：y＝－2x－2，点A，B是它们与y轴的交点，P是两条直线的公共点。 (1)算出点P的坐标； (2)写出方程组x－2y＝－8，2x＋y＝－2的解； (3)求△PAB的面积。 20．（本题9分）研学营为学员订购徽章、书签、明信片三种纪念品，三次订购的数量和总价如下表，同一种纪念品三次的单价相同。 (1)求徽章、书签、明信片的单价； (2)若徽章打八折，书签和明信片不打折，三种纪念品各买2个共需多少元？ 订购次数 徽章／个 书签／个 明信片／张 总价／元 第一次 1 2 4 42 第二次 2 1 2 39 第三次 3 3 1 51 21．（本题10分）某小区充电站有快充桩和慢充桩，每种充电桩每小时充入的电量固定不变。一辆电动汽车先用快充桩充电0.5 h、再用慢充桩充电2 h，共充入40千瓦时；另一辆先用快充桩充电1 h、再用慢充桩充电0.5 h，共充入45千瓦时。 (1)快充桩、慢充桩每小时各充入多少千瓦时？ (2)一辆电动汽车需要充入60千瓦时，先用快充桩、再换慢充桩，一共充了3 h，两种充电桩各用了多少小时？ 22．（本题10分）k为常数，x，y满足方程组x－y＝2k－1 ①，2x＋y＝k＋4 ②。 (1)当k＝2时，求x，y的值； (2)用含k的式子表示x，y，并求出：无论k取何值，以x，y的值为坐标的点(x，y)都在其上的那条直线的表达式； (3)若x与y的绝对值相等，求k的值及此时x，y的值。 23．（本题13分）某直播间销售A款保温杯和B款台灯。按原价计算：买2个保温杯和1盏台灯共需260元，买1个保温杯和3盏台灯共需380元。 (1)求保温杯和台灯的原价； (2)某班按原价计算恰好花1000元购买这两种商品（两种都要买），有哪几种购买方案？ (3)直播间当天的优惠方式如下表：先按单品优惠计价，再对订单总额计算满减。(2)中哪种方案实际付款最少？最少付多少元？ 优惠项目 优惠方式 A款保温杯 每个直降10元 B款台灯 打九折 订单总额 每满300元减40元 附：A卷命题双向细目表 A卷覆盖第五章五节：概念与解、代入法和加减法、列方程组解应用题、方程与一次函数、三元一次方程组。压轴的第23题围绕研学租车，先求租金，再找正整数解列方案，最后比费用。难度分三档由易到难排列，基础、中档、较难依次占11，7，5道；取材于生活的题共9道，如积木、水果店、无人机、蜡烛、蓄水池。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 由方程的解求字母系数 基础 运算能力 2 选择题 3 二元一次方程的定义（指数） 基础 抽象能力 3 选择题 3 代入消元法（代入后的一元方程） 基础 运算能力 4 选择题 3 加减消元法（系数相同时相减） 基础 运算能力 5 选择题 3 两直线的交点与方程组的解 基础 几何直观 6 选择题 3 待定系数法求k，b 基础 模型观念 7 选择题 3 积木块数问题（鸡兔同笼型） 中档 模型观念 8 选择题 3 增长率问题（水果销量） 中档 模型观念 9 选择题 3 二元一次方程的正整数解（购买方案） 难 运算能力 10 选择题 3 换元法（整体代换） 难 推理能力 11 填空题 3 非负数之和为0列方程组 基础 推理能力 12 填空题 3 三元一次方程组（逐步消元） 基础 运算能力 13 填空题 3 数字问题（对调数位） 基础 模型观念 14 填空题 3 表格信息列方程组（器材单价） 中档 模型观念 15 填空题 3 新定义运算与二元一次方程组 难 推理能力 16 解答题 6 解二元一次方程组（代入与加减） 基础 运算能力 17 解答题 9 含括号、分母的方程组 基础 运算能力 18 解答题 9 顺风逆风问题（无人机往返） 中档 模型观念 19 解答题 9 待定系数法（蜡烛燃烧） 中档 模型观念 20 解答题 9 图象法解方程组与面积 中档 几何直观 21 解答题 10 折扣问题（社区团购拼单） 中档 模型观念 22 解答题 10 注水问题（蓄水池） 难 模型观念 23 解答题 13 租车方案问题（研学车队） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷与A卷考点一致，区别在于思考步数：三元方程组要选定一个未知数两次消元，无解要想到两条直线平行，含参数的方程组要用参数表示解、找出解所在的直线并分类讨论绝对值；第23题以直播间购物收尾，依次求单价、列方案、按单品优惠和满减算实付。本卷基础11题、中档7题、较难5题，情境题6道，涉及光伏板、图书借阅、研学纪念品、充电桩等。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 由方程的解求未知数的值 基础 运算能力 2 选择题 3 代入消元法（求y） 基础 运算能力 3 选择题 3 加减消元法（先乘数再相加） 基础 运算能力 4 选择题 3 由交点坐标写方程组的解 基础 几何直观 5 选择题 3 由对应值表确定一次函数 基础 模型观念 6 选择题 3 三元一次方程的整体求值 基础 运算能力 7 选择题 3 光伏板功率问题（由块数与功率差反求每块功率） 中档 模型观念 8 选择题 3 增减百分率问题（由今年总量与差值反求去年借阅量） 中档 模型观念 9 选择题 3 方程组无解与两直线平行 难 推理能力 10 选择题 3 用含参数的式子表示解 难 推理能力 11 填空题 3 整体代入求值 基础 推理能力 12 填空题 3 二元一次方程的定义求字母 基础 抽象能力 13 填空题 3 交点坐标确定直线中的字母 基础 几何直观 14 填空题 3 两直线交点位置求参数 中档 推理能力 15 填空题 3 方程组的正整数解求参数 难 推理能力 16 解答题 6 解二元一次方程组（基本解法） 基础 运算能力 17 解答题 9 三元一次方程组与含分母的方程组 基础 运算能力 18 解答题 9 配套问题（光伏储能套装） 中档 模型观念 19 解答题 9 两直线与y轴围成的三角形 中档 几何直观 20 解答题 9 三元一次方程组的实际应用（研学纪念品） 中档 模型观念 21 解答题 10 充电量问题（效率×时间） 中档 模型观念 22 解答题 10 含参方程组的解与直线、绝对值分类讨论 难 推理能力 23 解答题 13 购物方案与优惠比较（直播间） 难 模型观念 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $